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Soustraction et différence

Sur les deux dernières semaines d’école, j’ai eu la chance de participer à une séance d’introduction sur la différence, en CP, par la méthode ACE, dans trois classes différentes. C’est chouette, parce que cela m’a permis d’en voir différentes versions. Dans les trois cas, on était dans l’introduction, mais pas forcément exactement au même stade. Il s’agit de l’unité 8,  intitulée « découvrir la différence comme écart ».

cp-unite8

Dans la ressource ACE accessible ici (et le document est là, juste au-dessus de ce paragraphe), l’introduction annonce qu’il va s’agir de « dire la différence et l’écrire », puis progressivement la représenter (avec les trains et les schémas lignes-trains) pour aboutir à une symbolisation de la représentation, puis la modélisation de la soustraction avec l’utilisation du signe « – ». « Il existe ainsi une progressivité, au sein du module, dans l’appropriation de la différence/soustraction ».

Un des objectifs est de poser la différence « sans aucunement mobiliser des situations prototypiques de la soustraction (retrait, enlever, etc.), mais en se centrant sur la comparaison des quantités. En effet, puisque les élèves disposent de deux collections, il n’est pas nécessaire d’user des termes « retrait » et « enlever » qui apparaissent lorsque la recherche de la différence/soustraction se réalise sur la collection la plus grande (on part alors de la plus grande collection et on « enlève » pour montrer ce qui « reste »). Ici, les élèves sont en présence de deux collections et la différence est matérialisée par ce qui est « en trop » ou « en moins » (…) Le professeur portera une attention particulière au vocabulaire employé par lui-même et par les élèves notamment en insistant sur le fait que ni la différence (en tant que résultat d’une soustraction), ni la soustraction elle-même ne doivent être assimilées à un retrait. Le professeur n’usera donc pas des termes « enlever », « retirer », etc. Il utilisera systématiquement des procédures de « formulations synonymes » en disant et en faisant dire aux élèves, par exemple : « la différence entre 7 et 4 est 3, ou la différence entre 7 et 4 c’est 3», « 7 est plus grand que 4 de 3 », « 7 c’est 3 de plus que 4 », « 4 c’est 3 de moins que 7 », « 4 est plus petit que 7 de 3 ». »

Les enseignants dans les classes desquels je suis allée avaient bien conscience de ce que j’ai reproduit ci-dessus. Ils sentaient aussi a priori que cela allait être difficile, de faire passer la notion de différence pour des raisons différentes : un des enseignants avait le sentiment de ne pas avoir bien compris la séquence, dans ses tenants et ses aboutissants, un autre savait ses élèves agités à ce moment-là, et le troisième pensait que les acquis précédents n’étaient pas suffisamment solides pour construire par-dessus. Et en effet, nous avons galéré, dans chaque cas. Dans les trois classes dans lesquelles je me suis rendue, j’ai vu trois façons différentes d’aborder la séquence. Dans les trois classes, les enseignants m’ont proposé de participer, et c’était passionnant. Je les remercie, d’ailleurs, au passage, d’être tous si constructifs, ouverts et accueillants.

Dans une des classes, nous avons travaillé à partir de la bataille des nombres/trains : les enfants piochaient des étiquettes dans une enveloppe et devaient comparer. Il fallait d’abord les écrire sur l’ardoise et indiquer entre les deux l’un des symboles >, < ou =. Ensuite, pour les plus à l’aise, il s’agissait de savoir de combien son nombre était plus grand ou plus petit. Quelques élèves ont d’eux-mêmes écrit la soustraction, mais la plupart n’ont pas réussi à déterminer la différence et ont proposé des résultats qui semblaient relever du hasard. Comme les enfants n’avaient pas eu de récré à cause de la pluie, ils se concentraient difficilement. Nous n’avons pas eu l’impression de réussir à les mettre tous en activité de façon efficace, même si de belles remarques ont été formulées. Nous avons donc recentré sur les comparaisons et donné la parole aux deux élèves qui réussissaient à déterminer la différence, pour qu’ils expliquent à leurs camarades. Nous verrons ce qui sera passé dans les jours à venir.

