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Angorisme, Hercule, zhéros…

Je mets la dernière main à une version contée de l’histoire du zéro, et cela m’emmène dans des chemins inattendus… De l’expression « c’est un cyfre d’angorisme » pour qualifier un homme de rien (cyfre, initialement le mot pour notre actuel zéro, a donné le mot chiffre), à Walt Disney… Et ça, ça pique suffisamment aux yeux pour être partagé.

Les mathifolades, de Monique Merabet

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Représenter et verbaliser, complément du jour

Aujourd’hui, en sixième, nous avons cherché à définir les polygones. Cela fait bien longtemps que mes élèves ont entendu le mot polygone, et travaillé à partir de cet objet mathématique. Ils le connaissent, dans le sens où ils se le représentent mentalement. Pour autant, ont-ils modélisé ? Pas tous, manifestement ; au début de mon questionnement, tous étaient encore sur une description du polygone reliée à leur perception et à la manipulation.

Lorsque j’ai demandé : « Bon, alors, qui peut me dire ce que c’est qu’un polygone ? », j’ai eu pour réponses : « C’est une forme. » et « C’est un quadrilatère ».

« Une forme, c’est trop peu précis pour moi : si je dessine une espèce de patate, comme ça, est-ce que c’est un polygone ? » Consensus dans la classe, non non non ce n’est pas un polygone. « Et un quadrilatère, ça ne me va pas non plus, pourquoi ? », et l’élève a elle-même corrigé : « Parce qu’il y a d’autres polygones que les quadrilatères ». Bien.

« Alors », ai-je demandé, « c’est quoi un polygone ? » Là, mes élèves ont réfléchi. J’aime bien ça, quand ils réfléchissent et que ça s’entend, que ça se voit. Je ne m’attendais pas à ce qu’ensuite nous allions aussi loin. Trois élèves ont proposé une réponse :

  • « C’est un dessin droit. »
  • « Non, c’est pas assez précis vous allez dire. C’est un dessin droit qu’on ferme. »
  • « Non, ça va pas, encore, parce que droit, ça peut faire une droite. C’est un dessin qu’on ferme et qu’on trace avec une règle ».

Nous sommes donc partis de ça :

Un polygone est un dessin qu’on ferme et qu’on trace avec une règle.

Je retranscris ce que j’ai dit à ces élèves. j’aurais pu faire bien mieux… Mais bon, c’est mon enregistrement. En rouge, c’est moi :

« Je voudrais retravailler cette phrase, parce que ce n’est pas une définition. Ce n’est pas une définition, parce que le mot « dessin » n’est pas un mot de définition mathématique. Mais pour définir un objet mathématique, ça ne va pas. C’est ma première objection. »

Un élève a levé la main tout de suite :

« Une figure ? »

« Ah oui, une figure c’est mieux. Vous en pensez quoi, tous ? Est-ce que c’est pareil, dessin et figure ? »

« Bah un peu, mais dessin c’est plutôt… en arts plastiques ou en SVT, et figure c’est qu’en maths ».

« Oui, c’est vrai. Pourtant, des dessins, on en fait aussi en mathématiques. Ca, par exemple, pour l’exercice de tout à l’heure, c’est un dessin : nous l’avons dessiné, tracé. Une figure, non. Vous devinez pourquoi ? »

(silence, long)

« Parce qu’une figure on l’imagine dans la tête, comme l’autre jour les segments et tout ? »

« Exactement. Mais c’est super important : une figure existe même si elle n’est pas représentée par un dessin ! »

« Aaaah oui, comme dans l’autre exercice, là, la droite qu’était pas tracée on a mis faux et on s’est trompés parce que elle tait pas tracée mais elle existait quand même ! »

« Voilà. »

Nous reformulons, pour que je sois sûre qu’un maximum d’élève a compris. Je précise aussi que dans les écrits scolaires, les deux mots sont parfois employés indifféremment, a tort, mais ce n’est pas grave du moment qu’on a compris, nous.

