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Apprendre à se passer des tableaux de conversion

En cinquième, nous avons fini de travailler sur les aires, pour le moment. Alors il est temps de développer un peu la technique et de s’entraîner à convertir des aires. Mais mes élèves sont accros aux tableaux, et moi pas : je voudrais qu’ils convertissent sans. Pour cela, il faut être progressif, leur permettre de décrocher en douceur pour donner un sens différent aux conversions, aux unités d’aires : je voudrais qu’ils les relient au calcul, au sens des unités produit, à la dimension 2, pas au « j’écris des zéros » ou « je décale des trucs par-ci, par là », ou « je mets la virgule là et j’en mets une autre là ».

Premier niveau, avec tableau de conversion, on place le nombre donné au bon endroit. La virgule disparaît dès que le nombre prend place. Si on se trompe, on peut l’attraper de nouveau pour le replacer. Et on change son regard pour lire dans l’unité annoncée. Ce n’est pas simple pour tout le monde : certains élèves veulent absolument trouver une écriture décimale, même quand il s’agit d’un entier. Il y a deux niveaux et je laisse pour le moment les élèves gérer le niveau de difficulté et le passage au niveau suivant.

Deuxième niveau : sans tableau, et si on veut on s’appuie sur le tableau de conversions collé dans le cahier de leçons, dans une pochette plastique pour pouvoir écrire dessus au feutre et effacer. Mais ce document n’est qu’un appui, annoncé comme peu souhaitable à long terme, et temporaire. Et les élèves jouent le jeu : ils l’utilisent, puis s’en défont volontairement. Là aussi, il y a deux niveaux possibles et entre 5 et 20 questions par niveau.

A chaque fois, les élèves obtiennent un bilan simple à lire :

Et puis pour ceux qui ont fini, il y a les comparaisons, que j’aime beaucoup : cela permet de mobiliser le principe de comparaison et même temps les conversions.

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Maths lover

Aujourd’hui, l’élève passionné de maths qui était venu fureter dans ma bibliothèque est revenu et m’a déposé son précieux classeur de découvertes mathématiques, avec un petit mot assez extraordinaire. Je suis flattée de sa confiance. Evidemment, j’ai mis le nez dedans avec gourmandise dès cet après-midi… Déjà, avoir un tel classeur est une merveille en soi, particulièrement à son âge.

Pour chaque page, j’ai envie de lui raconter plein d’histoires en plus, d’agrandir son regard… Mais je vais voir ce qui l’intéresse le plus et veiller à ne pas lui farcir le crâne, déjà bien rempli.

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Maths la tête dans les étoiles et les pieds sur Terre

Avec ma collègue Audrey Saubadu, nous entretenons le Twitter de M@ths en vie cycle 3. Et Audrey a eu une chouette idée de projet, qu’elle a mis en forme aussi sec : un parcours de problèmes de maths autour du voyage de Thomas Pesquet, sous forme de Genialy. Mais nous manquons de munitions : peu de collègues nous ont envoyé leurs idées.

En auriez-vous, vous qui me lisez ? Si oui, vous pouvez les envoyer à cycle3@mathsenvie.fr, et nous les intègreront au document en cours, pour bien sûr le partager avec les classes. Merciiiiiii !

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Un parcours en autonomie sur les triangles semblables

Louise et Cédric Grolleau proposent un parcours en autonomie sur les triangles semblables. Je l’ai téléchargé, car cela me plaît bien. Je vais le tester bientôt en 4e : j’ai déjà traité le thème et cela réactivera tranquillou. Je pourrais même introduire Thalès avec ça, ou m’en servir quand ce sera le moment pour faire le lien. Et moi, je pourrai faire un pas de côté pour regarder les élèves travailler, réussir et se tromper en interprétant leurs démarches.

Je suis particulièrement fan des figures à main levée, ce qui change tout.

Merci à ces collègues de partager de la sorte !

