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% et camembert

Je reviens sur une question de cet exercice, que j’ai commenté dans l’article précédent : la question c.

C’est frappant comme ce que représente un pourcentage échappe à beaucoup d’élèves. Les réponses que j’ai obtenues pour cette question étaient toutes exprimées en grammes, au départ. Plusieurs élèves avaient répondu 24g, parce que c’est « le bout de la droite ». D’autres avaient répondu « ça dépend, parce qu’il y a plusieurs points sur la courbe », d’autres « on ne peut pas savoir parce que la droite (comprenez l’axe des ordonnées) va pas jusqu’à 100 ». Bien peu d’élèves avaient pensé à calculer l’image de 100.

Ceux qui l’ont fait sont passés par

  • l’image de 40 divisée par 10 et multipliée par 25,
  • l’image de 40 plus l’image de 40 plus la moitié de l’image de 40,
  • l’image de 80 multipliée par 10 et divisée par 8,
  • l’image de 160 plus l’image de 40 divisée par 2,
  • un élève ou deux ont eu l’idée de placer 100g sur l’axe des abscisses et de lire l’image, seulement.

Pourquoi si peu d’élèves ont-ils eu cette dernière idée, pourtant efficace ? A cause du « calculer » de la consigne. Ce « calculer » a fait que beaucoup de leurs camarades ont jugé cette démarche incorrecte. Pas dans l’idée, mais dans l’adéquation avec ce que la consigne attendait. J’ai trouvé le débat intéressant : « calculer » induit un calcul, certes. Mais dans tous les cas on s’appuie sur des lectures graphiques (les images de 40, de 80, etc.) et on peut considérer que place 100 à mi-chemin de la graduation 80 et de la graduation 10 est aussi le fruit d’un calcul. De plus, le fait de passer des grammes aux pourcentages est aussi une compétence liées aux nombres, même si’l y a là aussi du modéliser et du représenter. Alors moi, cela ne me choque pas.

Et vous, qu’en pensez-vous ?

https://eduscol.education.fr/document/17227/download
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Décomposer en produit de facteurs premiers un nombre premier

Une collègue m’a envoyé une question d’élève :

Si on considère : « Tout nombre entier positif strictement supérieur à 1 admet une décomposition unique (à l’ordre des facteurs près) en un produit de facteurs premiers », qu’en est-il des nombres premiers ? 
Lorsqu’on parle de produit, doit-il y avoir au moins deux facteurs (si oui, la formulation de la propriété pose donc souci pour les nombres premiers)?
Peut-on considérer que, comme ils sont premiers, ils sont « leur propre décomposition »? 

C’est vrai que cela pose question, à cause du pluriel : produit de facteurS premierS. Wikipedia, Gérard Villemin et d’autres encore répondent ceci :

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_produit_de_facteurs_premiers
http://villemin.gerard.free.fr/ThNbCo01/ThFoDemo.htm

Mais techniquement, quand j’écris 5=5, ce n’est pas un produit de facteurS premierS. Et je ne peux pas écrire 5=5×1 pour illustrer la propriété puisque 1 n’est plus premier, et que si on considérait qu’il l’est, la décomposition ne serait pas unique, comme un article d’Images des maths l’évoque :

http://images.math.cnrs.fr/Pourquoi-le-premier-nombre-n-est-pas-un-nombre-premier.html

Mais de ce fait, c’est tentant de chercher une formulation différente. Mais bon, c’est quand même une institution, ce théorème… J’ai cherché dans plusieurs manuels (dans l’ordre, le Maths Monde, le Livre scolaire, et le Sesamaths dont la définition pose souci à cause du 0 et du 1) :

Hé bien la question reste ouverte. Je suppose qu’en effet on considère qu’un nombre premier est sa propre décomposition, mais quand même c’est un peu embêtant pour les élèves, cette histoire. Ma preuve : la question vient d’un élève.

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Parler avec les mains, ça prend la tête !

Aujourd’hui je suis allée à mon premier cours de LSF. L’APEDAHN, association des Parents d’Enfants Déficients Auditifs de Haute Normandie, dispense des cours auxquels je me suis inscrite, avec deux de nos enfants. Hé bien j’ai un mal de chien à reproduire les mouvements : comme je confonds gauche, droite, haut et bas, tout ça, c’est très très difficile. Mais peut-être cela m’aidera-t-il à progresser de ce point de vue ! En tout cas je vais m’accrocher, car je voudrais enseigner à des élèves sourds.

Ce qui est vraiment très intéressant pour moi, c’est ce que j’éprouve devant la difficulté, psychologiquement et physiquement. Je lutte contre moi-même et je pense à mes élèves en difficulté dans ma classe.

Bon allez, dodo, car demain journée Brissiaud !

