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Couper les cheveux en trois quatre

Ma séquence sur les priorités de calcul en cinquième, qui avait commencé par le calcul littéral, est terminée. J’ai évalué une première fois mes élèves, mercredi dernier, et j’étais ravie : 83% de réussite, selon mes critères. Rarement j’obtiens un aussi bon score au premier essai. J’étais très très contente. J’avais même bon nombre d’élèves qui avaient dépassé mes objectifs.

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Et puis jeudi, je vois la vidéo Dudu sur les priorités de calcul.Je me dis chouette, je vais leur montrer pour clore le thème (même si évidemment nous aurons besoin d’utiliser les priorités de calcul tout au long de l’année). Mais je la diffuse sans parler de priorités de calcul, sans rien d’explicite. Et là, c’est le drame.

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Après diffusion, je pose deux types de questions à mes élèves : d’abord, il s’agit de donner le résultat de chaque calcul. Ensuite, il faut répondre à la question de l’animateur : quel calcul est celui qui est le plus chuté, parmi un échantillon représentatif (de quoi, je n’en sais rien) de 100 personnes ?

Voici ce que mes élèves ont répondu pour les calculs :

Le premier calcul est réussi par tous, très bien. En même temps, il y avait peu de difficulté dans cet énoncé.

Dans le calcul 2, aucun élève ne s’est trompé sur les priorités, mais se tromper impliquait la manipulation de décimaux, et ça, mes élèves n’aiment pas du tout. Je ne m’explique pas la réponse « 6 », qui concerne trois élèves même pas côte à côte. L’élève qui a répondu « 4 » a pensé que 4 : 4=0.

Dans le calcul 3, ça va nettement moins bien…Plus d’un tiers des élèves se trompent dans la mise en ouvre des règles de priorités, en les ignorant. La réponse « 24 » résulte à mon avis de la même démarche, avec une erreur de table en plus. La réponse « 40 » est assez mystérieuse.

Dans le calcul 4, ça ne va plus tout tout. Moins de la moitié de mes élèves trouvent la bonne réponse. Ceux qui répondent « 0 » ignorent une nouvelle fois les règles et effectuent les opérations dans l’ordre de lecture. Ceux qui trouvent « -3 » ont bien calculé d’abord 4:4, mais ils ont stocké « 1 » mentalement, et en sont repartis. Ils ont donc effectué ensuite 1-4 au lieu de 4-1. A noter que plusieurs élèves n’ont pas commis cette erreur, mais l’ont prédite et ont désigné de ce fait ce calcul comme le plus difficile. Deux élèves n’ont pas répondu, manqués par le temps limité pour répondre.

Le dernier calcul est mieux réussi, mais c’est la fête aux erreurs de calcul et d’étourderie (« Ah madame j’ai pas vu la fin du calcul », « Zut, j’ai vu + au lieu de x », etc.) : c’est le dernier, les élèves sont concentrés sur le fait que c’est la dernière question, ou fatigués.

En tout, j’ai donc environ 70% de bonnes réponses. Si je conjecture le nombre de réponses fausses mais non dues à des erreurs de priorités de calcul, cela m’amène à plus de 80%, cela dit. Finalement, ce n’est pas tant un drame. Mais je reste perplexe : ces calculs étaient plus simples que ceux que j’ai proposés en évaluation. Alors pourquoi autant d’erreurs ? Voici les raisons auxquelles je pense :

  • Certains élèves ont été stressés par l’aspect jeu en temps limité ;
  • La répétition du « 4 » n’est pas favorable cognitivement car il brouille visuellement les repères ;
  • L’enjeu « priorités de calculs » n’avait pas été explicitement annoncé
  • L’erreur d’inversion de la question 4 est sans doute liée au fait que les élèves ont juste écrit la réponse, et pas les étapes de calcul. Dans l’évaluation écrite précédente, ils n’ont pas commis cette erreur.

Ce qui est certain, c’est que tous se sont vraiment très bien impliqués. Lorsque nous avons corrigé, beaucoup d’élèves étaient surpris et déçus d’avoir commis des erreurs sur des « choses qu’ils savaient ».