« Alors elle devient quoi, la définition ? »

« Un polygone est une figure qu’on ferme et qu’on trace à la règle. Ah bah non ça va pas, on peut plus la tracer si elle est dans notre tête. »

« Hé bin non, tu as raison. Vous êtes d’accord avec ce qua dit D. ? »

« Alors on pourrait dire : un polygone est une figure qu’on ferme avec des traits. »

« Des traits ? Dis donc on n’a pas appris à être plus… mathématiques, nous ? »

« Des segments ! »

« OK. Alors on écrit quoi ? »

« Un  polygone c’est une figure qu’on ferme et formée de segments. »

« Bon. Pas mal. « Qu’on ferme », ça me plaît moyen parce que ça renvoie encore à votre action de tracer, à votre mouvement. »

« Oh là là madame vous être exigeante. C’est bien comme ça. »

« Non mais y a qu’à mettre fermée, comme ça paf on a fermé mais on dit pas qui c’est qui ferme. Elle est fermée, la figure, c’est tout. »

« Booooon, je crois qu’on y est. Qui résume ? »

« Un polygone est une figure fermée formée de segments. »

« Madame, fermée formée, c »est moche. »

« Ah. On écrit quoi alors, pour faire plaisir à E. ? »

Nous avons écrit ceci dans le cahier :

Un polygone est une figure fermée constituée de segments.

J’ai trouvé cette séance très intéressante, même si cela a été long de façon impromptue : nous sommes partis d’une représentation perceptive, presque haptique, avec l’idée de mouvement, pour arriver à une institutionnalisation, à une recherche de modélisation. La verbalisation des élèves était une forme de représentation, qui au final a donné une verbalisation qui indique que la modélisation est achevé (pour ceux qui ont compris durablement, et je sais que cela ne concerne pas tous les élèves de cette classe. Mais j’y reviendrai, et chacun navigue à son rythme. Touts ont entendu les échanges, ont perçus la nature de la question, et c’est déjà bien en sixième).

Nous sommes ensuite revenus sur ce qui permet de qualifier une phrase de « définition ». Nous continuerons, au fil de l’année.

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Une excellente ressource pour l’oral en mathématiques

Luca Agostino, Laetitia Doucet, Bruno Durand et Dimitri Zvonkine (qui travaillent à Trappes, Évry, Versailles) ont réalisé et mis à disposition une ressource très efficace et intéressante, à partir des travaux menés en 2018-2019 au Laboratoire de Mathématiques de Trappes. L’idée est de réfléchir et organiser l’oral de bac prévu dans la réforme du lycée, dans le domaine des mathématiques, et en préparant les élèves aux compétences nécessaires dès le cycle 4. Mais il y a aussi l’oral de DNB, avant cela, et les auteurs y ont évidemment pensé. C’est donc un super outil pour tous les enseignants de mathématiques du secondaire. Des pistes, certes, mais drôlement bien entretenues, et vertes, tant tout est clair.

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Le document est organisé en trois volets :

  • Des énoncés d’activités sous forme de fiches-élèves adaptables à plusieurs niveaux (de la 5e à la 1re) : des sujets d’étude. Des exemples concrets et clef en main sont présentés.
  • Différentes modalités et pratiques pédagogiques pour travailler l’oralité en mathématiques, intégrant aussi le travail hors la classe et l’oral non préparé, avec de séduisants murs pédagogiques. Les propositions sont précises et là encore concrètes et réalistes.
  • Une analyse d’une séance d’expérimentation

La lecture de ce document très accessible m’a donné des idées. Je réfléchis à ce que je vais mettre en place en ce sens.

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J’approuve !

Ce matin, en discutant avec mon mari, je me suis rendu compte que je n’avais pas approuvé des tas de commentaires… En fait, je dois approuver chaque commentaire que vous avez la gentillesse de porter à mes articles, histoire d’éviter les pubs. Je ne le savais pas, et de ce fait seuls apparaissaient les commentaires auxquels j’ai répondu, alors que les autres sont évidemment tout aussi intéressants ; c’est juste qu’ils n’appellent pas forcément de réponse.