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Vers les algorithmes en cycle 3

Après la première séance appuyée sur le Turing Tumble, nous avons, avec mes élèves de sixième, avancé vers les algorithmes : ce que je cherche, c’est qu’ils sachent passer d’une représentation (ici physique, sur le Turing) à un algorithme écrit, et ensuite inversement. Nous avons donc repris la mission 1 et nous avons essayé de la mettre en mots. Finalement, j’ai trouvé l’opération plus simple que ce à quoi je m’attendais.

Evidemment, il a fallu échanger sur ce qu’on attendait : doit-on parler de la bille (« il faut écrire la bille elle tombe »), donner des instructions à l’utilisateur (« On met « attends parce que ça met du temps à arriver en bas »‘), ou décrit-on le processus du Turing ? Ce sont des questions compliquées, en fait, avec beaucoup d’implicite, levé par la pratique mais rarement en verbalisant de façon anticipée.

Une fois ces échanges avancés et du vocabulaire défini en grand groupe (tomber-basculer-glisser-aller sur une pièce verte…), les élèves ont proposé :

  • Basculer vers la droite
  • Basculer vers la droite
  • Basculer vers la droite
  • Basculer vers la droite
  • Basculer vers la gauche
  • Basculer vers la gauche
  • Basculer vers la gauche
  • Basculer vers la gauche
  • Basculer vers la gauche
  • Basculer vers la gauche

J’ai pris l’air très, très ennuyée pour leur dire que j’avais pas envie d’écrire tout ça… Immédiatement des élèves ont proposé : « on va dire « basculer quatre fois vers la droite », et j’ai apporté le « répéter ».

Mais là, il ne va rien se passer, ai-je renchéri… Mes billes sont là, en haut, coincées ! Alors des élèves ont réagi tout de suite :

-Faut dire « démarre ! »

-Non, on dit un truc comme « appuie sur le levier »

-On pourrait dire laquelle couleur ?

Nous sommes donc parvenus à ceci :

J’ai posé une dernière question : « mais est-ce que ça va s’arrêter ? » Les élèves m’ont répondu que oui, parce qu’il n’y a plus de billes bleues une fois que les 8 placées en haut sont tombées, et qu’alors le levier actionnera la roue mais comme aucune bille ne sera là pour continuer le cycle, hé bien cela s’arrêtera.

Ce n’est qu’un modeste début et je tâtonne, mais je pense que je vais pouvoir élaborer cette année un dispositif profitable pour les élèves, et efficace rapidement. Mais les activités que j’avais prévues cet été ne sont pas fonctionnelles. C’est trop difficile de passer tout de suite à la verbalisation pour les élèves, et comme ils avancent à des rythmes très très différents je ne peux pas tout gérer. Je les ai remballées vite fait !

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Objectif différenciation : lancement

J’ai préparé cet après-midi une vraie différenciation de l’évaluation de quatrième de la fin de la semaine : j’ai des élèves en très grande difficulté, et je veux les faire progresser. Alors je garde les mêmes thèmes, mais je propose des explicitations, des appuis et je décompose des questions. Je change des valeurs, je transforme des questions ouvertes en choix multiples. Je suis contente : c’est la première fois que je réussis à coller à l’évaluation ordinaire tout en donnant vraiment des possibilités de progresser et de continuer à apprendre aux autres. J’ai un regret : je ne le propose que pour quelques élèves que j’ai déjà repérés ou que je connais, et peut-être d’autres en auraient-ils besoin. Mais on. verra plus tard : je ne veux pas proposer non plus des contenus en-deça de ce que les élèves peuvent faire. Je veux les amener le plus haut possible.

J’ai hâte de voir ce que cela va donner. Je vous montrerai les deux versions, mais une fois que les élèves auront composé…

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Pyramide d’oranges

En sixième, nous avons traité du problème en vidéo de la pyramide d’oranges, déniché par Thomas Musard et mise en ligne par Arnaud Dudu. Les élèves ont très bien travaillé ; pour une fois je ne rentre pas en me disant que jamais-plus-jamais-je-ne-leur-proposerai-de-problème-en-autonomie.

Voici le problème : dans le cadre d’un jeu télévisé, un couple doit réalisé rapidement une pyramide à base carrée avec 204 oranges. Il leur faut anticiper le côté de la base, car sinon ils ne pourront pas la réaliser concrètement… De combien d’oranges est donc composé le carré du rez-de-chaussée de la pyramide ?

