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Controverse arithmétique

Il y a deux semaines, j’ai passé un après-midi avec Stella Baruk. J’avais un problème à lui soumettre, et je voulais son avis. Elle m’a très gentiment consacré du temps, et à cette occasion, elle a fait référence à la citation de Leopold Kroneckerun mathématicien et logicien allemand du 19e siècle :  « Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l’œuvre de l’Homme. » (c’est le point de départ d’un de ces ouvrages)

Selon Kronecker, qui se range plutôt, sur ce coup-là, côté pythagoriciens, « la recherche mathématique devait s’appuyer exclusivement sur les simples propriétés des nombres entiers » (ici). Weierstrass, Dedekind, Cantor (qui fut élève de Kronecker, et à qui Kronecker compliqua la vie, comme on peut le lire dans cet article) soutenaient des théories en opposition avec celle de Kronecker, et qui supplantèrent la sienne.

Dans un article (Sur le concept de nombre en mathématiques, cours inédit de Léopold Kronecker à Berlin (1891), retranscrit et commenté par Jacqueline Boniface et Norbert Schappacher) présentant un cours de Kronecker, on lit : « Selon Kronecker, en effet, le concept de nombre est un concept purement arithmétique lié à l’idée de dénombrement et doit demeurer tel. L’élargissement du concept de nombre aux nombres négatifs, puis aux nombres fractionnaires, corrélatif de l’usage de la soustraction et de la division, conduirait nécessairement, selon Kronecker, à « une dévaluation de ce concept » à laquelle il s’oppose. Il propose une alternative à celle-ci à partir de la critique du manuel d’arithmétique de Hermann Schubert [1885]. Cette alternative évite les concepts de nombre négatif et de nombre fractionnaire par le moyen des indéterminées et des congruences.

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Un cours de Kronecker

Les concepts de nombre négatif et de nombre fractionnaire étant évités en tant que concepts fondamentaux de l’arithmétique, celui de nombre irrationnel le sera a fortiori. L’irrationalité est un concept géométrique et doit, selon Kronecker, rester dans le domaine géométrique. »

C’est tout de même assez fascinant, cette façon de voir les choses, surtout pour nous qui avons appris les mathématiques en abordant l’hypothèse du continu au lycée.

Toujours ici, on lit : « Le futur montrera que l’analyse de Weierstrass l’a emporté mais le doute de Kronecker, à la base du constructivisme  de Brouwer et Poincaré, engendra la réflexion sur la remise en cause de principes supposés évidents, comme celui du tiers exclu ou de l’axiome du choix. Au début du 20e siècle, la crise sur les fondements des mathématiques, générée par les paradoxes de la théorie des ensembles de Cantor, fut une dure mais salutaire bataille« . Revoilà l’axiome du choix…

Un article d’Images de mathématiques aborde aussi cette question, avec pour titre « Quelques remarques personnelles concernant la nature des mathématiques », par Jean-François Colonna : « peut-être la réponse est-elle que le mathématicien est à la fois créateur et explorateur : certaines structures, probablement parmi les plus élémentaires, existeraient indépendamment de nous (les nombres entiers ordinaux et cardinaux, par exemple [référence à la citation de Kronecker]), alors que d’autres seraient notre œuvre (un peu comme il existe dans l’Univers un certain nombre de molécules naturelles et que nos chimistes en ont créé de nouvelles à partir des éléments de base que sont les atomes).« 

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Lire, découvrir, apprendre : la démonstration comme prétexte

Ce matin, je me suis penchée sur le dossier démonstration de cultureMATH que j’ai vu apparaître plusieurs fois dans mes pérégrinations numériques ces jours-ci.

La question posée en introduction de ce dossier est : « Comment l’enseigner et comment amener les élèves en position de comprendre et de se convaincre de la nécessité de démontrer ?« 

Plusieurs ressources sont proposées, qui amènent le lecteur à naviguer dans la didactique, la pédagogie, l’histoire, l’épistémologie, la philosophie. Commençons par :

Les actes du colloque Inter-IREM Épistémologie et Histoire des mathématiques de 1989

Les communications sont regroupées en quatre axes :

Je n’ai pas tout lu, là, ce matin… Ma découverte du jour est, grâce à Rudolph Bkouche, GonsethFerdinand Gonseth. Mais j’ai aimé me promener dans les réflexions sur la vérité, sur axiome/postulat, sur la révolution des mathématiques non euclidiennes, j’ai aimé apprendre sur Arbogast, retrouver l’axiome du choix, qui avait totalement bouleversé mon année de licence…

Comme j’aimerais en savoir plus sur l’histoire des mathématiques !

