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L’égalité de Pythou, épisode 8 !

Voici la démo de Eljj, alias Jérôme Cottanceau, entre autre Youtuber et auteur de l’ouvrage Les maths font leur cinéma, qui est sur ma liste de livres à acheter (il me faudrait une augmentation tellement j’en ai à acheter, mais celui-ci est en haut de la liste donc ça devrait bientôt venir) :

C’est à retrouver ici. Quel plaisir toutes ces démos…

La conclusion m’a bien fait rire !

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Apprendre à se passer des tableaux de conversion

En cinquième, nous avons fini de travailler sur les aires, pour le moment. Alors il est temps de développer un peu la technique et de s’entraîner à convertir des aires. Mais mes élèves sont accros aux tableaux, et moi pas : je voudrais qu’ils convertissent sans. Pour cela, il faut être progressif, leur permettre de décrocher en douceur pour donner un sens différent aux conversions, aux unités d’aires : je voudrais qu’ils les relient au calcul, au sens des unités produit, à la dimension 2, pas au « j’écris des zéros » ou « je décale des trucs par-ci, par là », ou « je mets la virgule là et j’en mets une autre là ».

Premier niveau, avec tableau de conversion, on place le nombre donné au bon endroit. La virgule disparaît dès que le nombre prend place. Si on se trompe, on peut l’attraper de nouveau pour le replacer. Et on change son regard pour lire dans l’unité annoncée. Ce n’est pas simple pour tout le monde : certains élèves veulent absolument trouver une écriture décimale, même quand il s’agit d’un entier. Il y a deux niveaux et je laisse pour le moment les élèves gérer le niveau de difficulté et le passage au niveau suivant.

Deuxième niveau : sans tableau, et si on veut on s’appuie sur le tableau de conversions collé dans le cahier de leçons, dans une pochette plastique pour pouvoir écrire dessus au feutre et effacer. Mais ce document n’est qu’un appui, annoncé comme peu souhaitable à long terme, et temporaire. Et les élèves jouent le jeu : ils l’utilisent, puis s’en défont volontairement. Là aussi, il y a deux niveaux possibles et entre 5 et 20 questions par niveau.

A chaque fois, les élèves obtiennent un bilan simple à lire :

Et puis pour ceux qui ont fini, il y a les comparaisons, que j’aime beaucoup : cela permet de mobiliser le principe de comparaison et même temps les conversions.

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Maths la tête dans les étoiles et les pieds sur Terre

Avec ma collègue Audrey Saubadu, nous entretenons le Twitter de M@ths en vie cycle 3. Et Audrey a eu une chouette idée de projet, qu’elle a mis en forme aussi sec : un parcours de problèmes de maths autour du voyage de Thomas Pesquet, sous forme de Genialy. Mais nous manquons de munitions : peu de collègues nous ont envoyé leurs idées.

En auriez-vous, vous qui me lisez ? Si oui, vous pouvez les envoyer à cycle3@mathsenvie.fr, et nous les intègreront au document en cours, pour bien sûr le partager avec les classes. Merciiiiiii !

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Un parcours en autonomie sur les triangles semblables

Louise et Cédric Grolleau proposent un parcours en autonomie sur les triangles semblables. Je l’ai téléchargé, car cela me plaît bien. Je vais le tester bientôt en 4e : j’ai déjà traité le thème et cela réactivera tranquillou. Je pourrais même introduire Thalès avec ça, ou m’en servir quand ce sera le moment pour faire le lien. Et moi, je pourrai faire un pas de côté pour regarder les élèves travailler, réussir et se tromper en interprétant leurs démarches.

Je suis particulièrement fan des figures à main levée, ce qui change tout.

Merci à ces collègues de partager de la sorte !

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Bigarrure : plouf dans les maths en CM2

Hier je vous avait parlé de mes plans pour la deuxième séance de bigarrure dans le triangle. Là, j’en reviens et c’était super ! Les enfants ont hyper bien travaillé, ils ont bien plus participé que la fois précédente, il y avait de l’énergie, ma collègue avait l’air très satisfaite aussi et je me suis vraiment bien amusée. J’ai senti que c’était intense, efficace.

