Voici ce que j’ai ramené de Belgique :
J’ai été plutôt raisonnable cette fois… L’origami c’est pour être au point pour Jonzac, où j’ai choisi deux ateliers sur le sujet, le rubik’s cube c’est pour en savoir plus et pouvoir être robuste au club Interrubik, et le reste c’est pour mes bibliothèques de classe, une fois que je les aurai lus.
Nous voici à la fin de notre participation aux journées mathématiques de la Belgique francophone. Nous aurons appris, rencontré, réfléchi, découvert… Mais avant de reprendre le chemin de notre (plus très) verte Normandie, dernière intervention : « Quelques paradoxes de l’aléatoire », par Davy Paindaveine.
Abraham Wald est un mathématicien d’origine hongroise qui a commencé en géométrie et est devenu statisticien à Columbia. Pendant la Seconde guerre mondiale, il a rejoint un groupe de statistiques consulté par l’armée américaine, qui voulait savoir où il fallait renforcer le fuselage des avions qui revenaient. La légende dit que Wald aurait préconisé de renforcer les avions là où ceux qui revenaient n’avaient pas d’impacts : ceux qui n’étaient pas revenus pouvaient avoir justement été touchés ailleurs.
C’est ce qu’on appelle un biais de sélection présent par construction. Mais il y a des biais de sélection inconscients, aussi, comme dans le livre Good to great, qui enseigne comment réussir une start-up. Pour cela l’auteur examine 11 entreprises qui ont superperformé. C’est un biais de sélection que de se restreindre aux vainqueurs : les caractéristiques de ces entreprises étaient peut-être aussi présentes chez les autres entreprises. Et puis il y a des biais de sélection moins inconscients : Didier Raoult n’a pas toujours eu recours à un groupe de contrôle pour valider un traitement, et a même choisi de façon spécifique la composition du groupe test.
Davy Paindaveine est revenu, après cette introduction, aux événements aléatoires et aux probabilités, jusqu’à la loi des grands nombres. Il nous a rappelé que Leibniz avait écrit que la probabilité d’obtenir 11 et celle d’obtenir 12 par addition de deux lancers de dés équilibrés est la même, alors que celle d’obtenir 11 est 2/36 et celle d’obtenir 12 est 1/36, la moitié donc.
Premier paradoxe (l’échauffement)
Le résultat est assez surprenant, quand même.
Deuxième paradoxe (le troublant)
En fait, si j’ai un petit calcul je veux A, si j’ai un gros calcul je veux A, et si je ne sais pas je veux B.
Cet inversement s’explique par le fait que A a été testé plus souvent pour les gros calculs, qui sont plus difficiles à soigner. Mais A est plus efficace en réalité.
Un exemple pratique, sur le covid, avec des données réelles :
C’est vraiment un bon exemple à travailler en classe.
On voit bien que chez les plus de 50 ans la majorité des gens étudiés sont vaccinés, et chez les moins de 50 ans c’est une minorité.
Un autre exemple que nous a montré Davy Paindaveine concerne le taux de mortalité en Chine et en Italie, dans une même période, en 2020. Quelle que soit la tranche d’âge, le virus est moins mortel en Italie qu’en Chine. Et pourtant, si on regarde le total, la situation s’inverse : en Italie les cas confirmés concernaient la population très âgée, avec un risque de décès plus élevé.
Troisième paradoxe (le passage obligé)
C’est le paradoxe de Monty Hall, inspiré d’un vrai jeu télévisé. Trois portes cachent deux lots dont on ne veut pas, et un lot qu’on souhaite gagner. On doit choisir une porte. Si c’est la porte gagnante, on part avec, disons, une montagne de chocolat. Si c’est une porte perdante, on repart avec un truc berk. Mais le présentateur indique une autre porte, perdante, avant d’ouvrir la porte choisie par le candidat. La question est : a-t-on intérêt à changer de porte ?
Or si on ne change pas de porte, on gagne si et seulement si on avait choisi la bonne porte, soit avec une chance sur trois.
Si on change de porte, on gagne si et seulement si on avait choisi une mauvaise porte, soit avec deux chances sur trois.
C’est donc avantageux de changer de porte.
Une femme, Marilyn vos Savant, qui explique ceci dans un journal, se prend un flot de commentaires agressifs et honteux :
Paul Erdös lui-même ne pouvait pas croire que changer de porte pût changer quelque chose. Il ne pouvait pas le croire, même démonstration à l’appui. Ce qui finalement le convaincra et éteindra l’incendie aux Etats-Unis face à Marilyn vos Savant, c’est l’invitation à un millier d’écoles de mettre en oeuvre l’expérience. Et là, le débat est clos, pas par la démonstration mais par l’expérience. Non mais quelle horreur je vous jure.
Quatrième paradoxe (un dernier pour la route)
Cela fait référence à deux problèmes de mathematical games, par Martin Gartner.
