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L’alignement à Paris

J’ai trouvé une belle configuration, à Paris ce matin, pour travailler l’alignement avec mes élèves ou des élèves des écoles. J’ai écrit pas mal déjà sur ce thème, ici par exemple, avec la didactique des pommiers. En fait, c’est vraiment à tous les niveaux scolaires et même avec des adultes qu’on peut discuter l’alignement : l’alignement ne naît pas du bord droit de la règle ; à l’inverse, on a conçu des règles aux bords droits pour, entre autre, vérifier des alignements. Le pli de la feuille est très bien pour travailler l’alignement avec des petits, mais c’est dans le micro espace et il manque une généralisation au méso ou au macro espace. Les pommiers c’est bien, et ça, je trouve, c’est encore mieux :

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% et camembert

Je reviens sur une question de cet exercice, que j’ai commenté dans l’article précédent : la question c.

C’est frappant comme ce que représente un pourcentage échappe à beaucoup d’élèves. Les réponses que j’ai obtenues pour cette question étaient toutes exprimées en grammes, au départ. Plusieurs élèves avaient répondu 24g, parce que c’est « le bout de la droite ». D’autres avaient répondu « ça dépend, parce qu’il y a plusieurs points sur la courbe », d’autres « on ne peut pas savoir parce que la droite (comprenez l’axe des ordonnées) va pas jusqu’à 100 ». Bien peu d’élèves avaient pensé à calculer l’image de 100.

Ceux qui l’ont fait sont passés par

  • l’image de 40 divisée par 10 et multipliée par 25,
  • l’image de 40 plus l’image de 40 plus la moitié de l’image de 40,
  • l’image de 80 multipliée par 10 et divisée par 8,
  • l’image de 160 plus l’image de 40 divisée par 2,
  • un élève ou deux ont eu l’idée de placer 100g sur l’axe des abscisses et de lire l’image, seulement.

Pourquoi si peu d’élèves ont-ils eu cette dernière idée, pourtant efficace ? A cause du « calculer » de la consigne. Ce « calculer » a fait que beaucoup de leurs camarades ont jugé cette démarche incorrecte. Pas dans l’idée, mais dans l’adéquation avec ce que la consigne attendait. J’ai trouvé le débat intéressant : « calculer » induit un calcul, certes. Mais dans tous les cas on s’appuie sur des lectures graphiques (les images de 40, de 80, etc.) et on peut considérer que place 100 à mi-chemin de la graduation 80 et de la graduation 10 est aussi le fruit d’un calcul. De plus, le fait de passer des grammes aux pourcentages est aussi une compétence liées aux nombres, même si’l y a là aussi du modéliser et du représenter. Alors moi, cela ne me choque pas.

Et vous, qu’en pensez-vous ?

https://eduscol.education.fr/document/17227/download
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Anti parallélogramme ou antiparallélogramme ?

J’ai traité aujourd’hui l’activité des antiparallélogrammes avec une de mes classes de quatrième : je voulais aborder les quadrilatères croisés, mais dans une contexte qui mette en activité. Nous avons revu beaucoup de vocabulaire et de notations, grâce à cette activité, nous avons réfléchi un programme de construction et nous avons mené une démonstration qui s’appuie sur ce que nous avions bien travaillé : les triangles semblables, égaux et la somme des angles d’un triangle.

J’ai trouvé que c’était une activité bien calibrée, et d’ailleurs des élèves ont eu les idées tout seuls : « c’est des triangles égaux », « il y a des triangles semblables », etc. La difficulté pour eux était vraiment de ne pas se fier à leur perception, à accepter qu’elle ne constitue pas une preuve. Le recours à leurs connaissances sur les triangles les ont bien aidés : « savoir des trucs, c’est pratique, là, sinon on aurait fait comment ? », m’a dit un élève.

Bin oui.

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Décomposer en produit de facteurs premiers un nombre premier

Une collègue m’a envoyé une question d’élève :

Si on considère : « Tout nombre entier positif strictement supérieur à 1 admet une décomposition unique (à l’ordre des facteurs près) en un produit de facteurs premiers », qu’en est-il des nombres premiers ? 
Lorsqu’on parle de produit, doit-il y avoir au moins deux facteurs (si oui, la formulation de la propriété pose donc souci pour les nombres premiers)?
Peut-on considérer que, comme ils sont premiers, ils sont « leur propre décomposition »? 

C’est vrai que cela pose question, à cause du pluriel : produit de facteurS premierS. Wikipedia, Gérard Villemin et d’autres encore répondent ceci :

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_produit_de_facteurs_premiers
http://villemin.gerard.free.fr/ThNbCo01/ThFoDemo.htm

Mais techniquement, quand j’écris 5=5, ce n’est pas un produit de facteurS premierS. Et je ne peux pas écrire 5=5×1 pour illustrer la propriété puisque 1 n’est plus premier, et que si on considérait qu’il l’est, la décomposition ne serait pas unique, comme un article d’Images des maths l’évoque :

http://images.math.cnrs.fr/Pourquoi-le-premier-nombre-n-est-pas-un-nombre-premier.html

Mais de ce fait, c’est tentant de chercher une formulation différente. Mais bon, c’est quand même une institution, ce théorème… J’ai cherché dans plusieurs manuels (dans l’ordre, le Maths Monde, le Livre scolaire, et le Sesamaths dont la définition pose souci à cause du 0 et du 1) :

Hé bien la question reste ouverte. Je suppose qu’en effet on considère qu’un nombre premier est sa propre décomposition, mais quand même c’est un peu embêtant pour les élèves, cette histoire. Ma preuve : la question vient d’un élève.