Mon plan (si j’avais le temps, car pas question de brûler des étapes) était le suivant :

  1. Reprise des réponses des élèves, de façon générale, introduction du mot « scalène » vs « quelconque » : FAIT ;
  2. Question du jour : le grand triangle est-il rectangle ? FAIT ;
  3. Reprise tous ensemble : qu’avez-vous répondu ? Pourquoi ? FAIT ;
  4. Vérification de l’égalité de Pythagore, avec présentation historique et calcul posé de décimaux : FAIT ;
  5. Si nous avons le temps, voilà ce à quoi je voudrais arriver : une des deux méthodes vous convainc-elle plus que l’autre ? Pourquoi ? FAIT ;
  6. Digestif : géométrie sphérique. PARTIELLEMENT FAIT.

Bon bin c’est plutôt pas mal, d’autant que nous avons pris notre temps. J’avais une heure et demie, cette fois, ce qui était confortable. Quelques analyses à chaud :

Les questions 1 à 3, plus des questions bonus :

Les élèves étaient beaucoup plus souriants, détendus, participatifs. Ils ont proposé leurs erreurs, posé leurs questions. Les interactions m’ont semblé bien meilleures.

A l’introduction de « scalène », plusieurs élèves ont tout de suite demandé : « mais alors un triangle, il peut être scalène ET rectangle ? ». Nous y avons donc réfléchi ensemble, pour conclure que oui. J’ai ajouté une question à l’écrit : « le triangle est-il scalène ? », question qui n’a posé aucun souci. Du coup, j’en ai profité pour parler instruments de géométrie : la règle non graduée, la règle graduée (et hop un petit coup d’histoire du mètre), l’équerre (sans hypoténuse siouplé), le compas (qui ne sert pas à faire des ronds, non non non).

Côté réponses à la question « le grand triangle est-il rectangle », nous avons presque atteint l’égalité : 13 oui pour 15 non. Pourquoi ? C’est là que cette question est intéressante à poser : que les élèves répondent oui ou non, leur justification est la même :

Alors là, on a pas mal discuté : un élève a proposé de placer l’équerre « par l’intérieur », pour mieux voir, ce qui en a convaincu certains autres. Mais c’était troublant, pour les élèves, cette répartition presque équitable d’avis opposés. J’ai demandé s’ils avaient eu envie de répondre « il est presque rectangle », ou bien « ça dépend comment on le regarde », mais ça a fait flop : non, en maths on ne dit pas ça, faut choisir. Bon, dans ce cas-ci, c’est vrai.

Nous avons réfléchi aux équerres, à leur précision, à la manipulation, et nous sommes arrivés au fait que pour l’équerre, c’est chaud : il faut en même temps veiller au sommet et aux côtés de l’angle droit. Et ne plus bouger pour observer.

Mais alors, comment faire ? La question 4

J’ai annoncé que nous allions avoir recours à une autre façon de s’y prendre : l’utilisation, du théorème de Pythagore. J’ai mis les formes, en expliquant bien (je crois) que les élèves ne sauraient pas tout ce que savent des élèves de collège sur ce théorème, mais que j’allais les guider dans son application. J’ai parlé de monsieur Pythagore, et les élèves ont commencé par mesurer bieeeeen précisément les longueurs des côté du grand triangle de Bigarrure. Puis je leur ai demandé de poser la multiplication de chaque longueur de côté par lui-même, d’entourer le résultat le plus grand, d’additionner les deux autres, de comparer. Une fois présenté le principe de l’égalité, tous les élèves étaient d’accord : le triangle n’est pas rectangle. Non seulement les résultats obtenus étaient différents, mais ils les ont trouvés « trop différents » pour supporter une erreur de précision.

Z’en pensez quoi : Pythagore vs équerre ?

Sans surprise, Pythagore l’emporte à 26 voix contre 2. Le combat était inégal : les enfants étaient si contents et fiers d’avoir « appris » l’égalité de Pythagore… Et puis beaucoup d’entre eux aiment calculer. Il y a de belles pépites parmi les réponses : on sent bien que calculer rassure, « fait classe », mais il y a aussi un rapport à la vérité ressenti comme différent. C’est exactement à cela que je voulais arriver : parler vérité, argument, démonstration. Cerise ur le gâteau : un élève a eu le recul d’écrire que oui mais bon quand même, on mesure. Quelques autres objections tout à fait sensées sont citées : c’est plus long, avec de grands nombres ou des décimaux à beaucoup de chiffres on peut galérer, etc. Vraiment extra, ces réponses !

