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Du CAPES à la troisième, belle continuité

Hier et aujourd’hui nous avons fait réviser les élèves, en troisième, pour le DNB. Nous avons rencontré cette question :

Un élève a justifié ainsi : « non, car il faut mettre au même dénominateur pour additionner deux fractions. » Cette justification m’a embêtée : certes, additionner deux fractions nécessite un dénominateur commun. Pour autant, dans ce cas précis, ç’aurait pu marcher quand même. Mon élève a donc vérifié que ce cas ne fonctionnait pas et m’a demandé si je pensais possible de trouver des cas où « ça marche ». Alors nous avons modélisé cette condition. On s’est bien amusés et j’ai pu mesurer comme certains de nos élèves de troisième atteignent un niveau remarquable grâce au travail de mes collègues.

C’était vraiment chouette!

ce qui est rigolo, c’est que c’est la somme des cancres que j’ai corrigée au capes!

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Madame, c’est grave bien

Aujourd’hui, en sixième, nous avons fait une séance grave bien, à en croire Mathieu. Il s’agit de deux heures consacrées au volume. Nous avons déjà étudié les solides, et dans les grandeurs les périmètres et plus tard les aires, avec une réflexion assez approfondie sur les unités d’aires. J’ai beaucoup fait écrire des phrases du type « ABCD a une aire de 15cm², car 3cm×5cm=15cm² », en demandant à chaque fois aux élèves d’expliquer pourquoi « cm² ». J’ai été plus insistante que jamais, sur ce point : « c’est au carré car on est en deux dimensions », « c’est carré parce qu’on multiplie des cm par des cm », me répondent en général les élèves. Auparavant nous avions beaucoup travaillé sur Escher et les perspectives, pour jouer avec les dimensions. Là, entre jours fériés et CAPES qui approchent, j’espérais aller vite. Mais pour que j’aille vite, il faut que les élèves comprennent. Je me refuse à aller vite sans eux. Hé bien l’essai est transformé : en deux heures ils ont été tout à fait compétents pour résoudre les exercices que j’avais prévus. Je suis très contente.

Nous avons donc commencé par construire une suite de pailles d’un mètre. Je l’ai bien montrée aux élèves pour qu’ils visualisent, en associant ce mètre à la règle du tableau, à un grand pas d’adulte.

Ensuite, j’ai demandé aux élèves comment me faire une idée de ce qu’est un mètre carré. D’abord, certains m’ont dit qu’il faudrait multiplier les pailles dans ma main par une autre enfilade de cinq pailles, mais qu’ils ne voyaient pas comment faire. Cela a donné l’idée aussitôt à d’autres : c’est mètre carré en référence au carré, construisez un carré de côté 1m madame. Alors j’ai construit un carré d’un mètre de côté. À nouveau, nous l’avons exhibé à toute la classe, pour que chacun « comprenne » bien 1m² et se conserve cette représentation mentale bien au chaud. Pour favoriser cette appropriation, je demande toujours aux élèves si cela leur semble plus grand ou plus petit qu’ils ne se l’imaginaient, 1m². Très souvent c’est plus grand que ce qu’ils pensaient.

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Et ensuite, comment visualiser 1m³ ? Là, ça a été vite : « il faut ajouter une dimension », « il faut construire un cube de 1m de côté », « il faut monter le carré sur 1m », « il faut faire des tranches de surface qu’on empile », etc. Un peu de reformulation, et zou.

Ensuite, série de questions : pourquoi « 1m³ », reprise du vocabulaire associé (sommets, faces, arêtes, et si je regarde dans ma tête une face, sommets, côtés ; et puis si je regarde les côtés du carré, segments, extrémités), trouvez-vous ça grand ou petit, tout ça.

