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Message aux parents de mes élèves

Madame, monsieur,

Comme je vous l’avais annoncé dans un précédent message, je vous propose une deuxième semaine de classe ouverte, à l’occasion de la semaine des mathématiques, du lundi 9 mars au vendredi 13 mars. Pendant toute la semaine, et en suivant l’emploi du temps de mathématiques de votre enfant, vous aurez la possibilité de venir en classe avec nous. À la différence de la semaine du numérique, celle-ci se fera dans notre très jolie classe, et vous pourrez observer et participer à notre quotidien mathématique, comprendre comment nous travaillons, goûter au plaisir d’apprendre et de réfléchir tous ensemble.

J’espère que vous répondrez à notre appel, car il est important que la classe soit ouverte sur l’extérieur, que parents et enseignants se connaissent et se comprennent ; vos visites nous font évoluer, les élèves et moi.

Vous pouvez, en répondant à ce message, en m’écrivant directement, en m’envoyant un mail, me prévenir de votre venue, et ce jusqu’à la veille du cours concerné.

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Résoudre des problèmes en cycle 1 (avec du M@ths en vie dedans)

Pendant cette période, je suis allée souvent en maternelle. C’est bien, car cela manquait à mon répertoire d’action. En particulier, j’ai travaillé sur des problèmes. Mais comment amener des élèves de maternelle à travailler à la résolution de problème, sans recours à l’écrit, avec des rapports sociaux en construction et un lexique de petit enfant ?

Voilà ce que j’ai proposé aux collègues, et je suis contente de la mise en oeuvre. Il s’agit d’une modalité de problèmes épistolaires, mais au sein de la même école (ou pas, d’ailleurs) :

Etape 0 : je projette ou j’affiche une photo issue de M@ths en vie, choisie parce qu’elle me donne plusieurs idées de consigne de problème. Par exemple, de l’algorithmique :

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Ou bien de la géométrie :

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Ou des nombres et du calcul :

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Étape 1 : je demande aux enfants de décrire, le plus précisément possible, ce qu’ils voient. En général, ils font émerger le vocabulaire nécessaire, et aussi du vocabulaire qui n’est pas bien adapté, ce qui est tout aussi intéressant. Ils évoquent beaucoup les couleurs, et, surtout, ils inventent et brodent. Et ça, c’est la première partie de mon travail, en termes d’objectifs : leur faire comprendre que nous allons faire des mathématiques, inventer des consignes que nous proposerons à la classe d’à côté, et que pour ça, il va falloir être explicite. Oui, en maths on imagine et on crée, mais si on veut inventer des questions qui feront réfléchir les copains, il va falloir se plier à quelques règles, histoire de se comprendre les uns les autres.

Cette étape ressemble à une usine à gaz. Ca patine, on avance, on régresse, on réavance, on formule, reformule et re-reformule les contraintes et les objectifs, et au final ça marche et l’enseignant et moi sommes tout heureux. Mais ça prend un temps vraiment important, en tout cas pour qui n’est pas habitué aux classes de cycle 1. Ce n’est à mon avis pas du tout du temps perdu : les échanges, s’ils ne sont pas uniquement mathématiques, portent justement sur le langage, les interactions entre les enfants, sur les normes scolaires et sur ce que sont les mathématiques, et tout ça est utile et nécessaire. Et c’est la vie de l’enseignant, particulièrement en cycle 1 : éveiller, faire apprendre la vie dans son ensemble.

Étape 2 : les enfants proposent des consignes. S’ils n’ont pas d’inspiration ou n’osent pas, on peut en proposer, nous les grands, avec des consignes valides et d’autres invalides. Cela libère bien la parole. Et ensuite, une fois les propositions listées, on catégorise. Qu’est-ce qu’on garde, qu’est-ce qu’on remise ? Qu’est-ce qui correspond à un problème de maths ? Parfois une proposition de consigne donne un problème sans solution, ou à multiples solutions. Souvent, on garde : ce sera un matériau riche pour les élèves et l’enseignant de la classe réceptrice.