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Bigarrure : plouf dans les maths en CM2

Hier je vous avait parlé de mes plans pour la deuxième séance de bigarrure dans le triangle. Là, j’en reviens et c’était super ! Les enfants ont hyper bien travaillé, ils ont bien plus participé que la fois précédente, il y avait de l’énergie, ma collègue avait l’air très satisfaite aussi et je me suis vraiment bien amusée. J’ai senti que c’était intense, efficace.

Mon plan (si j’avais le temps, car pas question de brûler des étapes) était le suivant :

  1. Reprise des réponses des élèves, de façon générale, introduction du mot « scalène » vs « quelconque » : FAIT ;
  2. Question du jour : le grand triangle est-il rectangle ? FAIT ;
  3. Reprise tous ensemble : qu’avez-vous répondu ? Pourquoi ? FAIT ;
  4. Vérification de l’égalité de Pythagore, avec présentation historique et calcul posé de décimaux : FAIT ;
  5. Si nous avons le temps, voilà ce à quoi je voudrais arriver : une des deux méthodes vous convainc-elle plus que l’autre ? Pourquoi ? FAIT ;
  6. Digestif : géométrie sphérique. PARTIELLEMENT FAIT.

Bon bin c’est plutôt pas mal, d’autant que nous avons pris notre temps. J’avais une heure et demie, cette fois, ce qui était confortable. Quelques analyses à chaud :

Les questions 1 à 3, plus des questions bonus :

Les élèves étaient beaucoup plus souriants, détendus, participatifs. Ils ont proposé leurs erreurs, posé leurs questions. Les interactions m’ont semblé bien meilleures.

A l’introduction de « scalène », plusieurs élèves ont tout de suite demandé : « mais alors un triangle, il peut être scalène ET rectangle ? ». Nous y avons donc réfléchi ensemble, pour conclure que oui. J’ai ajouté une question à l’écrit : « le triangle est-il scalène ? », question qui n’a posé aucun souci. Du coup, j’en ai profité pour parler instruments de géométrie : la règle non graduée, la règle graduée (et hop un petit coup d’histoire du mètre), l’équerre (sans hypoténuse siouplé), le compas (qui ne sert pas à faire des ronds, non non non).

Côté réponses à la question « le grand triangle est-il rectangle », nous avons presque atteint l’égalité : 13 oui pour 15 non. Pourquoi ? C’est là que cette question est intéressante à poser : que les élèves répondent oui ou non, leur justification est la même :

Alors là, on a pas mal discuté : un élève a proposé de placer l’équerre « par l’intérieur », pour mieux voir, ce qui en a convaincu certains autres. Mais c’était troublant, pour les élèves, cette répartition presque équitable d’avis opposés. J’ai demandé s’ils avaient eu envie de répondre « il est presque rectangle », ou bien « ça dépend comment on le regarde », mais ça a fait flop : non, en maths on ne dit pas ça, faut choisir. Bon, dans ce cas-ci, c’est vrai.

Nous avons réfléchi aux équerres, à leur précision, à la manipulation, et nous sommes arrivés au fait que pour l’équerre, c’est chaud : il faut en même temps veiller au sommet et aux côtés de l’angle droit. Et ne plus bouger pour observer.

Mais alors, comment faire ? La question 4

J’ai annoncé que nous allions avoir recours à une autre façon de s’y prendre : l’utilisation, du théorème de Pythagore. J’ai mis les formes, en expliquant bien (je crois) que les élèves ne sauraient pas tout ce que savent des élèves de collège sur ce théorème, mais que j’allais les guider dans son application. J’ai parlé de monsieur Pythagore, et les élèves ont commencé par mesurer bieeeeen précisément les longueurs des côté du grand triangle de Bigarrure. Puis je leur ai demandé de poser la multiplication de chaque longueur de côté par lui-même, d’entourer le résultat le plus grand, d’additionner les deux autres, de comparer. Une fois présenté le principe de l’égalité, tous les élèves étaient d’accord : le triangle n’est pas rectangle. Non seulement les résultats obtenus étaient différents, mais ils les ont trouvés « trop différents » pour supporter une erreur de précision.

