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Des représentations de données qui font réfléchir

Hier matin en sixième, nous avons étudié trois représentations de données que je trouve intéressantes. Elles constituent mon entrée en matière en statistiques en sixième, domaine assez léger à ce niveau :

La lecture de graphiques et de diagrammes ne pose en général guère de problèmes. Il faut outiller méthodologiquement les élèves pour les tableaux à double entrée, mais ça va aussi. J’aime bien leur faire travailler des diagrammes de Venn, avec l’exercice de pirates (qui n’est pas de moi mais j’ignore la source) et avec les fiches APMEP :

Et puis sinon, ce que je vise, c’est le changement de regard : qu’amène à regarder telle ou telle représentation de données ? Quels choix ont-ils été réalisé, pourquoi ? Comme a-t-elle été construite ? Alors nous travaillons ceci :

Cela nous permet de parler histoire, Napoléon, tout ça, et puis espérance de vie, progrès scientifique, effets des guerres à court et moyen terme, inégalité des répartitions de richesses et de savoirs, urbanisation et ruralité, répartition de la population française (le dernier document montre différentes répartitions 50%-50% de la population française) et géographie française… Mais ma focale est vraiment centrée sur les représentations graphiques elles-mêmes : longueurs, aires et volumes, repérage… J’adore cette séance…

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Des affichages évolutifs, made by mes élèves

Pour préparer la Course aux nombres une dernière fois, j’ai proposé à mes élèves de sixième et de cinquième de réaliser une affiche sur une des questions de la course de l’année dernière. En cinquième cela a pris une demi-heure, et sixième presque une heure. Le produit fini donne ce genre de choses :

En sixième, voici l’ensemble des affiches :

On en fait quoi, des affiches ?

Elle vont sur le portique à affiches, stockées sur un cintre. Quand on a une question, hop, on dégoupille l’affiche. Il y a un sommaire des affiches, au début du portique, et les élèves ou moi pouvons aller chercher ce qui nous semble pertinent à un moment ou à un autre. Une seule règle : si quelqu’un va chercher une affiche, on l’examine toutes et tous ensemble. Vous allez comprendre pourquoi juste au-dessous.

Est-ce que tout est « bon » sur ces affiches ?

Non. Et ça ne me bouleverse pas, tout va bien. Il y a des fautes d’orthographe, et il y a parfois des erreurs mathématiques : soit la réponse est fausse, soit l’explication cloche, soit les exemples ne sont pas pertinents, voire inexacts. Parfois, tout est impec, aussi. Mais je tiens à conserver le propos des élèves. Je les ai aidés et soutenus pendant l’élaboration de leur affiche, mais cela n’a pas toujours suffi. Et leurs erreurs constituent aussi un matériau pédagogique : lorsque nous étudierons cette affiche, nous réexaminerons tout cela et éventuellement nous apporterons, toutes et tous ensemble, des corrections. Cela permettra de bien voir que ce n’est pas si simple et quelles erreurs on peut faire, ou parfois simplement comment on pourrait mieux exprimer ceci ou cela. Eventuellement nous referons alors une nouvelle affiche, qui portera la gomme « approuvé ». Mais c’est pour cette raison que ces affiches ne peuvent pas constituer une ressource en autonomie pour les élèves.

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Les équations en main

Cela fait un moment que j’ai promis de décrire le dispositif de mon collègue, Gani Mohamed, que nous coanimons avec sa classe : il a 4h hebdomadaires avec une de ses classes et j’ai les heures quinzaine de groupe. Il vient coenseigner avec moi avec le premier groupe, et ensuite je reproduis sur le deuxième. Le thème, filé depuis le milieu du premier trimestre : la résolution d’équations.

Gani s’est appuyé sur un dispositif existant, à partir d’un article dont j’ai oublié la référence. Il article trois niveaux successifs.

