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Fractale

Fractale

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Quand la mer se retire comme un grand chien gris

Sous les étoiles incrédules d’orange

Et que les lourds édredons de la nuit

Apaisent les remous de l’eau

Je tends ma main avec toutes ses lignes

Aux poissons émus de mon épaule

C’est un poids doux et considérable

Ton sourire de pierres polies qui me frôle

Inaltérable à la fractale d’un monde réuni

Que je venge

 

Barbara Auzou.

A lire sur Lire dit-elle.

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Lire, découvrir, apprendre : la démonstration comme prétexte

Ce matin, je me suis penchée sur le dossier démonstration de cultureMATH que j’ai vu apparaître plusieurs fois dans mes pérégrinations numériques ces jours-ci.

La question posée en introduction de ce dossier est : « Comment l’enseigner et comment amener les élèves en position de comprendre et de se convaincre de la nécessité de démontrer ?« 

Plusieurs ressources sont proposées, qui amènent le lecteur à naviguer dans la didactique, la pédagogie, l’histoire, l’épistémologie, la philosophie. Commençons par :

Les actes du colloque Inter-IREM Épistémologie et Histoire des mathématiques de 1989

Les communications sont regroupées en quatre axes :

Je n’ai pas tout lu, là, ce matin… Ma découverte du jour est, grâce à Rudolph Bkouche, GonsethFerdinand Gonseth. Mais j’ai aimé me promener dans les réflexions sur la vérité, sur axiome/postulat, sur la révolution des mathématiques non euclidiennes, j’ai aimé apprendre sur Arbogast, retrouver l’axiome du choix, qui avait totalement bouleversé mon année de licence…

Comme j’aimerais en savoir plus sur l’histoire des mathématiques !

Dans les jours qui viennent, je vous raconterai les deux autres ressources proposées.

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Retricoter après détricotage

J’avais ici présenté des activités pour travailler la proportionnalité en sixième. Une des activités était celle-ci (document distribué et consigne ensuite) :

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« Vous avez quinze propositions de situation. Vous devez en choisir au moins dix, pour produire une question qui soit associée au début de consigne proposée. Je ne veux que la question, pas la réponse, mais si je vous interroge, vous devez être capable de me fournir votre solution. Parmi vos dix propositions, il en faut qui illustrent des situations de proportionnalité,des situations de non-proportionnalité et des cas indécidables (comme dans la fiche avec oui, non, ni oui-ni non). Si vous en produise plus de dix, vous aurez des XP supplémentaires, comme pour les travaux facultatifs habituels. Vous pouvez proposer plusieurs questions totalement différentes pour une même situation. Une fois vos papiers remplis, vous les découperez, vous noterez votre nom dessus et vous le rangerez dans l’enveloppe correspondante. »

Voici un exemple d’exploitation, partir de la vignette « peinture ». C’est mon activité de rentrée, pour se remettre dedans :

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Sur les 41 réponses proposées pour cette vignette, j’ai conservé 15 questions.

Les cinq premières questions vont être traitées en questions flash : chacun va chercher, individuellement et silencieusement, une réponse aux 5 questions sur son cahier d’exercices. Ensuite, nous allons en discuter. Les élèves pourront répondre dans l’ordre de leur choix. Mes objectifs sont :

  • réactiver la linéarité multiplicative et additive ;
  • réactiver le retour à l’unité (du point de vue du vocabulaire) ;
  • réactiver diviseurs et multiples ;
  • réactiver les unités d’aire et les conversions.

Ensuite, nous allons étudier ensemble les questions 6 à 15. je compte demander aux élèves pourquoi le les ai ainsi catégorisées (les fois suivantes, je ne les catégoriserai pas). Et ensuite, je voudrais savoir comment ils envisageraient de les résoudre, et surtout lesquelles leur semblent plus difficiles, et pourquoi. Je voudrais relier cela aux fractions, que nous venons d’étudier, avec l’idée de simplification, en lien avec la division et l’arithmétique. Par exemple, j’aimerais qu’ils devinent quelle surface revient le plus souvent dans les propositions collectées (72 mètres carrés). (Enfin, pour la question 15, je voudrais parler contexte, implicite et explicite.

Les élèves auront un travail similaire à mener sur une autre vignette, en évaluation.

 

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Le ratio à la bordelaise, miam !

