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Le carrelage de Julien Dudu

Aujourd’hui, nous avons corrigé ce problème de Mathix : « Les Dudu et le carrelage « axiale ». » Il s’agit de trouver les axes de symétrie des carreaux de carrelage, en veillant à ne pas ten ir compte des couleurs et seulement des formes géométriques.

On pourrait se dire : ok, une nouvelle tâche d’identification des axes, on en a déjà plein. Sauf que non : celle-ci permet de développer un autre regard, justement par le contrainte « les couleurs ne comptent pas ». Notre regard, et particulièrement celui des jeunes, s’attache terriblement aux couleurs. là, on passe de la reconnaissance de forme appuyée sur un motif à un regard géométrique, sur les points, les lignes, les surfaces. Ce matin, en écoutant une de mes classes de sixième, j’ai vraiment constaté ça : les couleurs les aident mais les limitent, aussi. Ils ont dû effectuer cette régulation eux-mêmes, ce changement de regard, et je l’ai vu en direct.

Le seul souci, ce sont les nuances de couleurs légères, qui empêchent de voire, sur la photocopie, certaines lignes. Mais ce n’est pas très grave : le principal est de parvenir à ce pivot didactique.

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Dans la famille des bizarroèdres, je demande l’arrière-petit-cousin

Il y a quelques jours, j’ai découvert mon bizarroèdre. Les frères Dudu m’ont signalé qu’Arnaud a tout collecté et déposé sur son site, ici. C’est absolument magnifiquement pratique : touuuuut est là, soit fichier par fichier, soit tout d’un coup dans un même fichier (merci à Eric Elter !). Arnaud a consacré un article à ces petites merveilles. Son but est de faire calculer des volumes ; tous les solides ne s’y prêtent pas forcément, en terme de niveau et de connaissances, mais avec d’autres c’est top. Rhalala, ça va plier sévère, je vous le dis ! Mon seul problème est le foisonnement des projets. Mais en s’organisant bien, nous devrions pouvoir y arriver.

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Nerdle

Un ami m’a fait découvrir Nerdle, un « wordle avec des opérations »que je ne connaissais pas.

Il s’agit de deviner un calcul, constitué de deux membres séparés par un signe d’égalité, le membre de droite étant constitué d’un nombre et celui de gauche de nombres reliés par une ou plusieurs opérations. Le calcul doit être vrai, et on dispose de six essais pour trouver, façon Mastermind. Les règles de priorités d’appliquent.

Cela donne ce genre de choses :

https://nerdlegame.com/20220404

Quand j’ai joué, ce matin, je pensais que le nombre unique, le résultat, pouvait aussi se trouver à gauche. C’est un peu dommage qu’il soit forcément à droite, parce que cela va dans le sens de représentations stéréotypées que développent les élèves, mais cela simplifie.

Il y a d’autres modes : le mode mini, avec un carré de 6 cases de côté, instant, comme ci-dessous, speed, dans lequel il faut aller vite et on accumule des pénalités si on n’est pas assez rapide, pro pour faire ses Nerdle et replay pour traiter les Nerdle des jours précédents, car il y en a un par jour.

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Message pour la boutique de la Cité des Sciences

Un ami m’a envoyé ceci :

Bien vu !

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Ecriture décimale de nombres rationnels.

Un collègue me pose ce soir une délicieuse question ; je ne peux pas résister à l’envie de la partager ni d’y répondre.

Ce collègue, taquin (et surtout mû par un objectif didactique et de l’ambition pour ses gamins), propose à ses élèves de CM2 la division 6815 : 97. Ses élèves ont découvert récemment la division posée, et il veut mettre en évidence que l’écriture décimale d’un rationnel peut être illimitée ; comme ça pouf, il relie division et fraction, impec, et en plus propose un approfondissement judicieux des décimaux : nombre décimal et écriture décimale, ce n’est pas la même chose ; pour être un nombre décimal, il faut pouvoir s’écrire sous forme de fraction décimale, sur 10, 100, 1000, etc., et ainsi une écriture décimale illimitée exclut d’être un nombre décimal. Par exemple, π n’est pas décimal (ni rationnel, d’ailleurs), mais possède une écriture décimale (illimitée). 1/3 n’est pas décimal non plus (mais c’est un nombre rationnel, forcément), car son écriture décimale est 0,33333… (ou 0,3 si on veut éviter l’implicite des « … »).

