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Un cours de 6e (partie 2) : j’y pense, donc ça existe ?

  • Madame, vous dites que ça fait des mètres cubes parce que on a des mètres fois des mètres fois des mètres, c’est ça ?
  • Oui.
  • Donc par exemple si je fais une aire fois une longueur ou une longueur fois une aire, c’est aussi des mètres cubes ?
  • Oui.
  • D’accord. Mais ça existe, des mètres avec un 4 en haut ?
  • Qu’est-ce que tu veux dire par « ça existe » ?
  • Jsais pas.
  • Ah. Ca m’aiderait de savoir, pour te répondre.
  • Biiiiin, est-ce qu’on peut le dire, mètre avec un 4 en haut ?
  • Pourquoi ne pourrait-on pas ?
  • Parce que nous on est en trois dimensions et ça n’existe pas, une quatrième dimension qu’on mesure avec des mètres, là dans la classe. Vous aviez parlé de si le temps c’était ou pas une dimension, mais de toute façon avec des mètres on peut pas.
  • Alors pourquoi hésites-tu à décider si « ça existe » ?
  • Parce que d’un autre côté si je peux écrire mètre carré fois mètre ça fait mètre cube, je vois pas pourquoi je pourrais pas écrire mètre carré fois mètre carré ça fait mètre quatre, parce que il y en a 4 qui sont multipliés ?
  • Et donc ?
  • Bah vous dites des fois « si on y pense c’est que ça existe », donc d’un côté ça existe, mais pas en vrai autour de nous.
  • Alors tu décides quoi, au final ?
  • Ca existe. Parce que j’y pense.
  • Ok.
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A la base.

En cinquième ce matin, nous avons étudié cet exercice du Myriade :

Première figure, pas de souci : tout le monde est d’accord, c’est un prisme droit, à bases hexagonales, c’est-à-dire en rose. Sauf que… Tout le monde est d’accord, mais pas parce que les élèves ont tous identifié que les faces roses sont parallèles et superposables, ou à la rigueur que ce sont les deux seules à ne pas être rectangulaires. Non : c’est parce que le solide est posé sur une de ces faces-là, et que l’autre est son couvercle. Il est bien tout présenté comme il faut. Prototypique, le prisme droit.

Et le deuxième ? La majorité des élèves sont d’accord : ce n’est pas un prisme droit. Ah. Pourquoi donc ? Parce que « le haut et le bas y sont pas parallèles ». Voilà, nous y sommes. C’est vrai, la face du dessus et la face du dessous ne sont pas parallèles. De quelle forme sont ces faces ? « Rectangulaires ». Bon ; j’aurais accepté qu’on me parle de parallélogramme, et alors en effet il ne s’agissait pas d’un prisme droit, mais d’un prisme tout court (ce sur quoi nous sommes revenus plus tard, tout de même). Mais non. J’ai donc poursuivi : et la face avant, là, elle est de quelle forme ? Première réponse : c’est un rectangle

Il est bizarre, votre rectangle… « Ah oui m’dame, c’est parce qu’il a que deux angles droits ». Voilà. C’est possible, ça, un rectangle qui n’a que deux angles droits ? « Ah non, zut. »

Bon alors donc on en est où ? « Non bah c’est pas un prisme, mais c’est pas pour la raison qu’on a dit. C’est parce qu’il a qu’une base ». Une seule base ? Ah d’accord. De quelle couleur ? De quelle forme ? « Bleue, et c’est un trapèze ». Et vous ne pensez pas qu’il pourrait y en avoir une autre, base trapézoïdale, qui constitue la face de derrière ? Réponse : « non, y a pas d’bleu ».

Alors ça ne tient pas, en raison des arêtes visibles et cachées qui montrent que cette face existe (encore que, m’ont dit des élèves, il pourrait ne pas y avoir de « paroi »…). Mais plusieurs élèves m’ont fait remarquer qu’on aurait pu ne pas colorer la face de droite pour laisser un petit bout de bleu apparaître, ce qui leur aurait permis, selon eux, de ne pas se tromper. En plus, m’ont-ils fait remarquer, le vert du dessus se voit sur le rose de gauche, alors pourquoi le bleu ne se voit-il pas du tout ? Je reste dubitative, car ce qui les a surtout gêné est que le solide n’est pas « posé » sur une base. Toutefois, un autre obstacle a résidé dans la consigne : « mais madame, pourquoi ils disent la couleur de LA base ? Ca fait nous tromper, forcément. Moi même dans le premier je me suis demandé laquelle des deux bases était LA base, du coup. » C’est vrai que c’est chargé d’implicite : on évoque LA base comme on écrit un prisme droit à base (sans s) trapézoïdale, mais dans le fond je ferais mieux d’écrire à baseS trapézoïdaleS. Je comprends que cela gêne certains élèves pour qui ce que je présente est déjà relativement complexe ou trop abstrait.

Bref, nous arrivons à passer au troisième cas. Alors là, tout le monde fonce dessus : « Haha madame, on va pas se laisser avoir ce coup-ci, c’est exactement pareil : il est pas posé sur une base, le prisme, mais c’est quand même un prisme et ses bases sont toujours bleues et c’est encore des trapèzes ».

Bien, ok. Sauf que là on a un problème de pointillés. Je ne sais pas si c’est fait exprès, mais je trouve ça un peu overkill, si oui. Cela dit, nous avons pu en parler : pourquoi des pointillés ? Quand ? Est-on sûr qu’avec seulement cette arête en pointillés ça coince ?