Dans une autre classe, l’enseignant est parti sur le schéma ligne, et est revenu aux trains, car les enfants ne voyaient pas où nous voulions en venir. Là, il m’est apparu clairement que c’est le vocabulaire qui coinçait : l’enseignant s’interdisait toute une catégorie de mots, car il avait à cœur de respecter ce qu’il avait lu dans les documents ressources. Mais ne pas dire « on enlève », « on retire », « moins », « soustraction », posait un problème : l’enseignant se sentait contraint dans son langage et craignait d’employer des mots qu’il employait les années précédentes en introduisant la soustraction. Du coup, il était bridé dans son expression, dans la forme mais aussi dans le fond. Il ne disposait plus de moyens naturels pour lui d’exprimer la différence. De leur côté, les enfants avaient bien du mal à comprendre et exprimer eux-mêmes « de moins », « de plus ». Nous avons décidé de passer par une visualisation du train avec des cubes collés au tableau, avec des jeux de couleurs. Il m’a semblé que nous avions réussi au final à faire comprendre le mot « différence », mais l’enseignant n’était pas de cet avis : selon lui, c’est nous qui avions fait le travail en représentant la différence d’une couleur différente, et les enfants n’ont fait que dénombrer les cubes de cette couleur. Avec le recul, je pense que c’est l’enseignant qui a raison. Mais nous pédalions tellement dans la semoule, les enfants étaient perplexes et il n’y avait pas de dynamique d’apprentissage, alors nous cherchions des solutions pour rattraper notre séance.

Dans la dernière classe, l’enseignant pensait dès le départ que ses élèves n’avaient pas consolidé suffisamment les décompositions, et s’est adapté a priori. Nous avons retravaillé les décompositions et les comparaisons. Les enfants ont construit des tours de cubes et l’enseignant leur a demandé si leurs tours étaient « identiques ou différentes », et quelle était leur différence le cas échéant. Alors là, ça a été très très intéressant : le mot « identique », qui appartient au langage courant, n’a pas du tout projeté les enfants dans le cadre des mathématiques. Leurs tours étaient toutes différentes, même lorsqu’elles étaient constituées d’autant de cubes : elles n’avaient pas le même enchaînement de couleur, un cube était « plus tourné » que dans l’autre tour, voire « il y a un cube là il est mordu et sur l’autre non », alors que les deux tours comportaient quatre cubes tous rouges. Il ne faut sans doute pas entrer par là dans la notion de différence mathématique. Nous nous sommes dit que si nous avions demandé aux enfants si leurs tours étaient « égales », nous aurons sans doute obtenu davantage de réponses « conformes ». Mais pour autant, peut-on dire de tours qu’elles sont égales ? En fait on induit chez les enfants qu’on se fiche de la tour, et que ce qui compte est le nombre de cubes qui la composent, mais du coup c’est un peu de la « manipulation ». D’un autre côté, il faut bien choisir une entrée qui nous emmène là où nous voulons aller…

Après la classe, nous sommes allées voir les collègues avec deux tours. Nous leur avons montré une tour bleu-rouge-bleu et une tour bleu-rouge-rouge. À la question « ces deux tours sont-elles identiques ? », toutes les enseignantes nous ont répondu non. À la question « ces deux tours sont-elles égales ? », elles nous ont répondu oui. Et ce, quel que soit l’ordre des questions. Le mot « égal », dans ce contexte, projette donc davantage vers le champ des maths (en tout cas, pour des adultes…).

Alors au bout du compte, que retenir de tout ceci ?