Nous avons ensuite abordé les unités de volume et leurs correspondances avec les unités de capacité. C’est allé assez vite, car les élèves étaient vraiment prêts et ont transposé ce qu’ils avaient compris sur les unités de longueur et d’aire. Nous avons passé un moment, comme régulièrement, sur la polysémie du mot solide (nom commun/adjectif, maths/SPC). Sur les conversions, nous avons parlé tableau : un tableau est-il indispensable ? (Non !) Écrit-on les virgules dans un tableau de conversions ? (Non!!!) Et les élèves m’ont expliqué pourquoi naturellement, impec). Pourquoi est-ce délicat de faire se correspondre unités de volumes et unités de capacité ? Pourquoi a-t-on le droit de le faire, mais quels sont les points de vigilance ? (Jongler entre unités simples et unités composées demande d’avoir bien conceptualisé…)

Une élève m’a demandé comment on écrirait la conversion de 500km³ en mm³. Nous l’avons fait, mais elle m’a alors dit : « il doit y avoir un autre moyen, non, pour écrire ça ? C’est trop long pour obliger de faire ça en maths ». Et d’autres : « ah bah oui, et les gens qui font de l’astronomie, genre ! » Magnifique ! J’ai donc évoqué la notation scientifique, et une autre élève m’a dit « mais moi un jour j’ai vu pareil, mais avec des moins. Je me demande ce que ça voulait dire ». Irrésistible… Je n’ai pas pu faire autrement que d’aborder de loin une réponse à sa question.

Nous avons traité ensuite plusieurs exercices avec une belle efficacité, avec un rythme qui m’a plu : tout le monde était bien dedans, à « qui veut aller au tableau », j’avais beaucoup plus de volontaires que de réservés.

Enfin, nous avons travaillé la trace écrite pour conserver une belle institutionnalisation.

J’ai aimé cette double séance, car j’ai atteint mes objectifs, non pas en emmenant les élèves, mais en les suivant. J’ai eu l’impression de récolter là ce que j’avais patiemment semé toute l’année, et cela m’a satisfaite. Et puis des élèves m’ont fait de belles sorties, de nature variable : « c’est trop grave bien madame », dit sur le ton du garçon qui vient de comprendre quelque chose d’important, « mais en fait madame j’y pense là d’un coup, les surfaces ça n’existe pas vraiment, en fait on parle toujours de choses en 3D, c’est juste dans notre tête ? », « en fait madame, c’est hyper logique que les unités de volume aillent de mille en mille, c’est parce qu’elles vont de 10×10×10 en 10×10×10 ! », « 1m³ c’est super grand, on pourrait mettre dix Gaspard dedans ! », etc.

Comme vraiment ils avaient super bien bossé, ces loulous, et qu’il me restait 5 minutes, je leur ai projeté le grand zoom, histoire de leur laisser un petit souvenir de la notation scientifique pour dans deux ans, et surtout histoire de leur parler un peu d’univers, sujet qui les passionne.

Et après ça, ça a sonné. Ils ont râlé, mais ont couru vers la cantine. Parce que quand même, il y a des priorités, entre les frites et l’univers.

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Sens, sourire et bouts de ficelle

Aujourd’hui, formation interdegré, moment de partage, avec mon collègue formateur, avec les collègues venus nous écouter… L’interdegré, c’est bien une réalité, et le schmilblick avance, avec le sourire et des neurones en action, pour nos élèves.

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« Il y a des mots qui ne se disent pas, même pour rigoler »

Un rapport est paru, relayé par le Café Pédagogique, qui « présente en la matière plusieurs témoignages, affligeants et édifiants. Il analyse aussi les processus qui, à l’Ecole, mènent à la haine. (…) Dans une société encore très hétéronormée qui ne reconnaît que deux sexes et rejette l’idée de non-binarité, les LGBTphobies frappent celles et ceux qui ne correspondent pas à l’image attendue« .

La campagne du ministère de l’Education Nationale est là, avec des témoignages de jeunes.

Et nous, enseignants, nous nous devons en effet d’être clairs et attentifs. « Pédé », c’est un mot qui ne se dit pas, point. J’ai quelques élèves qui ont bien du mal à l’assimiler. Je crois qu’un nouvel affichage va venir habiller ma classe.

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Les agents secrets de Mathcity en action !

Aujourd’hui, c’était le vernissage de notre jeu de CE2-CM1, Les agents secrets de Mathcity. Pour l’occasion, nous avions de la visite, de la CPC et de la coordo, qui nous ont consacré du temps. Belle réussite à tous égards de ce jeu, que les enfants ont su expliquer aux adultes qui le découvraient, et qui les a maintenu en activité mathématique bien réelle pendant la séance.

