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L’irrationalité de √2

Cette vidéo m’a beaucoup plu. je vais la montrer à ma fille pour voir si elle comprend de quoi il retourne facilement : elle est en seconde, c’est à sa portée.

Je ne connaissais pas la méthode de descente infinie. Je suis donc allée farfouiller :

La descente infinie est le principe selon lequel il n’existe pas de suite strictement décroissante d’entiers positifs. On utilise ce principe pour prouver qu’il n’existe pas de solution à certains problèmes faisant intervenir des nombres entiers : si à partir d’une solution, on sait en fabriquer une autre strictement plus petite mais toujours en nombres entiers, et qu’on peut recommencer indéfiniment, alors le problème initial n’a pas de solution.

Source

Et aussi :

La méthode de descente infinie est due à Fermat , qui la qualifiait de merveilleuse. Il s’agit d’un raisonnement par l’absurde appliqué à des problèmes portant sur des propriétés de nombres entiers naturels. Elle repose sur le fait que tout ensemble non vide d’entiers naturels possède un plus petit élément.
On suppose que le problème a une solution en nombres entiers naturels ; on démontre qu’il existe alors une autre solution formée d’entiers naturels strictement plus petits ; or il ne peut exister de suite infinie strictement décroissante d’entiers naturels ; d’où la conclusion : il n’existe pas de solution.
On la trouve dans les Eléments d’Euclide , Fermat l’utilise notamment pour démontrer qu’un triangle rectangle dont les côtés sont entiers ne peut pas avoir une aire mesurée par un carré.
Elle a permis de résoudre le grand théorème de Fermat dans les cas n=4, n=5 (par Legendre ).

Source

 

 

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Numération en 1950

Dans la boîte de Problèmes par l’image de CP :

70 c’est 60+10 ; 90 c’est 4×20+10 ; 95 c’est 4×20+15. La notice précise que les noms donnés aux nombres sont « contestables, mais consacrés par l’usage », et fait le lien. Beaucoup, beaucoup de fiches sont là pour faire apparaître les regroupements qui justifient notre façon de dire 70, 80, 90. Une fiche arrive à 100.

Dans cette boîte, tout est calculatoire. Peut-être y a-t-il d’autres domaines abordés dans la première partie, que je n’ai pas, mais ici rien en géométrie, et de grandeurs et mesures il n’y a que la mention d’unités, sans jamais de conversions. On comprend bien au vu de ces fiches que le but, c’est de maîtriser les calculs de base et la numération elle-même. Et s’il y a évidemment des différences fondamentales dans les contenus enseignés, il y a aussi une très grande stabilité entre à cette époque et aujourd’hui.

Tout est une question de regard.

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On chipote avec les %, alors que 60 = 50 = 140… ;-)

Alors je reprends là où j’en étais restée avec mes boîtes de Problèmes par l’image. Celle de CP a un atout que n’ont pas mes autres boîtes : elle a une notice.

Et dans cette notice, savez-vous quoi qui n’y a ?

C’est P Winkopp, directeur d’école et coauteur des fiches, qui a rédigé la notice. Je pense que la boîte que j’ai acquise date des années 60, et qu’elle est une réédition de l’édition originale, qui date des années 50. En effet, il y est explicitement question de mathématiques modernes :

Capture d’écran 2020-04-13 à 14.35.08Capture d’écran 2020-04-13 à 14.35.17

Ce qui est dommage, c’est que j’ai la deuxième partie de la boîte seulement, le tome 2, en quelque sorte. Ma boîte est complète, mais elle commence au problème 50. Je furète pour trouver le reste. Mais en attendant, j’ai tout de même de petites perles.

Regardons de plus près le paragraphe V, « l’écriture de nombres dans des bases non décimales ». Notez bien la notation, avec des chiffres de tailles différentes :

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Je ne possède pas la fiche 39, mais on peut deviner ce qui y figure : 18 sucettes. En effet, en base 6, 18 s’écrit 30 :

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Et en base 3, 18 s’écrit 200 :

Capture d’écran 2020-04-13 à 14.43.19

Et là, en plus, on a cette petite fantaisie que j’ignorais, avec la taille décroissante des chiffres par rang décroissant.