Je m’excuse donc, et le mal est réparé. Rassurez-vous, vous n’étiez pas censurés… Dorénavant je serai vigilante !

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Le bavardage mathématique

Voici une expression que je trouve très jolie, et qui correspond bien à ce que je chercher à obtenir avec mes élèves, entre eux et moi à la récré, entre eux au club maths, mais aussi parfois sur certains temps en classe.

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L’article est  lire ici, sur le site TA@l’école, qui porte sur les troubles de l’apprentissage.

Tout d’abord, l’article présente ce que sont les bavardages mathématiques : de « courtes conversations mathématiques de 5 à 15 minutes traitant de problèmes numériques formulés au préalable par l’enseignant(e) dans le but de consolider la compréhension des concepts mathématiques chez les élèves incluant les élèves ayant des troubles d’apprentissage (TA) à l’élémentaire aussi bien qu’au secondaire. Les problèmes sont judicieusement choisis afin de permettre aux élèves de différents niveaux de compréhension d’être capables de compter et de participer ». Voilà, le concept est bien posé : il ne s’agit pas de papoter, ni d’animer. Il s’agit de remédier. Le cadre est précis : pour prendre la parole, « les élèves ne lèvent pas la main, mais signalent leur partage silencieusement en mettant leur pouce levé contre leur poitrine (ou autre signe visuel discuté auparavant). » J’aimerais bien connaître la teneur des échanges quant à ce signe, ce soit être intéressant.

De son côté, l’enseignant accompagne, relance.

Ce genre d’échange permet aux élèves de tous les niveaux de verbaliser les étapes spécifiques qu’ils ou elles ont entreprises pour résoudre le problème en question.

Côté bénéfices, « les bavardages mathématiques s’avèrent une stratégie d’apprentissage positive qui peut diminuer l’anxiété face aux mathématiques et encourager la confiance. » Mais ce n’est pas tout : « les élèves s’éloignent de la mémorisation et vont vers une explication qui a du sens », entre autres.

La suite de l’article propose des exemples concrets de mise en oeuvre au primaire et à l’élémentaire.

Voilà qui pourrait permettre de bouger nos lignes quant au sacro-saint silence, parfois nécessaire, selon les tâches, mais souvent inhibant et contreproductif.

Le tout est de conserver du « bon bruit ».

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Pour que ton bonhomme il tombe comme une hauteur il faut qu’il y ait pas de vent

Cher Arnaud Dudu,

Je t’écris de la part de mes élèves, mais aussi pour te remercier directement. Grâce à toi, enseigner les hauteurs c’est rigolo

Depuis que j’utilise ta vidéo, tous mes élèves (tous !) savent ce qu’est une hauteur dans un triangle, même dans les cas délicats, voire sournois, de hauteur extérieure. Nous avons travaillé en amont le triangle, le périmètre, l’aire, et nous avons construit ensemble les formules de l’aire du triangle rectangle, puis du triangle tout court, en donnant du sens, à grand renfort de ciseaux, de colle, d’aimants, de géobégra et d’application flash. Nous sommes donc arrivés naturellement à devoir définir et nommer les hauteurs dans le triangle. Et là, avant la vidéo hop-hop-hop-hop-hop-aaaaaaaaaaaaah-sproutchhhh, comme l’appellent mes loulous, c’était difficile.