Le collègue précise que le quotient n’est pas un nombre décimal, mais un nombre rationnel, car la partie décimale est illimitée. Pour être précis, il ajoute que ce quotient est rationnel car on va observer que les chiffres se répètent, dans l’écriture décimale, à partir d’un certain rang. Comme dans 12 : 7, qui a pour écriture décimale 1,714285 714285 714285 … =1,714285.

Mais là, zut crotte flûte, son affirmation (juste) semble coincer : même sur la calculatrice de l’ordi de la classe la période de 6815 : 97 n’apparaît pas.

Alors le collègue m’écrit : mais qu’est-ce que quoi avec la période de mon quotient, zut ?

Hé bien voilà : lorsqu’on divise 12 par 7, on peut obtenir comme reste, à chaque étape intermédiaire de la division posée, les nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Si c’est 0, la division « tombe juste » et le rationnel est aussi décimal. Sinon, comme il n’y a que 6 autres restes possibles, on va rapidement tourner en boucle : au pire (ce qui est le cas ici) on va voir apparaître en reste les entiers de 1 à 6, et celui d’après sera déjà apparu. A partir de ce moment, poursuivre la division n’a plus d’intérêt : on est déjà passé par là.

Mais dans l’exemple du collège, on divise par 97… On peut donc être amené à se coltiner une petite centaine d’étapes de calculs intermédiaires avant de voir apparaître un reste déjà connu.

Pfiou. Ca fait beaucoup d’étapes.

Peut-)être ce n’est pas le meilleur exemple du monde, du coup. Mais moi, j’ai bien aimé.

PS : D., tu me diras si je suis claire ?

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Des innovations qui font bouger le monde…

Céline Valette m’a signalé cette innovation de fou (et que tu penses à moi en voyant cela m’a amusée et fait bien plaisir, Céline…) :

Alors bon, je pense que c’est l’occasion de travailler le décimal dans toutes les familles : quelle fraction d’anniversaire peut-on fêter ? Pourquoi ? Et d’ailleurs, Vahiné a-t-il prévu la bougie-barre-de-fraction pour celles et ceux qui ont envie de fêter leur tiers-niversaire ? J’espère bien, non mais sans blague.

On n’arrête pas le progrès…

Par contre, le premier qui fait bouger la virgule sur le gâteau, je déboule. Que ce soit dit.

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Les CEI vous souhaitent une bonne journée

avec leur très beau triangle de Sierpinski :

C’est ma collègue Christelle qui a amené ses élèves de CE1 en REP à produire des triangles de Sierpinski. De quoi développer la verbalisation pour décrire la figure, décrire les gestes, de quoi aussi faire réfléchir aux étapes de construction : l’ordre est-il crucial (spoiler : oui), et on peut même réfléchir à l’infini… Miam !

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Petite fraction deviendra grande

Une fort jolie question est arrivée sur Twitter aujourd’hui. Les copains ont déjà répondu, et fort bien, mais elle m’a gratouillé le cerveau et j’avais envie de participer à l’effort collectif. Mais le peu de caractères disponibles sur Twitter ne m’est pas suffisant : je suis pipelette. Voilà question de Michel :

J’ignore le niveau de la classe concernée. Je vais partir sur 6e, parce que c’est le genre de question que pourraient avoir à résoudre mes élèves de 6e.

