Un collègue me pose ce soir une délicieuse question ; je ne peux pas résister à l’envie de la partager ni d’y répondre.
Ce collègue, taquin (et surtout mû par un objectif didactique et de l’ambition pour ses gamins), propose à ses élèves de CM2 la division 6815 : 97. Ses élèves ont découvert récemment la division posée, et il veut mettre en évidence que l’écriture décimale d’un rationnel peut être illimitée ; comme ça pouf, il relie division et fraction, impec, et en plus propose un approfondissement judicieux des décimaux : nombre décimal et écriture décimale, ce n’est pas la même chose ; pour être un nombre décimal, il faut pouvoir s’écrire sous forme de fraction décimale, sur 10, 100, 1000, etc., et ainsi une écriture décimale illimitée exclut d’être un nombre décimal. Par exemple, π n’est pas décimal (ni rationnel, d’ailleurs), mais possède une écriture décimale (illimitée). 1/3 n’est pas décimal non plus (mais c’est un nombre rationnel, forcément), car son écriture décimale est 0,33333… (ou 0,3 si on veut éviter l’implicite des « … »).
Le collègue précise que le quotient n’est pas un nombre décimal, mais un nombre rationnel, car la partie décimale est illimitée. Pour être précis, il ajoute que ce quotient est rationnel car on va observer que les chiffres se répètent, dans l’écriture décimale, à partir d’un certain rang. Comme dans 12 : 7, qui a pour écriture décimale 1,714285 714285 714285 … =1,714285.
Mais là, zut crotte flûte, son affirmation (juste) semble coincer : même sur la calculatrice de l’ordi de la classe la période de 6815 : 97 n’apparaît pas.
Alors le collègue m’écrit : mais qu’est-ce que quoi avec la période de mon quotient, zut ?
Hé bien voilà : lorsqu’on divise 12 par 7, on peut obtenir comme reste, à chaque étape intermédiaire de la division posée, les nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Si c’est 0, la division « tombe juste » et le rationnel est aussi décimal. Sinon, comme il n’y a que 6 autres restes possibles, on va rapidement tourner en boucle : au pire (ce qui est le cas ici) on va voir apparaître en reste les entiers de 1 à 6, et celui d’après sera déjà apparu. A partir de ce moment, poursuivre la division n’a plus d’intérêt : on est déjà passé par là.
Mais dans l’exemple du collège, on divise par 97… On peut donc être amené à se coltiner une petite centaine d’étapes de calculs intermédiaires avant de voir apparaître un reste déjà connu.
Pfiou. Ca fait beaucoup d’étapes.
Peut-)être ce n’est pas le meilleur exemple du monde, du coup. Mais moi, j’ai bien aimé.
PS : D., tu me diras si je suis claire ?