Les hypothèses sont tacites : tout enfant est soit une fille, soit un garçon, la probabilité d’être garçon ou fille est 1/2 et les sexes des enfants sont indépendants. Aucune de ces hypothèses n’est vraie, d’ailleurs, mais bon, modélisons.
On peut transformer la situation :
Et là :
C’est rigolo, parce que les aires des F et G « horizontaux » ne sont pas égales, mais leurs probas si. Les probas ne sont plus appuyées sur les aires. Et on obtient une proba différente du cas précédent, alors que dans le cas précédent la fille avait aussi un prénom ; peut-être Valérie d’ailleurs.
Allez, concluons (attention, c’est super extra et ça dérange) : le poids du carré rose est le même que le poids des deux carrés verts réunis.
Michel Roelens, qui nous avait enchantées avec la topologie l’année dernière et aussi avec un magnifique tee-shirt, nous a présenté l’atelier « quelques belles courbes paramétrées ».
Après quelques rappels généraux sur les courbes paramétrées, nous sommes arrivés à des figures de Lissajous. Lissajous est un physicien du 19e siècle, qui a combiné deux vibrations harmoniques, avec des diapasons et des miroirs.
Et ensuite, nous sommes passés à l’action :
Ensuite, nous avons travaillé sur les oeufs. Pour rester dans le ton des blagues de Michel Roelens, c’était dur !
Nous nous sommes ensuite penchés sur la cissoïde de Dioclès. La duplication du cube est impossible à la règle et au compas, comme on l’a démontré au 19e siècle, mais on peut avec la cissoïde. Et notre itinéraire s’est achevé avec la Vache sui rit qui roule sans déraper, ou encore la cycloïde.
Pfou, c’était dense et cet atelier arrive au bout de trois jours de maths. Mais notre intervenant, Michel Roelens, est vraiment top. L’avoir en cours doit être une véritable chance.
« Secondaire inférieur », ça a un côté Mézozoïque, je trouve. Le secondaire inférieur correspond en gros à notre collège. Ibrahim Kallouch et Jamal Jalil Mezraui, en collaboration avec Habib Ben Aicha, nous ont présenté une intervention : « S’exprimer, argumenter et convaincre en mathématiques à tout âge ».
Nos trois collègues voient dans le débat la possibilité de sortir de l’automatisation systématique et de vivre le cours de maths autrement que comme le lieu où on applique des règles et c’est tout. Ils souhaitent que les élèves construisent ainsi leurs apprentissages.
Premier débat :
Une collègue a proposé d’élever le plus petit nombre à la puissance le plus grand, mais on n’a en fait le droit qu’aux quatre opérations +, -, x et :. Tout dépend des nombres : si on a un 0 et un positif c’est l’addition, un 0 et un négatif c’est la soustraction, si on a un nombre compris entre 0 et 1 et un supérieur à 1 c’est la division, etc. Nous nous sommes mis d’accord sur le fait que le résultat le plus grand est positif. Et nous nous sommes posé une autre question : quelle est la limite au-delà de laquelle une autre opération prime sur la division ? Avec 0,5 et 0,5 l’addition et la division donnent le même résultat. Mais avec 0,9 et 0,9 c’est l’addition car 0,9:0,9=1, 0,9×0,9=0,81 mais 0,9+0,9=1,8.
C’était rigolo, de débattre entre nous, car nous n’étions pas d’accord au départ. Par exemple, pour certains collègues l’idée que le résultat maximal soit forcément positif bloquait. Et en fait pour une question qui semble simple, on a une réponse complexe. C’est bien pour cette raison que c’est une bonne question, à faire vivre différemment selon les niveaux de classe :
Deuxième débat :
Le truc ici, c’est que B n’est pas sur le segment d’extrémités E et F.
Troisième débat
Pour nos collègues belges, le débat sert le décret mission, un décret institutionnel :
Nous avons débattu du débat de façon très intéressante, sans être forcément d’accord. En particulier à quoi sert le débat en maths : à entendre la voix de toutes et tous, ou à développer des compétences de communication y compris sans verbaliser ? A mon avis, en écoutant des camarades débattre, on accroît de toute façon ses compétences de communication, sans que cela passe obligatoirement par la verbalisation. Une autre question du coup, c’est : qu’est-ce que communiquer ? Ça résonne dur avec le grand oral, où on peut présenter du contenu solide sans parler et se ramasser un 5, alors qu’en présentant quelque chose de moins robuste mais avec des capacités verbales qui renvoient de l’aisance, on obtient une bonne note. Le débat en maths doit à mon avis rester contré sur les maths, et non avoir pour seul objectif le développement de la prosodie, même si c’est un objectif important de façon périphérique. Débattre doit mener à argumenter, si possible verbalement, ou à l’écrit ou mentalement sinon, et pas juste à faire entendre sa voix pour la forme.
Un débat, ça doit être du contenu, pas juste de la forme.
Nous avons quitté notre magnifique gîte pour venir profiter des ateliers et conférences du dernier jour des journées mathématiques belges francophones. Dores et déjà, ce séjour aura eu une conséquence concrète sur mon quotidien : mon sac à main est plein de gaufres.
