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Les représentations initiales du nombre décimal en sixième

Question, ce matin, à mes élèves : c’est quoi pour vous un nombre décimal ?

Voici leurs réponses (le son n’est pas bon, je dois trouver un autre moyen d’enregistrement) :

Avant d’en arriver là, nous avons étudié la construction des entiers, en début d’année, et nous avons bien exploré les fractions, décimales et non décimales. Après cet échange, je leur ai présenté Stevin et sa notation révolutionnaire. Il faut dire qu’il est fort, ce monsieur, quand même. Les élèves étaient très attentifs : ils adorent qu’on leur raconte des histoires, et celle de la virgule, ils ne la connaissaient pas du tout.

La prochaine fois, on enchaîne sur l’analyse de la construction du décimal, des activités sympas pour réfléchir et l’utilisation du glisse-nombre.

En attendant, leurs réponses sont tout à fait intéressantes et vont nous servir de fil rouge dans la séquence : à peu près tous les freins ont émergé, dont un que je n’attendais pas forcément : le sens du signe égal. Devant ce que j’écris au tableau pour illustrer ce que me dit un élève, « 2 = 2,00 », des élèves pensent que les deux nombres sont décimaux, d’autres que les deux nombres ne sont pas décimaux, d’autres encore que l’un est décimal et pas l’autre (malgré l’égalité, ce qui interroge sur le sens qu’ils lui donnent), et certains pensent que cela dépend de comment on regarde (2, il est entier mais il est pas tout à fait entier non plus).

On a aussi dans les propos des élèves « ajouter des zéros », la confusion dizaine-dixième, l’idée de transformer en fraction, et bien sûr la représentation « un décimal c’est un nombre à virgule ».

A moi de travailler tout cela pour faire bouger les représentations (et pas la virgule).

 

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Evaluer des brouillons pour visiter des cerveaux (5)

Dernière analyse pour le moment (un peu bâclée, il faut que j’aille en cours) : j’avais choisi cinq premiers brouillons de la pile, au hasard, pour voir si j’avais des analyses à formuler sur tous. Manifestement oui. je me demande maintenant si j’en aurais autant à dire sur chacun des autres… Je suppose qu’il y aurait des redondances, mais je suis surprise de la variété de ces cinq productions piochées aléatoirement.

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  • L’élève a compris le principe de proportionnalité : 3 mois-3 minutes, 1 mois-1 minute.
  • Ensuite, l’élève se met à la recherche d’un jour. Alors il divise systématiquement par 2 : 1mois, 15 jours, 7,5 jours (pourquoi ×12 heures ?), 3,25 jours, et un essai inabouti par manque de temps pour diviser encore par deux. Ainsi, il a du mal à élaborer une stratégie anticipée. Il espère que « ça va bien tomber ». Mais il ne procède que par division et ne bidouille pas par addition ou soustraction comme cela arrive parfois.
  • Diviser 3,25 par 2 pose problème, ce qui est matérialisé par les fiches et le petit rond au-dessous du 5. L’élève a divisé 3 par 2, a écrit 1,5, et a dû se poser ensuite la question de quoi faire de ce « ,25 » entouré et fléché. Il est probable qu’il conçoive le décimal comme la concaténation de deux entiers, et qu’il envisage séparément partie entière et « nombre formé par la succession des décimales ».
  • Comme l est troublé, élève cafouille entre ses calculs de jours et ses calculs de secondes.
  • Les égalités ne sont pas légales. Le signe « = » est utilisé comme un mot de liaison. C’est très fréquent jusqu’en cinquième, et bien difficile à éliminer, comme mauvaise habitude, même bien après.
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Evaluer des brouillons pour visiter des cerveaux (4)

Quatrième production :

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  • Voici un élève qui a besoin de la représentation pour réfléchir. Ce qui est bien, c’est qu’il a trouvé un moyen par lui-même de représenter la situation. En revanche, c’est chronophage et aboutit à une conclusion fausse.
  • Les données importantes sont indiquées en haut : 3 minutes, 3 mois. En bas, 3 minutes sont converties en secondes, par addition itérée.
  • L’élève « écrit son mois » et case dedans les secondes d’avance de mon horloge. À chaque seconde, un petit point. Il va au bout, sans se tromper dans le dénombrement, tout à fait absorbé dans sa tâche : représenter de façon exhaustive lui permet d’avoir quelque chose à faire, l’impression de faire des maths, de répondre à mon exigence d’engagement intellectuel. Même si ce n’est pas forcément le cas. Mais l’élève est de bonne foi, veut montrer qu’il est avec moi, dans la classe de maths.
  • L’élève a « écrit son mois » et perd de vue qu’il y en a trois, des mois. Il case ses secondes dans l’espace d’un mois et conclut que « la voiture » avance de 6 secondes par jour, en donnant du sens au schéma, en faisant le lien avec la question posée, en cherchant à coller aux exigences scolaires classiques avec une phrase de conclusion, mais les trois mois ont disparu.
  • Le recours à la division n’apparaît pas du tout. À aucun moment la modélisation n’est engagée. Je vais en discuter avec l’élève pour voir si en m’expliquant il franchit ce pas.

