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« Il y a des mots qui ne se disent pas, même pour rigoler »

Un rapport est paru, relayé par le Café Pédagogique, qui « présente en la matière plusieurs témoignages, affligeants et édifiants. Il analyse aussi les processus qui, à l’Ecole, mènent à la haine. (…) Dans une société encore très hétéronormée qui ne reconnaît que deux sexes et rejette l’idée de non-binarité, les LGBTphobies frappent celles et ceux qui ne correspondent pas à l’image attendue« .

La campagne du ministère de l’Education Nationale est là, avec des témoignages de jeunes.

Et nous, enseignants, nous nous devons en effet d’être clairs et attentifs. « Pédé », c’est un mot qui ne se dit pas, point. J’ai quelques élèves qui ont bien du mal à l’assimiler. Je crois qu’un nouvel affichage va venir habiller ma classe.

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Les agents secrets de Mathcity en action !

Aujourd’hui, c’était le vernissage de notre jeu de CE2-CM1, Les agents secrets de Mathcity. Pour l’occasion, nous avions de la visite, de la CPC et de la coordo, qui nous ont consacré du temps. Belle réussite à tous égards de ce jeu, que les enfants ont su expliquer aux adultes qui le découvraient, et qui les a maintenu en activité mathématique bien réelle pendant la séance.

Les groupes ont effectué des rotations pour pouvoir varier les jeux et que tous jouent à leur jeu. Cela m’a permis de faire des parties de 6 qui prend, de Digit, de Pig 10 avec les enfants. J’ai perdu à tout mais comme me l’a dit un élève, « c’est parce que t’as pas la pensée positive. Aujourd’hui c’est moi qui l’a, la pensée positive. » Forcément, si la pensée positive est déjà prise…

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Et après les légos ?

Une collègue m’a posé une question qui va ouvrir ma journée : qu’est-ce qui vient après la séance légos ? En particulier, comment se mène le passage de la  fraction à l’écriture décimale ?

Alors alors alors. Je reprends mon plan de séquence et mon cahier de textes.

C’est la plus longue séquence de l’année. Elle me permet de traiter les fractions, les nombres décimaux, les pavés droits, les pourcentages, la perspective cavalière. Nous enfonçons aussi assez fort le clou de l’arithmétique, car pour manipuler des fractions, il faut que certains automatismes soient intégrés. Cette séquence est d’autant plus longue qu’elle est ponctuée d’événements, de rallyes, et que des incises sur d’autres thèmes s’y glissent.

Pour bien comprendre comment ça fonctionne, une petite précision avant tout sur ce qui est venu avant : j’attaque la séquence légos en janvier, et avant nous avons étudié pas mal de choses, dont :

  • les unités de longueur, avec l’histoire du mètre
  • les moitiés/doubles, tiers/triples, quarts/quadruples, dixième/décuples au travers de problèmes, sans notations de fractions
  • les entiers et la décomposition décimale (avec utilisation du glisse-nombre pour multiplier, diviser par 10, 100, 1000, convertir des unités simples)
  • les estimations et les approximations
  • le calcul mental : des rituels d’entrée en classe, des rituels de début de séance, des Défi Tables, des entraînements à la course aux nombres, …
  • la proportionnalité, quant à son sens : savoir reconnaître des situations de proportionnalité et des situations de non proportionnalité
  • la division euclidienne, et l’arithmétique (critères de divisibilité, nombres premiers).

Tout ceci est important pour pouvoir dérouler la suite. Nous avons étudié d’autres notions et concepts, mais sans influence directe sur les fractions et les décimaux.