Plusieurs fiches permettent ces questionnements de changements de bases :

Et alors là, je me régale, je l’avoue :

Capture d’écran 2020-04-13 à 14.51.47

J’adore les changements de base. J’adore ce déséquilibre initial, dont je me souviens (en sixième, ça m’a marquée) : quoi, 60 peut s’écrire 50 ou 140 ??? Et en même temps, pour les crayons, 27 est d’un clarté incroyable ! (pour qui accepte le principe même de changer de base)

Et il y en a plein plein d’autres dans la boîte.

Un autre intérêt de cette notice, c’est de montrer comment un matériel didactique peut être adapté à des fins inattendues : ici, ces fiches n’étaient pas destinées aux changements de bases. Elles étaient destinées à des calculs directs ou à deux étapes, qui sont d’ailleurs partiellement écrits. C’est là qu’on mesure le séisme en terme d’attendus, avant et après l’arrivée des maths modernes.

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Peut-on écrire 60%=0,6 ? (partie 3 : le nez dans mes bouquins)

Je vous retranscris un extrait de cet ouvrage :

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Parmi les opérateurs numériques, il en est un si célèbre et si utilisé qu’on lui a attribué une notation spécifique : il s’agit du pourcentage. Mathématiquement, une expression comme 47% indique le résultat de la division de 47 par 100, soit 0,47. (…) Souvent, un pourcentage est l’expression d’une proportion. (…) Les proportions sont un concept mathématique difficile, qui, pour être correctement traité, demanderait de longs développements dépassant le cadre du présent ouvrage. Les pourcentages possèdent heureusement un côté intuitif qui dispense souvent de ces raffinements théoriques. »

Ahhhhhhh mais noooooon, ce sont les raffinements théoriques qui m’intéressent aujourd’hui, flûte !

Mais je connais Benoît, je vais donc lui écrire si je retrouve son adresse.

Benoît écrit aussi :

Une première manière de voir le nombre est de dire qu’il s’agit d’une grandeur sans unité, une définition qui, selon ce que nous avons dit des grandeurs, se contredit elle-même quelque peu. Une autre façon de voir consiste à assimiler les nombres aux opérateurs numériques (qui, il est vrai, n’ont pas d’unité), ce qui n’est certes pas une vision très intuitive des choses. Une troisième façon de procéder consiste à « incarner » les nombres dans les grandeurs (…). Mais cet habillage modifie le statut mathématique du nombre (…) : on souhaite que la multiplication des nombres soit interne (nombre × nombre = nombre). »

Et là pouf, je retombe sur ce que me disais l’ami dont j’ai parlé dans le précédent article, qui s’est appuyé sur la façon de formuler de Wikipedia :

La représentation du pourcentage sous forme d’une fraction, sa transformation en décimal, lui confère un statut apparent de nombre, mais il n’a pas les qualités normalement attribuées à un nombre : il n’est pas possible d’effectuer des sommes de pourcentage dans l’absolu.

On ne peut pas faire de sommes de pourcentage et leur donner un sens, sauf si ces pourcentages correspondent à deux populations partielles disjointes associées à la même population de référence. En particulier deux augmentations successives de 10 % ne donnent pas une augmentation de 20 % mais de 21 %.

Quant au produit de pourcentage, il obéit à des règles très restrictives. De même, comparer des pourcentages peut se révéler mener à des contresens si la population de référence change dans les deux comparaisons.

Tout ça commence à converger furieusement. Mais alors quid de la « représentation du pourcentage sous forme de fraction » : j’ai compris la nature particulière du pourcentage, mais est-ce le signe « = », dans ce cas, qui porte une signification différente de celle de 60/100=0,6 ?

Dans Les mots et les maths de Bertrand Hauchecorne, pas d’article « pourcentage ». Je n’ai pas non plus trouvé d’éléments de réponse dans Une histoire des mathématiques de Dahan-Dalmedico et Peiffer, ni dans Les nombres et leurs mystères de Warusfel.