Quant à la prédiction du calcul le plus raté par « les gens », mes élèves n’ont cité que deux calculs possibles, les deux effectivement les plus chutés, avec des tas de bonnes raisons. Une de Capture d_écran 2018-01-21 à 16.05.03ces raisons, qui revient souvent, est liée à leur erreur dans le C : ils ont trouvé qu’obtenir un résultat négatif risquait de gêner les personnes interrogées. En même temps, ce qui est chouette c’est qu’ils se soient autorisés à répondre un nombre négatif alors que nous n’avons pas encore vu les calculs sur les relatifs. out en avons parlé, mais nous ne l’avons pas institutionnalisé.

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Du point de vue des justifications, c’est mieux. Les élèves ont vraiment essayé d’exhiber un ou plusieurs arguments. Il ne manque plus qu’ils écrivent de vraies phrases réponse, qui ne commencent pas par  » D car … », et ce sera vraiment bien.

Ma justification personnelle était : « Le calcul D semble le plus difficile, car il conjugue une difficulté liée aux priorités de calcul (il ne faut pas effectuer le calcul dans l’ordre le lecture, de la gauche cers la droite, car la division est prioritaire sur la soustraction), et la présence de deux opérations parmi les moins populaires : la soustraction et la division. De plus 4 : 4 présente une difficulté supplémentaire, avec sans doute « 0 » pour réponse pour une partie des personnes interrogées ». Je n’avais donc pas prévu l’erreur d’inversion, contre laquelle je mets en garde en classe, car elle est classique, mais que je n’avais pas observée (pour une fois) dans les copies.

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Pour résoudre des problèmes

Sur le site de l’institut Savary de Lyon, vous trouverez un dossier intitulé Capture d_écran 2018-01-18 à 19.03.04« Mathématiques en éducation prioritaire, des ressources pour la formation ». Je n’ai pas fini de l’exploiter, tant il est riche, concret et bien fichu. Un régal : du CP au CM2, vous découvrirez comment articuler les enseignements, pour leur donner du sens et les rendre efficaces, en partant de la résolution de problèmes. Le dossier s’appuie sur des vidéos, présente la parole des acteurs engagés : enseignants, directrice, maitre supplémentaire, maître E, coordo, CPC, parents, le tout éclairé de façon explicite et claire par les travaux actuels de la recherche. Il faut que je trouve un moyen de stocker tout ça pour le déplier tranquillement et dans la durée, avant de l’intégrer à mes supports de formation. En tout cas, dores et déjà, c’est revigorant (même si ces temps-ci je ne manque pas de vigueur, mais il n’empêche, ça fait du bien !)

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Travailler en équipe sans se connaître

C’est vrai que c’est un peu étrange, et frustrant, aussi. On aurait tellement à échanger, en vrai ; ce serait tellement plus simple, de pouvoir communiquer en temps réel et de façon spontanée ! Mais pourtant, quelle richesse nous permet internet : j’ai vraiment l’impression d’appartenir à une communauté. Les mails que je reçois chaque jour, de collègues d’ici ou d’ailleurs, qui m’empruntent, testent, améliorent, enrichissent et donnent, par exemple, sont une véritable ressource pour moi. Et parfois, ces collègues arrivent, d’une certaine façon, jusque dans ma classe.

Prenons l’exemple de ce matin : je reprends l’activité Curvica de l’APMEP, en sixième. j’adore cette activité car elle est vraiment hyper efficace tout en étant sympa et en permettant l’implication de chacun. Mon objectif : clarifier et distinguer aire et périmètre. J’ai déjà parlé de cette activité ici, ici et . Il y a sur le site de l’IREM de la Réunion un très chouette article qui en parle, aussi.

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En amont, les élèves avaient découpé les pièces du Curvica et devaient les trier, de la pièce du plus petit périmètre à celle de plus grand périmètre, en les collant dans leur cahier. Ma séance commence donc par la reformulation de la consigne, et je m’aperçois, sans surprise car c’est toujours le cas, qu’un bon tiers de la classe a confondu périmètre et aire, qu’une autre partie non négligeable des élèves a considéré qu’un arc rentrant était plus court qu’un arc sortant, qu’enfin plusieurs pensent qu’un arc reliant deux points est de même longueur qu’un segment entre ces deux points.

