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Excursions touristiques dans les pavages

Je reçois souvent des questions de collègues quant à la façon d’aborder les transformations, ou comment travailler les pavages. Dans les programmes 2016, nous pouvions lire « Construire des frises, des pavages, des rosaces ». En reprenant les projets de programmes 2018, je n’ai pas trouvé mention de frises ni de pavages, mais il est toujours question de « constructions géométriques liées aux figures et aux transformations« , ce qui laisse l’étude de pavages possibles. D’autant que c’est un support pour des tas d’autres notions et compétences.

Pour ma part, j’adore les pavages. Ce matin, en lisant l’intéressant et accessible article d’Automaths intitulé C’est quoi un pavage?, j’ai eu envie de refondre mes bouts de séquences qui concernent les pavages. La mienne porte sur l’Alhambra, que j’ai découverte l’année dernière. Même si je vais conserver au moins une partie de mes contenus, je voudrais envisager les choses différemment maintenant.

L’article renvoie vers une vidéo d’El Jj, très bien faite. Mais on trouve aussi des vidéos de MicMaths (ici, ), et dans un genre différent une vidéo d’Yvan Monka. Et encore, je n’ai sélectionné que les poids lourds, mais je suppose que je passe à côté de tonnes d’autres ressources intéressantes.

 

Dès que mon service est posé, je m’y mets. Mais comme je ne sais finalement pas quels niveaux j’aurai l’année prochaine, j’attends encore un peu.

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Flocons d’infini et triangles à perte de vue

Waclaw SIERPINSKI (photo de droite) était un mathématicien et enseignant polonais. Il est né en 1882 et Sierpinski_5mort en 1969. Il a apporté des contributions sur l’axiome du choix, qui m’a tant marqué en fac.

UnknownHelge von Koch (photo de gauche) était quant à lui un mathématicien suédois, né en 1870 et mort en 1924.

Avec mes élèves de cinquième, nous allons travailler à partir du triangle de Sierpinski et du flocon de von Koch pour réactiver l’aire du triangle, parler aires et périmètres, approfondir puissances, modéliser le produit de fractions et approcher l’idée d’infini par celle de limite. Tout un programme ! Les élèves avaient donc à suivre un programme de calcul pour le triangle et un autre pour le flocon, qu’ils ont réalisés sur du A3, le plus souvent en couleur.

fractales

En voici des exemples réussis :

Et puis les exemples pour lesquels il y a un problème, que nous allons étudier pour comprendre d’où vient l’erreur et quelle elle est :

J’ai déjà mené cette activité avec des quatrièmes, mais je pense que c’est tout à fait à portée de mes cinquièmes. Ils se sont bien appliqués en général pour les constructions. J’espère que la séance va leur plaire et qu’ils vont apprendre tout ce que j’ai en ligne de mire !

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Et bin moi je ne comprends rien à l’art abstrait mais je me soigne ! (non mais zut à la fin)

Un article du Figaro a retenu mon attention, pour deux raisons : j’ai maintenant envie d’aller voir cette expo, et l’image donnée de l’enseignement des maths est classiquement déplorable. Mais je suis susceptible, je vous le concède.

« Point n’est besoin d’être fort en maths, ni même simplement axé sur la logique, pour goûter à ce nouveau monde conceptuel où les machines dessinent, dansent, parlent, sculptent et inventent. On peut laisser tous ses complexes au vestiaire avec l’assurance que le cauchemar mathématique hérité du collège ne va pas vous étreindre de toute sa culpabilité. » Groumpf. Je comprends ce que l’auteure, Valérie Duponchelle, veut dire, évidemment. Je suis désolée de l’image qu’elle a conservé de l’enseignement des maths qu’elle a, manifestement, subi. Mais comme souvent, cet espèce de consensus sur le fait que les maths c’est douloureux, que leur enseignement est une torture, et cette façon d’établir une connivence par le négatif m’agace. Au bas mot. Aucune autre discipline n’a à supporter cela. Personne ne devrait pouvoir ressentir de « complexe » face au « cauchemar mathématique hérité du collège », mais pourquoi tant de Français s’en prévalent-ils ? Pourquoi peut-on assumer de ne pas avoir réussi en maths, plus que dans les autres disciplines ? Pourquoi madame Duponchelle dit-elle « on », « vous », et pas « je » ?

Bon, cela dit, Valérie Duponchelle m’a donné l’envie de me rendre à cette expo. Comme quoi, je ne suis pas complètement butée…

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Transformation…

Les pavages de l’Alhambra s’affichent…

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Il en manque encore quelques-uns. Décrocher certains vieux travaux m’a faut tout drôle mais c’est beau et les élèves ont réaménagé le reste de la déco pour me laisser quelques affiches que j’aore. Quant à mes cinquièmes, ils ont envie de le faire aussi. Je vais donc pouvoir afficher des pavages encore non utilisés car sans symétrie mais avec des translations.

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Le prix des bonnes idées

En ce moment, je suis dans deux mini projets avec mes classes : les pavages de l’Alhambra avec mes sixièmes et l’élaboration d’un jeu de cartes des relatifs avec mes cinquièmes. J’ai déjà parlé ici des pavages de mes sixièmes, et aujourd’hui, après une journée dense, j’avais à vérifier leurs productions, les évaluer et tracer des axes de symétrie pour qu’ils mettent en couleur dès demain. Et cela ne pouvait pas attendre : il faut continuer sur notre lancée sans interrompre le bel enthousiasme de ces jeunes gens.

