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La médiane, le retour

J’avais parlé ici d’un souci avec la médiane dans un sujet de DNB récent, ce qui m’avait amenée à réfléchir à la définition de la médiane. Aujorud’hui, un ami m’a signalé que ma définition ne tient pas le route non plus : je voulais utiliser la définition du Maths Monde.

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Olivier m’écrit à juste titre :

Pour une série comme 8 ; 10 ; 10, la médiane est 10, mais il n’y a pas autant de valeurs supérieures ou égales à la médiane (deux) que de valeurs inférieures ou égales à la médiane (trois).

C’est très vrai, ça.

Il m’a aussi fait remarquer que le Myriade donne une définition qui m’a échappée, quelques pages avant celle que j’ai retenue :

 Une médiane d’une série de données est une valeur telle qu’il y a :

  • au moins la moitié des valeurs inférieures ou égales à cette médiane ;
  • au moins la moitié des valeurs supérieures ou égales à cette médiane. 

En discutant ce matin avec lui, j’étais arrivée à choisir une définition qui s’exprime par un « au moins ». Celle-ci me plaît dans ce cas, d’autant qu’elle définit UNE médiane. Mais Olivier a nuancé ma satisfaction : si la définition parle bien de « une médiane », l’exemple en dessous et tous les exercices, il est question de la médiane.

Flûte.

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Revenons à la médiane.

Je reviens à mon histoire de médiane. Je rappelle le problème : dans la question reproduite ci-dessous du sujet de mathématiques de DNB des centres étrangers, on demande LA médiane d’une petite série statistique. Or selon la définition choisie, deux réponse peuvent convenir.

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Comme je donne aux élèvesune définition procédurale (la valeur centrale d’une série ordonnée si son effectif est impair, la moyenne des deux valeurs centrales d’une série ordonnée si son effectif est pair) et que je considère comme une conséquence qu’au moins 50% des valeurs de la série lui sont inférieures, et pareil pour supérieures, je n’avais pas de souci en corrigeant l’exercice. Mais une collègue m’a fait remarquer qu’avec sa définition, à savoir qu’une médiane d’une série statistique est UNE valeur qui partage la série en deux sous-séries qui contiennent chacune au moins 50% des valeurs, la médiane n’est pas unique, et dans ce cas précis 5,5 et 6 conviennent. On aurait aussi pu proposer n’importe quelle valeur entre 5 et 6.

Voilà qui pose deux problèmes, à deux niveaux différents : comment sera corrigée cette question, et y a-t-il consensus sur un sens, sinon une définition, de la médiane ?

Sur Euler, on trouve ceci :

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J’ai ouvert mes manuels, en me limitant aux manuels cycle. Voici ce que j’y ai trouvé :

Dans le Delta :

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La définition ne pose pas de problème puisqu’elle annonce « une » valeur. Nous sommes donc dans un cas apparemment assumé de non unicité de la médiane. Les exemples sont cohérents : dans le premier cas, seule la valeur 15 convient selon la définition. Pour l’exemple 2, la définition est aussi respectée  il n’y a pas unicité et l’algorithme est donné comme une méthode que l’élève peut automatiser.

Dans le Maths Monde :

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La définition est équivalente, donnée en effectif plutôt qu’en fréquence. C’est bien UN nombre qui… Et les exemples sont traitées de façon cohérente, avec la précision encore plus explicite que dans le Delta : tu as le choix, mais voilà comment tu peux faire si tu veux automatiser. L’importance d’ordonner pour y voir plus clair est évoquée, sans lui donner un caractère indispensable.

Dans le Livre scolaire :

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La définition est plus algorithmique : on part d’une série dans l’ordre croissant et on n’évoque pas la comparaison des valeurs de la série à la médiane. C’est une définition assez visuelle, mais moins basée sur la compréhension.

Dans le Kiwi :

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Ici, on a fait finalement le choix de la définition algorithmique. Mais on part de la médiane qui est UN nombre pour définir LA médiane. On glisse ce qui picote sous le tapis, là. C’est le problème avec la définition algorithmique, en fait.

Dans le Dimensions :

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Le choix du Dimensions est celui du Livre scolaire, mais le développement de l’exemple 2  explicite la non-unicité clairement. Et il ajoute la reformulation qui donne plus de sens, en comparant les valeurs à la médiane choisie.