Premier niveau : des constantes positives et des inconnues

Les pions bleus représentent chacun l’inconnue. Ls dés symbolisent le nombre d’unités (côté constates) ajouté. La balance ou la règle évoquent l’équilibre, matérialisent l’égalité.Tout de suite, cela a bien fonctionné. Mais j’avais un souci, de mon côté : utiliser le même dé pour représenter des nombres d’unités différents me gêne, associé au principe de la balance. Peut-être avec des dés tous sur la face 1 nous éviterons certains obstacles. Alors pour ma part j’ai remplacé les dés par des cubes de numération, qui en plus présentent l’avantage d’être clipsables et déclipsables, ce qui est particulièrement pratique lorsqu’il fait diviser : on peut facilement représenter la correspondance entre 1 seul pion et un certain nombre d’unités constantes.

A ce niveau, on induit bien l’effet des opérations sur chaque membre de l’égalité, la nécessité d’opérer les mêmes dans chaque membre, et le calcul mental est facilité. Je me suis approprié le dispositif pour mes classes, du coup, mais en associant tout de suite la représentation puis la modélisation. Gani, lui, a préféré continuer la manipulation et n’introduire la représentation avec les calculs qu’au troisième niveau. En revanche il a beaucoup plus insisté que moi sur la vérification, ce en quoi il a sans doute raison.

Deuxième niveau : des inconnu et l’opposé de l’inconnue

Les pions bleus, c’est x. Voici les pions blancs, qui représentent -x. Sur ses fiches à compléter, Gani les note « * ». Là encore, j’ai gardé ses idées, en nommant explicitement -x au lieu de « * » et en précisant bien qu’on quitte l’idée de la balance. Parce qu’ajouter un pions pour exprimer qu’on retire éventuellement quelque chose, c’est délicat. Mais à ce niveau, les élèves ont déjà bien modélisé et cela n’a pas posé de souci. Toutefois, j’ai vraiment expliqué aux élèves pourquoi je procédais ainsi et quelles limites je voyais, pour éviter de mauvaises représentations. La discussion qui s’est engagée entre nous a été très intéressante : les élèves ont compris quelles questions je me pose, et pourquoi. Je pense que cela les a aidé à éviter certaines confusions, en fait. Vive l’explicite !

Cette étape est essentielle pour comprendre que x+(-x)=0 et permet des tas de simplifications. Je n’avais pas compris comme elle est importante au départ. La suite m’a montré comme ce principe de manipulation est pertinente et efficace.

Tout est possible, car tout est relatif !

Nous voilà dans les négatifs pour les contantes. Cela met un peu de couleurs… Et ça marche bien ! Pour ma part ces manipulations n’ont été que projetées à la visualiseuse, réalisées par des élèves ou en « dictée à l’adulte ». Comme j’avais déjà modélisé plus tôt, ç’aurait été un peu artificiel je crois. C’est simplement dû à la progression différente que j’ai choisie. Mais pour des élèves qui ont besoin de voir, de manipuler, qui sont en difficulté ou ne parlent pas français, cela m’a vraiment permis de lever des blocages.

Le dispositif de manipulation n’est pas fluide dans tous les cas : pour représenter « x-2(-x+3) », il faut poser du matériel en plus pour en enlever avant de commencer, et là ça devient vraiment compliqué. Mais je reste convaincue pour l’introduction : c’est plus simple et pratique, et plus efficace, que ce que je faisais auparavant.

Au final, Gani m’a permis de reconsidérer ma façon d’introduire les résolutions d’équations ; et la sienne a très bien fonctionné. Je suis juste trop impatiente de modélisation pour suivre ses pas, mais ses élèves sont très performants avec le matériel. Et j’adore ces échanges, qui me font avancer, et sont toujours tranquilles et constructifs. Que du bonheur.

Et la suite ?

Hé bien j’aimerais tester avec les Ulis de mon mari, en attendant de tester avec mes Ulis à moi l’année prochaine… J’ai vraiment envie de voir ce que cela permet, jusqu’où je pourrai aller. Mais avant, il faut que je lui en parle et qu’il soit d’accord pour aller aussi loin dans des compétences de cycle 4…

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Albert version 2023 : toujours top, jamais le même

Aujourd’hui, je suis allée dans la classe de CE1 de Christelle. Nous avons deux projets en route, mais il nous manque quelques éléments concrets pour les terminer tout à fait, et là, Christelle avait envie de commencer Albert. Alors allons-y pour Albert!