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Voilà, c’est fait.

Et puis ensuite, alors qu’honnêtement je me serais bien calée dans un fauteuil pour lire le dernier Spirou fraîchement arrivé, bin non ! Il fallait aussi évaluer les jeux de cartes des cinquièmes ! Et alors là, cela n’a pas été de la tarte ! Voici ce que j’avais demandé :

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Le but est qu’ensuite les élèves jouent à la bataille pour consolider la comparaison de relatifs. Ils vont en comparer plein plein plein, et avec la répartition des nombres, il est probable qu’ils doivent réfléchir.

La constitution du jeu, le fait de chercher à suivre les consignes, de réussir à le faire, est en soi un exercice. Il y a la comparaison, le vocabulaire. Les élèves ont passé une heure là-dessus. Je les ai évalués aujourd’hui car là aussi, il faut passer à l’activité elle-même avant la suite du thème. mais j’ai dû tout retrier, vérifier que chaque étape était bien accomplie… Le boulot qui fait mal à la tête très très vite ! Heureusement ma fille m’a aidée, et j’ai fini de façon bien plus agréable et accélérée.

Bon, ayé. J’ai fait mes devoirs.

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Grenade : les élèves et moi, on fait le mur.

Hier, j’ai mené la première séance sur les pavages de l’Alhambra. Nous avons travaillé la partie mémorisation, que nous allons réinvestir la semaine prochaine, et nous avons restitué les pavages dans leur contexte géographique et historique. À peine les ai-je affichés au tableau que les élèves me parlaient joyeusement de symétrie axiale… « Pourquoi me parlez-vous de symétrie ? » leur ai-je demandé ? « Faut bien que ça se rattache à des maths madame, faire des dessins ça va pas vous suffire, ça c’est sûr ! Ahana, on vous connaît !!! » Certes.

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J’ai distribué à chacun son plan de pavage. Et là, ça s’est corsé. Au vu de la réaction générale, entre panique et perplexité, je me suis dit que j’avais peut-être tapé un peu fort… Les élèves avaient un mal fou à se repérer sur la feuille de tracé, par rapport au pavage lui-même. Et j’avais négligé la difficulté liée à l’agrandissement de fort coefficient.  Comme chacun avait un pavage différent, je me retrouvais à devoir aider tout le monde en même temps sur un support différent. Au secours !!! C’est ce qui arrive quand on s’embarque avec entrain dans une activité sans avoir réfléchi longtemps. Mais bon, nous étions justement embarqués, alors il fallait bien trouver un moyen de ne pas couler ; et puis j’aime bien quand il y a des problèmes : ça permet de chercher des solutions.

Et justement, c’est alors que j’ai eu un réflexe salvateur. J’ai dit à mes élèves : « Si vous faites une figure juste et propre et qu’ensuite vous la coloriez selon les règles que nous avons fixées, et faut qu’ça pète, souvenez-vous bien de cette règle-là, hé bien vos oeuvres, nous les accrocherons dans la classe pour renouveler la déco. » Et paf, enthousiasme général. Puis question collective : « Mais où, madame ??? Y a plus de place ». C’est tout à fait vrai, il n’y a plus de place. Un élève a proposé « Au plafond, il reste de la place encore », mais cela ne me plaisait pas. J’ai proposé à la place des décimales de pi, sur le mur du fond, mais les élèves ne voulaient pas, cette fois. C’est vrai qu’elles sont belles, mes décimales. Alors nous sommes tombés d’accord : tout autour du tableau. Je remiserai mes belles affiches actuelles dans le placard, je les conserverai (ce sont des travaux d’élèves et les sixièmes trouvent ça « dégoûtant » et « immoral » (!!!) de les jeter, ce que de toute façon je n’aurais pas fait, parce que j’y tiens).

À partir de là, tout s’est organisé : du tutorat (« madame je peux aller lui expliquer, le sien j’ai compris ! »), davantage de volonté (« Non mais je vais y arriver, madame, je vous appelle si vraiment j’trouve pas ») et des appels au secours nettement plus constructifs. Comme quoi les obstacles didactiques, parfois ça se surmonte à coup de motivation.

La consigne était de finir pour lundi. Mais j’ai eu peur que les élèves butent quand même sur des difficultés, alors aujourd’hui nous avons consacré les vingt dernières minutes de la séance à retravailler nos pavages. Sauf que cinq élèves avaient fini le leur déjà, et que pratiquement tout le monde avait bien avancé ! Mes élèves m’ont fait remarquer que je les avais sous-estimés (mais tout de même, quatre ou cinq avaient besoin d’aide), mais ils ont pu continuer à avancer, car c’est un gros gros boulot, quand même. Les plus rapides ont eu le droit de choisir un deuxième pavage (le premier avait été imposé en fonction du niveau de chacun), et ils auront un beau carré bleu d’objectif dépassé.

Maintenant, je vais ramasser tout ça lundi, vérifier que c’est bien, agrandir leurs productions et leur rendre. Ils devront trouver un ou plusieurs axes de symétrie et colorier en respectant ladite symétrie.

Je crois que je vais avoir un super beau mur hyper magnifique. Peut-être même que ma classe va être encore plus belle que l’Alhambra.