Nous précisons ensemble ce qu’est le périmètre, et hop, je projette l’application de Roland Dassonval. Une diapo et zou, tout le monde est d’accord : l’arc est plus long que le segment. Une autre et paf, nous sommes bien tous d’accord sur la notion de périmètre et nous comptons les arcs et les segments. Avec en plus une introduction au calcul littéral, assez ardue au final mais qui convainc tout à fait les élèves car c’est vraiment une façon de précéder efficace. Nous explicitons bien les codes, et les élèves se succèdent à mon bureau pour manipuler. Tout le monde suit la projection au tableau.

Nous arrivons à l’aire, et tout se passe bien. Nous flirtons avec les calculs de relatifs, en cherchant à ajouter les lunules sortantes et à retrancher les lunules rentrantes. Mais c’est naturel : à ce moment-là, nous en avons juste besoin, alors ça roule. Nous reformulons, nous comparons, nous réfléchissons, j’explique aux élèves que la confusion aire et périmètre est fréquente et que plutôt que d’étudier les deux séparément j’ai décidé de les étudier ensemble justement pour qu’ils les distinguent. J’insiste lourdement sur mon objectif.

Tout ça sans aucune formule, sans aucun calcul, grâce à la nature de l’activité de l’APMEP.

Autant nous sommes partis de représentations particulièrement mal construites, cette année, dans cette classe, autant l’application développée par monsieur Dassonval a été efficace : les élèves ont, eux-mêmes, classé les formes dans le tableau à double entrée. C’était mon objectif secondaire : manipuler le tableau à double entrée. Nous avons d’ailleurs ensuite collé la trace écrite sur ce thème. Ils ont rempli le tableau comme des chefs. Des élèves qui sont en difficulté du point de vue de la modélisation ont participé effacement, m’ont montré comme ils avaient bien compris. C’était un très chouette moment collectif.

À la fin de la séance, comme j’ai présenté le travail de monsieur Dassonval en le nommant et en montrant comme je suis contente d’utiliser tout ça et comme c’est chouette de pouvoir s’appuyer sur ses compétences, plusieurs élèves m’ont dit « Vous lui direz merci, madame, à monsieur Dassonval : c’est super ce qu’il a fait ! » Puis ils ont ajouté « On va lui écrire un petit mot, pour le remercier ».

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Le verre à moitié plein, il est plus qu’à moitié vide !

Ce matin à l’ESPE, nous travaillions les solides et les volumes avec mes étudiants en master 1 professeur des écoles. Nous avions vu il y a peu les homothétiques et parlé agrandissements-réductions. Mes étudiants me posent des questions, et me revient un exercice de DNB que j’aime bien proposer en question flash à mes élèves :

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Mes étudiants se méfient, et la réponse ne fuse pas. J’entends un « Ben oui, forcément » timide, puis un « Noooon, regarde, c’est plus petit en bas », et le consensus s’installe : « non, cesserait le cas pour un verre cylindrique mais là ça ne marche pas ». Et puis nous exploitons ensemble le filon.

Un étudiant (un habitué des questions tarabiscotées, comme j’aime) se met alors à griffonner pendant un bon moment. Je le laisse tranquille : en voilà un dont je sais qu’il a besoin qu’on le laisse réfléchir, et qui viendra à moi lorsqu’il en aura besoin. En effet, il m’appelle finalement : mais madame alors si on remplit le verre à mi-hauteur, ça fait quelle proportion du volume du verre ? Nous reparlons Thalès, section de solides, et je lui rappelle les règles d’agrandissement réduction : si la hauteur est diminuée de moitié, les aires sont multipliées par 1/4 et les volumes par 1/8. Autrement dit, un huitième du volume total est utilisé.

Mon étudiant me regarde, avec ce sourire futé du garçon qui vient de découvrir quelque chose. « C’est dingue, on dirait pas… Il est plus à moitié vide qu’à moitié plein, ce verre ! » Il réfléchit et j’attends la prochaine idée que je vois bien germer. Cela ne rate pas : « Il faudrait remplir le verre comment, pour qu’il soit à moitié plein ? » Allez hop, voyage vers les racines cubiques. Mon étudiant a l’intuition de la puissance d’exposant 1/3, comme ça, pouf, et nous calculons. À la louche, nous trouvons qu’il faut remplir le verre à 80% de sa hauteur. Nouvel émerveillement. Il repart, un large sourire aux lèvres.