Cette année, nous avons compacté le début de la séquence : nous avons aujourd’hui lu et reformulé l’histoire, identifié des rectangles et déterminé ce que c’est, un rectangle, dessiné un Albert avec la machine à coins-pics-de-rectangles, puis dessiné un Albert avec l’outil expert : l’équerre. Le tout en une heure et demie, avec une cadence assumée mais en laissant chacune et chacun terminer à son rythme. Le tout sans prononcer une seule fois le mot angle : ça, c’est pour la fois prochaine.

C’était extra. Déjà, travailler avec Christelle est toujours un bonheur. Ses loulous sont super, aussi. Un élève en situation de handicap a réussi à faire toute la première partie de l’activité avec toute la classe, avec succès, et Christelle l’a aidé pour réaliser la deuxième partie après le déjeuner. Et Albert, c’est une pépite de garçon-rectangle.la semaine prochaine, nous poursuivons avec les angles et nous expérimentons pour la première fois un prolongement. Ouaiiiiiis, vivement jeudi prochain !

Premier Albert, avec la machine à coins-pics-de-rectangle :

Deuxième Albert, avec l’équerre :

Avant/après, mais les élèves ont déjà été tellement appliqués avant… (bravo !)

Et c’est l’effet magique des maths : les élèves voient des figures partout !

L’objectif, c’est de modéliser, pour parvenir à transmettre une définition du rectangle comme un quadrilatère à quatre angles droits. Et là, si nous avons tout bien fait dans l’ordre, le carré devrait apparaître comme rectangle particulier, alors que le discours des enfants aujourd’hui a priori était clairement et explicitement à l’inverse : le rectangle, c’est un carré étiré. Mais plutôt que de dire non non non, c’est pas ça, nous déconstruisons par l’acte et nous reconstruisons par l’acte et la modélisation.

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Des figures à main levée ? Shematizer

Une collègue a posé sur Twitter une question : « est ce que quelqu’un connait une application qui permettrait de faire des schémas « à main levée » ? » J’ai trouvé la question très pertinente, car je trouve le rôle de la figure à main levée essentiel : devant une figure « qui bloblote », les élèves comprennent mieux qu’il ne faut pas observer, qu’on n’est plus dans la géométrie instrumentée, que prélever des informations en mesurant n’est pas pertinente. Et puis cela permet d’engager plus naturellement dans l’abstraction, du coup : le message qu’on fait passer est « trouve des arguments, des relations ». Enfin, on perd moins de temps à réalise rune figure à main levée que de façon précise, et cela en laisse plus pour raisonner.

Hé bien voilà, nous en rêvions, Vincent Joly l’a fait. J’avais hâter de tester son travail, mais j’ai eu plein plein de choses à faire. Ce matin, j’ai enfin pu. Nickel, c’est pile poil ce dont j’avais besoin. Cette merveille se nomme Shematizer. Il suffit de respecter le mode d’emploi :

  • Créer une figure GeoGebra puis l’exporter au format PSTricks (.txt).
  • Ouvrir ce fichier avec l’application.
  • Modifier le rendu en jouant avec les paramètres ou en retraçant la figure jusqu’à ce que le rendu aléatoire convienne.
  • Utiliser la flèche HAUT et BAS du clavier pour zoomer/dézoommer.
  • Sauvegarder l’image.

Vincent précise quelques points de vigilance : le programme gère uniquement les points, segments, droites, demi-droites, arcs, cercles, polygones et texte simple. Pour moi, c’est parfaitement suffisant. Seuls les points « en croix » ou « en plus » sont reconnus. Ca tombe bien, c’est la notation que j’utilise. Il faut vérifier que deux objets ne superposent pas. Par exemple, le polygone crée une surface et des segments qui seront tous les deux rendus de façon différentes. Il faut créer des polygones formés de segments, pas avec l’outil polygone.

J’ai fait mon petit essai : à gauche le ggb, à droite je Vincent Joly.

Merci BEAUCOUP Vincent !!!

