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lego, agrandissements et réductions

Avec mes élèves de sixième nous avons travaillé, en décembre, sur le thème des échelles. C’est vraiment difficile, pour les élèves : la notion de proportionnalité appliquée aux mesures, avec ce que cela implique de conversions, de multiplications et de divisions par 10, 100, etc., qui renvoie à la construction du nombre décimal, le tout agrémenté d’un soupçon de fraction pour la notation 1/100 000, et puis un chouillat de constructions… C’est un bon appui pour proposer des tâches complexes.

Mais mes petits élèves ont plutôt bien compris l’idée. Ce qui coince c’est la façon de représenter l’échelle : avec un segment dans un coin du dessin, qui indique la mesure réelle correspondante, pas de souci. Là où ça coince, c’est dans la manipulation de la notation en fraction. Nous la retravaillons régulièrement et nous y reviendrons. Mais utiliser Google Map et leur faire comprendre le lien entre le zoom et l’échelle m’a permis d’intéresser les élèves et de leur faire comprendre comment fonctionne un outil qu’ils utilisaient sans réfléchir.

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Un élève a eu une remarque intéressante, après avoir représenté un rectangle « à l’échelle ». Il a dit « c’est bizarre dans le fond, mon rectangle bon d’accord il est à l’échelle un tiers, mais pourtant il n’est pas vraiment trois fois plus petit… Enfin si, dans un sens, mais si je le découpe il n’y a pas trois fois le petit dans le grand ». Ben oui. Voilà qui a bien embêté toute la classe : ça veut dire quoi « trois fois plus grand » ou « trois fois plus petit » ? Ca veut dire que les longueurs sont trois fois plus grandes ou plus petites, c’est marqué dans la leçon, ok. Mais n’est-ce pas un peu bizarre que les aires ne suivent pas ?

J’avais une chouette activité en quatrième, avec des tasses, pour illustrer les questions d’agrandissements-réductions. J’ai eu envie de répondre à leur question, mais j’ai hésité sur la démarche, sur la nature de l’activité que je leur proposerai. Alors avant de me lancer j’ai consulté les nouveaux programmes. J’y ai lu :

  • Les notions de grandeur et de mesure de la grandeur se construisent dialectiquement, en résolvant des problèmes faisant appel à diérents types de tâches (comparer, estimer, mesurer).
  • Dans le cadre des grandeurs, la proportionnalité sera mise en évidence et convoquée pour résoudre des problèmes dans diérents contextes.
  • Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle
  • Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spéciques de ces grandeurs.
  • Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux
  • Comparer ou mesurer des contenances (ou volumes intérieurs d’un récipient) sans avoir recours à la mesure ou en se rapportant à un dénombrement. Par exemple, trouver le nombre de cubes de 1 cm d’arête nécessaires pour remplir un pavé droit.
  • Adapter le choix de l’unité en fonction de l’objet (ordre de grandeur) ou en fonction de la précision souhaitée.
  • Reconnaitre, nommer, comparer, vérifier, décrire des solides simples ou des assemblages de solides simples à sous forme de maquettes
  • Vocabulaire approprié pour nommer les solides
  • Agrandissement ou réduction d’une figure.

Bon ok, c’était parti, je pouvais transformer mon activité de quatrième pour mes sixièmes.

Mon objectif « global » était de faire percevoir puis comprendre que lorsqu’une figure est agrandie k fois, les aires sur multipliées par k x k et les volumes par k x k x k.

Mes objectifs « locaux » étaient multiples : réactiver le vocabulaire de la géométrie plane et spatiale, travailler sur les nombres (entiers, décimaux et un peu fractions), développer la proportionnalité (encore avec des fractions, des taux), réactiver les volumes par dénombrement, parler du choix de l’unité.

Le problème de départ est simple et classique : j’ai une petite tasse qui est deux fois moins haute et deux fois moins large (on compare les diamètres) qu’une grande tasse. Combien de fois vais-je devoir remplir la petite pour transvaser dans la grande jusqu’à ce qu’elle soit remplie.

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A cette question, les élèves répondent en général « deux fois », « quatre fois », ou bien « bin ça dépend des dimensions des tasses ».

Pour qu’ils s’approprient bien l’idée, je leur ai proposé, par groupe, une maquette réalisée en lego. Ils avaient pour mission de construire son agrandissement, avec un coefficient d’agrandissement de 2.

Ensuite, ils devaient comparer leurs méthodologies (beaucoup d’élèves pensent à doubler la largeur et la longueur, mais pas ce qu’ils appellent la profondeur ou la hauteur), puis à dénombrer les briques unitaires dans les deux modèles, pour comparer (ce qui a permis d’automatiser le procédé et de se diriger vers des méthodes de calcul d’aire et de volume).