Les groupes ont effectué des rotations pour pouvoir varier les jeux et que tous jouent à leur jeu. Cela m’a permis de faire des parties de 6 qui prend, de Digit, de Pig 10 avec les enfants. J’ai perdu à tout mais comme me l’a dit un élève, « c’est parce que t’as pas la pensée positive. Aujourd’hui c’est moi qui l’a, la pensée positive. » Forcément, si la pensée positive est déjà prise…

Chez moi·Cycle 3·En classe·Question de grand·Séquence

Et après les légos ?

Une collègue m’a posé une question qui va ouvrir ma journée : qu’est-ce qui vient après la séance légos ? En particulier, comment se mène le passage de la  fraction à l’écriture décimale ?

Alors alors alors. Je reprends mon plan de séquence et mon cahier de textes.

C’est la plus longue séquence de l’année. Elle me permet de traiter les fractions, les nombres décimaux, les pavés droits, les pourcentages, la perspective cavalière. Nous enfonçons aussi assez fort le clou de l’arithmétique, car pour manipuler des fractions, il faut que certains automatismes soient intégrés. Cette séquence est d’autant plus longue qu’elle est ponctuée d’événements, de rallyes, et que des incises sur d’autres thèmes s’y glissent.

Pour bien comprendre comment ça fonctionne, une petite précision avant tout sur ce qui est venu avant : j’attaque la séquence légos en janvier, et avant nous avons étudié pas mal de choses, dont :

  • les unités de longueur, avec l’histoire du mètre
  • les moitiés/doubles, tiers/triples, quarts/quadruples, dixième/décuples au travers de problèmes, sans notations de fractions
  • les entiers et la décomposition décimale (avec utilisation du glisse-nombre pour multiplier, diviser par 10, 100, 1000, convertir des unités simples)
  • les estimations et les approximations
  • le calcul mental : des rituels d’entrée en classe, des rituels de début de séance, des Défi Tables, des entraînements à la course aux nombres, …
  • la proportionnalité, quant à son sens : savoir reconnaître des situations de proportionnalité et des situations de non proportionnalité
  • la division euclidienne, et l’arithmétique (critères de divisibilité, nombres premiers).

Tout ceci est important pour pouvoir dérouler la suite. Nous avons étudié d’autres notions et concepts, mais sans influence directe sur les fractions et les décimaux.

Voici mon plan de séquence sur fractions et décimaux. Entre parenthèses, ce qui ne concerne pas le thème :

Séance 1 :

  • (correction d’exercices sur le point étude précédent)
  • (Plickers sur l’arithmétique pour réactiver)
  • Activité légos, avec recherche individuelle, confrontation en groupe, débat sur les différents types d’écriture

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Séance 2 :

  • Rallye Castor-Algorea

Séance 3 :

  • Correction collective du premier tableau
  • (alarme incendie)
  • Un nombre peut s’écrire d’une infinité de façons
  • Débat sur la pertinence de chaque écriture
  • Début de la leçon

Séance 4 (en demi-classe) :

  • Réactivation en arithmétique, car je vais avoir besoin que tout ça soit bien
    automatisé : Divisibox dans Arithmética
  • Crible d’Erathostène
  • Jeu des nombres premiers dans Arithmética

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Séance 5 :

  • Interro flash sur les écritures d’un même nombre, en particulier les %
  • Reprise des conclusions des élèves sur la pertinence des écritures d’un nombre
  • Fin de la première partie de la leçon
  • Suite de l’activité et synthèse sur la « fraction nombre » : 2/7 est le nombre qui, multiplié par 7, donne 2 unités »

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  • Automatismes liés à la « fraction nombre »

Séance 6 :

  • (problème de l’horloge de voiture)
  • Correction des exercices et réactivation sur la fraction nombre
  • Avez-vous vu l’erreur sur les fractions, des Dudu
  • Recherche d’exercices, toujours pour automatiser, et pour s’engager dans des tâches complexes pour ceux qui y sont prêts

Séance 7 :

  • Correction des exercices
  • Evaluation flash rigolote
  • Fin de l’activité des légos (troisième partie) avec les sommes de fractions et les simplifications qui en découlent, naturellement
  • Suite de la leçon
  • Recherche d’exercices, différenciés

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Séance 8 :

  • Correction des exercices
  • Corde à linge sur les fractions
  • Début de l’histoire des décimaux : de l’Egypte Antique au 16e siècle, les fractions décimales s’imposent. Je n’aborde pas du tout les contenus qui utilisent ou évoquent la virgule à ce stade. Je m’appuie sur le document de Nicolas Pinel, le tailleur.

