A quoi ça sert les maths ?·Activité rigolote·Allez les jeunes !·Culture mathématique·Expo de maths·Maths et société·Maths pour tous·Mes projets·Mots de maths

Elagage et bonbecs

Laura a recensé les résultats des réponses acceptables (car trois bulletins n’avaient pas de mention de nom et un formulait deux propositions) pour l’estimation de bonbons. Je vais ajouter un point à étudier avec les élèves la semaine prochaine : la moyenne élaguée. Je pense que je vais aussi leur montrer l’existence de l’écart-type, pour leur expliquer en gros comment il est déterminé et ce qu’il signifie.

Voici les indicateurs moyenne (première ligne) et écart-type (deuxième ligne) :

données en entierSans min et sans maxEn élagant 5+5 valeurs
184162145
25812461

C’est intéressant, car les données extrêmes sont tellement éloignées de la moyenne qu’élaguer a des conséquences importantes.

Je pourrais aussi évoquer la médiane : même pour les niveaux pour lesquels ce n’est pas au programme, je trouve ça intéressant. Sans faire de chapitre dessus, on peut l’évoquer et agrandir nos horizons :

médiane128,5128,5128,5

Et se pose la question de la nature de ces nombres, qui paraissent décimaux (mais le sont-ils ?) alors que les données sont toutes entières.

Bon, en fait du coup j’ai réfléchi à une petite trace dans le cahier de leçons :

Je verrai ce que les élèves font de tout ceci. Mais je me dis qu’une trace écrite à partir de ce petit événement les marquera peut-être mieux qu’une trace théorique décontextualisée.

A quoi ça sert les maths ?·Apprendre·BRAVO!!!·C'est bien pratique·Chez les collègues·Culture mathématique·Expo de maths·hommage·Je suis fan·Maths et arts·Maths et BD·Maths par les jeux·Maths pour tous·Merci !·Mots de maths·Partager les maths·Tous ensemble !

EnigMaths : wouaaaaaw

𝖗𝖆𝖘𝖙𝖆𝖒𝖆𝖙𝖍𝖊𝖚𝖝 taïkonaute a signalé par un « Wouaaaaaw » parfaitement adapté ce tweet d’EnigMaths :

En effet, c’est absolument magnifique :

EnigMaths est une mine. L’image provient de la catégorie Art, mais il y a tant d’autres catégories à explorer que j’en ai pour des jours, chouette !!! Il est fort, Paulo Ferro.

A quoi ça sert les maths ?·Allez les jeunes !·Approcher les maths·Au collège·Chez les élèves·Culture mathématique·Cycle 4·Expo de maths·Mots de maths·Quatrième

Un nombre, il peut faire autrement qu’être relatif ?

Dans la catégorie question intéressante, en voilà une pas mal, posée aujourd’hui par un élève de quatrième. Je venais de dire : attention à l’ordre dans les négatifs, il est inversé. Par exemple, -4< -3 alors que 4 > 3. J’en profite : comment appelle-t-on ces nombres au fait ? Un élève me répond : un entier relatif, il est positif ou négatif. Et là, un autre élève lève la main et me dit : « mais madame, pourquoi on précise relatif finalement ? Un nombre, il peut faire autrement qu’être relatif ? »

Alors nous avons redéfini les entiers relatifs, et là les élèves en connaissent des tas qui n’en font pas partie, comme -2,6 ou 5/3. Mais ce n’était pas la question de fond de l’élève qui avait posé sa question : ce qu’il voulait savoir, c’est s’il existe des nombres dont on ne peut pas dire qu’ils sont positifs ou négatifs. J’ai interrogé mon élève : « tu crois que c’est possible ? » Il m’a répondu oui, parce qu’il y a des tas de choses qu’on n’imaginait même pas et maintenant on a compris, alors peut-être.

