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Trigo à la babylonienne

Sur Arstechnica, un article en date du 25 août explique comment des chercheurs ont découvert la trigonométrie à Babylone. L’article est en anglais et je l’ai trouvé assez difficile à comprendre, mais il vaut le coup.

On savait déjà les Babyloniens forts en maths. Une tablette cunéiforme datant de -1800 environ (avec un ordre de grandeur à la louche, mais au point où nous en sommes!) fait état de savoirs en matière de trigonométrie. Quand on voit le temps qu’il aura fallu plimpton322tablet-800x450ensuite pour construire la trigonométrie grecque (la nôtre), ça force le respect et ça intrigue : pourquoi la frigo babylonienne est-elle tombée dans l’oubli ?

La logique de cette trigo est décrite comme anti-familière par les chercheurs Mansfield et Wildberger, qui ont dû abandonner leurs conceptions propres pour comprendre : alors que notre trigo place le triangle dans un cercle, la trigo babylonienne place le triangle dans un rectangle et n’a pas recours au sinus, cosinus ou tangente. La base 60, utilisée par les Babyloniens, permet de conserver des valeurs exactes. Evidemment, utiliser cette base présente aussi des inconvénients : pas de décimaux, pas de nombres complexes… Et pour nous aujourd’hui un gros mal de tête. Mais pour l’usage babylonien, très concret, c’était tout à fait adapté.

Et en plus, c’est beau.

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Langage et mathématiques

Sur Images des mathématiques, site du CNRS, vous pourrez lire le feuilleton de l’été, intitulé mathématiques et langage. Des articles courts, accessibles et intéressants le composent. Cette série de textes a été écrite par des scientifiques d’horizons divers à l’occasion du Forum Mathématiques vivantes en mars 2017). On y parle enseignement des maths, recherche, informatique, linguistique, histoire ou philosophie. Mon préféré est ici,mais le mieux est de tous les lire !

Quelques extraits :

Depuis la fin du XVIe, les textes mathématiques passent d’une écriture en langue commune à une écriture de plus en plus symbolique et les mathématiques actuelles ne se parlent pas mais s’écrivent. Preuve en est le combat des mathématicien-ne-s dans les universités ou laboratoires de recherche pour disposer de tableaux, en l’absence desquels ils sont incapables de communiquer ! Cette écriture mathématique est extrêmement synthétique mais elle permet d’énoncer les résultats et de présenter les démonstrations à la fois sur un volume de pages écrites qui reste raisonnable et avec la précision nécessaire à une démarche totalement formalisée. On écrira par exemple :

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au lieu de « la racine carrée de l’inverse du carré de tout nombre réel non nul est égale à l’inverse de la valeur absolue de ce nombre ». Les mathématicien-ne-s du monde entier comprendront le premier énoncé et seul-e-s les francophones comprendront le deuxième. Nous avons donc là un langage universel.

Bertrand Jouve

Dans le premier {point de vue}, les mathématiques ne seraient qu’un jeu qui manipule des mots en respectant une grammaire rigide. Hilbert, au début du vingtième siècle, affirmait qu’on pouvait changer les mots « point, droite, plan » et les remplacer par « table, chaise, verre de bière » et que les théorèmes selon lesquels « par deux tables passe une chaise » et que « l’intersection de deux verres de bière est une chaise » seraient tout à fait justifiés. D’ailleurs, sans aller jusque là, la géométrie moderne utilise des objets appelés « immeubles, appartements et chambres » qui ont des propriétés étranges, telles par exemple que « par deux chambres passe au moins un appartement ».

Étienne Ghys

L’image des mathématiques comme une merveilleuse construction humaine ne me paraît pas diminuer leur importance et leur valeur, au contraire.

Jean-Pierre Kahane

 

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L’IREM le Limoges, Léonardo et mes 6èmes

Lors du séminaire sur le cycle 3 à Poitiers en juin, j’ai suivi un (super) atelier de l’IREM de Limoges, animé par Marc MOYON (Université de Limoges), Chantal Fourest (Collège d’Arsonval – Brive) et David Somdecoste (École Louis Pons – Brive).