Cette dernière réponse, parfaitement rafraichissante, est aussi intéressante : en quoi, finalement, avons-nous fait plus de mathématiques en mesurant et en calculant, qu’en plaçant l’équerre ? Parce qu’au final, le moment où nous avons fait le plus de maths est sans doute le moment où les élèves se sont interrogés sur ce qu’ils préfèrent et pourquoi, ou sur ce qui leur paraît le plus pertinent.

Géométrie sphérique

Nous avons juste eu le temps, pour la géométrie sphérique promise la dernière fois, d’examiner ma boule en polystyrène et d’en extraire un triangle sphérique. Mais ça valait le coup : quels beaux regards j’ai eu face à moi !

Conclusion

Ce qui était vraiment chouette, c’est qu’à chaque étape, un ou plusieurs élèves ont posé une question qui m’emmenait naturellement sur l’étape prévue suivante ! Cela m’a donné l’impression d’une bonne construction de séance, car les enchaînements étaient ainsi fluides et pas du tout artificiels.

Je revois la classe dans deux semaines, et ensuite encore deux semaines après. Dans deux semaines, j’ai prévu de repartir sur la géométrie sphérique car là, ils sont en appétit, de faire la synthèse de leurs réponses à la méthode qu’ils trouvent la plus pertinente et de développer un peu (car elle est appuyée aussi sur la manipulation et l’observation : on mesure les côtés, ce qu’un élève a relevé), et de nous lancer dans nos propres bigarrures.

Cette fois, c’est sûr : je range Bigarrure dans les pépites. A mon avis, c’est une activité aussi pertinente en classe qu’en formation, en constellation par exemple.

Encore merci à David Sire, sans qui rien de tout ceci n’aurait pris forme, et à Aline qui m’a accueillie dans sa classe.

Prochaine étape (à part finir la séquence en CM2) : transformation de la séquence pour des cycles 2. Sans Pythagore, donc avec d’autres outils ! (j’ai déjà mon iodée, elle m’est venue en classe tout à l’heure 🙂 )

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Bigarrure : et lundi, on fait quoi ?

J’ai fait le point ici de la première séance en CM2 avec Bigarrure dans le triangle de Kandinsky. Il est grand temps de préciser mon plan pour demain.

L’histoire de cette activité est ici, , et encore . J’ai commencé par la relire pour me remettre en tête mon objectif : sur une activité qui me plaît comme celle-ci, et nouvelle en prime, je dois veiller à rester focalisée vers mon objectif. Peut-être changerai-je d’objectif plus tard, ou déclarerai-je cette activité mal fichue (ce n’est pas parti pour), mais en attendant pour tester il faut rester concentré.

Mon objectif est de faire réfléchir les élèves à la vérité en maths, à la certitude, à l’observation et la manipulation par rapport à la démonstration.

Alors voilà ce que je prévois :

  1. Reprise des réponses des élèves, de façon générale : mentionner les couleurs, les visions point, ligne, surface, les réponses poétiques, le lexique impropre aux mathématiques, revenir sur scalène par rapport à quelconque (pour les triangles) et prévenir que oui, nous parlerons géométrie sphérique en fin de séance ;
  2. Question du jour : le grand triangle est-il rectangle ? Chacun m’écrit sa réponse et une justification. Je pense que les équerres vont chauffer ; je ne sais pas de quel côté les élèves vont pencher. Je dirais bien « non rectangle » parce qu’ils ont l’air de vouloir s’appliquer comme des chefs, mais je ne sais pas ;
  3. Reprise tous ensemble : qu’avez-vous répondu ? Pourquoi ? En quoi, pourquoi, comment y a-t-il débat ? Et là, on cause : est-ce que l’utilisation de l’équerre suffit ?
  4. Ensuite, je crois que je vais aller plus loin : j’aimerais expliquer aux enfants le débat que nous avons eu, nous ici sur ce blog, quant à la preuve de la rectangularité ou non du grand triangle. Certains d’entre nous ont testé l’égalité de Pythagore. Je crois bien que je vais expliquer aux élèves quelle égalité tester, en leur présentant comme un outil qu’ils étudieront et démontreront au collège. Cela va me permettre de les faire mobiliser la numération et le calcul, pour effectuer longueur x longueur pour chaque côté ;
  5. Si nous avons le temps, voilà ce à quoi je voudrais arriver : une des deux méthodes vous convainc-elle plus que l’autre ? Pourquoi ?
  6. Digestif : géométrie sphérique.

