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Nombres en formation

Ce matin, j’ai rencontré des collègues de cycle 2 de Rouen et sa région pour parler nombres et calculs. Des maths, dés échanges, des rencontres, avec toujours en visée les élèves… C’est ressourçant!

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Un projet origami en route

Nous nous lançons, avec ma fille, dans une réalisation de taille.Le projet origami est lancé et nous le déploierons avant les prochaines vacances. Au retour des vacances j’espère pouvoir exploiter tout cela avec encore plus de maths dedans…

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Equations et propriétés des opérations

Ce matin, au petit dej, mon mari et moi discutions de la résolution des équations. Avec un de ses élèves en Ulis, il essaie de lui faire comprendre le principe de résolution, mais c’est difficile : son élève n’a déjà pas encore bien intégré la réversibilité addition/soustraction et multiplication/division, alors déterminer quelle opération appliquer pour conserver une égalité, c’est évidemment difficile. Cela m’a rappelé un échange avec des élèves de quatrième cette semaine, qui était très intéressant.

Nous avions introduit les équations depuis un moment, résolu des tas de calculs à trous, et commencé à représenter parle calcul littéral. Nous avions modélisé les équations du type x+a=b, et ça roulait plutôt pas mal, quels que soient les natures et les signes des nombres a et b.

Nous sommes arrivés devant une équation du type 3x+5=2. Comme nous avions manipulé avec mes cubes et le système de mon collègue Gani Mohamed, les élèves ont tout de suite compris que je les faisais monter en compétences et qu’il allait falloir diviser, « parce que 3x c’est trois fois x et que pour décrocher la multiplication par 3 il faut une division ». Nous avons discuté priorités de calcul, dégagé des règles, puis nous avons traité d’autres exemples, et nous sommes arrivés là où je savais que ça allait être dur-dur : une équation du type -6x+2=11.

Les élèves ont commencé par soustraire 2 dans chaque membre de l’égalité, certains mimant les plateaux de la balance avec leurs mains, d’autres ayant un accès plus direct à la résolution calculatoire. Et ensuite ? Quand on est devant -6x=9, on fait quoi ? Hé bien pour la majorité des élèves, on additionne 6, voilà.

Alors j’ai souri, parce que je m’y attendais et que j’aime bien aider les élèves à surmonter des obstacles. Comme là j’étais dans ma zone de confort, c’était tranquille. Nous sommes revenus à ce qu’est -6x. Tout le monde m’a dit: « c’est x multiplié par -6 ». « Alors on fait quoi ? » ai-je demandé. Réponse :

Bin en principe on devrait diviser, mais quand même on va pas diviser par un nombre négatif ??? … On peut, madame, diviser par un nombre négatif ?

On n’aurait pas étudié la règle des signes ? On n’aurait pas appris à gérer les divisions par des nombres négatifs ?

Si mais c’est pas pareil, là faut diviser-diviser, avec la règle des signes, on fait des calculs.

Il y a deux enseignements à ces échanges :

  • Je n’ai pas réussi à donner assez de sens à la règle des signes. En même temps, je comprends : je l’ai démontrée, et pour certain(e)s c’est donc du domaine de l’abstraction, de l’idéalité, voire de la bidouille ;
  • Diviser, cela reste faire des paquets ou déterminer combien d’objets il y a dans les paquets. Et on ne peut pas constituer concrètement des nombres négatifs de paquets, ni mettre dans des paquets un nombre négatif d’objets. Ces représentations de ce qu’est la division datent de l’école et ne sont pas facilement adaptables pour les élèves, comme beaucoup d’approches apprises à l’école. Il y a la division-division, qui a du sens, et la division-calcul, qui est manifestement autre chose.

C’est sur cette question que mon mari a eu une idée, appuyée sur du repérage, et je vais essayer. Mais on est de toute façon dans une difficulté robuste : on ne peut pas tout représenter concrètement, parce qu’à un moment donné le but est justement de passer à l’abstraction. En même temps, certains élèves en ont besoin, de manipuler, et il faut aussi les accompagner.

Bref, c’est compliqué, et passionnant.

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Le défi du vendredi

Allez hop, regarde Olivier (Longuet), mes élèves sont en route pour ton défi :

Attention, je précise qu’il faut bien obtenir un octaèdre, mais d’une couleur uniforme…

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Alice en salles des profs

Le Multipliox a vraiment très bien pris, pour la semaine des maths. En plus d’être déployé dans de nombreuses classes à des niveaux d’enseignement très différents, il a eu son petit succès dans les salles des profs. Voir les mains de ma fille et les photos de mon article de blog collées partout nous réjouit franchement, elle et moi (ainsi que la référence au kamoulox d’ailleurs)… 😋

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Les équations en main

Cela fait un moment que j’ai promis de décrire le dispositif de mon collègue, Gani Mohamed, que nous coanimons avec sa classe : il a 4h hebdomadaires avec une de ses classes et j’ai les heures quinzaine de groupe. Il vient coenseigner avec moi avec le premier groupe, et ensuite je reproduis sur le deuxième. Le thème, filé depuis le milieu du premier trimestre : la résolution d’équations.