Fin de journée en Belgique : nous sommes allées voir l’atelier Polyminos de Christine Oudin. J’ai fait une ovation à notre digne représentante du groupe jeux de l’APMEP, bien sûr.
Première question : combien y a-t-il de pentaminos ? Nous en avons trouvé 12, tous ensemble. Pourquoi ? Avec deux carrés, il n’y a que le domino. Avec trois carrés, on a deux possibilités : les trois carrés côte à côté ou un angle droit. Et avec quatre carrés ? On repart des triominos :
En raisonnant de la même façon avec les pentaminos, on retrouve bien les 12 possibilités.
Il y a 35 hexaminos, 108 heptaminos, 369 octominos…
Avec l’ensemble des pièces du pentamino, il y a des possibilités d’assemblage en forme de rectangles : des façons de constituer des rectangles de 3×20, de 4×15, de 5×12 ou de 6×10. Nous avons essayé d’obtenir des solutions, puis d’obtenir des solutions à partir de tableaux qui indiquent le nombre de côtés adjacents entre les différentes pièces.
Tout ceci se retrouve dans Jeux 7, de l’excellente association nommée APMEP.
Il existe des variations pour le cycle 1, d’autres pour le cycle 2. Un jeu s’intitule le Katamino, aussi. Le site Pentoma propose un logiciel qui permet de faire toutes les constructions qu’on veut. D’ailleurs il en existe une version en allemand, ce qui pourrait me permettre de belles séances en atelier Mathe auf Deutsch.
Dans le hall d’accueil des journées mathématiques, nous avons découvert des œuvres de Françoise Delpérée. Voici des exemples de reproductions de ses œuvres :
Françoise Delpérée peint à l’acrylique, à l’aquarelle, des solides de tous les formats, des solides de Platon, d’Archimède ou de Catalan, de Kepler-Poinsot. Ils se rapportent à un ou deux polyèdres, et sont associés à des fiches qui précisent leur nom, quelques- unes de leurs propriétés et les opérations utilisées pour leur construction. Les fiches sont ici :
C’est le début de l’après-midi : voici l’atelier « conjugaison isogonale » de Hugues Vermeiren. Mon amie Marion est partie au club Inter-Rubik et nous fera un compte-rendu des plus détaillés.
Nous sommes partis du théorème des angles inscrits et de la question des angles orientés :
Nous avons ensuite découvert ce qu’est un triangle podaire :
La loi de Stigler (qui n’est pas de Stigler), ensuite, et l’isogonalité :
Le Sortais parle d’isogonales ; j’en déduis que j’ai tout oublié en la matière, puisque j’avais étudié de façon approfondie l’ouvrage au moment du CAPES.
Nous avons ensuite considéré des configurations liées aux isogonales, appuyées sur la géométrie du collège, tout à fait abordables à partir de la 4e, à condition de réhabiliter le théorème de Thalès à l’allemande :
Hugues Vermeiren nous a une autre propriété sympa avec le triangle orthique (le polaire de l’orthocentre). A ce niveau, j’ai commencé à naviguer dans un univers de bissectrices, de médiatrices et de symétrique et à nager plus aisément, un peu comme quand on écoute une intervention en langue étrangère et qu’à un moment donné on oublie que ce n’est pas notre langue maternelle. Cela tombait bien car Hugues Vermeiren s’est mis à conjuguer les isogonales.
Ce qui est spectaculaire Là-dedans, c’est qu’on ramasse des isogonales partout !
Hugues Vermeiren
Nous sommes passés par le théorème de Ceva, la droite de Simson, pour arriver à la transformée isogonale de droites et là, paf, coniques. J’étais moins à l’aise, là. Nous allions quand même très très vite… Et nous avions largement dépassé le niveau collège. Rien que les figures et la multiplicité de points remarquables font que nos collégiens trouveraient vraiment éxagéré de travailler là-dessus. Je n’avais pas le temps de regarder chacun des points pour reconstituer mentalement la construction que nous étions déjà passés à autre chose, ouch.
Connaissez-vous les symédianes ? Moi non. Mais là j’avais trop de choses dans la tête. En même temps ce n’est pas très compliqué : une symédiane est une isogonale de la médiane. C’est un mot utile au Scrabble…
aaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah
Alice, 14h25, qui craque des neurones
Notre intervenant était super en tout cas : tranquille, compétent, sympathique, clair. Mais lui, il sait beauuuuuuuuucoup de choses que j’ignorais il y a une heure, et je me sentais assez solidaire de mes élèves largués pendant certains de mes cours.
Bon, manifestement nous n’étions pas les seules à être perdues au cours de l’atelier. Pour autant, Hugues Vermeiren nous a ouvert des tas de portes, m’a apporté des connaissances, et l’ambiance de l’atelier était chouette. Et puis la géométrie, qu’est-ce que c’est joli !
Pierre Carrée 