Voici mon plan de séquence sur fractions et décimaux. Entre parenthèses, ce qui ne concerne pas le thème :

Séance 1 :

  • (correction d’exercices sur le point étude précédent)
  • (Plickers sur l’arithmétique pour réactiver)
  • Activité légos, avec recherche individuelle, confrontation en groupe, débat sur les différents types d’écriture

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Séance 2 :

  • Rallye Castor-Algorea

Séance 3 :

  • Correction collective du premier tableau
  • (alarme incendie)
  • Un nombre peut s’écrire d’une infinité de façons
  • Débat sur la pertinence de chaque écriture
  • Début de la leçon

Séance 4 (en demi-classe) :

  • Réactivation en arithmétique, car je vais avoir besoin que tout ça soit bien
    automatisé : Divisibox dans Arithmética
  • Crible d’Erathostène
  • Jeu des nombres premiers dans Arithmética

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Séance 5 :

  • Interro flash sur les écritures d’un même nombre, en particulier les %
  • Reprise des conclusions des élèves sur la pertinence des écritures d’un nombre
  • Fin de la première partie de la leçon
  • Suite de l’activité et synthèse sur la « fraction nombre » : 2/7 est le nombre qui, multiplié par 7, donne 2 unités »

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  • Automatismes liés à la « fraction nombre »

Séance 6 :

  • (problème de l’horloge de voiture)
  • Correction des exercices et réactivation sur la fraction nombre
  • Avez-vous vu l’erreur sur les fractions, des Dudu
  • Recherche d’exercices, toujours pour automatiser, et pour s’engager dans des tâches complexes pour ceux qui y sont prêts

Séance 7 :

  • Correction des exercices
  • Evaluation flash rigolote
  • Fin de l’activité des légos (troisième partie) avec les sommes de fractions et les simplifications qui en découlent, naturellement
  • Suite de la leçon
  • Recherche d’exercices, différenciés

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Séance 8 :

  • Correction des exercices
  • Corde à linge sur les fractions
  • Début de l’histoire des décimaux : de l’Egypte Antique au 16e siècle, les fractions décimales s’imposent. Je n’aborde pas du tout les contenus qui utilisent ou évoquent la virgule à ce stade. Je m’appuie sur le document de Nicolas Pinel, le tailleur.

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Séance 9 :

  • (entrainement à la course aux nombres)
  • Exercices d’automatismes sur les décompositions en fractions décimales
  • Histoire de la virgule : diapo sur Stevin et l’apparition de nouvelles écritures, jusqu’à la virgule chez nous

Séance 10 (en demi-classe) :

  • Correction collective du jeu de carte et trace écrite de référence
  • Présentation du glisse-nombre, qui sera à partir de là à disposition pour chaque élève
  • Leçon sur les écritures « à virgule » et sur les décimaux, et distinction des deux : un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous dorme de somme de fractions décimales. 1/3 n’est pas un nombre décimal (retour sur la division et lien avec la période de la partie décimale), 6/5 est un nombre décimal.
  • Recherche de la dernière partie, les dominos

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Sur cette séance, on va loin, mais ça passe plutôt bien. Les élèves sont prêts.

Séance 11 :

Séance au CDI : décimaux et classification des documentaires, classification de Dewey

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Séance 12 :

  • (rallye IREM)

Séance 13 :

  • Correction des dominos
  • Début de la partie %

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Séance 14 :

  • Correction des exercices sur les %
  • Réactivation du concept de la proportionnalité
  • (lancement d’une activité sur la démonstration en géométrie)

Séance 15 :

Séance 16 :

  • (entrainement à la course aux nombres)
  • Présentation de l’activité « A better World »

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  • Réflexion en classe, et ce sera à présenter sur feuille et à me rendre
  • (suite de l’activité de démonstration)

Séance 17 (en groupe)

  • Activité : les solides
  • Leçon sur le pavé droit
  • Pavé droit et cube ?
  • Diapo sur l’oeuvre d’Escher

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Séance 18 :

  • (course aux nombres)
  • Leçon sur la perspective cavalière
  • Reprise et synthèse collective de l’activité « A better World »

Séance 19 :

  • Leçon sur les pourcentages
  • Les patrons d’un pavé droit : activités et leçon
  • Qu’est-ce qu’un agrandissement en maths ?

Séance 20 :

  • (Rallye Maths’n Caux)

Séance 21 :

  • Réactivation des agrandissements-réductions avec le problème des tasses
  • Correction des exercices ; cette séquence-fleuve est terminée !