J’imagine un contexte, qui peut-être n’est pas adapté : je suppose que l’objectif de l’enseignant est de faire écrire des fractions à l’égyptienne, ou à la britannique, ou à à peu près partout dans le monde sauf nous, façon Harry Potter :

Je me ramène à un exercice de ce type :

Ce genre de tâche me paraît très importante. D’une part cela permet de travailler le calcul, d’autre part l’estimation. Comme toutes les questions de comparaison, c’est une tâche difficile pour les élèves, et qui atteste, si elle est réussie, d’une bonne compréhension du type de nombre engagé, ici de la fraction.

Alors maintenant, il y a plusieurs niveaux de réponse, et d’ailleurs les copains l’ont très bien fait sur Twitter :

Si le but est de décomposer des fractions du type 12/7 (qui n’est pas une fraction très très agréable) sous la forme entier + fraction inférieure à 1, exemplifier sur des fractions décimales est une erreur de stratégie : c’est tout de même une tâche complexe, ici. Il faut interpréter la fraction 12/7 comme le quotient de 12 par 7, se demander combien de fois il y a 7 dans 12, décomposer en (7+5)/7, puis en 7/7+5/7, avoir compris que 7/7 c’est l’unité, et conclure que 12/7=1+5/7. C’est salement complexe. On manipule la fraction dans des calculs, ce qui implique que l’élève doit avoir vraiment intégré que c’est un nombre, déjà.

Mais de ce fait, commencer sur des fractions décimales va mener à un obstacle : du fait de notre système de numération en base 10, les fractions décimales « réagissent » visuellement différemment. De façon beaucoup plus sympathique, en fait. Comme le montre l’exemple choisi, 36/10=(30+6)/10=30/10+6/10=3+6/10. D’un côté c’est plus simple (car les fractions décimales, donc les décimaux, sont populaires et étudiés depuis le CM1), et d’un autre c’est du coup plus délicat car devant ce type de tâches, l’introduction d’un cas « plus simple » mais traité différemment antérieurement va passer pour une espèce de cas particulier qui va bloquer certains élèves.

C’est souvent, ça : des cas plus simples mathématiquement coincent les élèves qui savent comment faire des cas plus difficiles. Mais c’est un indicateur qui montre qu’ils n’ont pas compris : ils ne font pas les liens entre leurs acquis précédents et les notions et/ou compétences travaillées alors.

Je pense donc qu’en effet, stratégiquement, mieux vaut commencer par travailler sur des fractions non décimales, et puis pouf, au fil de l’eau, en proposer une, voir ce qui se passe, et si cela ne pose de problème à personne, s’arrêter un moment pour verbaliser tout cela et expliciter les liens, justement, avec les acquis antérieurs.

Ensuite, c’est une belle occasion de réfléchir au sens de la fraction. Si tout a été construit dans un sens favorable, on a étudié en CM1 les fractions dites simples, puis les fractions décimales, donc les décimaux, puis l’écriture décimale, et on revient plus tard aux fractions en général, jusqu’en sixième à ce fameux (par Julien Durand) :

Ce n’est pas pour des prunes, qu’on construit en ce sens. C’est ainsi que l’humanité a progressé dans son histoire, avec des fractions millénaires pour une écriture décimale juste séculaire. Et cela construit la compréhension du nombre. Mais c’est délicat, pas évident du tout, résistant. Il faut l’accepter ; ainsi on accepte aussi de différer la compréhension de certains élèves, qui vont revenir, revenir et revenir encore sur ces questions, jusqu’au moment où ce sera le bon.

Bon ok, on peut rêver le monde et tout et tout, mais une fois qu’on y est ? On a donné un exemple maladroit (pas besoin d’être stagiaire, je peux le faire aussi ! 😉 ) et des élèves se construisent un joli théorème en actes façon reconnaissance de formes :

Un théorème en actes, c’est une règle qu’on se construit parce que ça a l’air de marcher comme ça.