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Quotient, fraction et rationnel

Voici une jolie question de collègue :

Est-ce que vous diriez aux collégiens qu’une fraction, un nombre rationnel ou un quotient représentent la même chose ? Moi même je suis un peu perturbée par le fait de devoir utiliser ces 3 mots de vocabulaire différents alors que pour chacun il est important que l’élève réalise qu’il s’agisse bien d’un nombre. Mais alors, si on leur dit que c’est la même chose, pourquoi les embêter avec ces 3 notions ?

La collègue fait une proposition, dans la foulée :

Une fraction c’est une façon d’écrire un nombre rationnel (selon Stella Baruk) : certains nombres rationnels ne peuvent s’écrire qu’ainsi, certains (les nombres décimaux) peuvent aussi s’écrire en écriture décimale ; le quotient est le résultat d’une division. (Stella Baruk, dans son dictionnaire des mathématiques, écrit que “lire “3 septièmes” à la place de “3 sur 7″ c’est avoir fait quelque chose de plus que de constituer le quotient de deux nombres entiers, c’est l’avoir calculé.”)
Donc le quotient reste un nombre qui permet de trouver par quoi un nombre doit être multiplié pour en donner un autre : on peut l’écrire sous la forme d’une fraction ou en écriture décimale (pour les nombres décimaux).

Alors pour moi, un nombre rationnel est un concept et une fraction est une représentation, une écriture d’un nombre rationnel. Nous sommes donc d’accord. Par exemple, 5 est un nombre rationnel mais pas une fraction lorsqu’il est écrit 5. Mais si on l’écrit 5/1 c’est une fraction. Le quotient est en effet le résultat d’une division. Si on divise un décimal par un autre, c’est aussi un rationnel et on peut l’écrire sous forme de fraction ; mais on peut aussi diviser un irrationnel par un rationnel, et alors le quotient n’est pas un rationnel… Il y a donc une différence et le quotient est pour moi vraiment attaché à la division en tant qu’opération. D’ailleurs on parle souvent de quotient de fractions. Mais je sens comme une bande de brouillard avec le quotient dans ma tête, sans savoir pourquoi.

Si j’écris : un rationnel peut s’écrire sous forme de fraction, une fraction est une représentation de rationnel, un rationnel ou une fraction sont des quotients et un quotient n’est pas forcément rationnel, est-ce que ça va pour vous ?

Quelques extraits de ce document d’Eduscol :

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Les artistes de mes oeuvres flash

Un collègue m’a demandé quels sont les artistes dont j’utilise des oeuvres pour mes oeuvres matho-flash : j’ai tout un tas d’oeuvres bien rangées dans des répertoires sur ma clef USB de boulot, que je dégoupille quand j’ai un peu de temps en fin de séance, ou quand nous allons changer d’activité, ou quand il faut relâcher un peu la tension des neurones, mais que je veux continuer de faire des maths. Je demande aux élèves de décrire l’oeuvre, de me donner des ressentis sans que cela ne soit trop long et sans que les élèves se répètent ou racontent des éléments de leur vie auxquels les oeuvres les renvoient). C’est chouette pour faire passer ou réactiver du vocabulaire, montrer que les mots précis servent mieux la pensée, voir des maths partout, ouvrir nos esprits à l’art et comparer nos visions du monde.

Alors… Quels articles ? J’en oublie sans doute, mais allons-y, avec des liens avers des articles qui montrent des oeuvres correspondantes : Johal, Vasarely, Escher, Le Parc, Merz, Morellet, Beck, Jeener, Kandinsky, Sandback, Boutry, Maillard, Abélanet, Varini, Rousse, Zinn, Mondrian, Opalka, Brunt, Le Witt, de Vinci. de Vinci, Zinn, Mondrian, Opalka, Brunt, Le Witt, Rousse, Morellet.

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Mathe auf Deutsch, 2. Teil

Après l’entrée en matière que j’ai décrite ici, passons à la deuxième partie (sur 5 préparées). Il faut qu’assez rapidement les élèves découvrent le système verbal de numération allemand. En allemand, ce que j’aime bien, c’est qu’on dit par exemple « six-dix plus un-et-trente égal sept-et-quarante ». Pour l’addition, ça marche bien mentalement car on commence par les unités.

Cette partie 2 consiste d’abord à apprendre les nombres entiers de -20 à 20. Comme nous connaissons déjà les entiers de -10 à 10, il nous reste à savoir dire ceci, en précisant dans l’espace libre à droite que sechzehn et siebzehn sont des exceptions (sechszehn, siebenzehn), que les mots « particuliers » s’arrêtent à 12 (alors qu’ils vont jusqu’à 16 en français) et que là où nous disons dix-sept (dizaines puis unités, le + est sous-entendu), on dit en langue allemande sept-dix (le plus est sous-entendu aussi). Nous déclinerons les opposés de ces nombres.