  • Le vocabulaire est autant un appui qu’une difficulté en maths. S’appuyer sur le langage courant peut être utile, à condition (à mon avis) d’aborder explicitement les différences (aaaaaaargh) et les spécificités des mots en maths. Je pense qu’il ne faut pas chercher à pousser les parallèles et au contraire formuler ce qui sinon va rester implicite et freiner ou empêcher les apprentissages.
  • C’est difficile de s’approprier une méthode, de comprendre a priori et du premier coup les ressorts didactiques, les choix effectués par des chercheurs qui ont dû y travailler en équipe et pendant un temps considérable. Ce n’est pas grave : faire changer des pratiques, c’est sur le temps long. Les enseignants que j’ai vus, et moi aussi puisque  je suis intervenue dans chacune de ces séances, ont eu conscience de ne pas atteindre leurs objectifs. Pour autant, nous n’avons pas non  plus construit de représentation fausse dans l’esprit des enfants. Simplement, il faut que nous y revenions, forts de nos expériences, que je vais pouvoir mutualiser. Avec un peu de chance je vais aussi obtenir des éclairages de la part d’experts d’ACE, qui sont toujours ouverts aux échanges. Je vais leur écrire, même, tiens.
  • Ce travail d’accompagnement, les binômes que nous formons avec les professeurs des écoles, c’est véritablement passionnant. Dans ma pratique en classe, mes observations, nos échanges, ce que je comprends, tout cela me transforme. Et j’espère que les collègues des écoles y trouvent aussi leur compte, mais je suis assez confiante, vu la quantité et la qualité de nos échanges.
Activité rigolote·Cycle 3·En classe·Question de grand

L’activité légos et fractions : les docs

Dans cet article, je présentais une activité sur les fractions que je mène en sixième. Voici les supports :

activité  fractions sixième (pdf)

activité  fractions sixième (doc)

(6) nombres en écriture fractionnaire – leçon (pdf)

(6) nombres en écriture fractionnaire – leçon (doc)

Et une partie de ces documents complétés par les élèves l’année dernière :

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La proportionnalité du marron glacé : rapport interne, rapport externe

Une notion que je ne connaissais pas nous a été présentée en formation de formateurs sur la proportionnalité : les rapports internes et externes. Elle vient d’Arnaud Simard, maître de conférence à Besançon. J’ai besoin de développer un peu la question pour être sûre d’y voir clair.

Prenons un exemple de saison :Unknown.jpg

 2 marrons glacés apportent 100 kcal. Combien de kcal apportent 8 marrons glacés ?

Il y a plusieurs façons de raisonner, évidemment.

  • Si vous vous dites par exemple que 100, c’est 50 fois 2, vous utilisez un rapport externe simple. Le nombre 50 est en fait ce qu’on appelle le coefficient de proportionnalité. On l’appelle aussi l’opérateur.

Il est dit externe dans le cas où il relie un couple de données se correspondant, données qui ne sont pas forcément exprimées dans la même unité.

Il est dit simple dans le cas où l’aspect calculatoire « ne pose pas de difficulté », même si cela me semble tout à fait subjectif.

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C’est la même chose si vous divisez par 50, puisque vous multipliez par 1/50.

  • Si vous dites plutôt que 8, c’est 4 fois 2, vous utilisez un rapport interne, lui aussi simple. On l’appelle aussi rapport scalaire.

Il est dit interne dans le cas où il met en relation des nombres mesurant les mêmes grandeurs.

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Un retour à l’unité est aussi un rapport interne.

Monsieur Simard écrit (ici, dans le Petit x n°90 de 2012, p35-52) : « Dans une situation de proportionnalité liant deux grandeurs, la relation interne est celle qui lie les valeurs d’une même grandeur, la relation externe est celle qui lie les valeurs de grandeurs distinctes. »

Il décrit un rapport simple comme par exemple « un rapport entier 2, 3, 10 etc., ou décimal 1,5« . Une situation peut être liée à un rapport interne simple et un rapport externe complexe, bien sûr, ou inversement.

Le vocabulaire rapport externe/interne ne doit pas parvenir aux élèves : c’est un outil de repérage pour l’enseignant, qui permet de désigner facilement deux procédures vraiment distinctes. L’une est homogène, l’autre pas. Sur le plan cognitif et du sens, c’est important.