Pour remédier, que faire ? Parler de multiples langages et multi-représenter, je suppose : du partage, du quotient, du calcul… tous les arguments (valides sont bons, et sans doute tous nécessaires pour les uns et/ou les autres) :

https://micetf.fr/

Comme l’a suggéré Julien, il faudrait aussi revenir sur 1+2/7. Parce que ce qui est rigolo sur cet exemple, c’est que 1+2/7 est aussi compris entre 1 et 2. Mais avec 19/7, ça ne marche pas, par exemple.

Et ensuite, je reviendrais aux fractions décimales : le théorème en actes est-il vrai pour les fractions décimales ? Et pourquoi ? Ca soulève des questions fondamentales, en fait. C’est vraiment chouette, ce cas d’étude.

Et en cadeau bonus, cela donne l’occasion de travailler sur exemples, contre-exemples et généralités, sur la vérité en mathématiques. Et puis on peut faire s’interroger les élèves sur leur rapport aux savoirs, à la construction des savoirs : fais-tu ça parce que je te dis de la faire ? Parce que tu as envie de savoir le faire ? Parce que tu le comprends ? Et d’ailleurs, à quoi te sert de savoir ça, à ton avis ?

Dans mon cas, quand quelque chose de ce type se produit, l’inconvénient c’est que ça nous tient un bout de temps qui n’était pas prévu dans la programmation. L’avantage c’est que ça sert la progression des élèves. On regagnera du temps plus tard. Ou pas, mais de toute façon on ne va pas construire sur du sable…

Merci Michel, merci les copains, et merci le stagiaire qui nous a permis de cogiter !

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La carte du collaboratif

Je suis toute fière ce soir : avec olivier Longuet, nous avons eu la chance de pouvoir publier un article dans Au fil de maths sur l’extraordinaire travail des Dudu.

Alors merci aux collègues d’Au fil des maths pour nous avoir fait cette proposition, à Olivier pour ses magnifiques dessins dans lesquels je reconnais ma classe, aux Dudu d’être super… Voilà qui fait un bien fou : faire des maths tous ensemble, partager, mutualiser et faire apprendre nos élèves !

@Arnaud : ok, on y va pour le château. J’en parle à mes élèves dès que je les revois!

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Quelle heure est-il à Berlin ?

Il y a deux semaines, c’était la semaine des mathématiques, cette année sur le thème de « maths en formes ». Dans mes classes, nous avons fêté l’événement dignement, sur deux semaines, tant nous avions d’événements prévus. Parmi ces événements, des rallyes, des défis. Parmi les défis, le défi M@ths en vie. Il s’agit d’un défi collaboratif, au travers duquel la recherche est valorisée : la démarche compte davantage que la réussite de tel ou tel défi. La marque de fabrique des défis M@ths en vie, c’est le photo-problème, qui constitue un support vraiment idéal pour pouvoir mettre en recherche tous les élèves, même les lecteurs fragiles, même les allophones, même celles ou ceux qui ont encore peur des problèmes. L’image attire, l’absence de consigne intrigue, le collaboratif libère ; voici donc une narration d’un défi que j’ai vraiment adoré. Ce magnifique défi a été concocté par Richard Cauche (@cauchemaths).

Je ne vous explique pas tout de suite pourquoi je l’avais choisi, pour vous laisser le plaisir de chercher aussi.

Voici une des photos (il y en avait quatre) qui constituaient ce problème imagé sans paroles :

La première étape, c’est de projeter l’image en classe. Aussitôt, la classe est divisée en deux groupes : d’une part les élèves qui, sourcils froncés, silencieux, réfléchissent pour comprendre ; d’autre part les élèves qui mitraillent de questions : c’est quoi ? C’est où ? Faut deviner ce que c’est ? Faut comprendre comment ça marche ?

Moi, j’attends. Les questions retombent, le silence se fait, chacun réfléchit. Des mains se lèvent : « Je pense que vous voulez qu’on comprenne comment ça marche ? Mais faudrait qu’on sache ce que c’est, non ? »

En effet, ce serait plus simple. Avez-vous des idées, jeunes gens ? Bien sûr qu’elles et ils ont des idées : en vrac, un indicateur de bus ou de train, un panneau publicitaire, un panneau qui signale un danger, un panneau d’information pour les pompiers, un panneau de signalisation routière, une horloge.