Sur la trace écrite, on ne va pas plus loin sur la numération, sauf si plus tard les élèves le réclament.

Ensuite, une petite mise en activité inspirée d’une activité d’un manuel Duden Klasse 6 : les élèves s’installent par deux ou trois. Cahcun démarre avec 6 points. A son tour, chaque joueur lance un dé à 20 faces. Selon la parité de son lancer, il additionne ou soustrait le résultat. A chaque fois, il lit à voix haute le résultat du lancer et l’opération à effectuer. Par exemple, il dit « vierzehn ; plus vierzehn ». Il ne dit a priori pas le résultat car il ne sait pas encore le dire. A ce stade, si les élèves sont comme d’habitude, ils devraient me demander. Je leur expliquerai alors, car en connaissant les dizaines c’est assez simple.

En automatismes, je ne peux pas encore faire autre chose que numération et calcul, mais je projetterai cette page internet :

Les élèves me liront les décimales successives, voire les couples de décimales s’ils en ont envie. Cela me permettra aussi de réactiver des connaissances sur le nombre π et de lire un peu le document, dont j’ai du coup fait une petite trace écrite. Elle permettra de rencontrer du vocabulaire contextualisé et des mots nouveaux comme Ziffern (chiffres), Dezimale, Symbol, etc. Et on reste dans la numération et le calcul tout en abordant des concepts robustes, et en consolidant les savoirs des élèves pour que cela leur serve aussi en maths en français.

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Uff !

Depuis hier, je cogite à mon atelier de maths en allemand de l’année à venir. Car j’ai le grand bonheur de pouvoir me lancer de nouveau dans des Mathe auf Deutsch, et je suis vraiment très très contente. Une de mes premières activités de vacances (à part me reposer, reboucher des trous dans des murs, désherber, finaliser un ouvrage, déguster les gâteaux que nous mitonne notre fille, passer enfin du temps avec mon mari, trouver un appartement à notre garçon, ranger mon bureau, aller au ciné et planifier mes projets) a été de me consacrer à ces fameuses maths en allemand.

D’abord, j’ai réfléchi au contexte et opéré des choix. J’ai des élèves de 5e (et peut-être de 4e s’ils sont libres sur cette heure). Ils et elles ne connaissent pas l’allemand encore, sont d’un niveau varié en maths et sont enthousiastes. Il va falloir qu’on s’amuse, tout en apprenant des choses. Bon. Ensuite, Je voudrais leur apporter les fondamentaux sans que ce soit ennuyeux, aborder assez vite des thèmes en lien avec leur programme (les probas, les translations, les relatifs par exemple) tout en les outillant en vocabulaire passe-partout. Mais il n’empêche qu’il faut bien passer par une période de rencontre (sinon de mémorisation) des mots de base, à commence par le calcul et la numération, et les fondamentaux de géométrie.

Il m’a fallu deux jours pour construire quatre préparations. C’est fort peu, mais j’ai retrouvé les sensations plaisantes des chercher, de s’engager, de s’en retourner, de patauger et de voir finalement un contenu structuré prendre forme. J’ignore tout à fait combien de temps me prendront ces préparations en classe, et peu importe. Je m’adapterai. Je n’en prépare pas davantage, pour m’adapter aussi au niveau, aux envies des élèves. Je voulais des automatismes, de l’oral, de la compréhension d’oral, du coopératif et caler rapidement des nouveautés (ici les relatifs) et une étude de document authentique : tout ça c’est bon.

Je tape peut-être un peu haut, mais je jouerai sur la façon d’amener les contenus en classe. Nous prendrons le temps qu’il faut, je me prépare à refaire des contenus intermédiaires, mais je veux que ça pulse. Ces élèves ont choisi de se lancer dans un atelier de plus, ils doivent identifier dès le début de l’année la plus-value culturelle.

Je déposerai sur le blog mes contenus au fur et mesure des jours. Que les germanistes n’hésitent pas à me corriger, et que tous les pédagogues n’hésitent pas à me donner leur avis ! Je suis en recherche d’appli de maths en allemand, aussi. Si vous avez des références, je prends !

L’autre bonne nouvelle du jour, c’est qu’en m’abonnant au fil Twitter de Christian Hesse il m’a suivie en retour et que nous avons pu échanger, et fait des projets pour la suite. Ca c’est très chouette.

Bon allez, j’ai d’autres trucs à faire.

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Sécantes ou parallèles : faut-il choisir son camp ?

Voilà un joli tweet de Carole Terpereau, qui siérait à merveille au jour de la rentrée en 6e, en septembre prochain… Ca veut dire quoi sécantes ? Sécantes, parallèle, une troisième voie est-elle possible ? Doit-on croire une image ? Qu’est-ce qu’une preuve ?

Hop, enregistré dans mon répertoire de rentrée !