Je n’ai pas pu résister : j’ai parlé des imaginaires (et des complexes). Il m’avait vraiment tendu la perche, je ne pouvais pas résister. Cela nous a permis de réactiver la règle des signes, et d’ouvrir une porte. Evidemment, nous n’y avons consacré que quelques minutes et c’était vraiment juste une évocation, mais j’ai beaucoup aimé que les élèves ne rejettent pas l’idée d’autres nombres, qui leur sont totalement inconnus.

Ils m’auront fait consommer de l’énergie, mes zozos de quatrième. Mais ils ont un beau potentiel de des acquis intéressants.

A l'attaque !·A quoi ça sert les maths ?·Allez les jeunes !·Au collège·BRAVO!!!·Chez les élèves·Culture mathématique·Cycle 3·En classe·Expo de maths·histoire des maths·Je suis fan·Maths pour tous·Mots de maths

π

Aujourd’hui, nous avons institutionnalisé en 6e ce que nous avons appris dans l’année sur π. C’était l’occasion que les élèves expriment leurs représentations, que j’aborde dans l’ordre de proposition de ce matin :

π, c’est un chiffre infini ?

Bon alors non, π n’est pas un chiffre. C’est un nombre. C’est vraiment un nombre. Le fait qu’il soit désigné par une lettre grecque (le p grec de périmètre, après simplification de pi/delta pour exprimer le coefficient de proportionnalité entre périmètre et diamètre).

Côté « infini », c’est une belle illustration de verbalisation pas facile. Dire « π, il est infini » semble signifier qu’il a une « valeur infinie ». Or π a une valeur précise, comprise entre 3 et 4. On ne peut donc pas prétendre qu’il est « infini ». On peut dire que « en écriture décimale, π a une infinité de décimales ». Et là, mieux vaut préciser dans la foulée que ce n’est pas un nombre décimal, mais qu’il a une écriture décimale, impossible à retranscrire en entier cependant « pour de vrai ».

π, il a des chiffres qui se répètent ?

Dans l’écriture décimale d’une fraction, il y a une période :

Dans l’écriture décimale de π, il n’y a pas de période. Pour autant, forcément on retrouve plusieurs fois chaque chiffre, voire certaines successions de chiffres, mais sans régularité. π ne peut pas s’écrire sous forme de fraction, et oui, on en es sûrs parce qu’on l’a démontré. C’est un nombre irrationnel : il ne peut pas s’écrire sous forme d’écriture fractionnaire avec des entiers au numérateur et au dénominateur.

π, c’est quoi son dernier chiffre ?

Il n’y en n’a pas, puisque son écriture décimale est infinie. Vraiment infinie. Elle ne s’arrête pas. Elle continue toujours.

T’as compris, là ? 🙂

Mais π il est pas précis, alors ?

Si. Trace un cercle au tableau de diamètre 1 mètre, et paf, sa longueur (donc son périmètre) est égal à π mètres. π est la notation qui désigne ce nombre, « le nombre du cercle » comme m’ont dit des élèves. C’est un nombre précis, mais qu’on ne peut pas écrire en écriture décimale finie. Ah, je l’ai déjà dit ? 😉

π, on l’a inventé ou on l’a découvert ?

Non mais je vous assure, quel plaisir d’entendre cette question… Je l’ai retournée à la classe : qu’en pensez-vous ? Après discussion, les élèves se sont mis d’accord : on l’a découvert, il existe sans nous. On peut l’ignorer, mais le périmètre d’un cercle est toujours égal à π fois son diamètre.

Mais finalement, ça sert à rien toutes ces décimales, non ?

Là encore, j’ai laissé les élèves exprimer leurs points de vue. Finalement, leur conclusion est qu’au quotidien, non, ça ne sert à rien : approximer π à 3 est la plupart du temps suffisant. En cas de nécessité d’une grande précision, on peut toujours utiliser des décimales, mais 10 000 c’est excessif. Mais les élèves ont aussi dit que d’un autre côté, c’est bien de savoir qu’on est capable de connaître un grand nombre de décimales, parce que c’est « de la culture » et « un défi ».

Le mur de π

A l'attaque !·Allez les jeunes !·Apprendre·école·Chez les élèves·Chez moi·cycle 2·Didactique·Dur dur·Enseignement·Faut que je fasse mieux·Je suis fan·Maths pour tous·Mots de maths·Tous ensemble !

