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Dix millions mille dix

Lorsque Stella Baruk est venue pour sa conférence en Normandie (je l’ai relatée ici, ici et ), elle nous demandé d’écrire en chiffres le nombre « dix millions mille cent ». En cherchant une question d’écriture en chiffres à partir du nombre énoncé verbalement, j’ai repensé à sa proposition, mais je ne m’en suis pas souvenue correctement. Je ne me suis souvenue que de la présence de millions et qu’on n’entendait ni « un », ni « zéro », alors qu’on n’écrit que ça. Ma question à nos élèves a donc été celle-ci :

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Cette question s’inscrit dans une première proposition d’évaluation diagnostique, en sixième, dans le but de déployer un dispositif de remédiation le plus précoce possible, dans des collèges de Fécamp. Pour tester ce test je l’ai fait passer à mes élèves avant les vacances. Et hier, je l’ai corrigé. Rapidement, la question ci-dessus a attiré mon attention. Et pour cause : 27 propositions différentes si on ne considère que la succession de chiffres, et 38 si on tient compte de la façon de place les espaces. 25 réponses justes parmi 65 recueillies.

Je ne crois pas que ce soit anodin. Je ne m’attendais d’ailleurs pas à autant de richesse dans les réponses, dans les erreurs : les élèves de cycle 3 ont des difficultés à concevoir et écrire les grands nombres, d’accord. Ils ont du mal à se concentrer sur cette suite de chiffres à écrire pour passer du verbal à l’écriture chiffrée, surtout. Et cela parce qu’ils conçoivent mal le nombre. Regardez un peu :

Or, mes élèves sont de jeunes gens futés, qui savent déjà des tas de choses, et de bonne composition. Là, en plus, je leur ai expliqué qu’ils m’aidaient à aider des élèves d’ailleurs, qu’ils étaient mes petits cobayes, et ils se sont livrés à cet exercice de 13 questions très sérieusement.

Ils se trompent pour une très bonne raison, une raison robuste : ils n’ont pas fini d’acquérir des  concepts, qui leur permettent de passer mentalement d’une représentation du nombre à une autre. Ils se trompent parce que le concept lui-même de nombre, au coeur de tout ceci, est complexe. Leurs enseignants, moi  y compris, ont fait de leur mieux. Pourtant, tous ensemble, nous n’y sommes pas encore parvenus. C’est sans doute en se mettant le nez dessus, tout près, comme sur ces extraits de copies, et en abordant la question encore, encore et encore avec les enfants que nous réussirons. Et ce n’est ni annexe, ni anodin : comment certains des élèves qui ont produit les réponses que j’ai présentées en photo peuvent-ils se représenter leur environnement, lorsque celui-ci est autant quantifié, mesuré, décrit en chiffres ?

Chacune de ces réponses à précieuse. Par exemple, celle-ci est d’une grande logique : « dix millions mille dix, j’entends trois fois « dix », avec les « classes de l’école » : millions, milliers, et j’entends rien donc c’est la classe des unités. J’écris mes trois « 10 » :

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Et celle-ci, illisible tellement cet élève s’est trituré les neurones. Regardez sa production, et imaginez ce qu’il a dû vivre et ressentir, pendant un court instant :

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Je trouve que devant cette réduction, on ressent l’exclusion que peut représenter la non compréhension de la numération.

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En chiffres, les cocos !

J’ai fait passer à mes élèves un test, une mini course aux nombres élaborée avec des collègues de Fécamp, avec lesquels nous mettons au point un dispositif de remédiation dès l’entrée en sixième, dans le domaine « nombres et calculs ».

Demain, je vous parlerai d’une des questions, qui a appelé un nombre de réponses différentes assez impressionnant. Mais avant d’éteindre mon ordi, un clin d’oeil à trois zozos : malgré la question posée invariablement dans chaque de mes trois classes :

Madaaaame, quand vous dites d’écrire en chiffres, vous voulez dire qu’on écrit avec des lettres ?

à laquelle j’ai répondu… non (surprenant non ?), ils ont réussi à répondre ça :

C’est d’autant plus agaçant, tout de même, que les deux productions du bas montrent une interprétation correcte de « 13 dizaines », sans pouvoir être valorisées en principe. Et, comme me l’a fait remarquer ma fille, celui du haut réussit à recopier la consigne, mais avec deux fautes d’orthographe en plus.

Groupmf.

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Il est temps d’apprendre ses leçons

Mes chers élèves,

Je vous écris ce petit article, rien que pour vous, pour vous rappeler que mercredi 3 mars (soit dans une semaine et un jour), nous serez interrogés sur cinq questions de leçon : des questions sur les pages du cahier concernant l’arithmétique (les critères de divisibilité et les nombres premiers) et des questions sur les polygones particuliers (carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, etc.).

Je vous rappelle également que si vous ne savez pas votre leçon, vous allez passer du temps avec moi, le lundi et le vendredi, de 16h à 17h, jusqu’à ce que vous connaissez les notions sans lesquelles vous allez être en difficulté. Vous pouvez appeler ça une punition si vous voulez, ou des heures de retenue, mais c’est bien plus constructif que ça en fait. Je vais vous réapprendre à apprendre, s’il le faut.

