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Enseigner la compréhension, avec ou sans pingouins

Lors d’une formation, la collègue formation nous a diffusé une publicité de Canal plus qui m’avait amusée à l’époque. La formation, extra d’ailleurs, porte sur la compréhension, le langage scolaire, l’explicite, la charge cognitive, tout ça.

Regardez donc cette vidéo en pensant à vos cours, et à vos élèves.

PS : je sais que ce sont des manchots et pas des pingouins. Mais j’aime beaucoup le mot pingouin.

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Priorités et bonnes idées

Ce matin, en sixième, nous avons terminé d’étudier les priorités de calcul. Pour clore ce bout de séquence, nous avons visionné cette vidéo :

Elle est vraiment top, pour faire un rapide bilan des priorités de calcul. En plus, ce qui est super, c’est de voir le taux de personnes répondant correctement : mes élèves se sont tout de suite demandé pourquoi tel calcul avait tel score, pourquoi ce classement de difficulté, ce que les personnes qui se sont trompées avaient bien pu répondre. C’était très chouette.

Mais ils sont allés plus loin : au calcul 4+4×4, la majorité des élèves m’a expliqué :

« On effectue d’abord 4×4 parce que c’est prioritaire, ça fait 16, et on ajoute 4, ça donne 20 ».

Mais un élève voyait les choses autrement :

Moi je me dis des 4, dans 4×4, il y en a déjà 4. Si je dois faire 4+4×4, ça me fait un 4 de plus, donc cinq « 4 », et je fais juste 5×4″.

Pas mal, non? On peut se dire qu’il a « juste » compris la multiplication, mais déjà ce n’est pas simple, et on peut aussi envisager sa démarche sous l’angle de la distributivité et de la factorisation.

Ce qui est encore plus chouette, c’est que ses camarades ont voulu comprendre. Il a fallu y passer un peu de temps, mais ça leur a plu. Et lorsque le calcul 4×4–4 est apparu, un autre élève s’est exclamé :

On peut faire pareil que L. : des 4 il y en a quatre, mais on en enlève un, donc ça ne fait plus que trois 4, et 3×4 ça donne 12.

Voilà une séance comme j’aime : tout ça prend du sens, les jeunes se posent des questions, veulent comprendre, s’écoutent et sont prêts à réutiliser ce qu’ils viennent de comprendre.

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Les maths dans le grand bain

Dans le film Le grand bain, de Gilles Lelouche, sorti en octobre 2018, on entre par une « contradiction géométrique ». Il y est question de ronds, de carrés, de courbes, de lignes brisées. Je ne m’attendais pas à une telle entrée en matière !

Je l’ignorais, mais ce film a reçu le César des lycéens. Et un dossier pédagogique lui est consacré sur Eduscol. On y lit, par exemple :

