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Le ratio à la bordelaise, miam !

Un commentaire de Sonia (merci Sonia !) m’a appris hier que la consigne à Bordeaux est de dire 2:3 ainsi : « deux pour trois ». C’est une question qui revient souvent ici, comment dire le ratio : si on dit « un ratio de deux trois », comme je l’ai entendu préconisé par un IG, le risque est grand à mon avis que les élèves inattentifs de façon plus ou moins perlée se perdent. Ils peuvent comprendre 2,3 ou ne pas donner de sens du tout. La préconisation de l’académie de Bordeaux est la suivante :

En anglais, le ratio 3:1 se lit « ratio three to one » et l’on pourra dire en français que deux quantités se trouvent « dans le ratio 3 pour 1 ».

Cela paraît une bonne idée, et l’argument est simple et convaincant. Par ailleurs, le ratio est introduit ainsi :

Le ratio est plus connu dans les pays anglo-saxons, mais il est aussi utilisé dans certaines sections économiques du lycée général et technologique. C’est une notion  très proche de celles des fractions et proportions, elle permet de parler des rapports de proportions de différentes parties d’un ensemble sans se ramener à la quantité totale.

Ce lien vous permettra d’aller farfouiller dans diverses ressources proposées par l’académie de Bordeaux : un document sur la trace écrite, avec un exercice commenté, des questions flash, des tâches intermédiaires, des prises d’initiative, le tout avec des éléments de correction. C’est vraiment une ressource très complète, un véritable document d’accompagnement qui éclairera les collègues perplexes ou en interrogation face au ratio.

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Pour ma part, j’ai une toute petite trace écrite « leçon », et de multiples traces écrites « activités-exercices » : dans notre cahier de leçon, je tiens à ce que la référence soit courte, pour faciliter l’accès à l’information des élèves qui la cherchent :

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En septembre en quatrième, nous avons travaillé les trois bulles du haut. En décembre, nous avons pu institutionnaliser la bulle de l’égalité des produits en croix. Et de là nous avons commencé travailler le ratio, mais nous n’avons pas encore étudié sa bulle. Nous aurions dû, fin janvier, mais les élèves sont partis dans une autre direction, que j’ai suivie. C’est notre prochaine activité, à la rentrée.

J’aime bien la partie « exercice résolu et commenté », car elle propose des angles d’approche et des représentations mentales différentes, et je trouve toujours ça très important.

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Comme ce document m’a vraiment beaucoup plu, j’ai cherché comme me l’approprier : je ne dirai pas « Si je partage la somme d’argent de Mona en 2 parts égales, cela est égal à la somme d’argent de Ninon partagée en 3 parts égales », que je trouve chargé d’implicite. Il me semble que pour comprendre cette phrase, il faut déjà avoir compris ce qu’est le ratio. Je dirai plutôt : « La moitié de la somme d’argent de Mona est égale au tiers de la somme d’argent de Ninon ». Et dans la phrase suivante, j’enlèverai les « donc ». En revanche je suis fan de « comme 2+3=5 », de la comparaison du début, remarques qui donnent à l’ensemble une dimension résolument et explicitement tournée vers l’élève.

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Les représentations initiales du nombre décimal en sixième

Question, ce matin, à mes élèves : c’est quoi pour vous un nombre décimal ?

Voici leurs réponses (le son n’est pas bon, je dois trouver un autre moyen d’enregistrement) :

Avant d’en arriver là, nous avons étudié la construction des entiers, en début d’année, et nous avons bien exploré les fractions, décimales et non décimales. Après cet échange, je leur ai présenté Stevin et sa notation révolutionnaire. Il faut dire qu’il est fort, ce monsieur, quand même. Les élèves étaient très attentifs : ils adorent qu’on leur raconte des histoires, et celle de la virgule, ils ne la connaissaient pas du tout.

La prochaine fois, on enchaîne sur l’analyse de la construction du décimal, des activités sympas pour réfléchir et l’utilisation du glisse-nombre.