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Nous avons terminé par un débat de classe, pour faire émerger que les aires avaient été multipliées par quatre et les volumes par huit. Les élèves étaient vraiment étonnés, et j’ai bien aimé mettre en lumière qu’une représentation intuitive était fausse.

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Enfin, nous avons résolu notre problème de tasse : si tout cela est vrai, je dois pouvoir transvaser ma petite tasse huit fois dans la grande… Les élèves n’étaient pas absolument sûrs, et quelques-uns m’ont expliqué que même si ils avaient compris pourquoi ce « devait être comme ça en principe », la vraie vie ne suivait pas forcément les principes mathématiques. Alors nous avons transvasé, puisque j’avais amené de l’eau. Et ça a tenu pile poil.

J’adore cette activité : les élèves ont les yeux tout ronds et comprennent quelque chose qu’ils ignoraient. En plus on manipule, on fait des legos, ils bossent en commun et on résoud un problème en prévoyant le résultat. Et ils ont bien travaillé, et réussi à généraliser le problème, même avec un autre coefficient que 2.

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Quand le concept de nombre m’empêche de dormir

Mon mari entame une reconversion professionnelle : actuellement professeur du second degré en histoire-géographie, il veut devenir professeur des écoles. C’est logique, vu son parcours et son évolution, et en fervent de Freinet il sent que c’est par là qu’il doit se diriger. Il a enseigné longtemps en lycée, puis en collège, et ce projet de carrière surprend la plupart des gens auxquels il en parle, mais c’est un beau projet, et fort sensé. D’ailleurs qui sait, je suivrai peut-être sa voie d’ici quelques années

Mais du coup, il se pose des questions nouvelles. Tout le temps, donc aussi le soir, et aussi une fois la lumière éteinte. Quand ce sont des questions de maths, il me les pose, ce qui est normal, et puis j’aime bien. Hier, c’était sur le nombre : comment expliquer notre système de numération ? Comment représenter le dénombrement en unités-dizaines-centaines-… ? Pourquoi comptons-nous ainsi ? C’est quoi un nombre décimal ? Y a-t-il des nombres décimaux qui soient accessibles aux jeunes enfants (comprenez : autres que racine de deux ou pi) ? Quand apprend-on les décimaux aux enfants ? Pourquoi s’enquiquine-t-on avec l’écriture décimale alors que l’écriture en fractions décimales est tellement plus signifiante ? Et d’abord elle vient d’où, cette virgule ?images

Alors nous voilà partis, au travers des ensembles de nombres, des fractions, décimales ou pas, des systèmes de numération égyptien, maya, mésopotamien, romain, et puis nous croisons un tiers et quatre septième, nous parlons fraction-partage, fraction quotient, fraction comme seul nombre qui, multiplié par truc donne machin, et tiens, voilà Simon Stevin et Brahmagupta, et puis nous parlons nombre et écriture du nombre, et nous dérivons sur surface et aire, sur segment et longueur, et là mon mari en a plein les bottes et me dit tout de go : « Bon, dors, ma chérie ».

Ben lui il s’est endormi, mais moi pas. Les nombres et leurs écritures valsaient dans ma tête, et ses questions avec. Ca m’a poursuivie un temps fou.

Pfff, ça va être fatigant cette reconversion. Et intéressant.

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Beauty, art and mathematics

Une émission de la BBC (en anglais et sous-titrée en anglais mais c’est vraiment facile à comprendre) propose de suivre un artiste et critique, Matthew Collings, dans une promenade scientifique. Elle est tout à fait passionnante, et m’a permis de réfléchir sur l’art abstrait.

Matthew Collings se dit inculte en maths, autant que je le suis en art abstrait. Il n’y comprend rien, et moi non plus, même si ce n’est pas dans le même domaine. Mais il est curieux, et moi aussi. Alors il va voir des scientifiques. Il part sur les traces d’Einstein, Newton, rencontre des chercheurs qui lui parlent d’eux, et puis il met tout cela en regard de l’art abstrait : il propose un parallèle entre la révolution de la théorie de la relativité d’Einstein avec celle de l’art abstrait de Picasso.

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L’ouverture d’esprit de Matthew Collings est remarquable et il est intéressant à observer, dans sa posture, lorsqu’il comprend que ses représentations du monde ne sont pas scientifiquement justes. Il dit, lorsqu’on lui explique la relativité du temps « Si je comprends correctement cette équation, elle exprime quelque chose d’incroyable ». Nous sommes bien d’accord, et cette phrase répond à « mais madame à quoi ça sert les maths ? » d’un coup d’un seul. Dans l’émission (aux alentours de 33 minutes), il explique ce qu’il ressent face à tout ce qu’il découvre. Matthew Collings a beau ne pas avoir de pré-requis développés dans les domaines scientifiques, il décrit très bien l’excitation, l’émerveillement, le plaisir de la découverte et de la surprise, ce que plus tard Hawking nomme le « Eureka-moment ». Collings parle de « philosophie des équations », et on comprend ce qu’il veut dire : le plaisir de la découverte scientifique n’est pas réservé aux experts, et il en est la preuve. Il faut y être prêt et se départir de ses certitudes, ne pas avoir peur d’abandonner ses représentations, mais finalement ce sont des plaisirs accessibles à chacun.

