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Comment un élève m’a scotchée

Attention, je vais vous poser une question délicate. Vous êtes prêts à réfléchir ? Y a-t-il plus, moins ou autant de points sur un segment et sur une droite ?

Réponses spontanées :

  • Bah moins. Le segment il est plus petit.
  • Non, ça dépend du segment et de la droite, si le segment il est plus long que la droite.
  • Mais non, la droite elle est infinie, même si sur le tableau elle s’arrête.
  • Non, il y en a autant, parce que ni sur la droite ni sur le segment on ne peut les compter.
  • Sur la droite il y en a infini et sur le segment il y en a infini aussi, mais un infini plus petit.

Alors j’explique qu’il y en a autant, même si cela heurte l’intuition chez beaucoup de gens. J’explique de diverses façons, et à la fin de mon explication un élève discret lève la main et me dit « Madame, je ne suis pas d’accord avec vous. Pour moi, même s’il y a une infinité de points sur un segment et sur une droite, je pense que ce n’est pas le même infini et que celui du segment est plus petit. Parce que je sais que l’infini des entiers ce n’est pas le même que celui des nombres décimaux, parce qu’entre deux entiers qui se suivent n’y en a pas d’autre alors qu’en deux décimaux on peut toujours en trouver plein. Moi je me dis c’est pareil pour le segment qui est comme les entiers et pour la droite qui est comme les décimaux. »

Ouhaouuuuuuuuuuuuuuuuuuuu !

Je ne sais pas si je l’ai convaincu, mais cela nous a permis d’anticiper un peu sur les décimaux et c’était hyper intéressant. Et moi j’ai bu du petit lait. En plus, cet élève m’a dit tout ça avec les larmes aux yeux, de grosses larmes qui lui faisaient trembler la voix : il exprimait devant toute la classe un point de vue divergent du mien, devait avoir la trouille que je le dispute, mais cela lui tenait tellement à coeur qu’il fallait qu’il le dise. Que sa conviction soit si importante qu’elle lui fasse surmonter sa peur, c’était émouvant. Bravo mon bonhomme.

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La neutralité dans les sciences est une illusion (Thomas Schauder)

Sur le Monde.fr, un article a été publié qui s’intitule :

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L’auteur , Thomas Schauder est professeur de philosophie. Il a enseigné en lycée et est actuellement en poste à l’Institut universitaire européen Rachi, à Troyes.

Selon Thomas Schauder, « une idéologie scientiste est à l’œuvre qui assimile la politique à une gestion de « stocks » et de « flux » humains, et l’individu à son seul mécanisme cérébral« . Son propos n’est pas d’enlever toute valeur aux sciences cognitives. Mais il appelle à la prudence, avec quelques exemples bien choisis. Son propos m’a intéressée : la dernière fois qu’en animation d’un stage j’ai fait référence aux neurosciences, pour étayer mon propos, j’ai aussitôt ajouté qu’il fallait toutefois rester prudent et garder à l’esprit qu’être enseignant c’est s’adresser à des personnes et non seulement à des cerveaux, et que les neurosciences évoluent très vite actuellement. Elles nous apportent beaucoup mais il fait toujours réfléchir les utilisations que nous en avons. Hé bien je me suis fait bien loxonner par deux enseignants, fans de neurosciences, qui m’ont asséné que ce que je disais était irresponsable, faux, et qu’en tant que formatrice je me devais de promouvoir au maximum les neurosciences. Après quoi ils ont grommelé à à peu près tout ce que je disais, jusqu’à ce que je leur demande de cesser.

Le sujet est donc un peu polémique chez les profs aussi.