Dans le Transmaths :

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Cette fois, la définition propose de comparer les valeurs de la série à la médiane, et précise inutilement qu’il faut ordonner les valeurs de la série dans l’ordre croissant. Comme dans le Kiwi, l’exemple 2 impose une méthode sans donner de choix. L’exemple rend la médiane unique.

Dans le Myriade :

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Comme dans le précédent manuel, imposer de commencer à ordonner n’est pas utile au vu de la définition donnée. En revanche le personnage développe la non-unicité de la médiane d’une série d’effectif pair.

Au final, je vais changer de définition. Pourtant hier encore je pensas qu’elle était la plus pratique. Pratique je ne sais pas mais signifiante, non. Je préfère la version de Maths Monde, pour le coup : elle es courte et les remarques qui l’enrichissent sont à leur juste place, je trouve.

Sur le site de l’académie de Strasbourg, on trouve un intéressant document d’Etienne Meyer qui aborde explicitement la question. Dans les programmes actuels, on ne trouve aucune définition relative à la médiane :

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Etienne Meyer avait décortiqué les anciens programmes de troisième et de seconde pour éclaircir les choses.

définitions algorithmiques des quantiles et de la médiane

On peut prévoir des difficultés de compréhension chez les élèves de la définition des quantiles en raison de la structure de la phrase française « le plus petit élément q des valeurs des termes de la série  tel qu’au moins  25% des données soient inférieures ou égales à q ». L’ordre d’énonciation dans la langue française n’est pas congruent avec  l’ordre des opérations successives qu’il faut effectuer pour trouver la valeur du quartile .

Pour les élèves il est peut-être préférable de donner des définitions algorithmiques des quantiles. La définition donne ainsi le moyen de calculer le quantile correspondant.

Il écrit aussi :

Si vous êtes amenés à corriger un exercice dans lequel un calcul de quantiles est demandé, acceptez toute réponse conforme à la notion de quantile

Si vous composez vous même un énoncé, évitez si possible de poser brutalement la question : «quelle est la médiane ? » ou « quel est le premier décile ?», mais demandez le calcul d’une valeur répondant à une propriété explicitement formulée dans le contexte de l’exercice.

Il conseille la définition que j’utilisais et que j’ai décidé de ne plus utiliser comme définition, parce qu’elle est univoque.

Il n’empêche qu’il y a un souci et que cette question de DNB le met clairement en évidence. Les deux réponses 5,5 et 6 sont acceptables. Ou alors il faut imposer la définition algorithmique.

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Faire du lien, des territoires aux cycles

Sur le site académique de Nancy-Metz, un espace est dévolu à l’étude du rapport aux manuels et aux méthodes, avec une analyse de la méthode de Singapour et de la méthode heuristique des mathématiques. Ce sont des documents très intéressants, qui ne concernent pas que les enseignants du premier degré : nous ne pouvons enseigner efficacement au second degré que si nous comprenons d’où viennent nos élèves et comment travaillent les professeurs des écoles. De plus, ces axes de réflexion permettent de se poser de nouvelles questions didactiques et de construire des conseils de cycle et des conseils école-collège plus efficaces.

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gtd_maths_cycle2_analyse_mhm

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Les liens qui nous unissent

J’ai fait du ménage dans ma dropbox, et j’y suis allée un peu fort. Du coup, vous n’avez plus accès aux fiches descriptives de méthodes du premier degré que j’avais confectionnées (ACE, Picbille, MHM, La méthode Singapour par la Librairie des écoles, Les Numéras, Mes premières mathématiques). Voici donc ce lien, qui devrait être opérationnel (et sinon, il faut me le signaler).

A toutes fins utiles, je rappelle que

  • Dans chaque cas, la description tient en une page (c’est la version courte), et contient, dans la version longue, des extraits qui me semblent représentatifs, sur 7 pages. Je voulais un format synthétique pour pouvoir, quand je le transmets, qu’il soit vraiment lu.
  • À l’exception de la méthode de Singapour de la Librairie des écoles (que je n’ai pas réussie à contacter efficacement jusqu’ici), toutes les fiches ont été validées par un des auteurs. Cela m’a obligée à la neutralité.
  • Mon but n’était pas ni promouvoir telle ou telle méthode, ni de la déprécier. L’objectif est avant tout de comprendre et de mémoriser les principes, les spécificités, les objectifs de ces travaux. Dans ma mission de formation, auprès des enseignants, je comprends mieux de quoi il retourne et je dispose d’un répertoire de références.
  • Du fait de cette volonté de neutralité, l’analyse des points de vigilance, les leviers, les points d’entrée dans l’enseignement sont peu développés. Mon approche n’est pas comparatiste, et n’a rien d’institutionnelle : ce n’est pas une référence. Un collègue m’a fait remarquer que la co existence de telles fiches sur l’ensemble des méthodes pourrait laisser à penser que toutes les méthodes se valent, alors qu’il y a aussi une efficacité de l’enseignement à questionner. C’est voulu : je me place dans un contexte d’accompagnement, dans lequel je chemine avec mes collègues, et je ne prescris pas.