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Dans la foulée, j’ai aussi découvert Paul Dirac, pour qui une théorie scientifique devait être belle pour qu’on puisse envisager qu’elle décrive la nature, et l’étudier. Stephen Hawking, lui, parle plutôt d’élégance, en en faisant un élément important et significatif mais pas forcément indispensable.

En conclusion, Matthew Collings explique sa vision de son art aux scientifiques. Et ce qui m’a frappée, c’est qu’il parle de modèle de la réalité. Un modèle que je ne parviens pas à comprendre, mais je comprends mieux ce qu’il veut dire par là.

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Êtes-vous nul en quiz ?

Un article de France Bleu.fr propose un quiz pour semer ses compétences en mathématiques :

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Alors bon, je l’ai fait, forcément.

La bonne nouvelle, c’est que j’ai obtenu un score de 10/10, ce qui est plutôt rassurant. La mauvaise, c’est que c’est vraiment très très mal fait dans le fond, la forme, et qu’encore une fois on méprise et on réduit les maths en opérant ainsi.

Je m’explique.

  • Dans le fond, déjà, sur le plan des maths, c’est un quiz sur la proportionnalité et le choix de la bonne opération. Pas une trace de gestion de données, de géométrie. Du calcul et du « grandeurs et mesures », pis c’est tout.
  • Ca n’a rien à voir avec les exigences de CM1.
  • C’est davantage un test de lecture que de maths, le mot lecture étant à prendre dans le sens d’extraction d’informations dans un énoncé fantaisiste le plus ridicule possible. C’est un effort colossal de lire chaque proposition jusqu’au bout.
  • C’est mal fichu, et certaines questions ne tiennent pas debout. exemple :

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Non mais qu’est-ce que quoi ??? Dans cette phrase, Grubignon vend des grenouilles. D’accord. Mais à la fin, ne « qui ne vend, lui, que des têtards » se rapporte aussi à Grubignon. En soi ce n’est pas incompatible, car je suppose qu’un têtard peut être défini comme une grenouille (encore que je ne sois pas sûre ; à partir de quand la larve est-elle catégorisée comme une grenouille ?). En tout cas, c’est mal fichu car le « lui » donne une impression d’opposition. En plus il y a des virgules désagréables.

Un autre exemple :

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Là, outre la perversité de l’auteur, qui teste davantage notre persévérance que nos compétences mathématiques, le « m2 » est très très maladroit dans un énoncé qui se veut mathématique.

Et puis la conclusion elle-même pose problème :

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Si ça fait deux, c’est que ce n’est pas excellent… Quant à la vision réductrice, marquée du point de vue générationnel (des baignoires qui se vident et se remplissent ??? Et les trains qui se croisent, ils font chou-tchou ?) et clairement négative de cette si belle science, je ne relèverai même pas. Ah si zut, je viens de le faire.

Chez les collègues·Maths pour tous

Aujourd’hui, nous sommes le dimanche 12 février 2017.

Le site L’univers de ma classe propose des tas d’idées autour de la date, elles-mêmes inspirées du site américain Teaching in room 6. C’est vraiment très chouette et je pense que certains éléments sont facilement transférables au collège, même si ce n’est pas forcément de façon systématique.

L’idée est de partir de la date, de proposer diverses écritures et d’obtenir un ou plusieurs nombres qui vont permettre de travailler l’ordre, les opérations, l’arithmétique. Le site propose les supports adaptés pour école, utilisables directement.

Cela peut faire le matériau de questions flash, au collège, une fois de temps en temps ou par périodes.

Chez les collègues·Manipuler·Maths pour tous·Pour mes étudiants

De l’importance du matériel (message à mon chef et à mon intendant)

J’interviens depuis peu dans la formation des professeurs des écoles, à l’ESPE. J’aime beaucoup : les futurs PE, au niveau très hétérogène en maths, assez fréquemment en situation d’appréhension face aux maths, avec un déficit de confiance en soi, constituent pour moi un public de choix.

Hier, j’ai animé une séance sur la géométrie dans l’espace. Pas facile pour tout le monde, la géométrie dans l’espace. Pourtant, même si en effet on peut au départ être plus ou moins en facilité dans la représentation mentale d’objet en trois dimensions, il y a des vraies méthodes pour y être compétent. Mais ce n’est pas mon propos aujourd’hui.