Or Thomas Schauder écrit :  » quand Stanislas Dehaene déclare qu’il veut « agir pour l’éducation des jeunes, indépendamment de toute idéologie » (Le Monde, 15 janvier), il oublie une leçon fondamentale de l’épistémologie : la neutralité dans les sciences est une illusion. (…) Cette manière de s’en remettre à l’expertise pour cautionner tout et n’importe quoi est caractéristique du taylorisme.« 

Je crois que c’est pile cela qui a chiffonné (le mot est faible, au vu de leur attitude ensuite) mes collègues : pour eux, la science (pas seulement dans le sens conceptuel, mais même dans le sens oeuvre humaine) est neutre, fiable, sans doute rassurante. Mais non, pas comme ça, et heureusement que non. Les exemples sont légion d’ailleurs. Le « monde sans esprit », un monde déshumanisé, issu des « utopies » du XIXe siècle. Ni nouveau, ni désirable » que craint Thomas Schauder en conclusion de son article n’est pas crédible à mon avis : il n’y a qu’à regarder réagir mes deux collègues. Ils étaient très humains, dans leur réaction !

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Platon en cours de maths en cycle 3

C’est l’objet du premier atelier que j’ai suivi hier. Il était vraiment intéressant, même si je ne mettrai pas en oeuvre en classe l’activité que je vais résumer. En revanche je vais m’en servir en formation en master 2 enseignement.

Dans ce dialogue, qui correspond aux pages 344 à 352 de l’édition de 1976 chez Flammarion, Socrate interroge un esclave au sujet de la duplication du carré. l’esclave commence par se tromper, en proposant que pour être d’aire double le carré doit avoir le côté double aussi, puis face au questionnement ouvert (enfin, plus ou moins ouvert) de Socrate, il comprend qu’il s’est trompé. Socrate conclut ainsi :

SOCRATE.

Que t’en semble, Menon ? A-t-il {l’esclave} fait une seule réponse qui ne fût son opinion à lui ?

MENON.

Non ; il a toujours parlé de lui-même.

SOCRATE.

Cependant, comme nous le disions tout à l’heure, il ne savait pas.

MENON.

Tu dis vrai.

SOCRATE.

Ces opinions étaient-elles en lui, ou non ?

MENON.

Elles y étaient.

SOCRATE.

Celui qui ignore a donc en lui-même sur ce qu’il ignore des opinions vraies ?

MENON.

Apparemment.

SOCRATE.

Ces opinions viennent de se réveiller en lui comme un songe. Et si on l’interroge souvent et de diverses façons sur les mêmes objets, sais-tu bien qu’à la fin il en aura une connaissance aussi exacte que qui que ce soit ?

MENON.

Cela est vraisemblable.

A partir de ce dialogue, Renaud Chorlay (de l’ESPE de Paris), Alexis Gaudreau (enseignant de mathématiques à Paris) et Dominique Heguiaphal (professeur des écoles à Paris), de la commission inter-IREM Histoire et épistémologie, ont proposé l’atelier « Lire un texte du patrimoine au cycle 3 ».

Après qu’ont été précisés les objectifs et les limites de l’expérimentation, les références à des travaux de chercheurs comme Goigoux et Cèbe, nous avons réfléchi ensemble sur les notions mathématiques rencontrées dans le texte, ou qui peuvent être évoquées à partir de sa lecture. Elles sont nombreuses et en effet correspondent très bien au cycle 3. Ensuite, nos animateurs nous ont questionnés sur les difficultés rencontrées, pour les élèves comme pour nous, à sa lecture. Ces analyses-là étaient déjà très intéressantes en elles-mêmes.

Puis nos trois collègues nous ont présenté leurs fiches de séquences, des fiches outils complètes, et des productions d’élèves, là aussi assorties de propositions d’analyse.

Quel en est mon bilan ?

Premier constat : des ateliers animés par des enseignants, c’est bien aussi… J’avais un peu tendance à sur investir les conférences,à tout miser sur les « stars de la recherche ». Hier, les travaux de ces collègues, comme de ceux de l’atelier de l’après-midi, m’ont vraiment beaucoup apporté. Les deux groupes nous ont présenté un travail pensé de façon profonde, précise, tourné vers les élèves, et étayé par des travaux concrets d’élèves. C’est agréable de rencontrer des formateurs qui ont l’expérience du terrain, qui peuvent décrire leurs observations concrètes. Cela m’a fait pas mal réfléchir quant à mon métier de formatrice (aux retours positifs, lorsqu’il y en a, des enseignants que je peux former. Je comprends mieux ce qu’ils veulent me dire) et à ce que j’ai pu écrire dans mon mémoire de CAFFA.