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Séance 9 :

  • (entrainement à la course aux nombres)
  • Exercices d’automatismes sur les décompositions en fractions décimales
  • Histoire de la virgule : diapo sur Stevin et l’apparition de nouvelles écritures, jusqu’à la virgule chez nous

Séance 10 (en demi-classe) :

  • Correction collective du jeu de carte et trace écrite de référence
  • Présentation du glisse-nombre, qui sera à partir de là à disposition pour chaque élève
  • Leçon sur les écritures « à virgule » et sur les décimaux, et distinction des deux : un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous dorme de somme de fractions décimales. 1/3 n’est pas un nombre décimal (retour sur la division et lien avec la période de la partie décimale), 6/5 est un nombre décimal.
  • Recherche de la dernière partie, les dominos

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Sur cette séance, on va loin, mais ça passe plutôt bien. Les élèves sont prêts.

Séance 11 :

Séance au CDI : décimaux et classification des documentaires, classification de Dewey

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Séance 12 :

  • (rallye IREM)

Séance 13 :

  • Correction des dominos
  • Début de la partie %

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Séance 14 :

  • Correction des exercices sur les %
  • Réactivation du concept de la proportionnalité
  • (lancement d’une activité sur la démonstration en géométrie)

Séance 15 :

Séance 16 :

  • (entrainement à la course aux nombres)
  • Présentation de l’activité « A better World »

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  • Réflexion en classe, et ce sera à présenter sur feuille et à me rendre
  • (suite de l’activité de démonstration)

Séance 17 (en groupe)

  • Activité : les solides
  • Leçon sur le pavé droit
  • Pavé droit et cube ?
  • Diapo sur l’oeuvre d’Escher

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Séance 18 :

  • (course aux nombres)
  • Leçon sur la perspective cavalière
  • Reprise et synthèse collective de l’activité « A better World »

Séance 19 :

  • Leçon sur les pourcentages
  • Les patrons d’un pavé droit : activités et leçon
  • Qu’est-ce qu’un agrandissement en maths ?

Séance 20 :

  • (Rallye Maths’n Caux)

Séance 21 :

  • Réactivation des agrandissements-réductions avec le problème des tasses
  • Correction des exercices ; cette séquence-fleuve est terminée !

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Mon π-day à moi

Aujourd’hui, séance de découverte de π dans chacune de mes classes de sixième. C’est une séance tout à fait classique dans son déroulé, mais que j’aime, car les élèves sont en même temps inventifs, intéressés et apprennent quelque chose de vraiment nouveau. Mais je me suis aperçue que mes objectifs et mon message avaient évolué, depuis le début où j’animais cette séance. C’est donc pour moi l’occasion de faire le point.

Voici comment se déroule la séance :

L’introduction

J’explique que nous allons découvrir quelque chose de nouveau et d’ébouriffant. Je prends un des objets que j’ai ramenés de la maison, comme le couvercle de la poêle, et j’annonce que je vais demander aux élèves de mesurer le diamètre et la longueur du cercle que porte cet objet. « Comment ? » me demandent mes élèves ; « Débrouillez-vous, il y a du matériel sur la table et si vous avez besoin d’autre chose, vous pouvez me demander ».

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« Lorsque vous aurez vos deux mesures, vérifiées par un camarade, vous viendrez me les dire et je les noterai dans un tableur. Ensuite nous les traiterons et nous réfléchirons ensemble. Essayez d’être hyyyyper précis. »

L’explicitation du vocabulaire, qui mène à des concepts

Avant de démarrer toutefois, petit rappel : je demande aux élèves ce qu’est un cercle, ce qu’est la longueur du cercle et ce qu’est un diamètre. La définition du cercle est vite réglée, mais nous l’avons beaucoup travaillée. La longueur intrigue, mais c’est vite plié aussi. Pour le diamètre, je sais que bien qu’étudié depuis longtemps, le mot pose problème. Voici les réponses que j’ai obtenues aujourd’hui sur une de mes séances :

  • C’est la moitié du rayon
  • C’est un trait qui touche le cercle
  • C’est une ligne qui passe par le milieu
  • C’est le double du rayon
  • C’est la distance entre deux points dans le cercle
  • C’est une ligne droite qui touche le cercle au début et à la fin et qui passe par le milieu.