UNE CHORÉGRAPHIE DE FORMES GÉOMÉTRIQUES

Dès le pré-générique, la question des formes s’impose au spectateur. Un iris, donc une forme ronde, vient souligner dans le plan les propos de la voix off : « Une question géométrique est l’histoire d’une planète ronde et débile qui ne sait pas pourquoi elle tourne, qui ne sait pas pourquoi elle tourne tout le temps, comme ça, autour d’un soleil rond et débile qui ne sait pas pourquoi il brûle tout le temps, comme ça ; mais c’est aussi le récit d’une courbe qui devient droite puis se transforme en angle rigide, l’histoire d’un carré qui dégage le rond d’un coup de règle… » De prime abord, la mise en scène pro- pose une vision assez ludique, proche de l’animation, et n’est pas sans évoquer les lignes et vastes open-spaces du Playtime de Jacques Tati (1967). La comédie de Gilles Lellouche joue avec cette ronde continuelle, à la fois formelle et narrative, qui se retrouve notamment dans l’emploi d’ouvertures et de fermetures « à l’iris ». Les lignes dominantes du film dessinent une trajectoire d’abord heurtée, pour que les personnages puissent épouser la courbe et affronter finalement la vie et ses tracas. La force du groupe se trouve dans ces lignes qui acceptent de se courber ensemble, afin de redéployer des corps disloqués par les aléas du quotidien. Bertrand (Mathieu Amalric) est dépressif, Marcus (Benoît Poelvoorde) mène sa boîte vers la faillite, Simon (Jean-Hugues Anglade) est un musicien raté, Laurent (Guillaume Canet) ne décolère pas contre le monde entier, Thierry (Philippe Katerine) est sans cesse rabaissé, humilié. Les personnages principaux sont encerclés par une médiocrité qui les englue. La figure du rond se retrouve aussi dans le « cercle vicieux » de l’alcoolisme où s’est enfermée Delphine (Virginie Efira) et auquel elle essaie de se soustraire en participant à des « cercles de parole ». Tous tentent d’échapper aux espaces fermés pour se projeter dans l’ouverture d’un nouveau cercle communautaire et sportif à sept, puis huit membres. Les formes géométriques du rond et du carré hantent le film. La figure carrée, qu’elle soit symbole ou décor, les asphyxie dans une vie écrasée par les pro- blèmes : le chômage et la dépression pour l’un, la logique de l’échec pour les autres. La géométrie se déploie pleinement dans le point d’orgue (climax) que constitue la séquence olympique de danse synchronisée. Le travail opéré sur les formes et les couleurs témoigne d’une victoire sur la matière et renvoie explicitement aux grands ballets aquatiques orchestrés par Busby Berkeley et aux comédies musicales hollywoodiennes portées par Esther Williams, que Thierry regarde d’ailleurs sur l’écran de télévision, en forme d’aquarium vitré, qui se trouve sur son bureau. Le carré de l’écran implose pour laisser libre court à une chorégraphie endiablée, parfaitement synchronisée, qui passe des formes circulaires aux formes carrées avec une aisance et une maîtrise parfaites. La piscine, elle-même, a des allures d’immense rectangle et la géométrie se retrouve dans la circulation des liens fraternels qui finissent par unir les membres de l’équipe. La vérité générale assénée en voix off au début du film – « Un carré ne rentrera jamais dans un rond » – est démentie par le finale : « Il est désormais une certitude que personne ne pourra remettre en question, pour peu qu’on en ait l’envie : un rond peut rentrer dans un carré. »

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Translation de 360° ?

Un ami m’a signalé cette vidéo. Elle aurait pu m’être utile, au fond, moi qui ne connais pas ma gauche de ma droite. Cependant, c’est pour une raison mathématique que je vous la propose. Mais comme il est possible qu’une partie d’entre vous ne tienne pas plus de 30 secondes (moi j’ai eu du mal…), je vous signale tout de suite que ce qui m’intéresse se situe à partir de 58 secondes environ :

Je proposerais bien ce morceau en préambule des transformations à mes 4es : j’ai déjà étudié en cinquième les symétries, les translations et les rotations, mais les élèves les plus fragiles n’étaient pas allés très loin dans les rotations. Avec cette intro, nous pourrions faire réémerger les éléments caractéristiques des rotations et des translations. Et puis expliquer pourquoi cela ne veut absolument rien dire, ce que ce monsieur raconte.

Parce que même pour être drôle, il faut être précis mathématiquement, non mais sans blague.

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Pfff, c’est hyper compliqué !!!
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Pour que ton bonhomme il tombe comme une hauteur il faut qu’il y ait pas de vent

Cher Arnaud Dudu,

Je t’écris de la part de mes élèves, mais aussi pour te remercier directement. Grâce à toi, enseigner les hauteurs c’est rigolo

Depuis que j’utilise ta vidéo, tous mes élèves (tous !) savent ce qu’est une hauteur dans un triangle, même dans les cas délicats, voire sournois, de hauteur extérieure. Nous avons travaillé en amont le triangle, le périmètre, l’aire, et nous avons construit ensemble les formules de l’aire du triangle rectangle, puis du triangle tout court, en donnant du sens, à grand renfort de ciseaux, de colle, d’aimants, de géobégra et d’application flash. Nous sommes donc arrivés naturellement à devoir définir et nommer les hauteurs dans le triangle. Et là, avant la vidéo hop-hop-hop-hop-hop-aaaaaaaaaaaaah-sproutchhhh, comme l’appellent mes loulous, c’était difficile.

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Pourquoi était-ce difficile ? Pour réussir à mesurer une hauteur, il faut savoir faire tout un tas de choses et contourner divers obstacles :

  1. La hauteur est une droite, mais on utilise le même mot pour désigner la longueur d’un segment porté par la hauteur. Comme on le lit sur le glossaire d’Euler,

    « En certaines circonstances, le mot hauteur peut désigner le segment dont les extrémités sont un sommet d’un triangle et le projeté orthogonal de ce sommet sur le côté opposé ; il peut aussi désigner la longueur de ce segment. » La hauteur désigne donc, au collège, une droite, un segment ou une mesure. Le fait que plusieurs objets mathématiques soient réunis sous une même étiquette gêne certains de mes élèves : nous travaillons beaucoup sur le vocabulaire, les notations, le langage en général, et je trouve très bien qu’ils réagissent. Mais ça complique, forcément.