Cet atelier m’a permis de mettre en pratique une activité dès mon retour, avec mes élèves de sixième, et je l’ai intégré à ma séquence n°2 de sixième pour l’année prochaine. J’ai reçu des questions sur cette activité, alors je vous présente ce que j’en ai fait, grâce aux collègues qui sont à l’origine de l’idée. L’atelier avait trois objectifs principaux : proposer de nouveaux supports d’enseignement pour le cycle 3 en intégrant une perspective historique, proposer des pistes de liaison entre l’école et le collège pour l’enseignement de la géométrie et réfléchir autour de l’introduction d’une perspective historique dans une progression annuelle d’un enseignant de mathématiques. Le descriptif de l’ailier est ici.

Les trois collègues qui ont présenté cet atelier sont enthousiastes, simples et concrets. Trois qualités vraiment agréables et motivantes. Je me permets d’indiquer le lien qui présente leurs travaux , car je l’avais dans mes notes mais je suis parvenue sur la page par moi-même de trois façons différentes, ce qui m’assure que ces contenus sont en libre accès. Allez-y : les documents sont top, téléchargeables, et, cerise sur le gâteau, les deux enseignants (de CM2 et de 6ème) ont mis en ligne des productions d’élèves.

Pour ma part, voici ce que j’ai fait avec mes sixièmes et que je compte réitérer, car la séance avait très bien fonctionné : j’ai commencé par distribuer aux élèves la fiche que j’ai mise en ligne dans l’article sur la séquence n°2 de sixième, et qui est très très très inspirée de celle des collègues de l’atelier. Nous avons un peu parlé de Léonard de Vinci, et j’ai projeté quelques-unes de ses oeuvres.

Ensuite, j’ai proposé aux élèves la même image déclenchante que les collègues vus en atelier :

doc_declenchant_1 Les élèves devaient reproduire la partie supérieure de la figure. je les ai laissés travailler, et nous avons ensuite comparé les productions pour essayer de dégager des critères de validation et d’invalidation.

Une fois ces critères définis, chacun s’est remis à l’ouvrage, en recommençant sa figure ou en aidant son camarade à la réaliser « correctement », de sorte que chacun dispose d’une figure « juste ».

Après cette étape, j’ai demandé aux élèves de rédiger, en binôme ou en îlot, un programme de construction. Comme nous avions déjà beaucoup travaillé avec ma collègue de l’ESPE sur les programmes de construction, avec des coûts associés aux instruments, les élèves sont tout de suite partis sur des réflexions assez expertes, de mon point de vue.

La fin de la séquence (une séance de deux heures d’affilée) a été différenciée, car les élèves progressent à des vitesses très différentes les uns des autres dans les constructions comme dans les travaux d’écriture. Au final, tous ont fait la construction d’une autre figure, celle-ci :

figure_a_reproduire_1

Plusieurs groupes ont eu le temps d’écrire le programme de construction, et quatre groupes se sont lancés dans le même travail avec d’autres figures, choisies sur le grand format qui en regroupait des tas.

Au final, voici les plus-values que j’ai pu identifier à la suite de cette séance :

  • l’aspect historique a en même temps enrichi culturellement les élèves et les a motivés
  • c’est un très très bon contenu pour faire manipuler en géométrie
  • le travail d’écriture et d’algorithmie du programme de construction est passé plus facilement que d’habitude, mais peut-être était-ce parce que c’était la fin de l’année et que nous avions pas mal travaillé sur ces compétences au fil de l’eau.

La séance suivante, les élèves m’ont réclamé de continuer. Même des élèves qui ronchonnent lorsqu’il s’agit de construire des figures étaient partants. Mais j’avais prévu autre chose, d’autant que cette activité était tout à fait imprévue… Cependant je suis contente de l’avoir essayée rapidement, car ainsi je l’ai intégrée directement à mes pratiques, alors que sinon je risquais de l’oublier dans mes nombreuses pages de notes de découvertes de l’année…

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Platon en cours de maths en cycle 3

C’est l’objet du premier atelier que j’ai suivi hier. Il était vraiment intéressant, même si je ne mettrai pas en oeuvre en classe l’activité que je vais résumer. En revanche je vais m’en servir en formation en master 2 enseignement.