Graduer

L’inconvénient de la chaleur, c’est qu’on dort mal. L’avantage, c’est que ça donne du temps pour réfléchir (enfin bon, faudrait pas que ça dure trop, car sinon je vais moins bien réfléchir d’ici peu). En tout cas, cette nuit, j’ai réfléchi à quelques productions des CP hier sur la réalisation du plan. Je vous rappelle le nôtre, de plan, à Marion et moi :

Etape 1 : on se déplace dans un parcours en vraie grandeur, en vélo/trottinette, avec pour objectifs de mobiliser gauche et droite, d’appliquer les consignes de sécurité routière (roule à droite, marque le stop en regardant bien des deux côtés avant de t’engager, ne recule pas en plein milieu de la route, etc.), et de commencer de mémoriser le plan du parcours, en actes.

Etape 2 : on reconstruit le parcours, on se reballade dedans en véhicule, et on en fait un plan à main levée, en se promenant dedans.

Etape 3 : il s’agit d’enrichir le plan de mesures. Alors zou c’est parti, on mesure en ce qu’on veut, du moment que cela constitue un étalon.

Etape 4 : à partir du plan à main levé enrichi de mesures, tous ensemble on reconstitue une version complète et les enfants font un nouveau plan, en 2D et demie : sur feuille, mais avec des objets qui représentent l’étalon, pour aider à articuler les différentes représentations et s’engager vers la modélisation des échelles en particulier.

Etape 5 : chaque enfant réalise un plan papier à l’échelle.

Hier, nous avons, avec Marion et Laura, accompagné l’étape 5. C’est drôle, parce qu’on a pas mal galéré sur cette séquence, entre coups de vent et dissipation des loulous. Mais là, ils ont hyper bien travaillé et réussi à faire chacun leur plan, sauf un enfant qui n’a pas toutes ses mesures à l’échelle, mais seulement une partie. C’est toujours intéressant de se rappeler que même si une séquence frotte, grippe, ça vaut le coup d’aller au bout, parce qu’ils apprennent de façon non linéaire et parfois difficile à observer, ces jeunes gens, mais ils apprennent.

Une élève, A., a commencé par annoncer qu’elle traçait un trait « de 6 ». De 6 quoi, lui ai-je demandé ? Elle m’a regardée un peu inquiète et m’a lancé un timide « carreaux ? », peut-être parce que Marion l’avait bien fait répéter à tout le monde avant. Mais elle n’osait pas tracer son trait. Alors j’en ai tracé le début, pour lui rappeler comment on place la règle, comment on le tient, où on trace. J’ai demandé à A de continuer, et rien. A la question « tu vois ce que ça veut dire, 6 carreaux ? », A m’a répondu négativement. Alors j’ai repassé au crayon une longueur de carreau en bas de la feuille et je lui ai expliqué que ça, on allait appeler ça un carreau, et qu’on en reparlerai parce qu’il y avait des questions de ses camarades là-dessus. Et nous avons énuméré ensemble, en plaçant un petit repère à chaque nouvel entier prononcé. Ensuite, j’ai demandé à A si elle avait compris, elle m’a dit oui et elle a poursuivi :

A a placé très consciencieusement deux petites graduations après celles que nous avions portées ensemble. Elle a veillé à les placer au-dessous du segment, en énumérant à voix haute au même rythme que ce que nous avions fait. La seule question de validation qu’elle m’a posée est : « ils sont trop grands, les traits ? » Autrement dit, en croyant l’aider, j’ai privilégié une démarche procédurale vide de sens : A s’st concentrée sur les émanations verbales et visuelles de ma démarche : on « compte » lentement en traçant de petites marques au-dessous du segment. Mais elle n’a pas compris, et pour cause : au fond, je ne lui ai pas beaucoup expliqué. Je lui ai expliqué en lui donnant la référence du côté du carreau tracé en bas de sa feuille, c’est tout. Je n’ai au départ même pas fait le lien avec les carreaux du segment.