Dans les jours qui viennent, je vous raconterai les deux autres ressources proposées.

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Un petit point pour le nombre, un grand pas pour l’humanité.

Cet article fait réponse à un commentaire d’une collègue curieuse et qui aime bien les histoires. 🙂 Mais je tiens à préciser que je ne suis pas du tout historienne des maths, et que si j’écris des bêtises, je suis preneuse des corrections que les lecteurs plus compétents sauront corriger.

Simon Stevin est né à Bruges en 1548. Il a voyagé en Prusse, en Pologne, en Suède et en Sans titreNorvège, mais a surtout vécu aux Pays-Bas, où il est mort en 1620. Simon Stevin était un grand curieux : il a publié un recueil de tables d’intérêts, un volume de géométrie, Problematum geometricum, un Pratique d’arithmétique, un ouvrage intitulé Statique, un autre sur la musique, et aussi la Disme, qui m’intéresse tout particulièrement ici et qui a fait un gros buzz à l’époque. « Contemporain de Galilée, de Kepler, Stevin est peut-être leur égal. S’il est moins connu qu’eux, c’est sans doute dû au fait qu’il écrivait quasi-exclusivement en néerlandais, ce qui retarda la propagation de ses travaux à travers l’Europe« , lit-on ici.

Stevin a eu mille carrières : employé de banque, comptable d’un marchand d’Anvers, employé aux finances du port de Bruges, précepteur de Maurice de Nassau, prince d’Orange, intendant général des armées néerlandaises. A 35 ans, il s’inscrivit dans une université pour apprendre en mathématiques. Mais il a aussi « inventé une méthode pour retenir une armée d’envahisseurs : il fit inonder les terres et chemins en ouvrant les écluses situées dans une digue. Les Néerlandais se sont souvenus de cette méthode lorsque les Allemands envahirent les Pays-Bas durant la Seconde Guerre mondiale. Il participa également à la construction de fortifications, de ports, d’écluses et de moulins à vent » (ici ), et un char à voile.

Manifestement, Stevin était en recherche d’un système d’écriture des nombres « rompus » efficace pour les calculs. A l’époque, en Europe, on n’écrivait pas 3,5, mais  3 1/2. Pas très pratique pour effectuer rapidement des calculs : les fractions imposent des transformations pour faire apparaître un dénominateur commun, coûteuses en temps. Les fractions étaient apparues depuis trèèèès longtemps (les Égyptiens les utilisaient en 2500 av. J.-C.). Quant aux décimaux, les savants chinois et arabes, bien avant Stevin, y travaillaient et avaient inventé le concept, avec les fractions décimales : « Vers 952, Ibrahim al Uqlidisi propose d’utiliser des fractions décimales pour écrire les nombres« , peut-on lire sur Maths-et-tiques. D’autres savants arabes continuèrent de progresser, et Al Kashi donna (en 1427) « une définition des fractions décimales, exposa leur théorie et montra comment décomposer toute fraction en somme de fractions décimales. Al Kashi détailla les techniques opératoires en expliquant qu’en utilisant les fractions décimales, les opérations sur les fractions se ramènent à des opérations sur les entiers » (toujours maths-et-tiques). Mais en occident, on n’en était pas là. On était même franchement à la traîne.

Alors ce n’est pas Stevin qui a « inventé le nombre décimal », stricto sensu. Mais sa notation est révolutionnaire en Europe, il l’a inventée sans connaissance des avancées arabes, et le buzz l’a propulsé comme innovateur du décimal. La voici :

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Ce que proposa Stevin en 1585 est très pratique pour poser les opérations (et pas seulement les additions) :

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À partir de là, en peu de temps, les notations évoluèrent rapidement : en vingt ans, on vit apparaître 89.532 avec Magini,  avec Bürgi, 89,532 avec Snellius et Napier. Beaucoup plus tard, au 19e siècle, De Morgan imposera l’utilisation du point décimal.