Bon. À l’issue de cette réflexion, je comprends le point de vue des collègues. Finalement la question est de savoir si parler de 60% hors-sol a du sens. Si non, ce n’est pas un nombre. Mais même dans ce cas, dire que 60% de ma tablette de chocolat c’est 60/100 de ma tablette de chocolat, c’est vrai. C’est la nature de 60% qui est en cause.

Et dans Histoire des nombres, dirigé par Zylberstein, j’ai lu ceci, de Christian Houzel :

Faut-il en conclure qu’un nombre, en fait, on ne sait pas très bien ce que c’est ?

Mais oui. Il ne faut pas trop se leurrer. À l’heure actuelle encore on présente des fondements des mathématiques sur la base de la théorie des ensembles. Mais c’est la phase actuelle des mathématiques. On sait bien, après l’échec de différentes tentatives, qu’on ne peut as construire entièrement les fondements des mathématiques. On est forcé d’avoir une attitude un peu plus pragmatique : faire des mathématiques sans trop se soucier des problèmes de fondements. On sait bien que les fondements ultimes des mathématiques sont inaccessibles.

Si bien qu’on dernier ressort on ne sait pas ce que c’est qu’un nombre.

La question suivante, c’est : cela va-t-il remettre en cause mes pratiques ? Vais-je encore pouvoir écrire dans ma fleur des nombres « 60/100 », « 0,6 » avec « 60% » (entre autres, mais les autres écritures ne me posent pas les mêmes questions existentielles) ? Honnêtement, je crois que je vais devoir évoluer. C’est juste ma façon d’envisager les choses, mais je vais devoir au moins être plus explicite. Même si dans ladite fleur, il n’y a pas de signe « = »… Mais si cet implicite côté élève est acceptable, il ne l’est pas côté enseignant.

Demain, je creuse différemment, en me penchant sur le signe « = ». Peut-être là trouverai-je d’autres perspectives.

L’incertitude n’étant pas un problème pour moi, voire étant une posture fondamentale, je m’en vais faire du sport. Ca va reposer, tout ça. Et je vais en parler à ma fille, pour voir si j’arrive à ma faire comprendre et ce qu’elle en pense.

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Peut-on écrire 60%=0,6 ? (partie 2 : du côté des collègues enseignants et chercheurs)

Après discussion avec un ami, je trouve ce commentaire à mon article précédent, qui précise exactement la nature du problème et le contenu de la conversation que je viens d’avoir :

Un pourcentage est clairement une proportion, mais peut-on légitimement, de la même manière qu’on le fait pour une fraction, présenter un pourcentage comme un nombre ? Est-ce que la question ne se ramène pas à l’utilisation du signe “=” dans votre question ? Je peux écrire 1/2 = 0,5 mais est-ce que je peux écrire 50% = 1/2 ? Pour le “=” je suis tenté de répondre “oui” car deux proportions peuvent être équivalente comme 1/2 = 5/10.
Mais pour la question du nombre pas exactement. Le nombre doit, à mon sens, pouvoir supporter toutes les opérations comme un nombre réel le fait. L’usage de 1/2, de 0,5 ou de 50% dans un produit semble bien équivalent : 8 x 1/2 = 8 x 0,5 = 8 x 50% = 4. Mais est-ce le cas pour une somme ? Est-ce que 8 + 50% = 8,5 ? Non. Est-ce que 10% + 20% = 30% ? La réponse peut aussi être non si la référence des pourcentages n’est pas la même. Le % fait référence à la quantité du “tout” mais cette valeur a été “ramenée” à 100 et à donc été “perdue”. C’est un nombre sans référence. Est-ce encore un nombre ?

Et sur Twitter, c’est intéressant de voir vos réactions : certains sont dans le sens de mes conceptions initiales (bin oui, c’est égal), d’autres doutent comme je le fais, et d’autres encore nient la nature de nombre à 60%, qui ne peut donc pas être écrit égal à 0,6.

Je vous remercie, tous : je trouve ça parfaitement passionnant. Je vais continuer de réfléchir, et je n’aurai pas fini aujourd’hui. Mais pour le moment, continuons de fureter. Le problème, c’est évidemment choix des sources.

