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Le monde en spheres

Ce matin, ma fille et moi avons visité l’exposition de la BNF François Mitterrand : le monde en spheres.

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L’exposition est très intéressante, belle, bien documentée par des vidéos explicatives. On y peut admirer de nombreux manuscrits et globes très anciens.

Il doit y avoir de quoi faire de très belles activites mathématiques. Je vais cogiter tout ça.

En attendant, nous dégustons un bon bortsch, arrosé d’un verre de Kvass et de Morse.

Avec ma fille, c’est l’aventure…

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Bonjour madame, c’est pour savoir qui c’est qui a inventé les maths ?

Un matin au collège, je profite de l’annulation d’une visite en école pour réviser ma formation RMC de la semaine prochaine. Je lance mon diapo, je me saisis de mes notes et c’est parti, j’arpente la salle de classe vide, je déroule mon contenu à haute voix, je révise, je mémorise, je prends mes marques, je cale mes repères.

Au bout d’une heure et demie sans doute, toctoctoc. Un toctoctoc net mais presque confus de me déranger. Je mets le diapo en pause, j’ouvre la porte et je vois là un de mes élèves, souriant et perplexe.

Bonjour madame !

Bonjour, D.

Pourquoi vous parlez toute seule madame ?

Heuuuuu… Je révise une leçon que je veux bien savoir.

Ah d’accord. Vous aussi vous avez des leçons à apprendre ?

Bin oui, tu vois.

Vous allez avoir une interro ?

En quelque sorte, oui, bientôt en plus.

Je venais vous voir madame, parce que je me demandais quelque chose.

Ah oui, quoi donc ?

Qui c’est qui a inventé les maths ?

Je me suis lancée dans une explication au départ assez nébuleuse, et puis j’ai fini par structurer ma réponse, mais tout de même, il m’a cueillie, ce zozo. Nous avons parlé préhistoire et os de loup, Mésopotamie et tablettes d’argile, de l’inexistence de monsieur Mathématiques, de l’impossibilité donc qu’il ait vécu entre xxxx et xxxx. Rhaaa c’est vrai que ce n’est pas de chance.

C’était un chouette intermède, et j’ai repris ma répétition avec l’image de ce collégien repartant tout content d’avoir pu discuter.

J’ai vraiment aimé qu’il s’autorise ainsi à venir toquer à ma porte, avec la certitude que je vais prendre le temps de lui répondre, et qu’il soit capable de me demander pourquoi je parle toute seule.

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Controverse arithmétique

Il y a deux semaines, j’ai passé un après-midi avec Stella Baruk. J’avais un problème à lui soumettre, et je voulais son avis. Elle m’a très gentiment consacré du temps, et à cette occasion, elle a fait référence à la citation de Leopold Kroneckerun mathématicien et logicien allemand du 19e siècle :  « Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l’œuvre de l’Homme. » (c’est le point de départ d’un de ces ouvrages)

Selon Kronecker, qui se range plutôt, sur ce coup-là, côté pythagoriciens, « la recherche mathématique devait s’appuyer exclusivement sur les simples propriétés des nombres entiers » (ici). Weierstrass, Dedekind, Cantor (qui fut élève de Kronecker, et à qui Kronecker compliqua la vie, comme on peut le lire dans cet article) soutenaient des théories en opposition avec celle de Kronecker, et qui supplantèrent la sienne.

Dans un article (Sur le concept de nombre en mathématiques, cours inédit de Léopold Kronecker à Berlin (1891), retranscrit et commenté par Jacqueline Boniface et Norbert Schappacher) présentant un cours de Kronecker, on lit : « Selon Kronecker, en effet, le concept de nombre est un concept purement arithmétique lié à l’idée de dénombrement et doit demeurer tel. L’élargissement du concept de nombre aux nombres négatifs, puis aux nombres fractionnaires, corrélatif de l’usage de la soustraction et de la division, conduirait nécessairement, selon Kronecker, à « une dévaluation de ce concept » à laquelle il s’oppose. Il propose une alternative à celle-ci à partir de la critique du manuel d’arithmétique de Hermann Schubert [1885]. Cette alternative évite les concepts de nombre négatif et de nombre fractionnaire par le moyen des indéterminées et des congruences.

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Un cours de Kronecker

Les concepts de nombre négatif et de nombre fractionnaire étant évités en tant que concepts fondamentaux de l’arithmétique, celui de nombre irrationnel le sera a fortiori. L’irrationalité est un concept géométrique et doit, selon Kronecker, rester dans le domaine géométrique. »

C’est tout de même assez fascinant, cette façon de voir les choses, surtout pour nous qui avons appris les mathématiques en abordant l’hypothèse du continu au lycée.

Toujours ici, on lit : « Le futur montrera que l’analyse de Weierstrass l’a emporté mais le doute de Kronecker, à la base du constructivisme  de Brouwer et Poincaré, engendra la réflexion sur la remise en cause de principes supposés évidents, comme celui du tiers exclu ou de l’axiome du choix. Au début du 20e siècle, la crise sur les fondements des mathématiques, générée par les paradoxes de la théorie des ensembles de Cantor, fut une dure mais salutaire bataille« . Revoilà l’axiome du choix…

Un article d’Images de mathématiques aborde aussi cette question, avec pour titre « Quelques remarques personnelles concernant la nature des mathématiques », par Jean-François Colonna : « peut-être la réponse est-elle que le mathématicien est à la fois créateur et explorateur : certaines structures, probablement parmi les plus élémentaires, existeraient indépendamment de nous (les nombres entiers ordinaux et cardinaux, par exemple [référence à la citation de Kronecker]), alors que d’autres seraient notre œuvre (un peu comme il existe dans l’Univers un certain nombre de molécules naturelles et que nos chimistes en ont créé de nouvelles à partir des éléments de base que sont les atomes).« 

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Lire, découvrir, apprendre : la démonstration comme prétexte

Ce matin, je me suis penchée sur le dossier démonstration de cultureMATH que j’ai vu apparaître plusieurs fois dans mes pérégrinations numériques ces jours-ci.

La question posée en introduction de ce dossier est : « Comment l’enseigner et comment amener les élèves en position de comprendre et de se convaincre de la nécessité de démontrer ?« 

Plusieurs ressources sont proposées, qui amènent le lecteur à naviguer dans la didactique, la pédagogie, l’histoire, l’épistémologie, la philosophie. Commençons par :

Les actes du colloque Inter-IREM Épistémologie et Histoire des mathématiques de 1989

Les communications sont regroupées en quatre axes :

Je n’ai pas tout lu, là, ce matin… Ma découverte du jour est, grâce à Rudolph Bkouche, GonsethFerdinand Gonseth. Mais j’ai aimé me promener dans les réflexions sur la vérité, sur axiome/postulat, sur la révolution des mathématiques non euclidiennes, j’ai aimé apprendre sur Arbogast, retrouver l’axiome du choix, qui avait totalement bouleversé mon année de licence…

Comme j’aimerais en savoir plus sur l’histoire des mathématiques !

Dans les jours qui viennent, je vous raconterai les deux autres ressources proposées.