Étape 3 : une fois les problèmes choisis, on les résout. Par groupe, en général, après une phase de recherche individuelle. En une fois ou en plusieurs fois, mais en tout cas les enfants sont lancés, et ils commencent à adorer ça : non pas les problèmes (comme dirait Gad El-Maleh), mais résoudre des problèmes.

Étape 4 : c’est presque terminé : les problèmes sont construits, formulés, résolus. On les hiérarchise, du plus simple au plus complexe. Les enfants ne sont pas toujours d’accord entre eux, mais surtout ils me font comprendre ce qu’ils ressentent comme difficile. Ca, c’est très très intéressant.

Étape 5 : on apporte nos problèmes aux copains.Ils les résoudront eux-mêmes, et nous renverront leurs solutions, et leurs commentaires. Puis nous nous rassemblerons, pour synthétiser, et réfléchir encore une fois aux deux questions : c’est quoi faire des mathématiques ? C’est quoi, un problème, en mathématiques ?

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Nos histoires de palindromes

Le 2 février dernier, nous étions les 02/02/2020, ce qui, écrit en succession directe de chiffres, constitue un joli palindrome : 02022020.

J’avais sauté sur l’occasion et proposé ceci à mes élèves de sixième :

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Je leur ai proposé le 3 février (le lundi), et je voulais le corriger avec eux le vendredi. Et puis, une chose en entraînant une autre, nous n’avons pas eu le temps. Mais aujourd’hui, mes trois classes m’ont réclamé de revenir sur cette histoire de palindromes, et c’était manifestement pressant. Alors nous avons débattu. Plusieurs choses m’ont frappée :

  • Alors que cette tâche était facultative, non évaluée, sans rendu spécifique, énormément d’élèves avaient cherché. Ils avaient leurs petites notes, leurs traces de recherche dans le cahier d’exos ou de brouillon, c’était très chouette ;
  • Beaucoup avaient mobilisé papa ou maman, comme je le leur avais suggéré ;
  • Ils avaient réfléchir de manière très organisée, j’en suis restée baba. Je vais même attribuer le Graal du degré de compétence, le carré bleu, à plusieurs élèves qui ment scotchée ;
  • Nous avons travaillé activement sur cette tâche, et été vraiment en activité mathématique. Heureusement que je n’ai pas loupé cette belle occasion !

Alors, que m’ont-ils dit ? Citations d’élèves :

  1. « Un palindrome, c’est une idée de symétrie, et on peut tracer un axe pour voir le milieu. Mais c’est pas de la vraie symétrie, parce que les chiffres ils sont pas dessinés à l’envers. C’est une symétrie pour montrer voir ce qu’on va entendre de pareil. » Je vous avoue que j’adore leurs formulations.
  2. « En 2 020, il ne peut y avoir qu’un palindrome, parce que quand à droite du trait droit (ndlr : l’axe de symétrie) on écrit une année, on n’a pas le choix de ce qu’on écrit à gauche. Donc ça fait un seul palindrome par an, et encore, on n’est pas sûr qu’il soit bon ».
  3. « Il n’y a pas un palindrome tous les ans, parce que les deux derniers chiffres de l’année donnent le numéro du jour à l’envers. Mais du coup ça fait des chiffres des unités d’année avec 1, 2, 3 sauf en février parce qu’il y a que 28 ou 29 jours, et sinon ça peut pas« . Ouhaou, bravo.
  4. « 2 021 ça marche, avec 12022021. 2 022 aussi il y aura un palindrome, le 22 février. Et 2 023 déjà ça marche plus parce que 32 jours dans un mois ça existe pas« .
  5. « Donc la réponse à vot’ question c’est le palindrome de 2 021, et ensuite celui de 2 022, mais après il faut attendre forcément 2 030 parce que les unités au-dessus de 3 pour l’année c’est pas possible. »
  6. « Mais 2 030 ça marche avec le 03/02/2 030. Et ce qui est drôle madame, c’est que comme on a passé dix ans, ça fait passer un jour par rapport au nôtre, de palindrome. Ça veut dire que le 4 février 2 040 ça marchera aussi« .
  7. « Et moi j’ai trouvé autre chose : sur les années qui commencent par « deux mille », ce sera forcément soit en février, soit en décembre, les années de palindromes, parce que le mois doit se finir par un 2.« 

Non mais franchement, c’est pas le bonheur, ça ? Des élèves motivés, avec tous des choses à dire, qui jouent avec les chiffres. Pas un seul pour me prendre pour une gentille hurluberlue, avec mes années palindromiques.