Z’en pensez quoi : Pythagore vs équerre ?

Sans surprise, Pythagore l’emporte à 26 voix contre 2. Le combat était inégal : les enfants étaient si contents et fiers d’avoir « appris » l’égalité de Pythagore… Et puis beaucoup d’entre eux aiment calculer. Il y a de belles pépites parmi les réponses : on sent bien que calculer rassure, « fait classe », mais il y a aussi un rapport à la vérité ressenti comme différent. C’est exactement à cela que je voulais arriver : parler vérité, argument, démonstration. Cerise ur le gâteau : un élève a eu le recul d’écrire que oui mais bon quand même, on mesure. Quelques autres objections tout à fait sensées sont citées : c’est plus long, avec de grands nombres ou des décimaux à beaucoup de chiffres on peut galérer, etc. Vraiment extra, ces réponses !

Cette dernière réponse, parfaitement rafraichissante, est aussi intéressante : en quoi, finalement, avons-nous fait plus de mathématiques en mesurant et en calculant, qu’en plaçant l’équerre ? Parce qu’au final, le moment où nous avons fait le plus de maths est sans doute le moment où les élèves se sont interrogés sur ce qu’ils préfèrent et pourquoi, ou sur ce qui leur paraît le plus pertinent.

Géométrie sphérique

Nous avons juste eu le temps, pour la géométrie sphérique promise la dernière fois, d’examiner ma boule en polystyrène et d’en extraire un triangle sphérique. Mais ça valait le coup : quels beaux regards j’ai eu face à moi !

Conclusion

Ce qui était vraiment chouette, c’est qu’à chaque étape, un ou plusieurs élèves ont posé une question qui m’emmenait naturellement sur l’étape prévue suivante ! Cela m’a donné l’impression d’une bonne construction de séance, car les enchaînements étaient ainsi fluides et pas du tout artificiels.

Je revois la classe dans deux semaines, et ensuite encore deux semaines après. Dans deux semaines, j’ai prévu de repartir sur la géométrie sphérique car là, ils sont en appétit, de faire la synthèse de leurs réponses à la méthode qu’ils trouvent la plus pertinente et de développer un peu (car elle est appuyée aussi sur la manipulation et l’observation : on mesure les côtés, ce qu’un élève a relevé), et de nous lancer dans nos propres bigarrures.

Cette fois, c’est sûr : je range Bigarrure dans les pépites. A mon avis, c’est une activité aussi pertinente en classe qu’en formation, en constellation par exemple.

Encore merci à David Sire, sans qui rien de tout ceci n’aurait pris forme, et à Aline qui m’a accueillie dans sa classe.

Prochaine étape (à part finir la séquence en CM2) : transformation de la séquence pour des cycles 2. Sans Pythagore, donc avec d’autres outils ! (j’ai déjà mon iodée, elle m’est venue en classe tout à l’heure 🙂 )

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Une erreur signifiante

Des erreurs, nous en faisons tous et c’est très bien : les erreurs sont un carburant très efficace pour apprendre et pour enseigner. Evidemment, il est des erreurs plus regrettables que d’autres. Mais là tout va bien : on est en maths, et personne n’a de raison de souffrir d’une erreur.

Alors voici la narration d’une erreur en 5e. Elle porte sur l’aire des triangles, mais ce n’est pas ça l’important. L’important c’est de pouvoir analyser comme cette erreur est le résultat d’une démarche sensée de la part d’un élève volontaire et intelligent, qui veut répondre au mieux à une question. Il lui semble qu’il lui manque une information, alors il compose. Il introduit dans sa démarche du perceptif pour ensuite l’appliquer de façon procédurale, comme appris en classe. Cela ne le choque pas, car l’exercice scolaire dans son ensemble comporte pour beaucoup d’élèves une part de conventions et d’arbitraire, voire de franchement obscur, qui lui a appris à recourir au système D pour aboutir. Et il trouve un moyen acceptable pour lui de surmonter son obstacle.