  2. Pour tracer une hauteur, il faut se saisir de cet objet désagréable qu’est l’équerre. Nous avons beaucoup travaillé sur sa manipulation, il y a plusieurs semaines. Nous avons verbalisé « les côtés de l’angle droit », « le sommet de l’angle droit », décidé de nommer l’hypoténuse « la poignée » pour ceux qui ont une équerre qui en est dotée. Nous avons décrit la manipulation : « je place un des côtés de l’angle droit de l’équerre le long de …, et l’autre côté passe par le point … », etc. Là, c’est l’occasion de réinvestir.
  3. La hauteur est une droite remarquable dans le triangle, mais … elle n’est pas toujours dans le triangle. Ce cas particulier de hauteur extérieure semble très très compliqué pour beaucoup d’élèves, qui s’obstinent à vouloir la tracer dans le triangle, et en général finissent par craquer, la tracer effectivement et indiquer un codage d’angle droit sur un angle gravement obtus, ou aigu, selon le côté où on se place.
  4. Dans un triangle rectangle, deux des hauteurs n’apparaissent pas. Longtemps j’ai eu du mal à faire comprendre aux élèves qu’elles sont confondes avec les côtés de l’angle droit. J’avais beau leur dire,leur dessiner, leur expliquer, je ne touchais pas leur compréhension.

Mais voilà, Arnaud est arrivé, avec sa vidéo. Comme je suis dans le train, je ne peux pas la mettre e ligne dans l’article, mais vous la trouverez ici.

Pourquoi cette vidéo est-elle absolument super ?

  • Tu écris, cher Arnaud, que tu as cherché à « Créer un impact émotionnel chez les élèves en accentuant un côté décalé et drôle : une petite formule choc pour créer une empreinte mnésique dans la tête des élèves qui soit efficace ». C’est réussi : au visionnage, les élèves sont d’abord complètement surpris, puis le comique de répétition et les bruitages maison les font rire. Les regarder regarder cette vidéo, c’est un bonheur : ils ont de grands sourires, c’est chouette.
  • Certes, c’est un peu « gore ». Mais le style du dessin et les bruitages permettent une prise de recul qui évite le malaise.
  • C’est un excellent exemple du passage de la représentation à la modélisation, et du travail sur le langage en mathématiques : c’est super haut donne la hauteur, en bas donne la base. Le fait que le bonhomme doive tomber à la verticale semble évident aux enfants, et très rapidement ils ne se trompent plus sur les hauteurs extérieures.

Mes élèves, cette année, ont donc décidé d’illustrer leur leçon avec « le petit bonhomme qui fait sproutch ». Y compris au tableau :

On peut penser qu’ils ont tenu à dessiner le bonhomme pour s’amuser. Mais en en discutant avec eux, il m’est apparu comme évident qu’il n’y a pas que cela : ils m’ont dit « être sûrs que comme ça ils allaient s’en souvenir ». Un seul élève s’était trompé, et son voisin lui a fait comprendre avant même que j’arrive : « mais non mais ça va pas, regarde pour que ton bonhomme il tombe comme une hauteur il faut qu’il y ait pas de vent ». Certes.

En tout cas aujourd’hui, pas un seul élève ne s’était trompé dans ses exercices. Intérieures ou extérieures, leurs hauteurs en étaient bien. Et l’aire du triangle a roulé toute seule. Parfait.

Merci donc, Arnaud, pour ce moment d’apprentissage agréable et efficace. Tu es très fort.

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Le projet Tita

Aujourd’hui, je participe à un séminaire sur Apprentissages fondamentaux et persévérance scolaire, à l’Ifé à Lyon. Je vais vous raconter au fil de ma journée.

Première découverte : le projet Tita et la plateforme Titaction, conçue pour soutenir l’action collaborative des professionnels de l’éducation pour la prévention du décrochage. La plateforme de videoformation TITAction fournit aux acteurs et aux formateurs « des clés, des espaces de réflexion, des leviers pour parvenir à trouver ces solutions au sein du groupe », en misant sur le collectif et le travail en intermétier.

A explorer…