Ainsi, soyez raisonnables, éteignez cette console, posez ce ballon, garez ce vélo et lâchez ce téléphone, au moins dix minutes chaque jour d’ici à lundi, pour apprendre.

C’est beau, vous savez, d’apprendre. Parce qu’après, on sait. Et savoir, c’est vraiment chouette. Ca rend plus grand, plus libre. Et ça permet de rentrer plus tôt chez soi le lundi et le vendredi.

Unknown

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Bilan : ma programmation en sixième

Bon. Nous n’avons pas chômé, avec mes loulous de sixième, mais j’ai l’impression d’avoir encore des tonnes de choses à faire. Et l’année est bien avancée. En plus nous avons des projets qu’il faut travailler aussi. Alors là, il faut que je fasse le point. Ca me chatouille trop le cerveau.

Les attendus de fin de cycle, d’abord.

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C’est un peu ingrat, comme bilan, car certains concepts tiennent en une ligne et ont demandé des heures de travail : tout le travail autour de la proportionnalité, autour de la fraction.

Mais bon, ce qui me reste n’est pas si volumineux, parce qu’à part le cercle et le disque, nous avons déjà tout réactivé :

  • les décimaux, qui sont largement entamés en fait. Dans ma programmation, les pourcentages vont avec ;
  • Aires, puis volumes, qui arrivent juste après et ont été préparés ;
  • Le cas du cercle et du disque, un peu à part ;
  • La symétrie axiale, avec surtout la médiatrice ;
  • Une activité sur les échelles, avec une belle photo aérienne de Dieppe.

Si je quantifie ce dont j’ai idéalement encore besoin, il me faut :

  • 14 heures pour décimaux-pourcentages-échelles ;
  • 9 heures pour les aires et les volumes ;
  • 4 heures pour cercle et disque ;
  • 6 heures pour la symétrie axiale .

Autrement dit, il me fait 31 heures d’enseignements, plus 6 heures de rallyes, 6 heures de projet.

Ca fait 43 heures.

Bien. Maintenant je compte ce qui me reste avec mes classes. J’ouvre Pronote. Je compte. Semaine après semaine. Je passe les jours fériés, les jours où je serai convoquée pour des formations académiques, nationales, pour être jury de CAPES, et deux sorties.

Et là, voilà :

  • 43 heures en sixième 1 ;
  • 44 heures en sixième 2 ;
  • 42 heures en sixième 4.

Wouhou. Pile. Mais comme j’ai prévu large dans mes besoins, je pense que ça le fait.

Et ça c’est avec 6 heures de projet, ce qui est plutôt pas mal.

Bon, il ne fait rien relâcher, mais on tient le bon bout. Je peux rester sereine.

Biiiiiiiieeeen. Je vais faire des frites, tiens.

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Mes pochettes de Lego pour les fractions

J’avais reparlé ici de mon activité Lego et fractions, qui fonctionne décidément vraiment très bien en sixième. Un collègue m’a demandé ce que je mettais dans les pochettes de Lego à distribuer aux binômes. Alors voilà :

Il y a dans la pochette les pièces de la première partie de l’activité, en un exemplaire. Ensuite, j’ai mis au moins une pièce de chaque nécessaire à la deuxième partie, et complété avec du bazar. Les élèves sont donc obligés de collaborer entre binômes pour accomplir la tâche, ce qui me plaît : le collaboratif est indispensable pour réussi.

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Quand arithmétique, proportionnalité, numération et calcul convergent et que les élèves s’en rendent compte

Mes copies sont corrigées, mes cours prêts, le dernier entraînement de la course aux nombres de la période est imprimé, je n’ai plus de mails en souffrance, j’ai préparé les cinq formations de la semaine ; je peux donc vous raconter les fractions et les Legos, cette année en sixième.

En 2018, j’avais publié cet article, et en 2019 celui-ci, avec tous les documents. Cette année, j’ai aménagé l’activité et les élèves mont aussi emmenée un peu ailleurs.

Le but de cette activité est de permettre aux élèves de changer leur façon d’envisager les fractions (j’en parle ici, d’ailleurs), pour passer de la représentation mentale en « parts » à celle de nombre. Mon objectifs procédural est que les élèves soient capables d’écrire (en comprenant pourquoi) des égalités du type :

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Première partie

Pour cela, je commence par travailler les représentations du nombre que connaissent les élèves. C’est la première partie de l’activité. Soit je manipule en projetant avec ma caméra de bureau, soit les élèves manipulent. J’ai fait l’un et l’autre cette année, selon les classes.

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Lors de cette étape, je veux absolument amener les élèves à écrire en fractions décimales, et plus spécifiquement en centièmes, pour passer aux pourcentages. C’est l’occasion pour eux d’une découverte : un nombre exprimé en pourcentage, c’est un nombre de centièmes (remarquez la grande complexité de cette phrase, malgré son apparente simplicité, avec le mot « nombre » utilisé dans deux sens différents).