 

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Evaluer des brouillons pour visiter des cerveaux (3)

Troisième production :

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  • On constate immédiatement un contraste absolument saisissant avec les autres bouillons : l’écriture est soignée, le document parfaitement propre et structure (un trait pour séparer les différentes zones), la consigne est recopie et une phrase de conclusion figure.
  • Pour passer des mois aux jours et des minutes aux secondes, les calculs ne sont pas indiqués : la démarche est transparente pour l’élève.
  • La division est posée. Je lui demanderai pourquoi. Je pense qu’il est capable de donner le résultat sans la poser, mais la technique de la division doit encore être fragile en sixième, et à nouveau la poser est une façon d’avoir un support visuel structuré.
  • Le sens est sonné avec la réponse, assortie de son unité.
  • Cet élève est très appliqué, très anxieux, et très soucieux de se conformer à des normes, parfois imaginées d’ailleurs. Il ne parle pas français depuis très longtemps.  Et sa production est la plus propre et rédigée de mes 56 productions… J’aimerais qu’il se détende et s’autorise une réflexion plus « naturelle ». Mais je suis totalement admirative devant la volonté, les intelligences et la rigueur de cet enfant. Si j’avais vécu sa vie, aurais-je été capable de ça ?
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Evaluer des brouillons pour visiter des cerveaux (2)

Deuxième production :

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  • L’investissement ce cet élève m’est d’abord paru insuffisant. Mais en réfléchissant, je me suis aperçue qu’il était identique à ce lui de l’élève de l’article précédent. C’est la même chose, simplement il a posé une division qui lui a demandé moins de travail. Mais c’est intéressant, car je me serais bien énervée sur la pauvreté de la trace, et ç’aurait été injuste au regard de l’autre production. Évaluer est donc aussi utile pour prendre nos perceptions plus objectives (mais jamais complètement bien entendu)
  • L’élève commence comme le précédent, et comme beaucoup : passer de trois mois à 90 jours (il était entendu que nous considérions des mois de 30 jours). Puis il divise 90 jours par 180 (secondes, manifestement). La division est posée, mais cela ne sert pas à grand-chose excepté d’avoir un support visuel : l’arc au-dessus du 90 indique que l’élève s’est appuyé sur ce visuel, mais il ne fait figurer aucune étape.
  • L’élève n’indique pas de phrase de conclusion, ne met pas en valeur un des nombres obtenus. Il n’y a pas non plus d’unités. Tout comme le précédent, on peut se demander s’il a mis du sens sur son calcul, sur son résultat.
  • Le choix de l’opération montre que l’élève a dû percevoir que dans ce type de problème, il y a une question de répartition, et que l’opération adaptée est sans doute la division. Poser une opération rassure : on a fait quelque chose, on a fait des maths, on a été actif, on montre une compétence calculatoire. Mais en divisant 90 par 180 l’élève montre surtout qu’il n’a pas mené son raisonnement correctement, par manque de compétence ou par précipitation par exemple.

 

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Evaluer des brouillons pour visiter des cerveaux (1)

J’ai raconté ici la question que j’ai posée à mes sixièmes mercredi, et l’évaluation d’un point de vue collectif.

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Voyons aujourd’hui quelques analyses individuelles : que m’apprennent les productions de mes élèves ?

Je vais reprendre l’analyse de ces productions avec mes élèves, en classe, lundi.