Dans ce dialogue, qui correspond aux pages 344 à 352 de l’édition de 1976 chez Flammarion, Socrate interroge un esclave au sujet de la duplication du carré. l’esclave commence par se tromper, en proposant que pour être d’aire double le carré doit avoir le côté double aussi, puis face au questionnement ouvert (enfin, plus ou moins ouvert) de Socrate, il comprend qu’il s’est trompé. Socrate conclut ainsi :

SOCRATE.

Que t’en semble, Menon ? A-t-il {l’esclave} fait une seule réponse qui ne fût son opinion à lui ?

MENON.

Non ; il a toujours parlé de lui-même.

SOCRATE.

Cependant, comme nous le disions tout à l’heure, il ne savait pas.

MENON.

Tu dis vrai.

SOCRATE.

Ces opinions étaient-elles en lui, ou non ?

MENON.

Elles y étaient.

SOCRATE.

Celui qui ignore a donc en lui-même sur ce qu’il ignore des opinions vraies ?

MENON.

Apparemment.

SOCRATE.

Ces opinions viennent de se réveiller en lui comme un songe. Et si on l’interroge souvent et de diverses façons sur les mêmes objets, sais-tu bien qu’à la fin il en aura une connaissance aussi exacte que qui que ce soit ?

MENON.

Cela est vraisemblable.

A partir de ce dialogue, Renaud Chorlay (de l’ESPE de Paris), Alexis Gaudreau (enseignant de mathématiques à Paris) et Dominique Heguiaphal (professeur des écoles à Paris), de la commission inter-IREM Histoire et épistémologie, ont proposé l’atelier « Lire un texte du patrimoine au cycle 3 ».

Après qu’ont été précisés les objectifs et les limites de l’expérimentation, les références à des travaux de chercheurs comme Goigoux et Cèbe, nous avons réfléchi ensemble sur les notions mathématiques rencontrées dans le texte, ou qui peuvent être évoquées à partir de sa lecture. Elles sont nombreuses et en effet correspondent très bien au cycle 3. Ensuite, nos animateurs nous ont questionnés sur les difficultés rencontrées, pour les élèves comme pour nous, à sa lecture. Ces analyses-là étaient déjà très intéressantes en elles-mêmes.

Puis nos trois collègues nous ont présenté leurs fiches de séquences, des fiches outils complètes, et des productions d’élèves, là aussi assorties de propositions d’analyse.

Quel en est mon bilan ?

Premier constat : des ateliers animés par des enseignants, c’est bien aussi… J’avais un peu tendance à sur investir les conférences,à tout miser sur les « stars de la recherche ». Hier, les travaux de ces collègues, comme de ceux de l’atelier de l’après-midi, m’ont vraiment beaucoup apporté. Les deux groupes nous ont présenté un travail pensé de façon profonde, précise, tourné vers les élèves, et étayé par des travaux concrets d’élèves. C’est agréable de rencontrer des formateurs qui ont l’expérience du terrain, qui peuvent décrire leurs observations concrètes. Cela m’a fait pas mal réfléchir quant à mon métier de formatrice (aux retours positifs, lorsqu’il y en a, des enseignants que je peux former. Je comprends mieux ce qu’ils veulent me dire) et à ce que j’ai pu écrire dans mon mémoire de CAFFA.

Deuxième constat : ce travail me laisse vraiment en pleine réflexion. En même temps que je le trouve intéressant (en plus, une activité maths-français qui en est vraiment une, c’est chouette) et que l’expérimentation en elle-même m’intéresse (j’aurais aimé avoir des tas de productions d’élèves devant moi pour m’y plonger et réfléchir), que je voudrais en savoir plus, je ne me vois pas déployer l’activité en classe, pour deux raisons. Je ferai abstraction, dans la suite, de l’argument que j’ai entendu hier dans les rangs des spectateurs : lire ce texte est impossible à des élèves de cycle 3. Je ne le crois pas. Cette lecture va prendre un temps très variable selon le public bien sûr, mais comme l’a dit hier Renaud Chorlay, c’est une question d’accompagnement. Et en effet, les fiches de travail font la part belle à la lecture, la compréhension du texte, la reformulation. Une autre remarque, faite par un inspecteur général présent, concernait la phase d’institutionnalisation, et m’a rappelé tout de suite une remarque similaire d’un de mes IPR la semaine dernière : quid de la trace écrite, de la reformulation de ce qu’on visait comme objectif ? Les élèves savent-ils ce qu’ils ont appris ? L’équipe qui présentait était passée par cette phase et n’a pas eu le temps d’approfondir, mais cette remarque de l’IG est vraiment très importante, en ces temps d’expérimentation d’activités interdisciplinaires. Évidemment que lorsque nous proposons une activité aux élèves, nous savons pourquoi et quels objectifs nous visons, mais il faut que ce soit explicite aussi pour eux.