Ou alors ça ne se voyait pas du tout.

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La baleine : pour finir, on décolle !

Cette dernière partie est adressée au cycle 3.

Les objectifs :

  • Travailler la notion de proportionnalité ;
  • Développer et consolider le vocabulaire et le langage mathématique ;
  • Aborder les fractions ;
  • Approcher la fraction comme le nombre qui, multiplié par b, donne unités.

Étape 1 :

A partir des activités précédentes, et en particulier la n°4, on proposera aux enfants de représenter différemment la comparaison, par exemple, baleine à bosse/requin. Les enfants proposeront sans doute qu’une baleine à bosse est aussi longue que trois requins, qu’il y a « trois requins dans une baleine à bosse ». Peut-être le mot triple émergera-t-il, ce qui serait facilitant pour la suite. Mais alors comment compléter la phrase « à l’envers » : un requin est aussi long que « quoi » par rapport au requin ? Si les enfants n’ont pas recours au mot « tiers », on pourra passer par la comparaison baleine à bosse/baleine bleue, dont le coefficient est de 2 ou , pour les amener ou leur faire découvrir ensuite le mot tiers, en le liant bien au 3 par réversibilité.

On peut ensuite entraîner les enfants sur d’autres comparaisons, selon le type de fraction que l’on souhaite utiliser.

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Étape 2 :

Le travail précédent permet de travailler la fraction sous l’angle de « parts ». Mais on peut aller plus loin pour commencer à faire comprendre aux enfants que la fraction est un nombre, engagé dans des relations numériques.

On va d’abord insister sur le fait que « le requin est aussi long qu’un tiers du requin » signifie non seulement que si on « coupe » le requin en trois, on obtient la longueur d’une otarie, mais aussi que si on considère trois fois une otarie, on obtient la longueur d’un requin. C’est intellectuellement très différent, car on quitte les représentations de parts coloriées pour s’engager vers :

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ce qui constitue un attendu de fin de cycle 3, mais peut être travaillé plus en amont pour faciliter la compréhension et s’inscrire dans la continuité des apprentissages.

Étape 3 :

On peut faire réfléchir les enfants sur la base d’autres exemples : la longueur d’une loutre, c’est 2/5 de la longueur d’un lamantin (on reste dans les fractions simples). Cela signifie que 5 loutres auront la même longueur que 2 lamantins :

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Encore une fois, cette activité permet d’approcher la fraction comme elle le sera en classe de sixième ; il ne s’agit pas d’exigibles à l’école, mais de préparer la suite des apprentissages et d’insister sur le fait qu’une fraction est une écriture d’un nombre.

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La baleine (4) : de la proportionnalité

Les objectifs :

  • Travailler la notion de proportionnalité ;
  • Travailler la notion d’agrandissement-réduction ;
  • Calculer dans une situation de proportionnalité ;
  • Développer et consolider le vocabulaire et le langage mathématique ;
  • Résoudre des problèmes.

Le déroulement de l’activité :

On propose aux enfants un questionnement de ce type :

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Volontairement, la comparaison baleine à bosse-orque et la comparaison orque-dauphin ne sont pas l’une en dessous de l’autre : le but n’est pas de montrer aux enfants que la baleine à bosse est longue comme six dauphins, mais qu’ils parviennent, d’une façon ou d’une autre, à le calculer.

Différentes stratégies vont être utilisées par les enfants : utiliser le matériel plastifié, représenter en dessinant (il faudra éviter que cela s’éternise, car dessiner des animaux marins n’est pas un exercice mathématique), représentant en s’engageant dans un début de modélisation (les animaux sont représentés par des disques ou des rectangles), calculer.

Sur la photo de l’ardoise à craie, on notera que l’élève qui a répondu a plus ou moins posé une opération (dont le signe n’apparaît pas), et ce après avoir répondu « 6 ». L’utilité de l’addition posée peut être interrogée dans ce cas ; cette activité permet donc naturellement, en fonction des réactions des enfants, d’aborder d’autres points didactiques.