Gani s’est appuyé sur un dispositif existant, à partir d’un article dont j’ai oublié la référence. Il article trois niveaux successifs.

Premier niveau : des constantes positives et des inconnues

Les pions bleus représentent chacun l’inconnue. Ls dés symbolisent le nombre d’unités (côté constates) ajouté. La balance ou la règle évoquent l’équilibre, matérialisent l’égalité.Tout de suite, cela a bien fonctionné. Mais j’avais un souci, de mon côté : utiliser le même dé pour représenter des nombres d’unités différents me gêne, associé au principe de la balance. Peut-être avec des dés tous sur la face 1 nous éviterons certains obstacles. Alors pour ma part j’ai remplacé les dés par des cubes de numération, qui en plus présentent l’avantage d’être clipsables et déclipsables, ce qui est particulièrement pratique lorsqu’il fait diviser : on peut facilement représenter la correspondance entre 1 seul pion et un certain nombre d’unités constantes.

A ce niveau, on induit bien l’effet des opérations sur chaque membre de l’égalité, la nécessité d’opérer les mêmes dans chaque membre, et le calcul mental est facilité. Je me suis approprié le dispositif pour mes classes, du coup, mais en associant tout de suite la représentation puis la modélisation. Gani, lui, a préféré continuer la manipulation et n’introduire la représentation avec les calculs qu’au troisième niveau. En revanche il a beaucoup plus insisté que moi sur la vérification, ce en quoi il a sans doute raison.

Deuxième niveau : des inconnu et l’opposé de l’inconnue

Les pions bleus, c’est x. Voici les pions blancs, qui représentent -x. Sur ses fiches à compléter, Gani les note « * ». Là encore, j’ai gardé ses idées, en nommant explicitement -x au lieu de « * » et en précisant bien qu’on quitte l’idée de la balance. Parce qu’ajouter un pions pour exprimer qu’on retire éventuellement quelque chose, c’est délicat. Mais à ce niveau, les élèves ont déjà bien modélisé et cela n’a pas posé de souci. Toutefois, j’ai vraiment expliqué aux élèves pourquoi je procédais ainsi et quelles limites je voyais, pour éviter de mauvaises représentations. La discussion qui s’est engagée entre nous a été très intéressante : les élèves ont compris quelles questions je me pose, et pourquoi. Je pense que cela les a aidé à éviter certaines confusions, en fait. Vive l’explicite !

Cette étape est essentielle pour comprendre que x+(-x)=0 et permet des tas de simplifications. Je n’avais pas compris comme elle est importante au départ. La suite m’a montré comme ce principe de manipulation est pertinente et efficace.

Tout est possible, car tout est relatif !

Nous voilà dans les négatifs pour les contantes. Cela met un peu de couleurs… Et ça marche bien ! Pour ma part ces manipulations n’ont été que projetées à la visualiseuse, réalisées par des élèves ou en « dictée à l’adulte ». Comme j’avais déjà modélisé plus tôt, ç’aurait été un peu artificiel je crois. C’est simplement dû à la progression différente que j’ai choisie. Mais pour des élèves qui ont besoin de voir, de manipuler, qui sont en difficulté ou ne parlent pas français, cela m’a vraiment permis de lever des blocages.

Le dispositif de manipulation n’est pas fluide dans tous les cas : pour représenter « x-2(-x+3) », il faut poser du matériel en plus pour en enlever avant de commencer, et là ça devient vraiment compliqué. Mais je reste convaincue pour l’introduction : c’est plus simple et pratique, et plus efficace, que ce que je faisais auparavant.

Au final, Gani m’a permis de reconsidérer ma façon d’introduire les résolutions d’équations ; et la sienne a très bien fonctionné. Je suis juste trop impatiente de modélisation pour suivre ses pas, mais ses élèves sont très performants avec le matériel. Et j’adore ces échanges, qui me font avancer, et sont toujours tranquilles et constructifs. Que du bonheur.

Et la suite ?

Hé bien j’aimerais tester avec les Ulis de mon mari, en attendant de tester avec mes Ulis à moi l’année prochaine… J’ai vraiment envie de voir ce que cela permet, jusqu’où je pourrai aller. Mais avant, il faut que je lui en parle et qu’il soit d’accord pour aller aussi loin dans des compétences de cycle 4…