Bon, là déjà ça fait un gros programme. En principe ils devraient partir déjeuner en n’ayant qu’une envie : aller au collège pour apprendre encore plus de trucs ouf. Je dois être très très vigilante à mon langage et à transmettre l’énergie de mon amour des maths, car c’est décisif : la séance peut être inaccessible, indigeste ou passionnante selon la façon dont je la mets en mots et donc je la joue.

Pour la suite, je pense à une synthèse, une narration de ce qu’ils ont appris de leur point de vue, et la réalisation de leur bigarrure sous contraintes : je pensais faire tirer à chaque élèves un petit papier avec une forme pour la « grande figure » et trois papiers pour les formes intérieures, et zou en route.

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Séquence bigarrure en CM2

Voici un premier point d’étape sur ma séquence Bigarrure dans le triangle, que j’ai commencé d’animer en CM2 avec une séance de 45 minutes. Demain je retourne en classe pour continuer, et j’aurai sans doute plus d’une heure. Pour le moment, je tâtonne tout à fait ; il faut que je fasse le bilan de la première séance pour organiser la suivante.

Première séance (vendredi dernier)

Je me suis présentée aux enfants, car c’était la première fois que je rencontrais cette classe. J’en ai reconnu plusieurs, bien que je ne les aie jamais vus : je suis là dans ma circo et il y a de solides airs de famille, même masqués.

Etape 1 : réactivation du vocabulaire

D’abord, j’ai annoncé que nous allions travailler en géométrie. J’ai affiché au tableau mes grandes formes de référence (plastifiées et magnétisées), et j’ai demandé ce que les élèves reconnaissaient. Ils ont, curieusement, commencé par me citer le trapèze. En revanche, pour expliquer pourquoi il s’agissait d’un trapèze, il a fallu de l’aide : ça se voir, mais ça ne se dit pas facilement ; intéressant !

Les mots qui ont émergé ont été :

  • polygone, quadrilatère, pentagone, hexagone, octogone ;
  • carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze ;
  • triangle, avec son lot de qualificatifs : équilatéral, isocèle, rectangle, rectangle isocèle ;
  • sommet, côté, diagonale.

Nous avons bien tout défini et j’ai insisté sur l’imbrication des quadrilatères particuliers : un carré est un rectangle et un losange, qui sont des parallélogrammes et des trapèzes, qui sont des quadrilatères qui sont des polygones. Rectangles et carrés ne sont pas étrangers l’un à l’autre, par exemple.

Enfin, j’ai amené un peu de vocabulaire supplémentaire, comme cerf-volant ou scalène.

Une autre fois, je ne réactiverai pas ce vocabulaire pour voir ce que donne l’étape suivante sans ce coup de pouce a priori.

Etape 2 : premier regard

J’ai projeté l’oeuvre de Kandinsky, que j’ai présenté. Nous avons réfléchi au mot « bigarrure ». Et j’ai demandé aux élèves d’écrire sur leur feuille ce qu’ils avaient vu au premier regard, ce qui les avait frappés :

Ensuite, je leur ai distribué leur reproduction plastifiée et je leur ai demandé de l’analyser géométriquement. Que pouvaient-ils discerner et exprimer ? Entre cette étape et la précédente, je n’ai rien ajouté.