C’était un petit exo, mais il nous a bien occupés… Au final, je ne suis pas éblouie par sa consigne et les choix effectués : s’agit-il de parler perspective cavalière, représentation ou prismes, finalement ? Tout, ça fait beaucoup. Mais il faut bien les faire, ces choix, et aucun n’est idéal quand il s’agit de représenter un solide sur une feuille. Et les échanges avec les élèves ont été très intéressants : ils ont sans doute plus appris qu’avec un exo « planplan ». Nous avons même parlé de choix pédagogiques : qu’auraient-ils choisi, eux, pour colorer le solide n°2? En plus j’ai pu comprendre quels obstacles mineurs les bloquent parfois de façon tout à fait majeure.

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Maman, j’ai un problème.

Ah ?

C’est entre chiffre et nombre.

Ah ?

Voilà. Dans mon grand oral de NSI, quand je parle des ordi à dominos, je veux expliquer que là, tu vois, on ajoute les chiffres des unités des nombres qu’on veut additionner.

Heu quoi ?

Bah oui, regarde. Sur cette partie-là du parcours, on additionne les unités, là on additionne les deuzaines, là les quatraines et tout. Donc là je veux dire qu’on additionne les chiffres des unités mais ça m’embête parce que si on additionne, il y a du calcul et donc c’est pas des chiffres, c’est des nombres ? Non ?

Ouahouuuuu, atttends ok…

Bah je dirais qu’on additionne les nombres d’unités ?

(grimace)

Les nombres correspondant aux chiffres des unités ?

(grimace)

Que les chiffres des unités donnent les nombres à additionner ?

(réfléchit) … Ok.

Pfiou, voilà ce que c’est d’élever ses enfants avec des principes de lexique mathématique… On se retrouve un samedi soir avec des questions d’arithmétique existentielles.

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R est plus infini que N

Des élèves de 5e m’ont posé deux questions :

Madame, l’infini, est-ce que c’est un nombre ?

Et du coup madame, il y a des infinis plus grands que d’autres ? Parce que genre l’infini plus deux, c’est plus grand que l’infini ? Moi j’crois pas, j’crois c’est pareil.

Nous avons débattu, et j’ai apporté des éléments de réponse. De fil en aiguille (mais rapidement) nous avons parlé discret et continu, infini de N et infini de R. Cela m’a trotté dans la tête : les élèves comprennent bien qu’on n’énonce pas les décimaux ou les fractions puisqu’il n’y a pas de successeur, alors qu’on peut énoncer les entiers. Cette vidéo m’a plu. Mais pour des 5e, c’est quand même ardu ; certains vont trouver ça très abscons, même si d’autres vont percuter avec gourmandise.

Rho, peut-être ça passe pour tout le monde si j’accompagne.

Mmmmh, peut-être pas.

Rhaaaa, que faire ?

Elles sont vraiment chouettes, ce vidéos d’Arte.

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Avoir découvert π

Un élève m’a écrit ce soir pour me remercier du cours d’aujourd’hui, parce qu’il a « pensé toute la journée à π : le cercle de 1m de diamètre je l’ai regardé et il est là mais sa circonférence c’est π avec plein de chiffres et c’est incroyable ».

C’est vrai. Un cercle de diamètre 1m a une longueur (ou une circonférence, ou un périmètre) de π. Les élèves voient souvent π comme un « nombre infini », qu’il n’est pas : son écriture décimale comprend une infinité de chiffres, mais π est fini, compris entre 3 et 4. On a l’impression que π s’écoule indéfiniment, et le cercle de π mètres de longueur est si immobile…

Il s’est aperçu qu’en prenant
des unités aussi petites que possible
il restait toujours une différence
une blessure par laquelle s’écoulaient
indéfiniment des chiffres aussi nombreux
que les grains de sable de la mer

Michel Butor, LA QUADRATURE DU CERCLE A PARME ou le sfumato des mathématiques
https://images.math.cnrs.fr/La-quadrature-du-cercle-a-Parme.html
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Pourquoi les cartes sont fausses

Voici qui est très très très chouette :

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Questions étourdissantes

En mai, nous nous connaissons bien, les élèves et moi. Tous ne partagent pas mon amour des maths, mais la plupart l’ont perçu, le comprennent parfois, l’acceptent toujours. Alors cela me vaut des questions profondes et importantes. Rien que ce matin, dans deux classes de sixième :

Madame, qu’est-ce que vous préférez dans les mathématiques ?

Aujourd’hui, j’ai répondu que ce que je préfère, c’est démontrer quelque chose que je ne savais pas ou que je ne savais pas démontrer, quelque chose d’un peu résistant ou de pas évident, et ressentir la lumière de la compréhension : cette lumière intérieure qui éclaire tout et procure un tel plaisir.

Madame, vous pensez qu’il y a des mathématiques dans tout, dans le monde, dans tout ce qui nous entoure ?

Aujourd’hui, j’ai dit non, je ne crois pas. Mais je crois qu’on peut ramener beaucoup de choses à des idées mathématiques ou à des parallèles avec les mathématiques. Ce qui est concret contient en général une dimension mathématique. Mais l’amour ou la liberté ?

Madame, vous pourriez vivre sans faire de mathématiques ?

Oui, bien sûr. J’en serais malheureuse car je les aime et j’aime faire des mathématiques. Elles embellissent mon univers, me permettent de mieux comprendre le monde et de mieux réfléchir. Elles ne s’opposent pas à d’autres pans de la culture, qui agrandissent encore ma vie. Et comme je les enseigne, elles me permettent aussi d’être utile. C’est important pour moi d’être utile.