Sur 26 élèves, 5 ont trouvé la réponse juste, et une dizaine était bien engagée. Les autres ont vraiment cherché mais sont partis sur des pistes qui ne leur ont pas permis de conclure :

  • Plusieurs groupes se sont demandé combien il y avait d’oranges par cageot (les oranges sont mises à disposition aux candidats en trois cageots) ; ils ont supposé d’emblée que chaque cageot contenait autant d’oranges. Certains ont ensuite essayé de construire une pyramide par cageot, soit en se disant qu’ils les rassembleraient ensuite, soit en comptant multiplier par 3 le nombre d’étages obtenus pour une petite pyramide ;
  • Quelques élèves ont tenté des divisions, et se sont ramenés à un cube d’oranges (pas facile à faire tenir, d’ailleurs !) ;
  • Beaucoup d’élèves sont partis sur des dessins vus de face, et ont omis de tenir compte de la profondeur. Ils ont dessiné et imaginé des triangles d’oranges, en fait ;
  • Certains élèves ont calculé le périmètre de chaque carré-étage au lieu de l’aire.

Les élèves qui ont trouvé, et d’autres qui avaient envie de montrer leurs recherches, ont présenté leurs solutions. Trois sont partis de l’étage supérieur et on additionné au fur et à mesure jusqu’à trouver 204 orages. Deux autres ont compris qu’il fallait un carré parfait d’oranges pour chaque étage (sans le formuler ainsi) et ont fait des essais jusqu’à obtenir 204.

J’avais pas mal cogité, surtout que j’avais aussi échangé avec des collègues sur ce problème, quant aux possibilités de manipulation. J’ai finalement fait le choix de ne pas donner de matériel pour construire la pyramide : j’ai craint qu’ils ne s’engagent sur une approche expérimentale, alors que mon objectif pour ce jour-là était de développer l’anticipation et la modélisation. Mais en même temps, pour un élève qui a bloqué, cela aurait permis de le débloquer et peut-être de lui faire formuler des conjectures? D’un autre côté encore, si un élève manipule, les autres ont envie de manipuler aussi. Je ne suis pas sûre de mon choix. L’année prochaine je procèderai peut-être autrement pour voir ce qui varie.

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Grothendieck, Klein, Villani

Ma maman m’avait signalé un podacst de France Culture du 13 août 2022 : « Comment travaillent les mathématiciens ? Le cas d’Alexandre Grothendieck ». Comme aujourd’hui c’était jour de ménage, j’ai chaussé mes écouteurs et hop, j’ai écouté l’émission d’une traite. Je m’attendais à un enthousiasme relatif : on a tant parlé de Grothendieck que le sujet avait fini par me lasser (je sais que c’est à tort, qu’il est fascinant, mais voilà), l’invité d’Etienne Klein est Cédric Villani qui, lui aussi, a été surmédiatisé, et en fin d’année scolaire j’avais abusé des podcasts, j’en avais assez d’écouter des émissions sur les maths, la réforme du lycée, les piètres résultats des élèves français, tout ça tout ça.

Bref.

Ce matin, je m’armais de mes écouteurs et de de mes gants de ménage avec un état d’esprit différent de celui qui était mien en juin : j’ai préparé mes cours, pratiquement mis à jour les projets que j’avais pour l’été, rénové une maison, restructuré la nôtre, dormi, profité des personnes que j’aime, fait beaucoup de gâteaux, le bac de ma fille est passé, les garçons semblent se poser tout bien comme il faut, demain nous partons aux journées des maths en Belgique et en plus cet après-midi on joue aux héritiers et c’est moi qui masterise… Ma fille et moi avons prévu des tas de trucs chouette à manger et à jouer, ça va être un bon moment ! Alors j’étais bien détendue pour écouter cette émission.

J’ai vraiment beaucoup, beaucoup aimé.

Cédric Villani avait des choses très chouette à dire. Il ramène toujours beaucoup Théorème vivant sur le tapis, mais bon, il était dans le thème en même temps. Surtout, je l’ai trouvé juste, simple, et certains de ses mots pour décrire le travail du mathématicien m’ont touchée, même si je ne suis pas mathématicienne. Etienne Klein articulait bien l’émission, avec des lectures bien choisies. J’ai trouvé que le propos se baladait sur la ligne de crête délicate : on parle vraiment mathématiques et mathématiciens, en faisant référence à des savoirs que je n’ai pas parfois, mais sans que ce soit gênant. Le propos, de ce fait, c’est pas dissout ou vague. Cela faisait longtemps que j’avis ressenti cela, et c’est peut-être parce qu’Etienne Klein est lui-même scientifique. Et puis il y a des silences, dans l’émission. J’aime ça, moi, les silences, le fait que les personnes qui parlent puissent prendre le temps de poser leur souffle et de réfléchir à leurs mots.

Comme j’écoutais en nettoyant la baignoire ou en lavant le sol de la cuisine, je n’ai pas pu prendre de notes. J’ai essayé de retenir un passage pour tout de même le retranscrire.

