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Comment expliquer à des élèves pourquoi prendre une fraction d’une quantité amène à multiplier par cette fraction ?

Ah, merci Claude pour la question poil à gratter. Et merci Coralie pour le document qui m’a permis de mettre en forme une proposition pédagogique.

Voici donc ce que je propose :

Exemple 1

Le réservoir de ma voiture contient 60L lorsqu’il est plein.

Combien contient-il lorsqu’il est rempli aux trois quarts ?

Solution :

Remplir 3/4 du réservoir revient à dire que l’on partage le réservoir en 4 parties égales, et qu’on remplit 3 de ces parties.

Divisons 60 litres par 4 pour obtenir la valeur d’une de ces parties (soit un quart du réservoir).

60L ÷ 4 = 15L

Ainsi 15 litres correspondent à  du réservoir.

Mais on remplit 3 de ces parties ; multiplions donc 15L par 3.

15 × 3 = 45L.

Lorsqu’il est rempli aux 3/4, le réservoir contient 45L d’essence.

Ce que je tiens à expliquer aux élèves en fait :

Bon c’est bien, mais je voudrais automatiser tout ça, en comprenant ce que je fais…

Si nous résumons, nous avons effectué (60L ÷  4) × 3 =45L.

Intéressons-nous de plus près au calcul (60 ÷  4) × 3.

  • Tout d’abord, les parenthèses ne sont pas nécessaires, car les règles de priorité nous indiquent que dans un calcul ne comportant que des multiplications et des divisions, on effectue les opérations de la gauche vers la droite. Ainsi, (60 ÷  4) × 3 = 60 ÷  4 × 3
  • Ensuite, 60 ÷  4 × 3 = 60 × 3 ÷  4. En effet, dans 60 ÷  4 × 3, on divise par 4 puis on multiplie par 3. Dans 60 × 3 ÷  4, on multiplie par 3 puis on divise par 4. Dans les deux cas, on a effectué les mêmes opérations.

C’est un peu la même chose que si on me donne les deux instructions suivantes : « Va vers l’ouest de dix pas puis va vers le nord de vingt pas » et « Va vers le nord de vingt pas puis va vers l’ouest de dix pas ». Dans les deux cas, je me retrouve exactement au même endroit.

Mais alors au final, notre opération s’écrit :

(60 ÷ 4) × 3 = 60 ÷ 4 × 3 = 60 × 3 ÷ 4.

Or tu sais que 3 ÷ 4 s’écrit aussi 3/4

Ainsi, chercher  3/4 de 60L revient à calculer 60L × 3/4.

Et dans la fiche d’exos associée, si j’ai bien compris, Frédéric, je pourrais utiliser l’exercice 5 pour parler ratio.

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Z’en pensez quoi ?

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On s’y colle !

Question du jour : vous collez les leçons ? Les élèves ne copient pas ?

Hé bien oui, nous collons, la grande majorité du temps. Les élèves écrivent le cours seulement lorsque la trace est « exotique », difficile à obtenir en numérique sans y passer trop de temps, ou lorsque ce serait moins joli/rigolo/clair.

En revanche, dans la plupart des cas, ce ne sont pas les leçons que j’ai mises à disposition sur la Box qui seront collées : en général, nous construisons la trace ensemble, et je la tape et je la mets en page d’ici à la fois suivante. Et là, je photocopie, l’élève distributeur distribue et chacun colle, à la page que j’annonce, pour que ce soit au bon endroit du cahier de leçons numéroté.

En fait, je préfère garder du temps pour travailler : réfléchir, chercher, communiquer, résoudre. Recopier, ça ne m’intéresse pas beaucoup, voire pas du tout. Si des élèves ont besoin d’écrire pour retenir (Mathieu Gangnon explique cependant que recopier sans sélectionner et hiérarchiser les informations est tout à fait inutile), ils peuvent le faire à la maison, mais ce ne sera pas fait en classe.

En revanche, je consacre du temps en classe pour expliquer aux élèves comment fonctionne leur mémoire et comment on apprend une leçon de mathématiques. Parfois nous apprenons les leçons en classe, aussi.

Pour plus de précisions, un peu datées mais encore à peu près valables, il y a un article sur ce thème ici.

Sommaire sixième

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Question 6 : il y a des décimaux qui se baladent alors que le thème n’a pas été vu ?

Je continue ma foire aux questions, lorsque j’en croise une qui me semble clef pour comprendre ma programmation.

Question 6 : les nombres décimaux n’ont pas encore été réactivés, mais certaines de tes tâches complexes utilisent la multiplication d’un nombre décimal par un entier ou la multiplication de deux décimaux (nouveau dans le programme de 6ème) et tu ne le mentionnes pas.

C’est bien observé.

Les élèves n’utiliseront pas la calculatrice, que j’utilise par ailleurs seulement en toute fin d’année.