En attendant, leurs réponses sont tout à fait intéressantes et vont nous servir de fil rouge dans la séquence : à peu près tous les freins ont émergé, dont un que je n’attendais pas forcément : le sens du signe égal. Devant ce que j’écris au tableau pour illustrer ce que me dit un élève, « 2 = 2,00 », des élèves pensent que les deux nombres sont décimaux, d’autres que les deux nombres ne sont pas décimaux, d’autres encore que l’un est décimal et pas l’autre (malgré l’égalité, ce qui interroge sur le sens qu’ils lui donnent), et certains pensent que cela dépend de comment on regarde (2, il est entier mais il est pas tout à fait entier non plus).

On a aussi dans les propos des élèves « ajouter des zéros », la confusion dizaine-dixième, l’idée de transformer en fraction, et bien sûr la représentation « un décimal c’est un nombre à virgule ».

A moi de travailler tout cela pour faire bouger les représentations (et pas la virgule).

 

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Mots et maux (2)

Même classe, même jour, même exercice que :

  • Ferid nous propose les nombres 51, 52 et 53 pour répondre à la question. Qu’en pensez-vous ?
  • C’est bon, ça marche.
  • Mais nous on a une autre solution madame !
  • Ah oui, allez-y.
  • 1, 52 et 103.
  • Qu’en pensez-vous, les autres ?
  • La somme ça fait 156 et c’est des entiers, mais ça va pas parce qu’ils sont pas consécutifs. Nous on avait fait l’erreur aussi au début.

Ils expliquent à leurs camarades, et les convainquent.

  • Vous voyez comme les mots sont importants? Si je ne comprends pas la signification de chaque mot « entier », « somme », « successif » dans le champ des mathématiques, je risque de ne pas comprendre la question et de répondre à côté. C’est pour ça qu’il faut que vous demandiez, lorsque vous n’êtes pas sûrs, ou, encore mieux, que vous alliez vérifier dans mon ami dico. Alors on fait quoi, on garde ou pas la proposition 1, 52 et 103 ?
  • Non, on peut pas, ça va pas puisqu’ils sont pas successifs.
  • Ok. Quelqu’un a une autre idée ?
  • Oui, oui. Enfin non, mais on cherche et on va presque trouver !
  • Mais non madame, c’est pas possible, on a trouvé les seuls qui peuvent correspondre à la consigne !
  • Pourquoi ?
  • C’est logique, il n’y en a pas d’autres !
  • Vous êtes convaincus, tous ? P’têtre qu’il a raison… Ou p’têtre qu’il se trompe… Comment pourrais-tu convaincre tes camarades ? Ou te convaincre que tu te trompes ?
  • Je sais pas. … Aaaah si je sais, je fais le montrer avec du calcul littéraire. Je vais mettre un chiffre du genre « z » à la place du truc et je vais raccourcir le calcul comme on a appris et ensuite je vais solutionner le « z ».
  • Et comment tu vas faire le celui d’après de z ?
  • Celui d’après de z, c’est avec +1, puisqu’il est successif. C’est pour ça que j’ai pris z, sinon avec a bah ça aurait été b. Tu peux prendre que z.

Je n’ai même pas le temps de réfléchir à la façon dont je vais amener les élèves à reformuler cette jolie trouvaille, comment je vais leur faire comprendre que a ou z, c’est la même idée : ils se replongent tous dans leurs calculs. Je me demande ce qu’ils font. Je circule, j’observe. Ils ont tous écrit une modélisation correcte, une équation qui traduit la consigne. Certains butent sur la résolution, les autres leur expliquent que c’est une « opération à trou sans trou ».

Ils trouvent 51 pour le premier entier, et complètent par 52 et 53. Et me déclarent :

  • Il a raison, Antoine. Parce que quand on a écrit le problème avec une lettre, et qu’on a réduit et qu’on a résolu, ça donne ça et il n’y a rien d’autre que ça peut donner.
  • Ça fait une solution unique, madame.
  • Enfin unique mais c’est les trois nombres ensemble qui sont uniques, quoi.
  • Quand même madame, c’est cool le calcul littéral ! C’est genre fort, quoi !
  • Par contre Antoine il dit z, mais ça peut être a, ou x, ou n’importe quoi d’autre, parce que le truc qu’on met à la place pour imaginer il a pas d’importance.
  • Oui, moi j’ai fait un smiley. Ça marche aussi.
  • Ah oui, c’est vrai. b c’est pas le successeur de a dans les maths. C’est dans l’alphabet, que c’est vrai, chuis bête.

Ouahou. Je suis sortie épuisée, mais ouahou. Ils ont compris plein de choses, sans moi.