Mon propos, c’est le placard. LE placard, devrais-je écrire. Dedans, il y a tout ce dont on peut rêver pour illustrer son propos sur le thème de la géométrie dans l’espace… Je me suis éclatée !

Maintenant, je voudrais la même chose pour mes classes au collège…Ca change tout, d’avoir ça sous la main. Dans ma classe j’ai déjà quelques solides, mais pas assez, et je voudrais de quoi déplier en patron et aussi les petits cubes qui permettent de faire comprendre le passage de une à deux et de deux à trois dimensions, pour travailler les notions d’aire et de volume.

En revanche, face à la boîte de formes que je devais ranger, je me suis sentie comme à deux ans face à ma boîte à formes, à essayer de faire rentrer une prisme à base triangulaire dans une forme circulaire… Mais j’ai réussi !

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Les oreilles qui sifflent

Vous êtes forcément au courant, car cela n’a pu échapper à personne avec le battage médiatique de ces derniers jours : en maths, ça ne va pas pour les Français. Pas du tout, même; Et encore, attendez que PISA sorte ses conclusions dans deux jours, ça va tanguer ! En ce qui me concerne, je me surprends à éviter les journaux… Trop c’est trop. Pourtant, il y a du bon, y compris dans ce que j’ai collé là, juste en-dessous. Mais là, je frôle la surcharge cognitive aggravée.

Ce qui est rassurant, c’est que tout le monde a sa solution, tout le monde sait quoi faire. Ce qui est moins rassurant, c’est que personne ne propose la même chose. Et puis surtout, si une solution simple existait, on peut supposer qu’elle aurait déjà émergé. Mais tant de facteurs sont impliqués, imbriqués, et les représentations mentales liées au problème sont tellement ancrées, que tout cela ne peut évoluer ni rapidement, ni sans une réflexion à tous les niveaux, sans concession, sans misérabilisme. Forcément, c’est pas gagné.

Sur Slate, Louise Tourret a écrit un article qui m’a semblé sortir du lot. En plus, elle cite Michel Fayol (ici, ) dont je suis fan… ; morceaux choisis (mais son article vaut la peine d’être intégralement lu) :

  • Ce n’est pas le nombre d’heures consacrées à la discipline qui est en cause, d’autres pays font beaucoup mieux avec des horaires équivalents ou moindre. 
  • Les partisans de la droite accusent Najat Vallaud-Belkacem, ceux de gauche… François Fillon. (…) c’est surtout la faute à la suppression de la formation des enseignants (2007), aux suppressions de postes et aux programmes scolaires mis en place par la droite en 2008. Au pays de Descartes, on m’a aussi parlé des histoires de frites à la cantine, des règles sur les signes religieux, certains de mes interlocuteurs ont contesté le classement, l’accusant d’avoir un parti pris idéologique et bien sûr d’aucun ont fustigé les pédagogues quand d’autres s’attaquaient aux manques de moyens dans l’Education nationale.
  • Les maths en France sont trop souvent synonymes à la fois d’opacité et d’élitisme. Être nul en maths, c’est vu comme quelque chose qui peut arriver, et contre lequel on ne peut pas vraiment lutter. Je suis toujours choquée par la facilité des individus à avouer, sans aucune honte, qu’ils sont ou ont été nuls en mathématiques et en sciences pendant leur scolarité. (…) Rares sont ceux en revanche qui s’enorgueillissent de ne jamais lire ou d’avoir une orthographe du niveau d’un élève de CE2.
  • Être nul en maths, c’est quelque chose qu’on ne devrait pas accepter pour soi-même et/ou pour ses enfants, et ne pas revendiquer comme une partie de son identité. (…) C’est primordial, car si nous acceptons pour nous-même l’idée que nous –ou pire, nos enfants– sommes étanches à certaines disciplines, nous ne faisons que véhiculer un postulat délétère. 
  • Michel Fayol écrit : «Des recherches récentes ont montré que les premières acquisitions arithmétiques ont une influence significative sur les apprentissages ultérieurs.»
  • Cela étant, les maths seraient un peu moins effrayantes si elles n’étaient pas devenues un instrument de sélection. 
  • Alors que faire? Prendre conscience de la gravité du problème. Pousser les enfants et tous les professeurs des écoles à s’emparer des mathématiques et des disciplines scientifiques sans peur (et sans reproche), et nous inspirer de ce qui fonctionne chez nos voisins. Mieux former les enseignants évidemment, les soutenir et sortir les maths de leur bulle! Les maths, les sciences font partie de la culture, ils font partie de nos vies.