Pourtant, c’est vrai, les décimaux pointent leur nez bien avant leur institutionnalisation. J’ai éliminé pas mal de situations les mettant en oeuvre, mais j’en ai conservé d’autres, car elles m’intéressaient telles quelles ou étaient dénaturées si je changeais les valeurs numériques engagées.

Il y a deux cas de figure : si l’écriture décimale concerne un nombre exprimé dans une unité de mesure, que nous pouvons transformer en entier dans une autre unité (euros en centimes, mètres en millimètres …), nous transformons pour travailler sur des entiers, puis nous reconvertissons pour revenir à l’unité attendue. Cela permet de travailler au quotidien les conversions d’unités de mesure.

Si ce n’est pas le cas, alors je reviens à l’oral et avec mon glisse-nombre à la structure des décimaux, pour transformer 3,12 en 312 centièmes. Et là nous nous ramenons à la multiplication entière.

Si j’ai fait ce choix, c’est parce que je trouve que les élèves ont un mal de chien avec les décimaux, que je veux qu’ils donnent du sens (pitié, laissez cette virgule là où elle est…) et que cela me permet, en m’appuyant sur ce qu’ils ont vu en CM1-CM2 (je ne vais pas non plus faire comme s’ils ignoraient tout ça) de réactiver sur l’ensemble de l’année et très progressivement, mais aussi très régulièrement les décimaux. En plus, passer un long moment sur les décimaux fatigue tout le monde, je trouve. Là, lorsque nous y arrivons, ça coule tout seul.

J’institutionnalise en toute fin d’année sur la multiplication de décimaux, lorsque cela ne leur pose plus aucun problème.

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Question 5 : mais dans ta séquence symétrie axiale, tu n’étudies que la symétrie axiale ?

Dans les commentaires et les mails que vous m’avez envoyés, il y a pas mal de questions. Je vais en reprendre quelques-unes aujourd’hui dans des articles, car elles méritent développements on ne peut pas bien comprendre la logique de mes contenus sans ces réponses. Merci donc de me les avoir posées…

Question 5 : mais dans ta séquence symétrie axiale, tu n’étudies que la symétrie axiale, alors que tu dis préparer des séquences multi-thèmes ?

Oui.

Cette séquence vient de Toutatice, et elle me plait telle qu’elle est. J’ai envie de la tester, et pour une première mise en oeuvre je préfère faire confiance aux collègues qui l’ont construite, testée, et tout et tout. C’est compliqué, d’entrer dans la démarche de quelqu’un d’autre, alors autant commencer tranquillou. Cette séquence me permettra aussi de réactiver les périmètres et les angles, cela dit.

Mais surtout, comme je l’ai écrit précédemment, je n’ai pas envie (et je ne suis pas capable) de me laisser enfermer dans un système. Mon cap, c’est la réussite des élèves avant tout, et aussi mon plaisir à enseigner. Alors je navigue. Parfois je me retrouve à l’eau. Ce n’est pas grave, je sais nager.

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Question 4 : vu la quantité de notions abordées dans une séquence, les élèves ne s’y perdent pas ?

Dans les commentaires et les mails que vous m’avez envoyés, il y a pas mal de questions. Je vais en reprendre quelques-unes aujourd’hui dans des articles, car elles méritent développements on ne peut pas bien comprendre la logique de mes contenus sans ces réponses. Merci donc de me les avoir posées…

Question 4 : vu la quantité de notions abordées dans une séquence, les élèves ne s’y perdent pas ?

Ah, ça c’est LA question que je me posais avant de commencer à travailler ainsi.

La réponse est simple : non. Mais avant de me lancer, je n’étais pas sûre, et j’avais même peur de m’y perdre, moi.

D’abord, j’essaie d’être explicite en permanence : nous nous arrêtons souvent pour faire le point. Où allons-nous ? Pourquoi proposé-je ceci ou cela aux élèves ? Quels sont mes objectifs ? Les élèves se prennent très vite à ce jeu : il y a une logique, ils le savent, et ils savent aussi qu’elle est au début invisible. Alors ils cherchent et dès qu’ils trouvent, ils le claironnent. D’autre part, dans une séquence, même si nous travaillons des éléments de plusieurs domaines, il y a une trace de leçon, qui va se ranger dans le cahier numéroté, dans la section adaptée : nombres et calculs, grandeurs et fonctions, etc. Les élèves savent donc ce qu’ils doivent retenir. Au moment des évaluations, nous les préparons en faisant ensemble le point sur les attendus. Enfin, nous prenons le temps. Et si je constate qu’en raison de difficultés il faut démêler les fils et se concentrer sur un thème de façon plus isolée, hé bien c’est parti.

En revanche, travailler ainsi me permet de donner du sens aux apprentissages, puisqu’en général les notions nouvelles arrivent, telles des Zorros mathématiques, pour permettre de résoudre un problème sur lequel les élèves étaient bloqués. Et puis les élèves en difficulté sur tel ou tel domaine peuvent se raccrocher à tel autre, tout en continuant tout de même à progresser : améliorer ses points faibles est plus facile à envisager et à accomplir lorsqu’on n’est pas en souffrance complète.