J’essayais de rendre le problème plus abstrait. Ca c’est l’énoncé laplacien ? Allez, je vais pas dire que c’est un laplacien, je vais dire que c’est le carré d’un opérateur différentiel et je vais le prendre comme un opérateur abstrait. Ca c’est un opérateur différentiel ? Je vais oublier que c’est l’opérateur de transport et je vais dire que c’est un opérateur quelconque, je vais chercher des relations particulières entre eux, et de fil en aiguille, en rendant ça plus abstrait, la solution m’est apparue. Et la solution du problème abstrait, finalement est paradoxalement plus simple.

Cédric Villani

Ces observations sur le particulier et le général m’ont intéressée. L’exemple de Cédric Villani avec le théorème de Pythagore m’a d’ailleurs parlé. J’ai aussi maintenant très envie de lire des pages de Récoltes et Semailles, mais j’ai peur tout de même que ce soit trop difficile pour moi. Cependant, l’approche si particulière de Grothendieck dans le fond et surtout dans la forme est vraiment rendue alléchante dans l’émission.

L’expression « je me cassais la tête contre les murs » m’a marquée, aussi.

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Enseigner par projets

J’ai vu passer sur Twitter une mention d’un Edubref de l’Ifé sur l’enseignement par projets, qui date d’octobre 2019. L’année passée, je me suis vraiment lancée dans des projets d’envergure, très différents des mini-projets dont j’émaille mes année depuis longtemps. Cet Edubref m’a permis de confronter mes impressions à une référence plus solide et objective.

Quelle que soit la thématique du projet réalisé, le ou les objectifs d’apprentissage doivent être clairement définis et maintenus tout au long du projet pour éviter que la production finale ou le problème à résoudre ne soient finalement les seuls objectifs.(…)

Les compétences développées spécifiquement par les projets sont difficiles à évaluer en situation (Feyfant, 2011), mais les projets sont théoriquement à même de favoriser les compétences sociales (souvent les projets se font en coopération) et les compétences disciplinaires des élèves (réinvestissement des connaissances dans un contexte inédit). Ce double processus facilite une certaine structuration des connaissances tout au long du projet, à condition de laisser chaque
élève apprendre et avancer dans son projet à son rythme.
Les élèves doivent pouvoir acquérir l’habitude de se projeter, d’imaginer des solutions et de prendre des initiatives avant de se lancer dans de grands projets : les faire réaliser des projets de moindre envergure ou dans une seule matière scolaire peut d’abord être une manière de commencer à développer leur autonomie.

https://eduveille.hypotheses.org/files/2019/07/Edubref-octobre-2019.pdf

L’extrait que j’ai proposé ci-dessus ne résume pas le document, qui est si synthétique que mieux vaut vraiment le lire intégralement si le sujet vous intéresse. En tout cas, je m’y retrouve tout à fait. Pour ma part, je dois lutter contre la dérive techniciste. Heureusement mes élèves sont si créatifs et libres dans leur communication avec moi qu’ils m’en prémunissent.

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Multiplier et diviser avec des décimaux

Je suis une grande admiratrice de Joan Riguet. Je suis absolument émerveillée par son travail. Et ce que j’adore, c’est échanger avec Joan. Elle a toujours des questions-poil-à-gratter et des réponses top.

Aujourd’hui, Joan et moi avons échangé sur la division de décimaux en 6e. Voici ma trace écrite ; je veux bien vos avis aussi :

Je vais répondre par avance à quelques questions qui pourraient émerger :

  • Cette leçon a été posée dans le cahier de leçons en deux fois, découpée selon les photos, mais sur la même page ;
  • Avant cela, un problème nous avait amenés à une division de décimal par décimal. Comme les élèves ne savaient pas comment faire, j’ai proposé une division de décimal par entier (une complètement différente, sans lien avec le problème) et les élèves ont réactivé, en groupe, et certains ont présenté une méthode. Ensuite, nous sommes revenus à la division de décimal par décimal, et comme nous avons déjà vu la multiplication de décimaux, certains élèves ont eu l’idée. Ils ont partagé, tout le monde a essayé et ça a bien cafouillé (avec des bonnes réponses, mais ce n’était pas très clair). J’ai synthétisé et nous nous sommes entraîné en écrivant bien les équivalences d’opérations. Ensuite j’ai demandé aux élèves ce qui était important de garder dans le cahier et j’ai écrit sous la dictée ou en recopiant les exemples proposés par la classe, qu’ils avaient résolus au tableau. Certains ont copié en même temps que moi, d’autres préféraient recopier à la maison à partir de la leçon déposée sur Pronote, et pour d’autres encore j’ai amené la trace photocopiée la fois suivante ;
  • La division en bas à droite est une demande d’un élève, qui voulait savoir comment on transposait l’égalité de la division euclidienne dans un tel cas. Je n’avais pas prévu de traiter cela.
  • Le remarque en fin de première photo est aussi une demande d’un élève.

Voici la photo de la leçon sur la multiplication :