Alors j’ai repris : nous avons tracé plusieurs côtés de carreaux, puis des plus longs, en associant la mesure à chaque fois. Nous avons observé les lignes, plus ou moins épaisses (ce qui troublait beaucoup A) et insisté sur le fait qu’il y en avait des horizontales et des verticales, en le reformulant. Nous avons mesuré des tas de choses en carreaux parmi ce qui composait la trousse d’A. Et ensuite, elle a regardé son segment, a gommé et a tracé des deux rectangles 4-5 et 4-6 d’un coup d’un seul.

Avec le recul, ça semble évident : je n’ai pas apporté au départ une véritable aide à A. J’ai essayé (inconsciemment j’espère) de la mettre en réussite apparente. Et je n’ai fait que perdre du temps que j’aurais pu consacrer à d’autres. Mais c’est difficile d’analyser en temps réel tout ce que nous faisons et ce que font les enfants. Avoir la rigueur de prendre le temps pour en gagner et pour aller au fond des choses, c’est une bataille.

Mais une bataille qui en vaut la peine.

A quoi ça sert les maths ?·Activité rigolote·Allez les jeunes !·école·Chez les élèves·Chez les collègues·cycle 2·En classe·Expo de maths·Lire·Maths et arts·Maths pour tous·Mots de maths·Tous ensemble !

Albert en CP, le retour

Aaaaaah, Albert ! Une séance facile à déployer, qui permet aux élèves de définir le rectangle, et d’approcher l’angle droit avec notre belle machine à angles droits ou à coins qui piquent, selon les préférences des enseignants.

Malgré la chaleur, les enfants ont bien travaillé ! La semaine prochaine, on continue avec l’équerre (sans hypoténuse évidemment) et Mondrian.

A quoi ça sert les maths ?·Activité rigolote·Allez les jeunes !·école·BRAVO!!!·Chez les élèves·Chez les collègues·Culture mathématique·cycle 2·Didactique·Expo de maths·Je suis fan·Manipuler·Maths pour tous·Mots de maths·Tous ensemble !

Bon plan

Ce matin, suite de notre séquence tut-tut : il s’agissait de passer d’un plan de notre parcours matérialisé avec des objets à un plan « vraiment papier », et à l’échelle s’il vous plaît.

D’abord, Marion Michel, ma collègue de CP à Maromme, a réactivé ce que nous avions étudié la dernière fois. Les élèves ont reparlé de chaque étape. Ils ont vraiment insisté sur la fait qu’ils avaient « mesuré les lignes » ; cela semblait vraiment important pour eux. Ils sont revenus sur les différents étalons, mais sans le mot étalon, qu’ils avaient oublié. Nous l’avons donc fait remonter à la surface et défini, puis fait vivre avec des exemples.

Marion a ensuite parlé d’échelle, y compris explicitement. Nous avons donc pas mal travaillé la proportionnalité, plus implicitement, mais Marion a fait répéter que « un petit objet représente un grand pas » à chacun, jusqu’à être sûre que tous les élèves ont compris. J’ai admiré sa détermination à s’assurer que chacun était bien embarqué pour la suite.

Ce que nous avons travaillé le plus, je pense, c’est la proportionnalité et la représentation. Sur ce qu’est représenter, et multi-représenter, nous sommes allés loin, tous ensemble : du parcours physique au plan en 2,5D au plan en 2D, le tout avec l’échelle, les élèves ont progressé pour passer de l’un à l’autre. J’ai vu le regard d’Izak, par exemple, alors que je lui demandait comment réussir à terminer sa tâche, passer d’un plan pour chercher une information « de forme » à l’autre pour trouver l’information de mesure correspondante, puis revenir au premier plan pour valider sa trouvaille, et il a finalement réussi. Magnifique.

Prochaine étape, à ne surtout pas zapper : analyser les productions des élèves, car j’ai vu des démarches très très variées ce matin. En particulier, certains élèves n’arrivent pas à comprendre le concept de carreau, utilisé finalement ici sous forme de côté du carreau. Et puis les méthodologies de construction ont été vraiment diverses et très révélatrices des démarches mentales.