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Question 3 : Les ceintures de compétences ne te tentent pas ?

Dans les commentaires et les mails que vous m’avez envoyés, il y a pas mal de questions. Je vais en reprendre quelques-unes aujourd’hui dans des articles, car elles méritent développements on ne peut pas bien comprendre la logique de mes contenus sans ces réponses. Merci donc de me les avoir posées…

Question 3 : les ceintures de compétences ne te tentent pas ?

Ah, question un peu compliquée pour moi, car la réponse est ambivalente.

Avant tout, je précise que je n’ai pas d’a priori négatif sur les ceintures de compétences, au contraire. Je ne suis pas non plus très calée sur le sujet. J’ai vu des fonctionnements qui roulaient remarquablement bien, je sais que des collègues comme Guillaume Caron pratiquent les ceintures de compétences avec un succès comparable à leur talent (c’est pour toi, Guillaume, ce compliment), mais je crois que cela ne me convient pas. Cela me semble trèèèèès compliqué, ce qui indique sans doute que je n’ai pas tout compris et/ou que ce n’est pas en adéquation avec mes pratiques et ma façon d’être.

Pourquoi ?

  • Parce que dans l’idée que je m’en fais, cela nécessite d’avoir tout préparé à  l’avance en sériant toutes les tâches, et que j’aime particulièrement les tâches complexes dont des tâches qui nécessitent une collaboration du groupe entier, même si je ne pratique pas seulement ce type de tâche ;
  • Parce que je suis très attachée à la « culture classe » dont parle Boimare, et que je tiens à ce que tout le monde travaille sur des thèmes communs au même moment, pour pouvoir faire des bilans collectifs quand cela me chante. J’ai besoin, pour me sentir bien dans mon année, de sentir que nous construisons une histoire commune, mathématique et collective ;
  • Parce que j’ai peur d’individualiser. Je différencie, mais je ne veux pas tomber dans l’individualisation, ce qui pour moi est un risque.

Bon, maintenant, je suis peut-être à côté de la plaque en pensant que les ceintures de compétences font travailler individuellement les élèves sur des thèmes variés, mais c’est comme ça que je l’ai vu mis en oeuvre.

En revanche, j’ai clairement pris des éléments également présents dans les systèmes de ceintures :

  • Les points attribués avec Sacoche se rapprochent du système de ceintures : chaque compétence est non acquise, fragile, satisfaisante, très satisfaisante ou experte. C’est consultable sur l’ENT ;
  • L’obsession du développement de l’autonomie, de la coopération, de l’entraide, de la dévolution ;
  • J’essaie autant que possible dévaluer les élèves lorsqu’ils y sont prêts, et de les réévaluer s’ils le souhaitent.

En fait, je pense que je ne suis pas prête à suivre un système (quelle que soit l’échelle, d’ailleurs). Je fais ma tambouille, j’ai besoin de pouvoir m’adapter et changer quand je pense que c’est pertinent.

Je vous conseille d’aller lire le blog de Guillaume, si vous ne le connaissez pas encore :

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Question 2 : tu ne fais pas beaucoup d’exercices, non ?

Dans les commentaires et les mails que vous m’avez envoyés, il y a pas mal de questions. Je vais en reprendre quelques-unes aujourd’hui dans des articles, car elles méritent développements on ne peut pas bien comprendre la logique de mes contenus sans ces réponses. Merci donc de me les avoir posées…

Question 1 : tu ne fais pas beaucoup d’exercices, non ?

Je ne sais pas trop, parce que « beaucoup d’exercices », c’est relatif.

Je pense que je propose pas mal d’exercices, de natures très différentes : les activités de découverte, les questions flash, les exercices d’entraînement, de consolidation, les tâches complexes, les problèmes ouverts, les questions orales, les exercices d’approfondissement, les activités de manipulation, les jeux… Le truc, c’est que je ne les prévois pas à l’avance, et que je n’ai pas de règle en la matière : je ne me fixe pas d’objectif de quantité. Pour moi, un exercice, ça exerce, mais ce n’est pas forcément un texte pris dans un manuel. Même lorsqu’il y a des numéros marqués dans mes grilles de séquence, c’est comme ça, si je manque imagination, mais rien ne dit que je les proposerai : je les choisis en direct, selon ce que j’observe chez mes élèves, selon leurs besoins identifiés. Du coup, je propose souvent des exercices que j’ai fabriqués d’une fois sur l’autre, ou de façon spontanée en classe parmi toute une base d’exercices que je connais, au fil des années. Parfois aussi je me rends compte que quelque chose n’est pas passé et hop, on se fait une nouvelle salve d’exos et on y passe pas mal de temps. Ca dépend, quoi.

Pour donner un ordre d’idée, mes élèves utilisent à peu près un et demi à deux cahiers  de 96 pages, en format 24-32, par an, pour les exercices. Plus les multiples feuilles pas toujours collées et les tâches collectives, que tout le monde ne conserve pas forcément.

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