Deuxième constat : ce travail me laisse vraiment en pleine réflexion. En même temps que je le trouve intéressant (en plus, une activité maths-français qui en est vraiment une, c’est chouette) et que l’expérimentation en elle-même m’intéresse (j’aurais aimé avoir des tas de productions d’élèves devant moi pour m’y plonger et réfléchir), que je voudrais en savoir plus, je ne me vois pas déployer l’activité en classe, pour deux raisons. Je ferai abstraction, dans la suite, de l’argument que j’ai entendu hier dans les rangs des spectateurs : lire ce texte est impossible à des élèves de cycle 3. Je ne le crois pas. Cette lecture va prendre un temps très variable selon le public bien sûr, mais comme l’a dit hier Renaud Chorlay, c’est une question d’accompagnement. Et en effet, les fiches de travail font la part belle à la lecture, la compréhension du texte, la reformulation. Une autre remarque, faite par un inspecteur général présent, concernait la phase d’institutionnalisation, et m’a rappelé tout de suite une remarque similaire d’un de mes IPR la semaine dernière : quid de la trace écrite, de la reformulation de ce qu’on visait comme objectif ? Les élèves savent-ils ce qu’ils ont appris ? L’équipe qui présentait était passée par cette phase et n’a pas eu le temps d’approfondir, mais cette remarque de l’IG est vraiment très importante, en ces temps d’expérimentation d’activités interdisciplinaires. Évidemment que lorsque nous proposons une activité aux élèves, nous savons pourquoi et quels objectifs nous visons, mais il faut que ce soit explicite aussi pour eux.

Mes deux raisons à moi sont les suivantes :

  • Dans le texte, une des difficultés est que l’unité de mesure de longueur, le pied, est également utilisée pour mesurer les aires. Il me semble que les élèves de cycle 3 mettent difficilement du sens sur nos unités de mesure. Souvent, ils oublient le carré du mètre carré, le cube du mètre cube. Lorsqu’on leur demande de regarder leur résultat, ils corrigent la plupart du temps, mais généralement en s’appuyant sur leur mémoire plus que sur leur compréhension de la signification de ces unités : la prof elle vaut qu’on mette un deux pour les aires, alors je le mets. Mais ont-ils intériorisé pourquoi il faut « mettre le deux » ? Je crains vraiment que travailler avec des pieds de longueur et des pieds d’aire me gêne dans cette lente acquisition du sens des unités. Pourtant, nos intervenants ont expliqué que non, car ils ont explicité ce point avec les élèves. Les expressions « pieds de longueur » et « pieds d’aire » sont d’eux. Sur ce point, j’envisage tout à fait d’avoir tort. Mais je suis frileuse, pour le coup.
  • Deuxième point, le plus important pour moi : vers la fin de la séquence, on demande aux enfants de justifier que la figure obtenue en suivant les instructions de Socrate est un carré. Comme ils ne connaissent pas le théorème de Pythagore (nous sommes au cycle 3), ils ne peuvent pas démontrer. Ce qui est attendu d’eux est donc d’effectuer une vérification de façon instrumentée, avec l’équerre et la règle graduée, par exemple. Et là, ça coince pour moi : en sixième, j’essaie de faire glisser les élèves vers l’argumentation, de passer du perceptif au déductif. Or ici je ne suis pas en mesure d’invoquer les arguments qui seraient utiles. Ça m’embête fort, ça.

Reste que ce temps de formation est passé très vite, trop même, puisque j’aurais aimé des approfondissements et des prolongements. Et je pense utiliser ce support avec mes étudiants de master 2 l’année prochaine : il y matière à réflexion, et une réflexion de bonne qualité. Et puis écouter des collègues investis, motivés, qui travaillent en équipe, c’est revigorant.