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Le jeu du calisson, une des activités de ma semaine des maths

Ce matin, je faisais joujou avec mon démultipliox, pour la semaine des maths, quand une évidence m’a sauté aux neurones : pas de semaines des maths 2023 sans jeu du calisson ! Je suis allée sur le fil Twitter, qui m’a menée au site, hébergé par MathixOlivier Longuet, l’auteur (des calissons et de bien d’autres merveilles), a produit comme un ouf. Le site est super pour permettre aux élèves (et aux autres) de se familiariser : je vais commencer par montrer des cas simples, dans la catégorie « très facile », pour expliquer aux élèves. Mais avant tout, la règle :

S’il n’est pas une délicieuse confiserie, le calisson est une forme géométrique, un losange composé de deux triangles équilatéraux collés sur un côté.

Quand on les pose sur un hexagone, de manière à le paver sans faire de trous, on a l’illusion d’un empilement de cubes dans un entrepôt que l’on survole . On a poussé les cubes aussi loin qu’on pouvait jusqu’au mur, jusqu’au coin de l’entrepôt. Il n’y a pas de trous dans notre empilement. il n’y a pas de triangles dans ce pavage de losanges

Le but du jeu est de reconstituer le rangement de calissons, c’est à dire le rangement des cubes dans l’entrepôt.

C’est un jeu de grille à contrainte qui pourrait rappeler un sudoku de géométrie dans l’espace.

Une grille hexagonale étant donnée, avec des arêtes comme contraintes, il faut compléter la grille .

Une arête sépare obligatoirement deux murs qui n’ont pas la même direction, ou deux losanges qui n’ont pas la même direction.

Si deux losanges sont juxtaposés et dans la même direction, on ne dessine pas l’arête qui les sépare.

Règle

Voici le tout premier niveau :

Sur le site, on n’a qu’à cliquer, et hop-hop-hop, on pave.

Quand on a réussi, on a un retour.

Cette progressivité est vraiment extra pour que tout le monde puisse s’y mettre facilement. Et puis une activité de géométrie, ça change ! Reste juste à vérifier que mes tablettes de classe sont connectées au nouveau réseau du collège, sinon je n’aurai pas accès à internet.

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Noetic

Une collègue-amie, Elise, m’a apporté le livret d’un double spectacle auquel elle a assisté, début février, à l’opéra de Rouen : Faun et Noetic, par Sidi Larbi Cherkaoui et le Ballet du Grand Théâtre de Genève.

Faun, comme un conte sensuel ou un poème, revêt une part de féérie, tandis que Noetic peut se lire comme une formule mathématique. Faun et Noetic se rejoignent dans une forme mystique de l’ordre de l’alchimie entre les êtres.

Sidi Larbi Cherkaoui, 2023

Les danseurs interprètent un texte (en anglais, mais ici je vous indique la traduction « officielle ») en même temps qu’ils dansent :

Les nombres sont réels, une langue vivante. Un puzzle qui, une fois assemblé, ne crée plus un rendu ou une approximation de la réalité, les chiffres sont la réalité. Ni plats, ni arbitraires, ni imaginaires, ni irrationnels… il y a réellement des points ou des emplacements qui tombent sous forme tri-dimensionnelle définissant littéralement l’espace et le temps.

M. Rodin a découvert une équation si éloquente dans sa simplicité qu’elle n’implique pas plus de neuf chiffres autour d’un cercle, et avec elle, tu peux faire toutes les fonctions de toutes les branches des mathématiques instantanément. Elle présente la parfaite symétrie de rotation des nombres formant des images miroir, tout comme nos deux mains, un exploit qui a déconcerté d’innombrables scientifiques et mathématiciens. Lorsqu’on regarde ce symbole, on voit immédiatement qu’il est composé de deux aspects. Le premier est le huit paresseux ou le symbole de l’infini et l’autre est la pyramide rouge au sommet. Le symbole de l’infini est l’équation du monde physique dans lequel nous vivons : c’est un circuit ou un chemin, un mouvement. Six chiffres qui forment un hexagone. Ainsi, des phénomènes aussi divers que la polarisation de la lumière, les ruches, le pôle Nord de Saturne et les flocons de neige sont tous des versions de cet hexagone.