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Mots et maux (1)

Question, en quatrième :

Est-il possible de trouver trois entiers successifs dont la somme est égale à 156 ? Décris ta démarche pour justifier ta réponse.

Sur chaque table, je pose un enregistreur.

Groupe 1 :

L’un des élèves propose à l’autre de diviser 156 par 3. Son camarade lui fait remarquer qu’on pourrait d’abord vérifier que 156 est multiple de 3. l’autre lui répond « Tu veux dire est-ce que 156 est divisible par 3 ? ». Oui, il veut dire ça. Ils additionnent les chiffres qui composent 156, parce que « si ça ne marche pas, c’est pas la peine de se galérer ». 1+5+6=12, « zut, ça marche. Bon on pose ». Jusque là, je bois du petit lait : ils emploient les mots « multiple », « divisible », se parlent, travaillent vraiment ensemble, se souviennent du critère de divisibilité par 3, cherchent à optimiser leur démarche et planifient. Bonheur.

Ils posent, ils trouvent 52. Ils restent à contempler ce résultat, perplexes.

  • « Elle en veut trois, des entiers. On lui met quoi d’autre ? »
  • « Bah chais pas. Pourquoi elle en veut trois ? »
  • « Chais pas. On choisit quoi pour que ça fasse 156 ? »
  • « Ce que tu veux ».
  • « Comment on va savoir si ils sont successifs ? »
  • « Bah j’en sais rien. Ça dépend de la prof ».

Là, ils m’appellent.

  • « Madaaaaaaaaame ! On met quoi comme nombres successifs ? »
  • « Comment ça vous mettez quoi ? Vous en êtes où là ? »
  • « Bah on a trouvé 52 parce qu’on a divisé par 3, et donc on en a un successif, mais les autres on voit pas comment dire c’est quoi. »
  • « 52 c’est un nombre successif ? »
  • « Oui, forcément, on a divisé. il est bon, lui, on est sûrs ».
  • « Mais bon c’est vous qui le trouvez successif, nous bof ».
  • « Ça veut dire quoi, pour vous, que 52 est successif ? »
  • « Vous le trouvez bien, c’est un bon nombre. »
  • « Un bon nombre ? Pourquoi c’est un bon nombre ? »
  • « Bah c’est vous, hein, nous franchement, on le trouve pas super, enfin pas plus qu’un autre »
  • « Ok. Que signifie successif ? »
  • « Qui a du  succès ! »

Jamais on ne m’avait proposé ça. Mais cette année, c’est la deuxième fois. C’est quand même bizarre.

A mon injonction d’aller chercher mon ami dico, mes deux élèves ont râlé, ronchonné, renâclé… Et puis ils ont compris :

  • Aaah, d’accord, par exemple 52 et 52,1 c’est des entiers successifs !

Ca a pris un peu de temps, forcément : il a fallu réactiver ce qu’est un nombre entier, et réfléchir à l’idée de successeur dans l’ensemble des décimaux, quand même.

Mais c’était super intéressant.

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Degrés et radiateur

Cette semaine, je dis à mes élèves, enthousiaste, en mode tadaaaaaa :

Aujourd’hui, c’est un jour important : je vais vous apprendre à utiliser un … radiateur ! Allez, chacun prend le sien !

Stupeur générale. Les gamins me regardent interdits, mais n’osent rien dire. Moi, mon cerveau entend que j’ai dit « rapporteur », évidemment. Alors je les regarde à mon tour, déçue du flop de mon effet. Habituellement ils sont très contents d’apprendre à utiliser le rapporteur. Histoire de m’enfoncer, j’ajoute :

Vous vous souvenez, hier, nous avons utilisé une nouvelle unité de mesure : les degrés ! 

Oh là là, misère. Ca tombe mal, quand même, avec les ° et les °C…

Un élève, soudain, a le regard qui s’éclaire et s’exclame :

Rapporteur, madame !

Oui, bin quoi rapporteur ? Tu as oublié le tien ?

Non non ! 

Et il enchaîne en s’adressant aux autres :

Rapporteur, les autres, on sort le rapporteur !

Et comme un seul homme, les élèves brandissent leur rapporteur, manifestement soulagés.

Je n’ai rien compris sur le coup. C’est à la fin de l’heure que l’élève qui m’a comprise, lui, est venu m’expliquer.