 

 

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Le scepticisme, qualité mathématique

En route pour un séminaire à Poitiers, j’ai profité du train pour lire. J’avais glissé dans mon sac deux livres, un « livre de matheux » et un « livre normal ». J’ai commencé par le livre de matheux. Il s’agit en fait d’un tout petit ouvrage intitulé Les mathématiques sont la poésie des sciences, qui retranscrit une conférence de Cédric Villani, en mars 2013 à Namur. Le titre est une citation de Senghor.images

L’introduction reprend l’intervention d’Elisa Brune. Elle s’achève sur ces mots :

« Elles (les mathématiques) peuvent aussi gambader en pleine liberté, dans des espaces à trente-six dimensions, dans des nombres imaginaires, et personne ne leur demande de répondre à une expérience faite en laboratoire. 

Pour passer la parole à Cédric Villani, je dirais des mathématiques qu’elles sont la science la plus libre. »

Au début de son intervention, Cédric Villani revient sur certains principes fondamentaux chers aux mathématiciens : le scepticisme a priori, le rejet des arguments d’autorité pour leur préférer la démonstration et le raisonnement logique (« Nul ne détient une parole plus forte que les autres »).

Dans la suite, Cédric Villani dit « Si les mathématiques étaient un art, parmi tous les arts possibles, ce pourrait être le design. En design, comme en mathématiques, on retrouve la même ambivalence, la même dualité – ou dialectique – entre l’harmonie,l’abstraction, l’esthétique et le devoir d’efficacité. (…) Étant partout autour de nous, comme les tables et le mobilier, les mathématiques sont envahissantes, mais elles se font oublier quand elles fonctionnent bien. »

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Ensuite, comme le titre de son intervention l’indique, il explore les liens entre mathématiques et poésie. Je suppose que selon le rapport de chacun aux mathématiques et à la poésie on est plus ou moins sensible à tel ou tel de ses arguments ; pour ma part, j’ai d’abord été touchée par le rapport au langage, à la poésie de mots en mathématiques.

J’ai aimé le parallèle tenté par Villani entre l’exercice des mathématiques et un poème de Tennyson, La dame de Shalott. Il explique qu’il aime imaginer « que c’est une allégorie du mathématicien, incapable d’appréhender le monde directement par des expériences comme le fait le mathématicien, et ne pouvant au contraire l’étudier qu’à travers son reflet dans le monde mathématique : les équations. » Cette idée et sa formulation me parlent. Voici un extrait d’une traduction du poème :

 

Là, elle tisse de nuit et de jour

Un tissu magique aux couleurs éclatantes,

Elle a entendu une rumeur dire

Qu’une malédiction s’abattrait sur elle si elle restait

A regarder en bas vers Camelot ;

Elle ne sait pas ce que peut être la malédiction

Et alors elle tisse encore plus.

Elle y voit le grand chemin à proximité

Descendant vers Camelot ;

Et parfois à travers le miroir bleu

Les chevaliers vont à cheval deux par deux.

Elle n’a pas de loyal et fidèle chevalier,

La Dame de Shallot

La suite du petit ouvrage est dans le style habituel de Cédric Villani : c’est agréable à lire, mais ce sont des propos qu’il a déjà tenus dans des ouvrages que j’ai lus ou des conférences auxquelles j’ai assisté. Il se cite d’ailleurs beaucoup lui-même de façon explicite, et tourne beaucoup autour de Poincaré, là aussi comme souvent. Mais la lecture demeure intéressante.

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Beauty, art and mathematics

Une émission de la BBC (en anglais et sous-titrée en anglais mais c’est vraiment facile à comprendre) propose de suivre un artiste et critique, Matthew Collings, dans une promenade scientifique. Elle est tout à fait passionnante, et m’a permis de réfléchir sur l’art abstrait.

Matthew Collings se dit inculte en maths, autant que je le suis en art abstrait. Il n’y comprend rien, et moi non plus, même si ce n’est pas dans le même domaine. Mais il est curieux, et moi aussi. Alors il va voir des scientifiques. Il part sur les traces d’Einstein, Newton, rencontre des chercheurs qui lui parlent d’eux, et puis il met tout cela en regard de l’art abstrait : il propose un parallèle entre la révolution de la théorie de la relativité d’Einstein avec celle de l’art abstrait de Picasso.