Quel première analyse puis-je faire ? Sans élément de comparaison, ce n’est pas évident, mais tout de même il y a des remarques à faire :

  • Les couleurs sont citées par plus d’un quart de la classe au premier regard, la moitié avec plus de recul ; je m’attendais à beaucoup plus ;
  • La forme triangulaire l’emporte très clairement sur le reste, avec deux fois plus d’élèves qui regardent le grand rectangle que d’élèves qui regardent la multitude de rectangles ;
  • Les polygones autres que les triangles sont pratiquement absents au premier regard, mais déboulent en force avec l’analyse ;
  • Les éléments hors grand triangle ne sont repérés qu’au deuxième temps ;
  • Le mot « disque » est absent du lexique convoqué ;
  • En deuxième étude, les élèves entrent plus dans la géométrie, alors qu’ils étaient davantage dans le ressenti de prime abord, comme le demandait ma consigne. Ils ont donc fourni un effort particulier pour aller chercher dans leurs connaissances et vérifier si cela s’applique à Bigarrure ;
  • Ma dernière remarque pour cette fois porte sur la répartition des visions point, ligne et surface : les élèves citent bien plus facilement des surfaces que des lignes, et plus facilement des lignes que des points. Cela tient sans doute à une façon de voir (puisque quand on leur demande ce qu’ils voient en premier c’est une surface à plus de 90%), mais aussi au répertoire qu’ils ont à leur disposition : ils connaissent bien plus de variété de mots pour désigner une surface qu’un point.

Etape 3 : reprise en collectif

Une fois ceci fait, nous avons repris en grand groupe pour faire le point ensemble. Beaucoup d’élèves ont découvert la signature, plusieurs ont réalisé qu’ils n’avaient pas vu ce qui est à l’extérieur du triangle. Nous avons pas mal discuté, et cela m’a emmenée vers de la géométrie sphérique, dont j’ai juste évoqué l’existence.

Question suivante, dans un article prochain : et demain, je fais quoi ?

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Kroa en origami

Vincent a laissé un commentaire sur l’article de Kroa, pour me faire découvrir comment élaborer un Kroa en origami… Ouhlala j’ai. très envie d’essayer maintenant ! Heureusement j’ai laissé mes feuilles à origami dans ma classe. Cela attendra donc la semaine prochaine !

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Une erreur signifiante

Des erreurs, nous en faisons tous et c’est très bien : les erreurs sont un carburant très efficace pour apprendre et pour enseigner. Evidemment, il est des erreurs plus regrettables que d’autres. Mais là tout va bien : on est en maths, et personne n’a de raison de souffrir d’une erreur.

Alors voici la narration d’une erreur en 5e. Elle porte sur l’aire des triangles, mais ce n’est pas ça l’important. L’important c’est de pouvoir analyser comme cette erreur est le résultat d’une démarche sensée de la part d’un élève volontaire et intelligent, qui veut répondre au mieux à une question. Il lui semble qu’il lui manque une information, alors il compose. Il introduit dans sa démarche du perceptif pour ensuite l’appliquer de façon procédurale, comme appris en classe. Cela ne le choque pas, car l’exercice scolaire dans son ensemble comporte pour beaucoup d’élèves une part de conventions et d’arbitraire, voire de franchement obscur, qui lui a appris à recourir au système D pour aboutir. Et il trouve un moyen acceptable pour lui de surmonter son obstacle.

C’est une jolie erreur car elle est riche d’enseignements pour tous, et ces enseignements sont très profonds. Côté prof, ils font vraiment réfléchir à la nature de l’exercice mathématique et à la perception que peuvent en avoir nos élèves. Finalement c’est comme en art : il y a ce qu’on pense donner à voir, et il y a ce qui est vu.

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Bigarrures : c’est parti

Ce matin, en CM2, j’ai proposé la première partie de l’activité Bigarrure dans le triangle dont un collègue m’a donné l’idée. Je n’ai pu consacrer que 45 minutes à la classe car je devais vite rentrer pour mes cours en visio, mais c’est un bon début. J’ai hâte d’étudier les traces écrites que j’ai ramassées, mais là encore j’ai cours en visio pour le collège ! Il me faut donc être patiente.

Pour le moment, nous avons réactivé le vocabulaire courant de la géométrie (points-lignes-surface) et analysé l’oeuvre. Lundi on cause sérieusement triangles, et je vais parler un peu géométrie sphérique car les enfants m’y ont amenée naturellement.

Merci à ma collègue qui m’accueille si gentiment !