Un commentaire de Sonia (merci Sonia !) m’a appris hier que la consigne à Bordeaux est de dire 2:3 ainsi : « deux pour trois ». C’est une question qui revient souvent ici, comment dire le ratio : si on dit « un ratio de deux trois », comme je l’ai entendu préconisé par un IG, le risque est grand à mon avis que les élèves inattentifs de façon plus ou moins perlée se perdent. Ils peuvent comprendre 2,3 ou ne pas donner de sens du tout. La préconisation de l’académie de Bordeaux est la suivante :

En anglais, le ratio 3:1 se lit « ratio three to one » et l’on pourra dire en français que deux quantités se trouvent « dans le ratio 3 pour 1 ».

Cela paraît une bonne idée, et l’argument est simple et convaincant. Par ailleurs, le ratio est introduit ainsi :

Le ratio est plus connu dans les pays anglo-saxons, mais il est aussi utilisé dans certaines sections économiques du lycée général et technologique. C’est une notion  très proche de celles des fractions et proportions, elle permet de parler des rapports de proportions de différentes parties d’un ensemble sans se ramener à la quantité totale.

Ce lien vous permettra d’aller farfouiller dans diverses ressources proposées par l’académie de Bordeaux : un document sur la trace écrite, avec un exercice commenté, des questions flash, des tâches intermédiaires, des prises d’initiative, le tout avec des éléments de correction. C’est vraiment une ressource très complète, un véritable document d’accompagnement qui éclairera les collègues perplexes ou en interrogation face au ratio.

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Pour ma part, j’ai une toute petite trace écrite « leçon », et de multiples traces écrites « activités-exercices » : dans notre cahier de leçon, je tiens à ce que la référence soit courte, pour faciliter l’accès à l’information des élèves qui la cherchent :

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En septembre en quatrième, nous avons travaillé les trois bulles du haut. En décembre, nous avons pu institutionnaliser la bulle de l’égalité des produits en croix. Et de là nous avons commencé travailler le ratio, mais nous n’avons pas encore étudié sa bulle. Nous aurions dû, fin janvier, mais les élèves sont partis dans une autre direction, que j’ai suivie. C’est notre prochaine activité, à la rentrée.

J’aime bien la partie « exercice résolu et commenté », car elle propose des angles d’approche et des représentations mentales différentes, et je trouve toujours ça très important.

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Comme ce document m’a vraiment beaucoup plu, j’ai cherché comme me l’approprier : je ne dirai pas « Si je partage la somme d’argent de Mona en 2 parts égales, cela est égal à la somme d’argent de Ninon partagée en 3 parts égales », que je trouve chargé d’implicite. Il me semble que pour comprendre cette phrase, il faut déjà avoir compris ce qu’est le ratio. Je dirai plutôt : « La moitié de la somme d’argent de Mona est égale au tiers de la somme d’argent de Ninon ». Et dans la phrase suivante, j’enlèverai les « donc ». En revanche je suis fan de « comme 2+3=5 », de la comparaison du début, remarques qui donnent à l’ensemble une dimension résolument et explicitement tournée vers l’élève.

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Les représentations initiales du nombre décimal en sixième

Question, ce matin, à mes élèves : c’est quoi pour vous un nombre décimal ?

Voici leurs réponses (le son n’est pas bon, je dois trouver un autre moyen d’enregistrement) :

Avant d’en arriver là, nous avons étudié la construction des entiers, en début d’année, et nous avons bien exploré les fractions, décimales et non décimales. Après cet échange, je leur ai présenté Stevin et sa notation révolutionnaire. Il faut dire qu’il est fort, ce monsieur, quand même. Les élèves étaient très attentifs : ils adorent qu’on leur raconte des histoires, et celle de la virgule, ils ne la connaissaient pas du tout.

La prochaine fois, on enchaîne sur l’analyse de la construction du décimal, des activités sympas pour réfléchir et l’utilisation du glisse-nombre.

En attendant, leurs réponses sont tout à fait intéressantes et vont nous servir de fil rouge dans la séquence : à peu près tous les freins ont émergé, dont un que je n’attendais pas forcément : le sens du signe égal. Devant ce que j’écris au tableau pour illustrer ce que me dit un élève, « 2 = 2,00 », des élèves pensent que les deux nombres sont décimaux, d’autres que les deux nombres ne sont pas décimaux, d’autres encore que l’un est décimal et pas l’autre (malgré l’égalité, ce qui interroge sur le sens qu’ils lui donnent), et certains pensent que cela dépend de comment on regarde (2, il est entier mais il est pas tout à fait entier non plus).

On a aussi dans les propos des élèves « ajouter des zéros », la confusion dizaine-dixième, l’idée de transformer en fraction, et bien sûr la représentation « un décimal c’est un nombre à virgule ».

A moi de travailler tout cela pour faire bouger les représentations (et pas la virgule).