Sur le CNRTL, on trouve ceci :

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On n’est pas en maths. Moi, il me faut une définition mathématique. Et ma bibliothèque de classe est … dans ma classe, bin tiens ! Mais quand même, « proportion D’UNE GRANDEUR ». Un sens « B » est proposition, tout court. Mais le problème demeure le même.

J’ai trouvé quelque chose d’intéressant, sur le site canadien Scolab :

Capture d’écran 2020-04-11 à 16.34.56

Voilàààà, on y arrive, et une note didactique sui suit enfonce le clou explicitement :

NOTE DIDACTIQUE

Dans la pratique, un pourcentage est un nombre dénommé, puisqu’on parle toujours du pourcentage de quelque chose.

Ainsi, opérer sur des pourcentages serait une pratique incorrecte, quoique tolérée dans certains contextes.

L’écriture 20 % + 10 % = 30 % n’a de sens que si tous ces pourcentages s’appliquent à une même quantité. Dans le cas de mélanges d’ingrédients, par exemple, les opérations sur les pourcentages qui expriment des pondérations ne peuvent pas s’additionner, comme dans 0,5 litre de crème à 15 % de matière grasse ajouté à 1 litre de crème à 10 % de matière grasse ne donne pas un produit à 25 % de matière grasse! Par contre, si ces pourcentages s’appliquent à une même quantité, ils peuvent s’additionner comme des fractions de dénominateur 100 : 10 % des livres + 20 % des livres donne bien 30 % des livres (10 % + 20 % = 30 %).

A ce niveau, je comprends qu’en effet, je suis à côté de mes escarpins, dans ma conception du pourcentage. J’adore cette sensation : je remets en question, je déconstruis, je reconstruis. Mais poursuivons :

Il y a aussi une note historique, d’ailleurs (certains d’entre vous se sont interrogés, profitons-en) :

NOTE HISTORIQUE

Le symbole du pourcentage est apparu pour la première fois vers 1425 dans une manuscrit italien d’origine inconnue. Le symbole utilisé était un peu différent de celui que l’on utilise aujourd’hui. Finalement, c’est vers 1650 que le symbole utilisé devint 0/0. Puis, plus tard, la barre horizontale est devenue oblique pour donner le symbole % que l’on utilise aujourd’hui.

Pendant qu’on est dans la promenade historique, un lecteur sur Twitter a partagé ce document belge (si quelqu’un a la référence, je prends) :

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Toujours sur Scolab, on précise ce qu’est un nombre dénommé, et là c’est Stella Baruk à la quelle je pense :

Capture d’écran 2020-04-11 à 16.41.19Capture d’écran 2020-04-11 à 16.41.28

Dans ce document, j’ai lu ceci :

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Ainsi, le professeur de collège qui enseigne aux élèves l’usage des pourcentages ne peut penser seul qu’il s’agit là d’une technique sociale permettant de démathématiser des problèmes fréquemment rencontrés, dont le traitement par ces moyens évite l’usage d’opérateurs multiplicatifs et l’apprivoisement de l’idée selon laquelle une multiplication pourrait modéliser une diminution. (…) L’enquête sur les pratiques sociales observables, à propos des pourcentages, a été́ conduite à propos de l’enseignement des SES en Première STT (Mercier, Dollo 2005), elle montre comment la notion de pourcentage permet de maintenir une idée de soustraction ou d’addition dans le calcul. L’économie d’apprentissage qu’elle porte lui permet de survivre dans la société, ce qui fonde son enseignement dans le cadre des mathématiques pratiques.

On est un peu à côté de ce que je cherche, mais en même temps cette idée d’ « acceptable didactique » est importante et fonde aussi nos pratiques : il y a ce qu’on sait rigoureux, il y a les compétences qu’on transmet ; à quel moment transige-t-on ou ne transige-t-on pas ?

La question revient au final à celle du signe =, comme l’écrit le lecteur que j’ai cité au début, et aussi à la nature de nombre ou pas d’un pourcentage. Ce qui me bloque moi, c’est qu’une fraction traduit une proportion, mais est aussi un nombre. Alors pourquoi pas les pourcentages ? Cela signifierait forcément que 60% et 60/100 ne sont pas rigoureusement égaux, puisqu’une fraction a un statut de nombre et que 60/100=0,6.