Je crois que je suis fatiguée.

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Par amour de la lecture, faisons des maths, et inversement

J’en avais envie depuis longtemps, et aujourd’hui j’ai pris le temps de la faire : commencer un cours en lisant un extrait de livre qui parle de mathématiques, de près ou de loin, aux élèves. Je me suis décidée parce que le quart d’heure bleu a l’air de prendre concrètement forme, même si c’est encore un projet, dans mon établissement : nous sommes nombreux à souhaiter un quart d’heure de lecture quotidien, à la fin de la pause du midi, partout dans le collège. Et la ténacité de mes collègues, soutenus par la vie scolaire et l’administration, est bien partie pour payer. C’est top.

Mais évidemment, cela va prendre du temps. Il faut anticiper, prévoir, aménager, bref, ce ne sera pas avant le printemps, si nous nous lançons cette année. Mais cela m’a encouragée à faire à nouveau entrer les livres dans ma classe. Je le faisais, avant, au lycée, et puis j’ai oublié. Depuis l’année dernière, j’en avais envie, et voilà, aujourd’hui c’était le bon moment. Je ne sais pas pourquoi, c’est comme ça.

Avec chacune de mes classes de sixième, j’ai donc annoncé au début du cours que j’allais Unknownlire trois pages du livre de Daniel Tammet, Je suis né un jour bleu. J’ai lu le début du livre, lorsqu’il explique sa synesthésie. Les élèves n’ont pas paru très surpris de cette idée. Ils se sont confortablement installés, et j’ai alors précisé que je ne lisais pas pour les bercer avant de s’endormir, mais pour leur faire découvrir quelque chose, et qu’ensuite nous en parlerions. J’ai aussi expliqué que je faisais cela par amour de la lecture, parce que ce n’est pas parce qu’on est prof de maths qu’on n’aime pas lire.

J’ai lu mon petit extrait, puis nous avons discuté : et eux, mes petits élèves, ont-ils des sensations liées aux chiffres, aux nombres ? Oui évidemment. Personne ne m’a dit qu’il ne comprenait pas. De même, beaucoup d’élèves m’ont expliqué qu’eux aussi avaient des comportements « obsessionnels » sur des gestes de la vie courante : compter les mouvements de brosse à dents, compter les marches des escaliers, régler le volume sur un nombre pair, etc. Comme l’autisme décrit par Daniel Tammet posait beaucoup de questions, une élève a magnifiquement expliqué que les personnes autistes n’étaient pas moins intelligentes, mais juste différemment intelligentes, et que n’étions pas toujours capables, nous, de comprendre cette intelligence-là.

J’ai ensuite demandé aux élèves quel chiffre ils n’aimaient pas, quels chiffres ils trouvaient sympas, quel chiffre était rassurant. Chacun avait sa réponse, et ils ont paru très surpris que le même chiffre soit agréable aux uns, désagréables aux autres.

Pour mercredi prochain, les élèves ont à me rendre la suite ordonnée des chiffres « tels qu’ils existent dans leur tête ». On va voir ce que cela donne. J’ai promis de faire la mienne, je vais m’y atteler ce week-end.

« Est-ce que vous allez nous relire des histoires, madame ? » Oui, je vais essayer une fois par semaine, ou au moins une fois tous les quinze jours. C’est une façon de plus d’exploiter ma belle bibliothèque de travail…

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Stratégie, démarche, procédure (2)

Bon c’est malin, maintenant je n’arrive plus à réfléchir à autre chose. Il va falloir, car j’ai mes bulletins à remplir. Mais quand même, mon mari me faisait remarquer que le mot stratégie est d’un autre registre que procédure et démarche : une stratégie renvoie à la présence d’un adversaire (qui peut être un problème, certes). Démarche et procédure sont beaucoup plus « neutres », ils ne s’opposent à rien.

Histoire de voir, j’ai pris le programme de cycle 4. Le mot stratégie y apparaît deux fois, en lien avec les jeux. Le mot démarche est présent cinq fois : une démarche s’explique, se développe, s’explicite, s’élabore, et on s’y engage. Et le mot procédure y apparaît deux fois aussi, mais en lien avec le calcul : procédures de calcul. Tout cela va bien dans le sens de nos « définitions-ressentis ».

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