C’est une jolie erreur car elle est riche d’enseignements pour tous, et ces enseignements sont très profonds. Côté prof, ils font vraiment réfléchir à la nature de l’exercice mathématique et à la perception que peuvent en avoir nos élèves. Finalement c’est comme en art : il y a ce qu’on pense donner à voir, et il y a ce qui est vu.

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La culture chez nos politiques

Un article d’hier, dans le monde, est une tribune de Philippe Juvin, chef des urgences de l’hôpital européen Georges-Pompidou .

Philippe Juvin remarque que les polytechniciens, « seuls hauts fonctionnaires sensibilisés aux sciences et techniques », ont presque disparu dans les postes-clefs de l’Etat, au profit des énarques. Il suggère une corrélation entre les mauvais choix en matière, par exemple, de développement d’un vaccin français. Comment ne pas penser, à notre échelle, aux résultats en déclin de nos enfants en sciences ? Pourquoi ne suivraient-ils pas l’évolution de leurs aînés, qui eux non plus ne sont souvent franchement pas compétents dans les domaines scientifiques ? Tout le monde ne peut peut-être pas être brillant en tout, d’accord. Mais avoir un bagage minimum consistant quand on gouverne semble la moindre des choses, ainsi que d’associer aux décisions des scientifiques qui savent de quoi ils parlent.

Pourquoi la France a-t-elle raté les deux grands virages scientifiques de l’épidémie que sont les vaccins à ARN messager et le séquençage ? Peut-être parce qu’elle est dépourvue de cette qualité éminemment scientifique qu’est le doute : l’absolue certitude que son industrie du vaccin était la meilleure l’a empêchée de réfléchir à d’autres voies. (…) La France ne voit pas loin parce que, au fond, elle ne doute jamais d’elle-même.

Mais la disparition des sciences dans l’espace public a des effets plus larges encore, qui irriguent toute la vie démocratique. Apprendre les sciences, c’est d’abord apprendre à penser. La science forme l’esprit critique. Mes hypothèses sont-elles bonnes ? Sont-elles les seules ? Quels arguments contraires ? Ai-je vraiment raison ? L’esprit scientifique progresse par interrogations, compare, doute, écoute avant de conclure. Il aide à penser contre son propre cerveau. Or comment ne pas être frappé par la concomitance de la disparition des sciences et de la dégradation du débat d’idées dans la sphère démocratique ?

Lorsque monsieur Juvin écrit que « L’effacement des sciences est bien un désarmement intellectuel global », je suis bien d’accord. Et cela ne remet pas en cause les autres champs de la culture : nous avons besoin de toute la culture, toutes les cultures pour comprendre le monde, pour agir ensemble de façon constructive, respectueuse et intelligente. De façon éclairée. Parce que là, on a éteint une lumière et il fait sombre.

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Pour une famille, en France.

Cet article ne parle pas de maths. Il parle d’une famille dont deux des enfants sont scolarisés dans le collège où je travaille. Le plus jeune, né en France, est encore à l’école. Tous les cinq sont intégrés. Cette famille a fui l’Arménie par obligation, pas par choix, et vit en France depuis 5 ans. Les parents, enseignants en Arménie, voudraient pouvoir travailler. Ils veillent à la scolarité de leurs enfants avec attention. Ils forment une famille de sportifs et de musiciens. Une famille, en France, que pourtant la France menace d’une obligation de quitter le territoire.

Au collège, beaucoup de mes collègues se sont déjà mobilisés, fortement. Nous sommes solidaires avec la famille Manukyan-Andzyan. Merci à tous ceux qui voudront bien nous rejoindre.

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