Une de ses camarades qui nous avait écoutés ouvre la bouche, se ravise, puis craque : « Non mais madame, c’est n’importe quoi, vos calculs ils disent ça ok, mais moi je sais bien que c’est faux, un verre s’il est rempli à 80% il est plus qu’à moitié rempli : il est presque rempli ! » Ainsi, quand l’un se disait « les maths, c’est trop fort », l’autre se disait « les maths c’est n’importe quoi ».

Bon, du coup j’ai repris tout avec mon étudiante. Quand même, je ne pouvais pas la laisser repartir avec une conviction pareille… La question est : l’ai-je convaincue ?

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2 018, déficience et extravagance

Sur Maths93, vous pourrez lire des propriétés du nombre 2018. En particulier, 2018 est un nombre déficient et un nombre extravagant. Si on interprète cela en se disant que 2 018 va présenter des insuffisances et être surprenante par son caractère singulier, c’est somme toute ce que nous connaissons depuis un bout de temps. Mais mathématiquement, c’est autre chose encore.

Un nombre déficient est un nombre qui est supérieur à la somme de ses diviseurs propres, c’est à dire ses diviseurs autre que lui-même. Or 2018 admet fort peu de diviseurs pour un nombre de cet ordre de grandeur : il en admet 4, qui sont : 1, 2, 1 009 et 2 018. Ses diviseurs propres sont donc 1, 2 et 1009. Comme 1 + 2 + 1 009=1 012, et que 2 018 est supérieur à 1 012, il est déficient.

Un nombre extravagant est un entier naturel qui a moins de chiffres que dans sa factorisation en nombres premiers (exposants différents de 1 compris). Or 2 018 a pour décomposition en facteurs premiers 2×1 009, qui comporte cinq chiffres alors que 2 018 n’en comporte que quatre. Paf, le nombre 2 018 est extravagant.

Pour mieux comprendre, 125, qui s’écrit 5^3, n’est pas extravagant (il est frugal). Mais comme ses diviseurs propres sont 1, 5, et 25, il est déficient. Le pauvre, déficient et frugal, ce n’est pas de chance.

Et 12, dont les diviseurs propres sont 1, 2, 3, 4 et 6 (la somme de ces diviseurs vaut 16) n’est pas déficient. Comme 12=2^2×3, il est extravagant.

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Recyclons nos cartons

J’avais exposé ici l’activité des cartons, qui était entre dernière tâche avant les vacances, en sixième. Nous allons donc reprendre, lundi, avec le bilan de nos cartons, puis avec l’institutionnalisation de l’activité.

Quel était mon objectif ?

Comme d’habitude, il était multiple. Ce problème visait à faire chercher, évidemment, à sélectionner l’information, à tester et faire preuve d’esprit critique, à mesurer à choisir la bonne opération, à représenter, à construire une trace écrite. Mais la plupart du temps, lorsque je propose un problème, c’est pour amener une situation déclenchante, qui nous engage dans une séquence. Cette fois-ci, et au vu des productions écrites que m’ont rendues mes élèves, ma séquence va aborder :

figures planes et solides

Objets géométriques en une, en  et en trois dimensions

Représentations de solides

Carré, rectangle

Mesures associées à ces objets géométriques, par comptage d’unités et par formules

Unités de mesure

Tout ça a été abordé, d’une façon ou d’une autre, par les élèves. En plus, je vais évoquer le rôle de la lettre, car ils sont nombreux à avoir utilisé spontanément des l, L, h, pour les mesures des cartons et des livres, mais ils ont parfois aussi utilisé la lettre l pour désigner le nombre de livres. C’est l’occasion de commencer à sensibiliser les élèves au pole de la lettre et au fait que les calculs avec des lettres dedans, si si, ça a du sens et non non, ce n’est ni compliqué ni artificiel.

Nous allons donc commencer par ce diaporama :

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Les deux productions visent à développer deux points : la première reprend la consigne, la question, liste les outils, synthétise ; autrement dit, elle est très structurée, orientée vers la transmission d’informations. Mais elle ne présente pas la démarche mathématique, ne justifie pas les solutions proposées et certaines données utiles n’ont pas été extraites. La deuxième est intéressante car elle étudie les différents cas très clairement, bien successivement, là où la plupart des élèves a essayé tout en même temps et s’est parfois perdu.

Ensuite, nous proposerons une correction en partant des mesures effectuées par un groupe (les groupes avaient des cartons et des livres différents, dont les mesures m’ont servi de variables didactiques).