Au moment de la mise en commun, il sera intéressant d’expliciter la proportionnalité, sans la nommer forcément, puisqu’elle n’apparaît pas dans les programmes et attendus de cycle 2. Au cycle 3 on pourra la nommer explicitement en revanche. On pourra amener les enfants à réfléchir au pourquoi du bien-fondé de leur 3+3 ou de leur 3×2 : comme l’a dit un élève d’une classe qui a testé l’activité, « ça ne marche que parce que tes orques elles sont pareilles tout le temps, et aussi les dauphins et tout. Si les animaux ils n’étaient pas pile les mêmes, on pourrait pas ». C’est précisément une idée de proportionnalité qui est formulée ici, et cela revient aussi sur l’idée d’étalon.

Ce sera également l’occasion de parler d’agrandissements-réductions : la baleine à bosse est 6 fois plus longue que le dauphin, le dauphin est 6 fois plus court que la baleine à bosse.

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La baleine (2) : le geste de mesurage

Deuxième étape : réfléchir et faire réfléchir au geste de mesurage, qui lui aussi peut, si on n’y prend pas garde, contenir beaucoup d’implicite et ne pas permettre aux enfants de construire des représentations mathématiques solides dans le domaine Grandeurs et mesures.

Les objectifs:

  • Travailler le geste de mesurage ;
  • Utiliser des unités non usuelles ;
  • Développer et consolider le vocabulaire et le langage mathématique ;
  • Donner du sens au concept de « mesure ».

Étape 1 :

On reprend à partir de la page des loutres, en questionnant les enfants : que peut bien vouloir dire que ces loutres mesurent-elles une baleine à bosse ? On veut faire émerger deux idées :

  • Pour mesurer, il faut que les représentations des unités choisies soient alignées (on prépare à l’usage de la règle, avec son bord droit, mais on donne aussi du sens à l’usage de la bande de papier et à la manipulation de la ficelle) ;
  • Pour mesurer, il faut que chaque unité soit identique. Ainsi, les loutres doivent être toutes de la même taille et dans des positions identiques pour pouvoir mesurer la baleine à bosse de façon sensée. Cette réflexion me permet de poser au tableau des loutres dans des échelles différentes, en boule ou « allongées », et d’en débattre : qu’allons-nous choisir pour travailler ? J’en profite pour expliquer aux enfants que moi-même, j’ai dû réfléchir et travailler à obtenir des loutres-unités utilisables, comparables.

Étape 2 :

On organise un débat avec les élèves : comment va-t-on positionner les animaux les uns par rapport aux autres ? La question de pose particulièrement pour des animaux tels que le requin, dont la queue est « incurvée ». Il faut donc définir une procédure.

En ce qui nous concerne, nous avons défini, comme annoncé en activité 1, que nous mesurions du bout du nez à l’extrémité de la queue. Nous avons ainsi indiqué des pointillés pour représenter la taille des animaux. Certains enfants ont préféré l’usage d’une ficelle. Par la suite, nous avons décidé de recourir à des rectangles d’une taille adaptée pour y inscrire chaque animal : cela nous a permis de les placer « à la queue leu leu » plus facilement, en laissant les animaux sur les rectangles. Par la suite, certains enseignants ont choisi d’abandonner les rectangles au profit des animaux seuls, d’autres ont choisi d’abandonner les animaux pour avancer dans une représentation modélisante, et d’autres enfin ont conservé les animaux dans leurs rectangles.

Étape 3 :

On reprend l’étape 3 de la partie 1, mais avec tous les animaux, y compris des animaux de tailles proches : qu’est-ce qui est le plus long : la baleine à bosse ou la tortue ? Le dauphin ou la méduse ? Le lamantin ou le requin ? On superpose les animaux ou on les « aligne » à partir d’un point défini (nez ou queue).

Une petite synthèse pour clore cette activité : pour comparer deux objets, la comparaison directe, lorsqu’elle est possible, est efficace et simple.

Nos bases sont toutes posées : maintenant que tout est en place, faisons éclore la compréhension pour aller jusqu’à l’abstraction, et la modélisation.