J’en suis là. J’attaque une pile de bouquin pour voir si je trouve des éléments de réflexion dedans.

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Peut-on écrire 60%=0,6 ? (partie 1 : problématique et dans les programmes)

Cette semaine, cette question a déboulé sur le tapis dans mon environnement : de façon curieusement simultanée, plusieurs collègues m’ont demandé mon avis :

  1. Peut-on écrire 60% comme ça, pouf, en tant que nombre, ou est-ce incorrect car on dit « 60% DE quelque chose » ?
  2. Peut-on écrire 60%=0,6 ; pour plusieurs collègues avec lesquels j’ai échangé, c’est faux. Par exemple, pour un collègue, 60% n’a pas d’existence mathématique définie et donc écrire =0,6 est abusif.

Au départ, voici mes représentations initiales :

  1. Oui, autant qu’on peut parler du nombre « un demi, « 1/2 », tout ça. Les fractions aussi permettent de « prendre » une partie d’une grandeur. Et en fait pour moi un pourcentage est juste une fraction de dénominateur 100 ;
  2. Oui, pour la raison évoquée au-dessus.

Mais je sais que je peux me tromper, alors c’est parti, je creuse.

Côté programmes et documents d’accompagnements, j’ai compulsé un gros gros paquets de ressources. Dans les documents pour l’école, je n’ai rien trouvé. Dans les documents du collège, j’ai trouvé

  • Dans le programme de cycle 3, dans la partie Nombres et calculs :

Capture d’écran 2020-04-11 à 14.05.55

  • Dans les attendus de fin de cycle, je lis qu’un élève doit :

• en fin de 6e, savoir « appliquer un pourcentage » ;

en fin de 5e, savoir « relier fractions, proportions et pourcentages » , et savoir « exprimer des fréquences sous forme fractionnaire, en écriture décimale ou sous la forme d’un pourcentage ».

• en fin de 4e, savoir calculer un pourcentage par quatrième proportionnelle ;

• en fin de 3e, faire « le lien entre pourcentage d’évolution et coefficient multiplicateur ».

  • Une mention sur les pourcentages, dans le document d’accompagnement « Interpréter, représenter et traiter des données » pour le cycle 4 :

Ces traitements se font en lien étroit avec le travail sur les différentes écritures d’un nombre et les notions de valeurs approchées et de pourcentages.

  • En seconde générale, rien à part des techniques à enseigner. En seconde professionnelle, le mot « pourcentage » apparaît 7 fois, ce qui est bien plus que partout ailleurs :

Capture d’écran 2020-04-11 à 14.07.49

Et toujours dans le programme de seconde pro, on trouve ceci, dans la liste (non exhaustive) des automatismes à travailler:

Capture d’écran 2020-04-11 à 14.10.04

Ah, voilà qui est plus explicite.

Mais au final, où les enseignants trouvent-ils des réponses aux questions conceptuelles ? Parce que je pense que jamais on ne m’a donné une définition d’un pourcentage à l’école, en fait. On m’a dit quoi faire, quels calculs enchaîner. Enseignante, comme j’ai d’abord enseigné en lycée pendant quinze ans, j’ai veillé à faire comprendre la différence entre 60 et 60%, mais où en étais-je réellement en terme de concepts, moi-même ?

Je ne sais pas.

A suivre.

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Anne Boyé dans ma classe à la maison

Hier, nous avons eu le très grand plaisir d’accueillir Anne Boyé, enseignante et historienne des mathématiques, dans notre classe. Avec madame Boyé, tout est simple : elle accepte d’intervenir, elle s’adapte aux outils numériques alors qu’elle ne les connaissait pas la veille, son discours est accessible et passionnant, et elle accepte que je publie son intervention…

Le bonheur, quoi.

Régalez-vous :

Merci à Ambre et Esteban pour l’introduction, merci aux 50 élèves qui ont assisté à la conférence en respectant les règles posées, et merci à ma collègue CPE qui est venue aussi !

Je termine sur cette intervention d’une élève au sujet de Sophie Germain :

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