En conclusion de l’article de Petit x cité plus haut, monsieur Simard écrit :

« confronté à une situation de type « recette », un élève de CM1 réussira grâce à une procédure basée sur une représentation schématique de la situation tandis qu’un élève de Sixième échouera sur le même problème en tentant de calculer le coefficient de proportionnalité. (…) L’idée est de baser largement l’apprentissage de la proportionnalité sur des contextes variés en insistant sur les propriétés de linéarité et de retour à l’unité. Ces deux techniques évoluant de front en fonction des contextes présentés (contextes à fort indice de proportionnalité). Le tableau de proportionnalité est alors considéré uniquement comme un outil pour pour ré-écrire l’énoncé et non pas comme une fin en soi (au moins jusqu’en fin de Sixième).« 

Et même plus tard, beaucoup d’élèves n’ont pas encore vraiment compris le concept de proportionnalité et le tableau ne peur permettra pas de combler ce déficit, contrairement au langage naturel et à la représentation.

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Représenter dans la résolution de problèmes

Autour de la fiche de résolution de problèmes, Christophe Mével a eu la gentillesse de me répondre de façon approfondie et d’attirer mon attention sur le cadre « recherche ». Cela m’a amenée à la question suivante : ne pas évoquer explicitement la schématisation ne risque-t-il pas d’éloigner les enfants de la possibilité de représenter ?

En effet, « représenter » est une compétence fondamentale, qui en plus à l’école est celle qui ouvre sur « modéliser ». Comme l’écrit Christophe, loin d’être anodine, elle permet à l’enfant de conjecturer et de s’autoévaluer, et à l’enseignant d’évaluer plus finement. « L’abstraction trop rapide est un mal français!
 », c’est vrai.

Pour autant, je n’ai pas envie d’imposer la représentation dans la fiche. J’observe assez régulièrement des enfants qui représentent pour représenter, ou pour « faire passer le temps », parce qu’ils ne savent pas, pensent ne pas savoir ou au contraire savent si vite qu’ils meublent.

Par exemple, dans une classe de CE1 récemment, j’ai observé les enfants résoudre un problème classique que j’avais proposé : maman a douze œufs. Elle en casse trois ; combien reste-t-il d’œufs à maman ? J’étais assise à une table à côté d’une petite fille, qui me regarde, souriante, et me dit, en me montrant ses doigts : « facile : douze, onze, dix, neuf. Ça fait neuf œufs pas cassés ». Et elle écrit « 12-3=9 » dans la partie calcul. Et puis elle regarde la fiche et se dit sans doute qu’il faut représenter. Alors elle réfléchit puis dessine :

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Ensuite, elle rédige sa phrase réponse.

Voilà un exemple que je trouve intéressant : cette petite fille, sur ce problème précis ce jour-là, n’a pas eu besoin de schématiser. Du coup, elle a vraiment dessiné (et son dessin est super, d’ailleurs), dans le sens occupationnel. Ce n’est pas grave, mais cela induit une confusion entre représenter et dessiner. Représenter est fait pour emmener vers la modélisation, justement. Par exemple, c’est « mieux » ici :

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Que là :

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Ce n’est d’ailleurs pas tout ce qu’on pourrait analyser dans cette dernière production, très très intéressante, en particulier dans la conclusion.

« Mieux » ne s’entend évidemment pas d’un point de vue réussite de la résolution du problème, mais démarche mentale et accès à l’abstraction : dans un cas l’enfant visualise les œufs dans le panier de maman, et dans l’autre il sait peut-être que l’important est de représenter les objets de départ et la transformation.

Un autre exemple me vient, que nous avons travaillé en formation. Cette fois, il est question de verres. On avait 12 verres fragiles et il n’en reste plus que 8. Combien de verres ont-ils été cassés ? Un enfant représente ainsi :

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Cette fois, on est dans un champ tout à fait différent de la petite élève précédente. L’élève a connecté par dessiner des verres à pied, puis a dû trouver cela difficile ou trop long et est passé à une représentation plus symbolique. C’est bien, de s’être ainsi adapté à la situation et à sa difficulté. Mais ensuite il dessine son opération, ce qui fait de sa représentation un objet hybride pas pertinent (par rapport à l’utilité de la représentation).