Là, les conjectures qui fusaient s’arrêtent et les mains qui restaient levées se baissent : les camarades de l’élève qui a proposé une horloge réagissent à cette proposition : « une horloge, oui madame, une horloge ! » Mais pourquoi une horloge ? Qu’est-ce qui vous a donné cette idée, qu’est-ce qui fait qu’elle vous convainc davantage que vos autres propositions ? « Parce que c’est comme l’horloge de Fibonacci, qu’on a travaillée, comme celle sur votre bureau, là ».

Mes deux premiers objectifs sont atteints, et sans peine, en plus : d’abord, amener les élèves à émettre des conjectures. La première salve concernait la nature de l’objet ; la deuxième concernera son usage. Et puis j’espérais montrer aux élèves que les idées s’appuient aussi sur la culture : nous avons travaillé la spirale de Fibonacci pour le Fibonacci Day, en novembre. Depuis, une horloge de Fibonacci trône bien en évidence sur mon bureau, et les élèves ont appris à lire l’heure dessus, au prix de la mise en œuvre d’un algorithme assez compliqué mentalement. L’objet d’aujourd’hui a évoqué à plusieurs d’entre eux cette horloge : hé oui, comprendre, c’est aussi faire des analogies, laisser les neurones transmettre des informations pour faire des liens.

Alors oui, c’est bien une horloge. Dieter Binninger l’a conçue et elle est installée à Berlin, depuis 1975. Et maintenant, comment représente-t-elle l’heure ?

Les conjectures repartent bon train. Les élèves proposent des idées, que nous triturons. Après plusieurs conjectures facilement mises en échec par les élèves eux-mêmes (souvent en lien avec les couleurs, et avec les points lumineux visibles sur l’image), une élève propose que chaque case des deux lignes supérieures représente 3 heures, que la troisième ligne donne les minutes 10 par 10. La ligne du bas, elle ne sait pas trop. D’autres répondent :

  • C’est bizarre alors parce que ça colle pour les heures, mais pour les minutes comme il y a 11 cases ça fait 110 minutes.
  • Oui, pourquoi ils auraient mis 11 cases s’il en suffit de 6 ?
  • Et puis la dernière ligne ?
  • En plus ça veut dire on peut pas faire les heures pas multiples de 3.
  • Oui mais ça regarde l’horloge de Fibonacci elle fait pas toutes les heures, on va de 5 minutes en 5 minutes.
  • C’est vrai.
  • Mais quand même entre aller de 5 minutes en 5 minutes et aller de 3 heures en 3 heures ça fait une différence.
  • Mais c’est une bonne idée de diviser par ce qu’on veut pour savoir les cases combien elles représentent.
  • Ce serait bizarre aussi parce qu’on serait plus précis pour les minutes que pour les heures. Si tu sais pas s’il est 1h ou 2h, à quoi ça sert de savoir qu’il est 11 minutes ou 17 minutes ?
  • Mmmmh, pas faux.
  • Peut-être la ligne du bas elle apporte ces informations-là ?
  • Ou alors comme c’est des grandes cases, la ligne du bas aussi c’est les heures, et ça fait 12, donc chaque grande case ça fait 1 heure.
  • Ah oui, pas mal, et le rond en haut il dit matin ou après-midi !
  • Oui, c’est ça !
  • Mais les minutes ? Elles peuvent pas aller de 10 en 10 avec 11 cases !
  • Bah elles vont de 5 en 5 !
  • Non, comment tu fais 60 minutes ?
  • Tu les fais pas : à ce moment-là tu changes d’heure : 60 minutes ça fait 1 heure de plus !
  • Aaaaah oui, ça ferait pile comme l’horloge de Fibonacci : on va de 5 minutes en 5 minutes.
  • Juste c’est bizarre de couper les heures avec les minutes en cours de route.
  • Oui mais ça marche.
  • Bon madame, nous on croit que c’est ça.