Mes deux raisons à moi sont les suivantes :

  • Dans le texte, une des difficultés est que l’unité de mesure de longueur, le pied, est également utilisée pour mesurer les aires. Il me semble que les élèves de cycle 3 mettent difficilement du sens sur nos unités de mesure. Souvent, ils oublient le carré du mètre carré, le cube du mètre cube. Lorsqu’on leur demande de regarder leur résultat, ils corrigent la plupart du temps, mais généralement en s’appuyant sur leur mémoire plus que sur leur compréhension de la signification de ces unités : la prof elle vaut qu’on mette un deux pour les aires, alors je le mets. Mais ont-ils intériorisé pourquoi il faut « mettre le deux » ? Je crains vraiment que travailler avec des pieds de longueur et des pieds d’aire me gêne dans cette lente acquisition du sens des unités. Pourtant, nos intervenants ont expliqué que non, car ils ont explicité ce point avec les élèves. Les expressions « pieds de longueur » et « pieds d’aire » sont d’eux. Sur ce point, j’envisage tout à fait d’avoir tort. Mais je suis frileuse, pour le coup.
  • Deuxième point, le plus important pour moi : vers la fin de la séquence, on demande aux enfants de justifier que la figure obtenue en suivant les instructions de Socrate est un carré. Comme ils ne connaissent pas le théorème de Pythagore (nous sommes au cycle 3), ils ne peuvent pas démontrer. Ce qui est attendu d’eux est donc d’effectuer une vérification de façon instrumentée, avec l’équerre et la règle graduée, par exemple. Et là, ça coince pour moi : en sixième, j’essaie de faire glisser les élèves vers l’argumentation, de passer du perceptif au déductif. Or ici je ne suis pas en mesure d’invoquer les arguments qui seraient utiles. Ça m’embête fort, ça.

Reste que ce temps de formation est passé très vite, trop même, puisque j’aurais aimé des approfondissements et des prolongements. Et je pense utiliser ce support avec mes étudiants de master 2 l’année prochaine : il y matière à réflexion, et une réflexion de bonne qualité. Et puis écouter des collègues investis, motivés, qui travaillent en équipe, c’est revigorant.

 

 

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Beauty, art and mathematics

Une émission de la BBC (en anglais et sous-titrée en anglais mais c’est vraiment facile à comprendre) propose de suivre un artiste et critique, Matthew Collings, dans une promenade scientifique. Elle est tout à fait passionnante, et m’a permis de réfléchir sur l’art abstrait.

Matthew Collings se dit inculte en maths, autant que je le suis en art abstrait. Il n’y comprend rien, et moi non plus, même si ce n’est pas dans le même domaine. Mais il est curieux, et moi aussi. Alors il va voir des scientifiques. Il part sur les traces d’Einstein, Newton, rencontre des chercheurs qui lui parlent d’eux, et puis il met tout cela en regard de l’art abstrait : il propose un parallèle entre la révolution de la théorie de la relativité d’Einstein avec celle de l’art abstrait de Picasso.

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L’ouverture d’esprit de Matthew Collings est remarquable et il est intéressant à observer, dans sa posture, lorsqu’il comprend que ses représentations du monde ne sont pas scientifiquement justes. Il dit, lorsqu’on lui explique la relativité du temps « Si je comprends correctement cette équation, elle exprime quelque chose d’incroyable ». Nous sommes bien d’accord, et cette phrase répond à « mais madame à quoi ça sert les maths ? » d’un coup d’un seul. Dans l’émission (aux alentours de 33 minutes), il explique ce qu’il ressent face à tout ce qu’il découvre. Matthew Collings a beau ne pas avoir de pré-requis développés dans les domaines scientifiques, il décrit très bien l’excitation, l’émerveillement, le plaisir de la découverte et de la surprise, ce que plus tard Hawking nomme le « Eureka-moment ». Collings parle de « philosophie des équations », et on comprend ce qu’il veut dire : le plaisir de la découverte scientifique n’est pas réservé aux experts, et il en est la preuve. Il faut y être prêt et se départir de ses certitudes, ne pas avoir peur d’abandonner ses représentations, mais finalement ce sont des plaisirs accessibles à chacun.