Représenter (correctement) aurait pu aider cet élève, qui a répondu ceci au final :

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Ainsi, cette réflexion met en lumière le propos de Christophe : l’importance de tout le travail nécessaire et sans doute trop peu développé
 pour apprendre aux enfants à représenter pour réfléchir, pour faire naître une intuition, pour résoudre et pour vérifier. Représenter, ça s’apprend. Car en effet, « très souvent l’enfant qui n’arrive pas à dessiner/à représenter la situation n’a pas les clés pour construire son raisonnement mathématique. » Parfois aussi l’enfant ne s’autorise pas à représenter, parce qu’il ne sait pas ce qu’il a le droit de faire. Alors il se censure. Il faut donc, dans les deux cas, donner des méthodes pour représenter, par exemple en s’appuyant sur les diverses représentations des élèves eux-mêmes, en organisant un débat avec les enfants. C’est tout l’enjeu du travail sur l’erreur, qui permet d’apprendre et de déculpabiliser.

Toujours sur le problème des oeufs, un autre élève encore, en difficulté en maths, avait réussi à résoudre le même problème, en représentant ainsi :

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Il était tout content, le bambin, d’avoir trouvé. Il n’avait indiqué aucune opération, car il n’avait pas reconnu la soustraction du point de vue de l’opération, mais il avait écrit « 9 » dans le cadre de la phrase réponse. Comme il est souvent agité, on aurait pu penser qu’il avait entendu la réponse ou pioché sur la feuille de sa voisine. Sauf que non : lorsque je lui ai demandé pourquoi 9, il m’a montré son schéma, sans un mot. Je lui ai demandé ce qu’il avait représenté, et il m’a expliqué qu’il avait dessiné, en vert, le panier de maman, avec douze oeufs dedans, chacun représenté plus ou moins par un « rond ». Et il en a barré trois. « Mais je n’étais pas sûr », me dit-il, « parce que souvent j’ai faux. Alors j’ai fait un autre dessin, et j’ai fait pareil sauf qu’à la fin j’en avais marre des rond c’est du de faire des ronds, j’ai fait des bâtons. C’est pareil en fait. Mais un oeuf c’est rond. C’est grave que j’ai fait des bâtons ? » Je l’ai rassuré et il a dénombré devant moi, pour arriver à 9.

Voilà un exemple qui montre bien l’importance de la représentation et son rôle dans la compréhension et la résolution de problème. Cet enfant a même progressé tout seul entre ses deux représentations.

La clef est bien la différenciation.

Merci Christophe ! 🙂

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Jordanus Nemorarius, génie et originalité au Moyen-Âge

Lors de la journée Tangente du 2 décembre aux Arts et Métiers, j’ai pu écouter Marc Moyon sur le thème Le Liber Abaci de Fibonacci. C’était très intéressant, et il nous a incidemment parlé de Jordanus Nemorarius, dont j’ignorais tout.

Depuis, je n’ai guère eu le temps de me poser, mais aujourd’hui, j’ai un peu creusé.

Jordanus Nemorarius, c’est aussi Jordan de Nemours. Je préfère la première version, qui fait franchement Harry Potter… Les biographies que j’ai trouvées éditées sont toutes en anglais, ce qui ne facilite pas mes choix de lecture : je ne peux ni les feuilleter, ni les appréhender facilement dans leur globalité.

Il semble que Nemorarius ait vécu aux alentours de 1250, en Europe. Il aurait eu une grande influence avant de tomber dans l’oubli à la Renaissance.

Sur le site de l’IREM de Poitiers, j’ai appris que Jordan de Nemours enseigna à l’Université de Toulouse, et qu’on sait peu de choses de lui. « Sa période principale d’activité semble se situer entre 1230 et 1260. Plusieurs de ses ouvrages consacrés à la physique, aux mathématiques et à l’astronomie sont parvenus jusqu’à nous (Elementa Jordani super demonstrationem ponderum, Demonstratio de algorismo, De elementis arismetice artis, Liber phylotegni de triangulis, Demonstratio de plana spera, Demonstratio de minutiis, De numeris datis). » Son traité, De numeri datis, est le premier ouvrage entièrement consacré à l’algèbre.