Si tout va bien et que mes élèves ont la pêche pour continuer sur leur lancée, nous aborderons l’activité Curvica et mon activité 25% du cube, qui nous permettra de réactiver la proportionnalité en général (comme à chaque séquence, en fait) mais aussi les pourcentages, de façon plus particulière, tout en restant dans la représentation de solides, et dans les volumes.

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On a fait un carton !

En fait non. On n’a pas fait un carton, on a mesuré un carton. Entre autre.

En fin de période, avant les vacances, les élèves sont un peu impatients. Tous les enseignants le savent, c’est plus compliqué de mener des séances sereines et productives, et en particulier le 22 décembre.

Pour pallier cette difficulté et ne pas perdre de temps, j’ai choisi, depuis quelques années, de proposer un problème ouvert lors de notre ou nos dernières heures de classe. J’y vois des tas d’avantages :

  • Les élèves canalisent leur énergie sur un problème, ils font des maths avec une belle énergie…
  • Le problème choisi inclut toujours des manipulations, avec des outils un peu rigolos à disposition, comme ici la règle de tableau, un mètre dérouleur, de la ficelle, etc.
  • La collaboration nécessaire permet de se parler en restant dans les règles. Et moi, j’accepte mieux le bruit que, de toute façon, j’aurais bien du mal à éviter, vu que je ne fais jamais de cours magistral ou de copie.
  • Mon rôle se résume à circuler, relancer, et j’évalue à intervalles réguliers ‘investissement de chacun, en signalant à ceux dont je trouve qu’ils glandouillent que tel est le cas.
  • J’ai le temps, pendant les vacances, d’analyser de façon approfondie les productions et de les évaluer.

Cette fois, je suis partie de ce problème :

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Au départ, je comptais le proposer tel quel à la fin de ma séquence 3, qui abordait multiples et diviseurs, la division, la proportionnalité, et devait du coup se terminer sur le pavé et des apports sur les volumes. Mais à ce moment-là, je ne l’ai pas fait : je voulais avoir des cartons pour partir d’une situation la plus concrète possible, et je n’en avais pas. Et puis je ne le sentais pas, alors j’ai reporté.

Et puis là, nous avions fini la séquence précédente plus tôt que prévu. Il restait une pauvre petite heure solitaire. En animant l’atelier lecture au CDI j’ai croisé un immense tas de cartons qui avaient contenu les chocolats vendus au profit des voyages scolaires. C’était parfait, et juste impromptu comme j’aime.

J’ai mesuré les cartons, et cherché des livres adaptés. J’ai préparé la classe en utilisant la taille des cartons et celle des bouquins comme variables didactiques : la combinaison des deux permettait plus ou moins de possibilités de rangement, et leur taille induisait ou pas un recours aux millimètres.

 

J’ai choisi soigneusement les livres : leur taille, mais aussi leur thème et leur date. Il y avait une vieille table de logarithmes, un manuel de règle à calcul, deux bouquins de maths en langue étrangère, des manuels du XIXe siècle. Je savais que parmi mes élèves se trouvent un nombre respectable de belettes, qui ne résisteraient pas à la tentation d’examiner, d’ouvrir le livre qui se trouvait devant eux, et que des questions leur viendraient. Ça a été effectivement le cas.

Quand j’ai annoncé que nous allions travailler sur un problème ouvert, les élèves ont fait des « Ouaiiiiiiiiis » qui m’ont ravie. Ils se sont lancés dans la recherche très vite, avec beaucoup d’enthousiasme et peu de stratégie, en particulier du point de vue des traces de recherche : plusieurs groupes voulaient résoudre à tout prix le problème, mais en oubliaient l’indispensable trace écrite. J’ai donc dû être sur leur dos à de multiples reprises pour claironner  » N’oubliez pas la trace écrite, j’en ai besoin pour bâtir la suite de la séquence, et pour évaluer votre travail », tant et tant que les élèves de la classe d’à côté, mes anciens de l’année dernière, sont passés me demander après la sonnerie si mes élèves avaient fini par élaborer leur trace écrite… Il faut dire que ma voisine et moi-même faisons cours porte ouverte.

Il me reste à examiner les productions, qui m’ont l’air vraiment intéressantes. À la rentrée nous partirons sur le bilan de ce problème et nous enchaînerons sur une activité sympa. Je la peaufine et je vous en parle…