Ces formes constituent des chemins pour toute matière en mouvement, qui n’est jamais rectiligne, mais toujours angulaire. Rien dans le monde physique ne se déplace jamais en ligne droite, ni la balle d’un fusil, ni l’éclair qui tombe du ciel, tout S’enroule (NDT: dans l’original coil) comme un cocon. même un photon provenant d’une étoile lointaine, prouvant l’existence de la relativité. Hamlet appelle notre corps « ce cocon mortel» (NDT: dans l’original this mortal coil), notre ADN est un cocon, et ce n’est pas une coïncidence s’il correspond parfaitement à notre équation.

Mais quel est le lien entre toutes ces sciences? La réponse est simple. C’est le doublement. Lorsque tu suis ce que font ces chiffres, tu obtiens le doublement, et pourquoi cela peut-il être significatif?

Eh bien, nos cellules doublent pour nous créer nous avons 1 cellule, la conception est 2 4 8 16 32. Le doublement est un mouvement à un angle, ou ce que l’on appelle l’élan angulaire. C’est le tourbillon de la création du tapis roulant, qui fait tourner les atomes de notre corps, la terre sur son axe, le système solaire, la galaxie, l’univers entier. Et donc, qu’est-ce qui provoque ce doublement? Qu’est-ce qui est transmis et reçu? Nous avons l’électricité, au centre de l’électricité se trouve le magnétisme, au centre du magnétisme se trouve un flux. Nous l’appelons l’énergie de l’éther. C’est l’énergie qui nous maintient conscients et vivants et ce n’est pas une énergie statique ou stationnaire, c’est une impulsion, une poussée, le cœur battant de toute existence.

Comprendre, c’est percevoir des modèles. Maintenant, bien sûr, ce que cela signifie, c’est que la vraie compréhension vient lorsque les points sont révélés et que tu obtiens la vision à long terme de Steven Johnson lorsque tu vois la situation dans son ensemble. C’est l’idée de motifs, motifs, motifs, motifs récurrents à travers différentes échelles de la réalité, tu sais. Paul Stamets parle de l’archétype mycélien. Et comment les systèmes de partage d’informations qui composent Internet ressemblent exactement aux modèles informatiques de la matière noire dans l’Univers – ressemblent exactement aux neurones de notre cerveau. Ils partagent tous la même structure entrelacée et filamentale… C’est la montée du réseautage en tant que big data… les militants parlent de la façon dont les systèmes créés par les êtres humains ressemblent exactement aux systèmes naturels, plus nous pouvons mesurer, plus nous pouvons visualiser, plus cela élargit notre conscience quand on décèle ces schémas récurrents à travers les échelles de la réalité (ça m’hallucine !). Et je pense que la technologie devient de plus en plus un élargisseur de la conscience humaine. Elle élargit notre pensée, notre portée et notre vision et nous révèle tellement d’autres choses. C’est comme si : alors qu’autrefois j’étais aveugle, maintenant je peux voir.

Jeffery West de l’Institut Santa Fe nous dit que les villes sont vraiment comme des organismes tu sais… les ruelles sont comme des vaisseaux capillaires. Comment est-il possible qu’un système technologique artificiel créé par l’humain se comporte comme un système naturel? Plus il devient efficace, plus il il commence à ressembler à la nature. Des trucs bizarres vraiment intéressants, bum…

Tu sais, mais, mais…

Ça me rend optimiste. C’est comme quand Stephen Johnson dit Regarde, si on peut comprendre tous ces trucs, on peut, je veux dire, tout devient possible, pas vrai? C’est le possible adjacent qui se tient comme une sorte d’avenir fantôme, une carte de toutes les façons dont le présent peut se réinventer.C’est… C’est un truc magnifique.

Noetic, Sidi Larbi Cherkaoui

Mais quelle découverte ! Merci Elise… Je regrette de ne pas avoir vu ce spectacle et j’adorerais échanger avec Sidi Larbi Cherkaoui.