Une thèse en Épistémologie et histoire des sciences a été consacrée en partie à Nemorius : Des Data d’Euclide au De numeris datis de Jordanus de Nemore : les données, l’analyse et les problèmes, par Fanglei Zheng. La thèse compare les démarches d’Euclide, qui semble chercher à fournir à l’analyse géométrique un fondement axiomatique-déductif, et de Jordanus, qui « vise plutôt l’effectivité dans l’utilisation des chaînes de données dans l’analyse des problèmes sur les nombres ».

Dans une Revue d’histoire des sciences de 1983 (pages 180-181), j’ai trouvé un compte-rendu de publication d’une thèse, Jordanus de Nemore, De numeris datis, A critical edition and translation de Barnabas Hughes. On y lit ceci :

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Le tome 67 de la SMF, pendant l’année 1939, évoque également Jordanus Nemorarius :

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Enfin, en cherchant sur Images des Mathématiques, j’ai trouvé ceci :

« Considérons le problème bien connu que Jordanus Nemorarius, un des plus importants mathématiciens de la première partie du XIIIe siècle, pose dans son De numeris datis (Livre II, problème 6) : Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur rapport. Voilà ses explications :

Si on divise un nombre en deux parties dont on connaît le rapport, on peut trouver chacune d’elles. En effet, si le rapport de l’une d’elles au reste est donné, alors le rapport du tout à celui-ci est donné. Comme le tout est donné, cette partie est connue et par conséquent le reste. Par exemple : que l’on divise 10 en deux parties dont l’une est le quadruple de l’autre. 10 en sera le quintuple, et cette partie est 2. »

Tout ça met en appétit, je voudrais en savoir davantage…
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Quel signe pour la multiplication ?

Numworks a envoyé un mail à ses inscrits, dernièrement, pour poser cette question :

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On peut répondre ici.

Je me suis demandée (sans doute demandée à nouveau, mais j’ai oublié la réponse que j’avais dû chercher) pourquoi nous utilisons la croix. Sur le site de l’académie de Lyon, j’ai trouvé ceci :

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Le document en question, de l’IREM de Grenoble, est très intéressant et présente des méthodes que je connaissais pas toutes, ou bien dont je ne connaissais pas l’origine. On retrouve la proposition de Lyon :

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Wikipedia, pour sa part, écrit que le symbole × a été introduit en 1631 par William Oughtred dans Clavis mathematicae. Ce n’est pas incompatible avec la proposition précédente d’ailleurs. On lit ceci, aux pages 156 et 157 de l’ouvrage Clavis mathematicae :

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J’ai répondu ceci à la question de Numworks :

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J’aimerais bien connaitre des points de vue divergents, et leurs justifications. J’entends bien la confusion possible avec la lettre x, mais sur une calculatrice de collège, l’argument a peu de portée à mon sens.

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Stratégie, démarche, procédure (2)

Bon c’est malin, maintenant je n’arrive plus à réfléchir à autre chose. Il va falloir, car j’ai mes bulletins à remplir. Mais quand même, mon mari me faisait remarquer que le mot stratégie est d’un autre registre que procédure et démarche : une stratégie renvoie à la présence d’un adversaire (qui peut être un problème, certes). Démarche et procédure sont beaucoup plus « neutres », ils ne s’opposent à rien.

Histoire de voir, j’ai pris le programme de cycle 4. Le mot stratégie y apparaît deux fois, en lien avec les jeux. Le mot démarche est présent cinq fois : une démarche s’explique, se développe, s’explicite, s’élabore, et on s’y engage. Et le mot procédure y apparaît deux fois aussi, mais en lien avec le calcul : procédures de calcul. Tout cela va bien dans le sens de nos « définitions-ressentis ».

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