Première étape : étudier ensemble chacune de ces formulations pour dégager une définition cohérente, exacte et formulée correctement. C’est toute une aventure, déjà : au travers de ces propositions on a des abords en termes de mesure (moitié/double/distance) et des abords géométriques (trait/ligne). Nous abordons explicitement la question de la nature mathématique du diamètre, et aujourd’hui une de mes classes a fait le lien avec les angles et la hauteur, dans la catégorie mots mathématiques polysémiques. Pour des élèves de sixième, j’ai trouvé ça très très bien. Comme quoi aller loin vaut le coup. Car derrière ces questions de langage se jouent des questions très conceptuelles.

La mise en oeuvre

Je laisse quinze-vingt minutes aux élèves, et j’observe leurs méthodes. Aujourd’hui, j’ai vu différentes stratégies :

  • mesurer à la ficelle, la longueur mais aussi le diamètre ;
  • utiliser la règle pour mesurer le diamètre, mais aussi la longueur, en décrivant des tangentes successives ;
  • utiliser un feutre pour faire rouler l’objet et marquer la trace sur une feuille ;
  • utiliser le compas pour trouver le centre et en déduire le diamètre ;
  • tracer le contour de l’objet sur une feuille, coller la ficelle tout du long, à la colle ou avec du scotch, puis la mesurer ;
  • coller de la patafix tout partout et appliquer dessus le mètre-ruban ;
  • inventer un dispositif de pied à coulisse ;
  • placer des points rapprochés (l’élève en a marqué une quarantaine), tracer un polygone et mesurer le périmètre du polygone, puis conserver la valeur obtenue.

Le bilan de la mise en oeuvre

Nous avons repris rapidement les stratégies, mais nous y reviendrons lors de la prochaine séance pour certaines, comme pour celle du polygone, car je me sers de cette méthode moi-même pour arriver à une valeur approchée de π. Globalement, c’est surtout l’occasion que chacun me dise comme un cercle est différent d’un polygone, reformule la définition du cercle (en particulier pour ceux qui utilisent le compas), et la première comparaison apparaît d’elle-même : la longueur est toujours « beaucoup » plus grande que le diamètre.

Je crois que mon objectif à cette étape est que les élèves comprennent de façon profonde le cercle, qu’ils le « vivent ».

Le traitement des données

J’affiche les mesures obtenues par les élèves. Je n’affiche que les trois premières colonnes, et je demande aux élèves ce que nous pourrions bien en faire. Si cela ne vient pas (ça arrive), je leur demande s’ils pensent possible de trouver un lien calculatoire entre diamètre et périmètre. Aujourd’hui, ils voulaient d’abord trouver une constante additive.  Comme ça ne marchait pas, ils ont réfléchi différemment et le « triple, enfin pas loin » a émergé, suivi de près par le concept de proportionnalité. Alors je demande aux élèves de faire apparaître le rapport, pour chaque objet. Ils proposent une division, énoncent la formule à entrer en D2, et suggèrent un copier-glisser. L’utilisation du tableur est réactivée, impec.

 Voici une des séries, extraordinairement précise :

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Habituellement, j’ai des séries moins précises. Aujourd’hui, c’était magique. Les élèves ont vu la proportionnalité, et semblent avoir bien accepté les variations dues aux erreurs de mesure. Un élève, qui n’en pouvait plus de se taire depuis le début de la séance, a enfin pu déclarer avec emphase : « c’est π, en fait, ça devrait faire trois-quatorze partout ! ».

Avant de poursuivre, nous discutons précision : finalement, qu’est-ce qui fait qu’une mesure est proche ou « trop » imprécise ? Nous étudions l’impact d’erreurs de mesure assez mineures sur la valeur du rapport obtenu. Cela nous montre comme les manipulations sont délicates, et comme expliquer est plus intéressant que juger.

π, le coefficient de proportionnalité

Nous revenons alors sur ce que nous venons de découvrir, et que je confirme aux enfants : en effet, le diamètre et la longueur du cercle sont proportionnels, et le coefficient de proportionnalité est un nombre qu’on note π et qu’on appelle pi. C’est pas dingue, ça ? Si, les élèves semblent partager mon émerveillement. J’ai en face de moi une intensité de regard extraordinaire. Les questions fusent : comment on sait combien ça fait ? Qui a trouvé ça le premier ? Comment on le calcule ? Est-ce qu’on peut le calculer, d’ailleurs ? Pourquoi on l’écrit comme ça ? Pourquoi ce signe-là et pas un autre ? Est-ce que l’aire du disque elle sera aussi proportionnelle au diamètre ? Mais tout ça, à part « pourquoi ce signe-là », c’est pour les deux prochaine séances. Je l’explique, mais toutes les questions sont notées pour être bien sûrs de n’en oublier aucune par la suite.