Ensuite, toujours dans la première partie de l’activité, nous trouvons des avantages et des inconvénients à chaque écriture. J’écris ce que me disent les élèves. Cette année, par exemple :

  • les écritures décimales c’est pratique pour calculer mais pour comparer c’est compliqué ;
  • les fractions c’est difficile à comprendre mais c’est utile pour les tiers et tout ce qui ne tombe pas juste ;
  • les écritures en toutes lettres : on comprend tout mais on ne peut pas poser les opérations ;
  • les pourcentages : c’est facile de se représenter pour comparer mais on n’a pas compris comment faire des calculs avec pour trouver des prix.

Avec ces propositions, j’ai un fil rouge : je vais y faire référence au fil de la séquence et y revenir en institutionnalisant à la fin.

Deuxième partie

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Dans cette deuxième partie, nous abordons le vif du sujet.

D’abord, nous explicitons longuement l’idée d’unité, et, en visualisant des regroupements de picots, nous écrivons par exemple :

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Ce n’est pas du tout évident, pour les élèves. Pour eux, 1 est égal à 6/1, ou à 6/0 (brrrrr), ou à 1/6, mais il faut faire le lien avec les briques : on numérote les picots et on a 6/6, en verbalisant 6 picots parmi 6, puis on fait des paquets de deux picots et on comprend que ça donne 3/3, etc. Mine de rien, cette petite étape est longue et doit être soignée, car des représentations nouvelles s’installent ainsi.

Puis nous manipulons : comment relier les deux briques, autrement que par « la plus petite, elle est plus petite » ? Les élèves mettent « bout à bout » plusieurs petites briques et dépassent l’unité. Que faire ? « Il faut une autre unité » émerge naturellement. Et on continue. A un moment donné, paf, ça « tombe pile ».

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C’est là que cette année, les élèveront un peu varié par rapport à l’habitude, et je crois bien que c’est grâce aux rituels d’entrée de classe. Ils m’ont dit « ah oui, c’est normal, parce que trois fois huit picots et huit fois trois picots, c’est pareil ». Bien (cela m’adonné l’occasion de reparler de la commutativité et de sa « normalité » ou non). Et sur l’exemple 1 de la deuxième partie, j’ai eu : « on peut mettre 6 briques bleues et quatre briques orange, parce que les deux ça fait 24 » et « on peut aussi mettre 3 briques bleues et 2 briques orange, parce que c’est des histoires de multiples », et des élèves ont ajouté « oui, c’est proportionnel, en fait ». Cela nous a amenés à répondre à une question que je n’avais pas posé : une élève d’est exclamé « Mais du coup qui qu’il arrive on pourra faire pile. Ca veut dire qu’on peut toujours faire ça. Au pire, ce sera long, mais comme on cherche un multiple aux deux nombres, on va forcément trouver ».

Tout ceci m’a valu, dans deux classes sur trois, une prise conscience collective : « mais en fait madame, c’est pour ça qu’on a travaillé les multiples et les diviseurs, et la proportionnalité… On a besoin de tout pour comprendre ! » ; avec la question en effet secondaire : « vous l’avez fait exprès ? »

Ca, c’était une nouveauté et ces remarques-là ont illuminé ma semaine. (si, si. Je suis sans doute bon public, mais comme mon métier est de faire comprendre, quand ça marche sur des choses délicates, je me réjouis)

Nous avons institutionnalisé, ensuite. Je prendrai les cahiers en photo demain pour vous montrer.

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Cette année, les élèves ont ajouté la référence au nombre de picots : 3 x 4 picots = 2 x 6 picots.

Puis c’est le temps des exercices. Il me reste à les traiter avec une de mes trois classes : je vais enregistrer pour vous le montrer également.

Et il nous reste la troisième partie à traiter, mais en général c’est du gâteau. Nous n’y sommeras encore, car le course aux nombres m’a amenée sur du repérage et ça, ce n’est pas du gâteau du tout.

Ce que j’aime, dans cette séquence que j’ai mis six ans à stabiliser, c’est que les élèves comprennent et que cela se voit. Elle illustre bien le triptyque manipuler-verbaliser-abstraire, sans faire passer l’abstraire à la trappe : c’est bien son objectif.

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Carré et rectangle

Vu dans sept copies sur 70 :

Complète la phrase suivante, avec les mots « carré » et « rectangle », puis explique ton choix :

Un ……….. est toujours un …………

Un rectangle est toujours un carré, car il suffit de le couper en deux pour faire un carré parce que un rectangle, c’est deux carrés côte à côte.

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Trois extraits de copies pour réfléchir en classe… 

Alors lundi, question à résoudre pour vendredi :

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Là encore, c’est intéressant : certains élèves sont restés à un stade de représentation mentale de manipulation. Ils imaginent deux carrés, ils les « collent » par un côté, ça donne un rectangle. Tous ceux qui ont usé de cet argument ont représenté par un dessin. Aucun n’a asséné l’argument comme un théorème personnel, modélisé.