Production 1

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  • Cet élève commence par calculer 30×3, en ligne. Il a compris que je demande « par jour » et qu’il peut être utile de convertir les mois en jours. Il place ce calcul de départ en haut à gauche, sans doute car c’est vraiment son point de départ.
  • Ensuite, cet élève pose une division : 3÷90. Cela me laisse penser qu’il a compris la consigne, l’enjeu, qu’il veut faire 90 paquets de quelque chose en fractionnant 3 en parties égales. Il se lance dans la division. Dans 3, il n’y a pas 90 unités. Il surmonte le fait de devoir s’engager dans les décimaux et poursuit. Dans 30, il n’y a toujours pas 90 unités. Il en est à 0,0. Là, il se trompe et fait apparaître un nouveau 0. Il faut que je voie avec lui pourquoi, à quel moment il s’est trompé. Je me demande si ce n’est pas au tout début en fait, au moment où il est passé des entiers aux décimaux, qu’il en aurait écrit deux, des 0.
  • On peut remarquer qu’à un moment donné, l’élève a besoin de calculer 90×3, et il le pose. Pourtant il avait calculé 30×3 en ligne. Ça aussi, je vais lui demander pourquoi. À mon avis, il calcule 30×3 par addition itérée, et 90×3 serait plus pénible à effectuer à cause des retenues dans l’addition stérée, alors il pose. Mais a-t-il compris qu’il calculait 3 fois 9 dizaines ?
  • L’élève poursuit, et constate que le reste est toujours le même. Il complète alors son quotient par des 3 successifs, en terminant par des points de suspension. Il sait que l’écriture décimale comporte une infinité de 3.
  • Une fois ceci fait, l’élève me dit « j’ai fini madame, j’ai trouvé, c’était facile ! » et me rend sa feuille. Sauf qu’il n’y a ni indication de la réponse à la question (je ne demandais pas de rédaction, mais j’avais spécifié que je voulais pouvoir facilement comprendre quelle était leur proposition de réponse), ni unité pour donner du sens. Comment l’élève interprète-t-il le résultat ? C’est 0,003333… quoi ? Est-ce bien la réponse à la question ? Il s’est arrêté là parce qu’il a trouvé « un nombre », parce qu’il a posé une opération. Mais il n’est sans doute par revenu à la question pour valider, vérifier sa proposition. A-t-il seulement conscience que c’est d’une mesure de temps qu’il parle ?

Je saurai lundi.

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Mots et maux (1)

Question, en quatrième :

Est-il possible de trouver trois entiers successifs dont la somme est égale à 156 ? Décris ta démarche pour justifier ta réponse.

Sur chaque table, je pose un enregistreur.

Groupe 1 :

L’un des élèves propose à l’autre de diviser 156 par 3. Son camarade lui fait remarquer qu’on pourrait d’abord vérifier que 156 est multiple de 3. l’autre lui répond « Tu veux dire est-ce que 156 est divisible par 3 ? ». Oui, il veut dire ça. Ils additionnent les chiffres qui composent 156, parce que « si ça ne marche pas, c’est pas la peine de se galérer ». 1+5+6=12, « zut, ça marche. Bon on pose ». Jusque là, je bois du petit lait : ils emploient les mots « multiple », « divisible », se parlent, travaillent vraiment ensemble, se souviennent du critère de divisibilité par 3, cherchent à optimiser leur démarche et planifient. Bonheur.

Ils posent, ils trouvent 52. Ils restent à contempler ce résultat, perplexes.

  • « Elle en veut trois, des entiers. On lui met quoi d’autre ? »
  • « Bah chais pas. Pourquoi elle en veut trois ? »
  • « Chais pas. On choisit quoi pour que ça fasse 156 ? »
  • « Ce que tu veux ».
  • « Comment on va savoir si ils sont successifs ? »
  • « Bah j’en sais rien. Ça dépend de la prof ».

Là, ils m’appellent.

  • « Madaaaaaaaaame ! On met quoi comme nombres successifs ? »
  • « Comment ça vous mettez quoi ? Vous en êtes où là ? »
  • « Bah on a trouvé 52 parce qu’on a divisé par 3, et donc on en a un successif, mais les autres on voit pas comment dire c’est quoi. »
  • « 52 c’est un nombre successif ? »
  • « Oui, forcément, on a divisé. il est bon, lui, on est sûrs ».
  • « Mais bon c’est vous qui le trouvez successif, nous bof ».
  • « Ça veut dire quoi, pour vous, que 52 est successif ? »
  • « Vous le trouvez bien, c’est un bon nombre. »
  • « Un bon nombre ? Pourquoi c’est un bon nombre ? »
  • « Bah c’est vous, hein, nous franchement, on le trouve pas super, enfin pas plus qu’un autre »
  • « Ok. Que signifie successif ? »
  • « Qui a du  succès ! »

Jamais on ne m’avait proposé ça. Mais cette année, c’est la deuxième fois. C’est quand même bizarre.

A mon injonction d’aller chercher mon ami dico, mes deux élèves ont râlé, ronchonné, renâclé… Et puis ils ont compris :

  • Aaah, d’accord, par exemple 52 et 52,1 c’est des entiers successifs !

Ca a pris un peu de temps, forcément : il a fallu réactiver ce qu’est un nombre entier, et réfléchir à l’idée de successeur dans l’ensemble des décimaux, quand même.

Mais c’était super intéressant.