Et là ça ne rate jamais : des élèves remarquent des affichages sur π, et qu’il y a « beaucoup de chiffres » sur ces affichages. C’est le moment de regarder le mur du fond de la classe.

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π, nombre d’une nature inédite

Sur le mur du fond, il y a les premièrs chiffres significatifs de π, dessinés par mes élèves des trois premières années où j’étais dans cet établissement : 3, la virgule et les 475 décimales suivantes. Mais voilà, ce n’est que le début, car nous pourrions continuer à l’infini… Je me lance alors dans la première explication (il y en aura d’autres dans la semaine à venir, puis des réactivations) quant à la nature de π. Quand je demande aux élèves quels types de nombres ils connaissent, ils me citent les entiers, les décimaux et les fractions. Alors je leur explique que π appartient à une autre famille encore : ils sont bien d’accord, π n’est pas entier. Pourquoi n’est-il pas un nombre décimal ? « Parce qu’un nombre décimal, ça se termine à un moment donné ». Et pourquoi n’est-ce pas une fraction ??? J’ai toujours quelques élèves pour répondre comme aujourd’hui : « parce que quand on fait la division d’une fraction, ça se répète, et là ça a pas l’air ». Ce moment-là, c’est mon moment d’évaluation à moi : ai-je bien travaillé cette année ???

Evidemment, ce ne sont pas des preuves. Mais les élèves eux-mêmes comprennent ma démarche sur l’année : « c’est pour ça que vous nous avez dit tout ça, c’est pour qu’on arrive à comprendre aujourd’hui ? » Bin oui, j’avais un plan. Le fait qu’ils parviennent à faire ces liens est pour moi une grande satisfaction, comme le fait qu’ils cherchent à comprendre mes chemins pédagogiques et didactiques : ils savent qu’il y a une logique, et c’est important.

A suivre…

Nous nous quittons sur des promesses : il nous reste des tas de choses à apprendre sur π, et particulièrement quoi en faire pour résoudre des questions mathématiques. J’évoque les ouvrages sur π de la bibliothèque de travail, souvent empruntés aussitôt, des affichages qu’il nous faudra évoquer, l’utilisation de la calculatrice, les éléments d’histoire que nous allons aborder. Tout un programme !

Conclusion

Si on se réfère au triptyque manipuler-verbaliser-abstraire, on est bien dedans :

  • manipuler pour comprendre au sens kinesthésique du terme, pour percevoir le problème, pour FAIRE des maths, les lier au concret, pour s’engager différemment, pour prendre des initiatives ;
  • verbaliser pour s’engager vers la conceptualisation, pour développer le lexique, pour insister sur la précision du vocabulaire, pour corriger des erreurs de représentations mentales, pour expliciter, pour réactiver, pour échanger, pour ouvrir sur de nouvelles questions, pour catégoriser…
  • abstraire : cette séance, et même cette séquence, permet de revenir un objectif majeur pour moi : réfléchir vraiment à la nature des objets mathématiques, comprendre, accepter et jouer avec leur nature « mentale ». Assumer cette abstraction, la revendiquer, car elle est l’essence des mathématiques : que nous discutions de ce qu’est un diamètre, de l’existence physique ou intellectuelle du cercle ou que nous nous interrogions sur la nature du nombre π, nous faisons vraiment des maths. Et c’est aussi pour cette raison que cette séance plaît tant aux élèves : nous allons loin, ils le savent. Ce ne sont d’ailleurs pas les élèves en difficulté « régulière » qui peinent le plus : on touche à des concepts, et tous peuvent s’engager s’ils s’en donnent la peine. Et comme ils sont curieux et qu’ils se laissent emmener par mon enthousiasme, ils s’en donnent la peine, pour une grande majorité en tout cas (j’évalue ce qu’ils ont retenu, la fois suivante).

Allez, juste pour le plaisir :