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L’ouverture d’esprit de Matthew Collings est remarquable et il est intéressant à observer, dans sa posture, lorsqu’il comprend que ses représentations du monde ne sont pas scientifiquement justes. Il dit, lorsqu’on lui explique la relativité du temps « Si je comprends correctement cette équation, elle exprime quelque chose d’incroyable ». Nous sommes bien d’accord, et cette phrase répond à « mais madame à quoi ça sert les maths ? » d’un coup d’un seul. Dans l’émission (aux alentours de 33 minutes), il explique ce qu’il ressent face à tout ce qu’il découvre. Matthew Collings a beau ne pas avoir de pré-requis développés dans les domaines scientifiques, il décrit très bien l’excitation, l’émerveillement, le plaisir de la découverte et de la surprise, ce que plus tard Hawking nomme le « Eureka-moment ». Collings parle de « philosophie des équations », et on comprend ce qu’il veut dire : le plaisir de la découverte scientifique n’est pas réservé aux experts, et il en est la preuve. Il faut y être prêt et se départir de ses certitudes, ne pas avoir peur d’abandonner ses représentations, mais finalement ce sont des plaisirs accessibles à chacun.

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Dans la foulée, j’ai aussi découvert Paul Dirac, pour qui une théorie scientifique devait être belle pour qu’on puisse envisager qu’elle décrive la nature, et l’étudier. Stephen Hawking, lui, parle plutôt d’élégance, en en faisant un élément important et significatif mais pas forcément indispensable.

En conclusion, Matthew Collings explique sa vision de son art aux scientifiques. Et ce qui m’a frappée, c’est qu’il parle de modèle de la réalité. Un modèle que je ne parviens pas à comprendre, mais je comprends mieux ce qu’il veut dire par là.

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Flaubert, maths et Robec

En me promenant à Rouen, rue Eau de Robec, je suis tombée sur une citation sur le fronton d’une boutique :

C’est l’oeuvre de Gaspard Lieb, un artiste qui propose des rencontres urbaines éphémères, créant des rencontres poétiques au détour des rues. Il a dispersé dans la ville des traces de littérature sur les murs, comme celle-ci.

Il est écrit : « L’art dramatique est une géométrie qui se parle en musique. Le sublime dans Corneille et dans Shakespeare me fait l’effet d’un rectangle. La pensée se termine en angle droit« .

J’ai beaucoup aimé cette rencontre surprenante. Mais la citation me laisse perplexe. Très très perplexe. Ca ressemble à une vanne, je trouve, mais je suppose que ce n’en est pas une, puisque Flaubert parle de « sublime ». Je ne comprends pas la première partie, parce que je ne trouve pas du tout mon ressenti du théâtre dedans. Mais la suite m’interroge franchement : une pensée en angle droit, un littérature-rectangle, je trouve ça triste et convenu. il n’y a aucune liberté dans cette figure, avec ses régularités, ses angles égaux, pointus et répétitifs. Même ses diagonales sont de même longueur. Elle n’a ni la beauté mystérieuse du cercle, lié à π (un coca ?), ni son efficacité concrète (pourquoi les bulles sont-elles sphériques, le savez-vous ?). Elle n’a pas la liberté d’autres polygones, et seul le carré est encore plus plan-plan, mais aussi vraiment très particulier.

Une pensée en angle droit, ça fait un bruit de pas réguliers de bottes bien cirées. Encore que peut-être la morale, à la rigueur, peut se concevoir à angles droits. Mais dès qu’on la confronte au monde et aux hommes, elle va, comme toute pensée individuelle, quitter le chemin prévu et partir en boucles, en courbes et en circonvolutions. Parce que le vivant, ça ne choisit pas le plus court chemin. Ca vit, justement. Et c’est beau, ces courbes imprévisibles et personnelles, parfois incompréhensibles à l’autre.

Et le rectangle, il est tout mort, un peu.

Si quelqu’un comprend les mots de Flaubert d’une façon qui m’est étrangère ou peut proposer une interprétation, je prends.