J’avais vu passer cette question de Charivari :

J’ai esquivé… La question est glissante, conceptuelle, peu consensuelle. On en était à notre troisième Noël, réussi dans la douceur et la gourmandise malgré microbes, virus et sciatique, Et puis Céline me l’a ramenée juste là, sous mon nez, c’te question.

Alors bon, si Céline me prend par les sentiments et la curiosité, allons-y.

Je vais m’appuyer (de nouveau, car ce document d’Edsucol est pour moi une ressource) sur ceci :

C’est ce que rappelle l’extrait suivant d’une brochure publiée en 1982 par l’APMEP intitulée Collège– mathématiques – projet de document d’accompagnement – grandeurs et mesures – page 3, réflexions sur quelques mots-clés à l’usage des instituteurs et des professeurs) : « A propos d’un même objet, plusieurs grandeurs peuvent être envisagées. Le type de manipulation à laquelle on soumet cet objet permet de préciser la grandeur dont il s’agit, ce qui conduit à un vocabulaire approprié : pour une feuille de papier : la longueur de son bord, ou périmètre, et l’aire de sa surface ; on suit le bord du bout du doigt, on balaie la surface de la paume de la main (…)

Source, page 3

Les passages en gras semblent indiquer qu’on mesure un bord par un périmètre, et une surface par une aire.

Plus loin dans le document, on lit :

Le périmètre d’un rectangle de longueur 12 cm et de largeur 5 cm est égal à 12 cm + 5 cm + 12 cm + 5 cm.

Source, page 7

On a bien périmètre = valeur numérique, mais là la question est assez tranchée en général. Peut-être trop rapidement d’ailleurs, car on peut comparer des périmètres sans mesure. Mais le périmètre est associé dans notre pensée collective à une longueur, et on parle de la longueur du cercle, maintenant, dans les programmes. C’est sur aire et surface que ça coince davantage.

Pages 12 et 13 du document d’Eduscol, on évoque des « surfaces d’aires très différentes », des « surfaces d’aires égales », mais jamais de surfaces égales : l’aire est ce qui permet de comparer, avec ou sans mesure (c’est le paragraphe 3.1.1, très joli). En revanche cette phrase ne m’aide pas du tout, à cause du « quant à l’étendue » qui me perturbe car je ne comprends pas pourquoi les auteurs ont tenu à le faire figurer dans le texte :

La variété des procédures qui permettent de comparer des surfaces « quant à leur étendue » aide la construction chez l’élève de la relation « avoir même aire ».

Source, page 13

On peut calculer des aires, même sans mesures. C’est toujours le même paragraphe, le 3.1.1, qui l’explique très bien : sur des aires, on effectue des opérations. Mais l’aire recouvre en fait deux théories, avec mesure et sans mesure, c’est ça qui est conceptuel et même compliqué :

En fait, je pense qu’un des soucis est que langage mathématique et langage courant ne se rejoignent pas tout à fait. En soi, c’est tout le temps le cas et ce n’est pas grave. Mais évidemment, dès lors qu’on se demande pourquoi il existe le mot « aire » si le mot « surface » suffit, ça picote les neurones de certains d’entre nous. Même les dicos maths ne sont pas toujours très clairs : dans Les mots et les maths de Hauchecorne, je lis, aux pages 22 et 271 :

En mathématiques, aire se cantonne dans le sens de mesure d’une surface.

« Surface » est attesté en géométrie dès la fin du XVIIe siècle et désigne la partie extérieure d’un corps et plus précisément sa mesure.

Mais dans le dictionnaire décalé des mathématiques, de Busser et Hauchecorne, je lis à la page 9 :

Dans le langage courant, le mot surface désigne aussi bien l’étendue que sa mesure. En mathématiques, il y a lieu de distinguer les deux. L’aire correspond à la deuxième acception.

Enfin, dans le dictionnaire des mathématiques de Bouvier, George et Le Lionnais, je lis, à la page 811 :

Dans le langage courant, on confond parfois surface qui désigne un ensemble de points et aire qui désigne la mesure d’une surface. Comme le mot courbe, on ne peut mas, mathématiquement, désigner seul le mot surface. Il désigne du contexte.

Et là, on voit bien que c’est compliqué, pour deux raisons : la collusion langage courant/langage mathématique, mais aussi la double théorie des aires, avec et sans mesure, qui apparaît dans le champ didactique, mais pas dans ces définitions.

Voilà. Je pense que cet article n’aidera pas du tout à répondre à la question, mais j’ai réfléchi, c’était rigolo. Dites-moi, quand même…