A quoi ça sert les maths ?·Culture mathématique·Expo de maths·Maths et arts·Mots de maths·Partager les maths

Lovecraft le non-euclidien

En dînant un soir de la semaine, mon mari a fait référence à Lovecraft et les maths. Or, j’ignorais cet intérêt de Lovecraft. Je ne suis pas fan de sa littérature : je préfère les petites fleurs à Cthulhu. Alors j’ai un peu cherché, et j’au trouvé un article intitulé L’image chez Lovecraft, de Julien Schuh.

Julien Schuh, dans son article, se donne pour but de proposer des hypothèses « sur la manière dont l’image fonctionne dans la fiction lovecraftienne ». L’une des images qu’il a choisies est celle-ci, un « graphique scientifique pour représenter des formes de réalité échappant à nos dimensions habituelles » :

Julien Schuh relève des passages des oeuvres de Lovecraft, dont il propose une traduction :

the damp Cyclopean city of slimy green stone—whose geometry, he oddly said was all wrong—

la cité cyclopéenne de pierres vertes et gluantes, dont la géométrie, dit-il, curieusement, était tout à fait erronée,

He had said that the geometry of the dream-place he saw was abnormal, non-Euclidean, and loathsomely redolent of spheres and dimensions apart from ours.

Il avait précisé que la géométrie du lieu de rêve qu’il avait aperçu était anormale, non euclidienne, et qu’elle évoquait de façon abominable des sphères et des dimensions distinctes des nôtres.

There were geometrical forms for which an Euclid could scarcely find a name.

Il y avait des formes géométriques auxquelles Euclide aurait à peine su donner un nom.

Les géométries non euclidiennes semblent fasciner Lovecraft. La façon dont il présente la magie s’apparente déjà à des maths, plus type algèbre, et tout cela concourt à laisser penser qu’il avait une vision mystérieuse et puissante des mathématiques, créatives et bien moins limitées que la plupart de ses contemporains. Wikipedia écrit que « une des causes principales de cette dépression a été l’incapacité de Lovecraft à comprendre les mathématiques, une matière qu’il devait maîtriser pour devenir astronome professionnel. « 

Dans cet article, j’ai aussi lu que :

What is truly amazing is how in simply using an unusual phase such a “non-Euclidean geometry” Lovecraft was able to stimulate the imagination of his readers as well as other writers and artists generations later.

Ce qui est vraiment étonnant, c’est qu’en utilisant simplement une phase inhabituelle telle que la « géométrie non-euclidienne », Lovecraft a pu stimuler l’imagination de ses lecteurs ainsi que d’autres écrivains et artistes des générations plus tard.

Conclusion de Julien Schuh :

La fiction lovecraftienne ne pourrait fonctionner sans ce recours constant à de nouveaux types d’images rendues possibles par les progrès artistiques, scientifiques et technologiques de son époque.

Activité rigolote·Allez les jeunes !·Au collège·Chez les élèves·Cycle 3·Manipuler·Mots de maths·Sixième·Tous ensemble !

Géométrie dans la cour, cuvée 2021 : icosikaihenagone d’élèves de sixième

La différence par rapport à mes habitudes, cette année, c’est le moment où j’ai mis cette séance en oeuvre : en toute fin d’année. Nous avons parlé géométrie depuis septembre, en continu, puisqu’aucune séance de ma programmation ne contient un seul domaine. Et de ce fait, il faut reconnaitre que les élèves savent pas mal de choses ; en plus, ils sont habitués à mes mises en situations déroutantes, et s’adaptent sans souci.

L’alignement

Pour représenter une droite, les élèves ont utilisé l’idée du raton lumineux, en gros : est-ce qu’on en voyait bien un seul quand on se mettait à « un bout » ? Mais, problème : « madame, une droite c’est bien la ligna qu’a pas d’bout ? » En effet. Alors un groupe a juste aligné ses points-élèves, et l’autre a représenté des flèches, au « bout », pour montrer que la droite se poursuit :

Les élèves se sont rebaptisés G, G prime, G seconde, G tierce, G deux fois seconde, etc.