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Pourquoi était-ce difficile ? Pour réussir à mesurer une hauteur, il faut savoir faire tout un tas de choses et contourner divers obstacles :

  1. La hauteur est une droite, mais on utilise le même mot pour désigner la longueur d’un segment porté par la hauteur. Comme on le lit sur le glossaire d’Euler,

    « En certaines circonstances, le mot hauteur peut désigner le segment dont les extrémités sont un sommet d’un triangle et le projeté orthogonal de ce sommet sur le côté opposé ; il peut aussi désigner la longueur de ce segment. » La hauteur désigne donc, au collège, une droite, un segment ou une mesure. Le fait que plusieurs objets mathématiques soient réunis sous une même étiquette gêne certains de mes élèves : nous travaillons beaucoup sur le vocabulaire, les notations, le langage en général, et je trouve très bien qu’ils réagissent. Mais ça complique, forcément.

  2. Pour tracer une hauteur, il faut se saisir de cet objet désagréable qu’est l’équerre. Nous avons beaucoup travaillé sur sa manipulation, il y a plusieurs semaines. Nous avons verbalisé « les côtés de l’angle droit », « le sommet de l’angle droit », décidé de nommer l’hypoténuse « la poignée » pour ceux qui ont une équerre qui en est dotée. Nous avons décrit la manipulation : « je place un des côtés de l’angle droit de l’équerre le long de …, et l’autre côté passe par le point … », etc. Là, c’est l’occasion de réinvestir.
  3. La hauteur est une droite remarquable dans le triangle, mais … elle n’est pas toujours dans le triangle. Ce cas particulier de hauteur extérieure semble très très compliqué pour beaucoup d’élèves, qui s’obstinent à vouloir la tracer dans le triangle, et en général finissent par craquer, la tracer effectivement et indiquer un codage d’angle droit sur un angle gravement obtus, ou aigu, selon le côté où on se place.
  4. Dans un triangle rectangle, deux des hauteurs n’apparaissent pas. Longtemps j’ai eu du mal à faire comprendre aux élèves qu’elles sont confondes avec les côtés de l’angle droit. J’avais beau leur dire,leur dessiner, leur expliquer, je ne touchais pas leur compréhension.

Mais voilà, Arnaud est arrivé, avec sa vidéo. Comme je suis dans le train, je ne peux pas la mettre e ligne dans l’article, mais vous la trouverez ici.

Pourquoi cette vidéo est-elle absolument super ?

  • Tu écris, cher Arnaud, que tu as cherché à « Créer un impact émotionnel chez les élèves en accentuant un côté décalé et drôle : une petite formule choc pour créer une empreinte mnésique dans la tête des élèves qui soit efficace ». C’est réussi : au visionnage, les élèves sont d’abord complètement surpris, puis le comique de répétition et les bruitages maison les font rire. Les regarder regarder cette vidéo, c’est un bonheur : ils ont de grands sourires, c’est chouette.
  • Certes, c’est un peu « gore ». Mais le style du dessin et les bruitages permettent une prise de recul qui évite le malaise.
  • C’est un excellent exemple du passage de la représentation à la modélisation, et du travail sur le langage en mathématiques : c’est super haut donne la hauteur, en bas donne la base. Le fait que le bonhomme doive tomber à la verticale semble évident aux enfants, et très rapidement ils ne se trompent plus sur les hauteurs extérieures.

Mes élèves, cette année, ont donc décidé d’illustrer leur leçon avec « le petit bonhomme qui fait sproutch ». Y compris au tableau :

On peut penser qu’ils ont tenu à dessiner le bonhomme pour s’amuser. Mais en en discutant avec eux, il m’est apparu comme évident qu’il n’y a pas que cela : ils m’ont dit « être sûrs que comme ça ils allaient s’en souvenir ». Un seul élève s’était trompé, et son voisin lui a fait comprendre avant même que j’arrive : « mais non mais ça va pas, regarde pour que ton bonhomme il tombe comme une hauteur il faut qu’il y ait pas de vent ». Certes.

En tout cas aujourd’hui, pas un seul élève ne s’était trompé dans ses exercices. Intérieures ou extérieures, leurs hauteurs en étaient bien. Et l’aire du triangle a roulé toute seule. Parfait.

Merci donc, Arnaud, pour ce moment d’apprentissage agréable et efficace. Tu es très fort.