Bien. Voilà une conjecture qui en effet mérite d’être étudiée. Ca tient debout. Je félicite les élèves, qui ont vraiment bien cherché ensemble et se sont écoutés ; qu’ils s’écoutent est un objectif très délicat à atteindre, qui demande beaucoup de temps, de patience et d’énergie. Et c’est trèèèèès important. Mais enfin là, c’est réjouissant. Je parle de nouveau de ce qu’est une conjecture, les élèves choisissent une formulation pour l’exposer de façon complète, et déterminent l’heure de l’horloge projetée : entre 15h30minutes et 15h34minutes (parce qu’il fait jour). Certains ont alors des doutes : pourquoi la dernière case des heures est-elle allumée en bas et pas à la suite des autres ? Alors je distribue mon document, avec quatre horloges représentant des heures différentes. Un constat s’impose : il fait jour sur des horloges « qui ont le rond du haut éteint ». Diantre. Notre belle théorie a un plomb dans son aile.

« Madame, donnez-nous un indice ! » D’accord, je veux bien, moi, mais quel indice ?

  • A quoi ça sert le rond ?
  • Il est quelle heure sur cette horloge-là ?
  • Est-ce que les couleurs ça compte ?
  • Est-ce que les points dans les cases c’est important ?
  • La ligne du bas, c’est des heures ?
  • La troisième ligne, celle des petites cases, c’est des minutes ?
  • Elle indique toutes les heures ou pas ? Avec toutes les minutes ?

Ca fait trop de questions, les jeunes. Choisissez-en une et j’y répondrai.

Après discussion, la question retenue est la dernière : les élèves ne savent pas à quoi sert le disque supérieur mais supputent que ce n’est pas décisif ; savoir quelle heure est indiquée sur l’horloge leur semble un « trop gros indice ». Avec la nouvelle photo, les points lumineux leur semblent être des ampoules et la question de la couleur moins cruciale. La dernière question leur paraît équilibrée. Alors je réponds : oui, on peut lire toutes les heures-minutes, sans confusion matin/après-midi.

A partir de là, un court silence et paf : « Je sais ! Je sais ! les deux lignes du haut et les deux lignes du bas marchent pareil ! D’abord de 5 en 5 et après tu rajoutes 1 ! »

Bim. Re-silence, tout le monde calcule, et c’est la joie. La joie d’avoir trouvé. Aucun élève ne m’a demandé confirmation : ils avaient compris et savaient que c’était la solution. Les élèves ont alors lu les heures des quatre horloges proposées, puis se sont rués sur les feuilles vierges d’horloges, prévues par Richard Cauche, pour représenter des horaires affichés au tableau.

Il restait une étape, tout de même. Étape que je n’ai même pas eu besoin d’amener moi-même : « mais madame, on est sûrs de pouvoir représenter toutes les heures, ça d’accord, on a vérifié. Mais est-ce qu’on est sûrs que chaque heure on peut la représenter que d’une façon ? Parce que ce serait un peu embêtant, non ? »

Ah, voilà, très bien : après l’existence, l’unicité. Nous l’avons donc discutée, jusqu’à la question de minuit : 00h00min ou 24h00min ? Enfin, les élèves, ne voulant pas s’arrêter là, m’ont demandé d’autres feuilles vierges « pour faire des heures sur l’horloge et on les marque derrière et ça vous fait des fiches facultatives en plus à donner aux autres élèves ! »

Bonne idée, faisons ça.

Merci Richard pour ce magnifique défi, un véritable délice dans chacune de mes classes de 6e et de 5e. Et merci à M@ths en vie de rassembler tant d’idées qui font avancer nos classes, et qui font faire des mathématiques , « pour de vrai ».

Pour en savoir plus sur l’horloge de Berlin :

Le défi M@ths en vie :