Pour représenter un segment, un groupe a choisi de placer un élève perpendiculairement et d’utiliser ses jambes comme « petit trait », et l’autre a « mis un élève de travers à une extrémité », dont un a eu l’air de trouver sa situation très agréable :

Parallèles et perpendiculaires

Pour représenter des parallèles, deux visions se sont confrontées :

  • On s’aligne et le dernier passe devant le premier dans chaque droite, et on voit si on se rejoint : cet élève définit les parallèles comme « ne se coupant jamais ». D’autres lui ont opposé que ça allait être long et qu’on n’aurait peut-être pas la place dans la cour ;
  • On tend une corde entre nous et on se déplace perpendiculairement, pour voir si la distance entre les deux droites est contante : là, c’est la définition par écart constant, qui me plaît déjà plus.

Des élèves ont pensé se mettre face à face et coller leurs pieds, mais ils ont remarqué rapidement qu’ils n’ont pas tous les jambes de la même taille.

Cela nous a permis de réactiver « si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre », que les élèves ont fait remonter tout seuls. Nous en avons profité pour réactiver et représenter les autres propriétés que nous avions étudiées.

Pour les droites perpendiculaires, les élèves ont fait à vue de nez. Ils ont tenu à ce que « des élèves aillent de l’autre côté du point d’intersection, sinon ça fait genre demi-droite ».

J’ai alors présenté la corde à 13 noeuds et son usage pour vérifier un angle droit. Voir l’ombre se dessiner a donné envie aux élèves de recommencer l’alignement en suivant l’ombre du bâtiment :

Nous l’avons ensuite exploitée pour refaire deux perpendiculaires « plus perpendiculaires » :

Le cercle

Enfin, nous avons travaillé le cercle, et là tout de suite un élève a pensé à utiliser la corde, parce qu’un cercle « c’est pas juste rond, c’est qu’on doit tous être à la même distance du centre ». Réactivation des mots « équidistant », « rayon », « centre », etc. :

Un élève a fait remarquer qu’ils représentaient possiblement un cercle, mais que cela pouvait être aussi un polygone à 21 côtés, selon comment on imagine relier les sommets-élèves… Super ! Nous avons donc cherché le nom de ce polygone : l’icosikaihenagone. Sans absents, on aurait dessiné un icosikaitrigone, mais bon.

Retour en classe

De retour dans la classe, au frais, les élèves ont complété une trace écrite qui expose ce qu’ils ont compris et ce qu’ils retiennent. Globalement, leurs retours témoignent d’une réactivation du vocabulaire. Quelques-uns expriment qu’ils ont compris ce qu’ils n’avaient pas compris précédemment. Ils ont beaucoup plus écrit que lorsque je propose en début d’année, mais deux élèves disent ne pas avoir vraiment évolué avec l’activité car ils savaient déjà tout ça, ce qui est logique :

C’était intéressant pour moi de voir la différence entre cette activité comme activité en cours d’apprentissage et activité de réactivation. Mais je la conserverai comme activité d’apprentissage, l’année prochaine, si nous ne fermons pas à ce moment là… Je pense qu’elle est plus efficace ainsi, et qu’elle contribue à construire une culture commune à laquelle dans l’année je peux faire référence avantageusement.

A l'attaque !·Activité rigolote·Allez les jeunes !·Au collège·Cycle 3·Manipuler·Mots de maths·Sixième

Maths dans la cour

Comme j’interviens mercredi sur Maths dans la cour, et que le ciel nous tombait sur la tête lorsque j’aurais dû le faire mes 6e2, j’ai décidé de le faire aujourd’hui : j’aurai des productions toute fraîches pour mercredi. Ils ont encore réussi à me surprendre alors que je mène cette séance tous les ans !

Je vous raconte ça en rentrant, mais là je retourne faire des maths dans la cour, en CP cette fois !