Ces fiches sont donc bien à envisager en ce sens : elles constituent un résumé propre et une première approche réflexive rapide pour des professeurs des écoles. Elles ouvrent le débat, et permettent au formateur de développer la réflexion commune, avec les enseignants qu’il accompagne.

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Des fiches et des méthodes : précisions

En début d’année j’avais élaboré des fiches qui présentent des méthodes que je vois utilisées en classe en cycle 2 et 3 :

  • ACE
  • Picbille
  • MHM
  • La méthode Singapour parla Librairie des écoles
  • Les Numéras
  • Mes premières mathématiques

J’en ai pas mal discuté, cette semaine, avec différentes personnes, et beaucoup de collègues m’ont demandé d’y accéder. Je remets donc un lien pour aller télécharger les versions courtes ou les versions longues. Mais quelques remarques s’imposent :

  • Dans chaque cas, la description tient en une page (c’est la version courte), et contient, dans la version longue, des extraits qui me semblent représentatifs, sur 7 pages. Je voulais un format synthétique pour pouvoir, quand je le transmets, qu’il soit vraiment lu.
  • À l’exception de la méthode de Singapour de la Librairie des écoles (que je n’ai pas réussie à contacter efficacement jusqu’ici), toutes les fiches ont été validées par un des auteurs. Cela m’a obligée à la neutralité.
  • Mon but n’était pas ni promouvoir telle ou telle méthode, ni de la déprécier. L’objectif est avant tout de comprendre et de mémoriser les principes, les spécificités, les objectifs de ces travaux. Dans ma mission de formation, auprès des enseignants, je comprends mieux de quoi il retourne et je dispose d’un répertoire de références.
  • Du fait de cette volonté de neutralité, l’analyse des points de vigilance, les leviers, les points d’entrée dans l’enseignement sont peu développés. Mon approche n’est pas comparatiste, et n’a rien d’institutionnelle : ce n’est pas une référence. Un collègue m’a fait remarquer que la co existence de telles fiches sur l’ensemble des méthodes pourrait laisser à penser que toutes les méthodes se valent, alors qu’il y a aussi une efficacité de l’enseignement à questionner. C’est voulu : je me place dans un contexte d’accompagnement, dans lequel je chemine avec mes collègues, et je ne prescris pas.

Ces fiches sont donc bien à envisager en ce sens : elles constituent un résumé propre et une première approche réflexive rapide pour des professeurs des écoles. Elles ouvrent le débat, et permettent au formateur de développer la réflexion commune, avec les enseignants qu’il accompagne.

PS : merci à Miguel, dont j’ai repris les propos pour les échanges qui font réfléchir et formuler plus clairement…

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La semaine des maths, version rusée

Pour la semaine des maths, Génération 5 met à disposition des enseignants des activités issues du kit pédagogique « Maths en-Vie » ainsi que du cahier d’exercices “P’tit Rusé cycle 3” : c’est à découvrir ici.

Pour le cycle 3, il y a les défis du p’tit rusé. Sur la page dédiée, on trouve des exemples :

Mais il y a aussi une activité Jouons avec les formes qui se joue avec un logiciel à télécharger. Ce logiciel est une version spéciale du logiciel présent dans le kit pédagogique Maths en-Vie, qui permet de manipuler les 20 photos proposées dans l’activité. Il s’agit de catégoriser, mais comme le logiciel est accessible seulement sur PC et que j’ai un mac, il faudra que j’attende d’être au collège et d’avoir du temps devant moi pour tester.

J’aimerais bien feuilleter les guides ; je vais voir si la BU de l’ESPE en a acquis. Il y a tant de publications intéressantes que je me donne un budget de dépenses, et là je dois m’arrêter… Quelqu’un parmi vous a un avis, déjà, car il l’aurait commandé ?