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Rousseau, il a pas croisé ma mère…

Aujourd’hui, première lecture de Je suis Sophie Germain. Je lis aussi aux élèves la citation de Rousseau que j’avais prévue, pour qu’ils comprennent dans quel contexte était née Sophie Germain, et qu’ils mesurent la difficulté pour elle d’apprendre les mathématiques et de se faire reconnaitre comme mathématicienne :

« Ainsi toute l’éducation des femmes doit être relative aux hommes. Leur plaire, leur être utiles, se faire aimer et honorer d’eux, les élever jeunes, les soigner grands, les conseiller, les consoler, leur rendre la vie agréable et douce, voilà les devoirs des femmes dans tous les temps et ce qu’on doit leur apprendre dès leur enfance.  »

Et encore : « La recherche des vérités abstraites et spéculatives, des principes, des axiomes dans les sciences, tout ce qui tend à généraliser les idées n’est point du ressort des femmes. (…) Elles n’ont pas non plus assez de justesse et d’attention pour réussir aux sciences exactes.»

La réaction des élèves a été tout à fait sympathique : ils étaient médusés. Ils n’en croyaient pas leurs oreilles. L’un d’eux m’a dit : « Mais madame, il a pas dit ça pour de vrai quand même ? C’est pas possible … Bah Rousseau, ça se voit qu’il a jamais croisé ma mère…« 

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Sophie Germain Bientôt dans ma classe

Anne Boyé et Christine Charreton ont publié en 2017 un petit livre intitulé « Je suis Sophie 1777_COUV_sophiegermain.qxpGermain », aux éditions Jacques André Editeur. C’est un livre clair et instructif, qui se lit rapidement et facilement (et pour cause : il est écrit pour des élèves). Il retrace la vie de Sophie Germain. Comme j’ai décidé de lire des extraits d’ouvrages littéraires qui parlent de mathématiques ou de culture mathématique à mes élèves, j’ai décidé de leur en lire au moins des extraits, sinon tout : ils aiment que je leur lise à haute voix, mais sans doute aimeraient-ils suivre un livre entier. Je leur lis parfois trois minutes, parfois cinq, parfois dix si nous finissons en avance une activité, et ça marche bien : les élèves m’en reparlent, ensuite. Là, c’est l’histoire d’une vie, et en plus d’une mathématicienne, ce qui permet d’attendre trois objectifs en même temps : cultiver quant à l’histoire des maths, travailler les inégalités filles-garçons et discuter maths et filles.

Je pense que je commencerai par lire cette citation de Rousseau dans l’Émile (1712-1778, et Sophie Germain est née en 1776), que j’ai trouvée déjà dans un article d’Anne Boyé sur Sophie Germain, dans le bulletin de l’APMEP n°523 :

« Ainsi toute l’éducation des femmes doit être relative aux hommes. Leur plaire, leur être utiles, se faire aimer et honorer d’eux, les élever jeunes, les soigner grands, les conseiller, les consoler, leur rendre la vie agréable et douce, voilà les devoirs des femmes dans tous les temps et ce qu’on doit leur apprendre dès leur enfance.  »

Et encore : « La recherche des vérités abstraites et spéculatives, des principes, des axiomes dans les sciences, tout ce qui tend à généraliser les idées n’est point du ressort des femmes. (…) Elles n’ont pas non plus assez de justesse et d’attention pour réussir aux sciences exactes.»

Ensuite, je commencerai la lecture du livre de mesdames Boyé et Charreton (qui en plus m’ont fait une belle dédicace, ce à quoi mes élèves seront sans doute sensibles, car ils aiment imaginer les personnes auteur de ce que nous travaillons ; quand je leur parle d’Arnaud ou de Roland, ils réagissent comme s’ils les connaissaient personnellement). Cela nous donnera l’occasion de croiser quelques notions d’arithmétique, par exemple, dont mes élèves sont en mesure de s’emparer. J’espère qu’ils vont aimer et retenir ! J’aimerais qu’il retiennent la volonté de Sophie pour surmonter le déterminisme social qu’on lui opposait, et aussi que son rêve à elle, c’était les maths.

Si vraiment la lecture intéresse bien mes élèves, je pourrai prolonger par la lecture et l’affichage de ces documents, réalisés par les élèves du club maths du lycée Maurice Genevoix :

 

 

L’APMEP propose aussi des exercices autour de Sophie Germain, mais là ce n’est pas du niveau de mes élèves.

Mon projet suivant est de lire le One Zero Show de Denis Guedj avec des élèves qui partageraient les rôles de la pièce avec moi.