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Dans la foulée, j’ai aussi découvert Paul Dirac, pour qui une théorie scientifique devait être belle pour qu’on puisse envisager qu’elle décrive la nature, et l’étudier. Stephen Hawking, lui, parle plutôt d’élégance, en en faisant un élément important et significatif mais pas forcément indispensable.

En conclusion, Matthew Collings explique sa vision de son art aux scientifiques. Et ce qui m’a frappée, c’est qu’il parle de modèle de la réalité. Un modèle que je ne parviens pas à comprendre, mais je comprends mieux ce qu’il veut dire par là.

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Denise Masvigner : son cahier

Mon mari m’a dégotté et offert un cahier. J’aime beaucoup les vieux cahiers de maths : on y apprend des tas de choses, sur l’époque, sur les gens, et puis c’est émouvant d’avoir entre les mains un objet s-dont on imagine qu’il a recueilli concentration, application, à une autre époque.
Après Josette, voici donc Denise.

La couverture du cahier : allégorie des mathématiques?

Denise Masvigner ne se présente pas, dans son cahier… J’ai farfouillé par-ci, par-là, mais je n’ai pas trouvé grand chose. Denise était en « 2ème année » en 1940-41, en « 3ème » en 1941-42. Ces dénominations de niveaux de classes ne correspondent pas à celles en usage en France à ce moment-là. Sans doute Denise était-elle belge : la 2ème année correspondrait alors à notre 4ème de collège, et elle aurait eu 13 ou 14 ans en 1940. Au vu du contenu du cahier, c’est possible. Denise aurait pu être l’une de ces jeunes filles…

Que raconte ce cahier ?

  • D’abord, il présente des tâches similaires de celles que nous enseignons à nos élèves, mais souvent avec un vocabulaire autre :

equimultiples 
Ca, je viens de la faire en cinquième…
la règle des signes
Le « produit en croix » (berk) 
calcul littéral 
l’apothème 
Thalès, sans Thalès.
J’avoue beaucoup aimer ce vocabulaire, ces formulations. j’ai bien conscience qu’il n’est plus possible de s’exprimer directement ainsi en classe, au risque de n’être compris de personne. Mais c’est si joli…
  • Il y a aussi ce qu’on ne fait plus :
Les mesures algébriques… Ce que j’aimais ça, au collège !
Allez, encore un peu démesurés algébriques, juste pour le plaisir. 
Les systèmes, disparus du programme actuel du collège
De la géométrie « à l’ancienne ».

  • Les pratiques pédagogiques :
Les correction sont apportées avec soin et en couleur. Mes élèves, eux, tiennent souvent à les porter en vert…
Le cahier contient une multitude de problèmes de ce type : des histoires de vitesses, de remplissage ou d’écoulement, etc.
Le cahier est vérifié et corrigé par l’enseignant 
Violent… 

Deux parties figurent dans le cahier : la première, l’algèbre
et la deuxième, la géométrie.
Concernant ces deux dernière photos, il est intéressant de remarquer que l’enseignant mène de front l’algèbre et la géométrie. Certains jours, il a étudié un peu des deux. La progression spiralée n’est pas une nouveauté… même si ici ce n’est pas vraiment spiralé. Mais il n’est manifestement pas question de ne travailler qu’un thème pendant une période continue.

C’est une petite merveille, ce cahier : parce qu’il est beau, avec une écriture, un soin qui sont remarquables, et bien loin des travaux de nos élèves actuellement (même si je suis la première à être très indulgente sur la forme, la propriété : je veux du fond bien plus que de jolis éléments de surface), et puis il est bourré de fautes, d’erreurs, de compréhensions erronées. Et ça, c’est vraiment intéressant. Je vais me pencher plus avant sur ces traces là : Denise semblait en difficultés, globalement, en maths, et on mesure dans son cahier comme elle essayait d’appliquer des recettes sans les comprendre. 
Et puis je vais rédiger un autre article aussi, sur les copies de Denise. Car je n’ai pas que son cahier, j’ai aussi des copies !