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Mon π-day à moi

Aujourd’hui, séance de découverte de π dans chacune de mes classes de sixième. C’est une séance tout à fait classique dans son déroulé, mais que j’aime, car les élèves sont en même temps inventifs, intéressés et apprennent quelque chose de vraiment nouveau. Mais je me suis aperçue que mes objectifs et mon message avaient évolué, depuis le début où j’animais cette séance. C’est donc pour moi l’occasion de faire le point.

Voici comment se déroule la séance :

L’introduction

J’explique que nous allons découvrir quelque chose de nouveau et d’ébouriffant. Je prends un des objets que j’ai ramenés de la maison, comme le couvercle de la poêle, et j’annonce que je vais demander aux élèves de mesurer le diamètre et la longueur du cercle que porte cet objet. « Comment ? » me demandent mes élèves ; « Débrouillez-vous, il y a du matériel sur la table et si vous avez besoin d’autre chose, vous pouvez me demander ».

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« Lorsque vous aurez vos deux mesures, vérifiées par un camarade, vous viendrez me les dire et je les noterai dans un tableur. Ensuite nous les traiterons et nous réfléchirons ensemble. Essayez d’être hyyyyper précis. »

L’explicitation du vocabulaire, qui mène à des concepts

Avant de démarrer toutefois, petit rappel : je demande aux élèves ce qu’est un cercle, ce qu’est la longueur du cercle et ce qu’est un diamètre. La définition du cercle est vite réglée, mais nous l’avons beaucoup travaillée. La longueur intrigue, mais c’est vite plié aussi. Pour le diamètre, je sais que bien qu’étudié depuis longtemps, le mot pose problème. Voici les réponses que j’ai obtenues aujourd’hui sur une de mes séances :

  • C’est la moitié du rayon
  • C’est un trait qui touche le cercle
  • C’est une ligne qui passe par le milieu
  • C’est le double du rayon
  • C’est la distance entre deux points dans le cercle
  • C’est une ligne droite qui touche le cercle au début et à la fin et qui passe par le milieu.

Première étape : étudier ensemble chacune de ces formulations pour dégager une définition cohérente, exacte et formulée correctement. C’est toute une aventure, déjà : au travers de ces propositions on a des abords en termes de mesure (moitié/double/distance) et des abords géométriques (trait/ligne). Nous abordons explicitement la question de la nature mathématique du diamètre, et aujourd’hui une de mes classes a fait le lien avec les angles et la hauteur, dans la catégorie mots mathématiques polysémiques. Pour des élèves de sixième, j’ai trouvé ça très très bien. Comme quoi aller loin vaut le coup. Car derrière ces questions de langage se jouent des questions très conceptuelles.

La mise en oeuvre

Je laisse quinze-vingt minutes aux élèves, et j’observe leurs méthodes. Aujourd’hui, j’ai vu différentes stratégies :

  • mesurer à la ficelle, la longueur mais aussi le diamètre ;
  • utiliser la règle pour mesurer le diamètre, mais aussi la longueur, en décrivant des tangentes successives ;
  • utiliser un feutre pour faire rouler l’objet et marquer la trace sur une feuille ;
  • utiliser le compas pour trouver le centre et en déduire le diamètre ;
  • tracer le contour de l’objet sur une feuille, coller la ficelle tout du long, à la colle ou avec du scotch, puis la mesurer ;
  • coller de la patafix tout partout et appliquer dessus le mètre-ruban ;
  • inventer un dispositif de pied à coulisse ;
  • placer des points rapprochés (l’élève en a marqué une quarantaine), tracer un polygone et mesurer le périmètre du polygone, puis conserver la valeur obtenue.

Le bilan de la mise en oeuvre

Nous avons repris rapidement les stratégies, mais nous y reviendrons lors de la prochaine séance pour certaines, comme pour celle du polygone, car je me sers de cette méthode moi-même pour arriver à une valeur approchée de π. Globalement, c’est surtout l’occasion que chacun me dise comme un cercle est différent d’un polygone, reformule la définition du cercle (en particulier pour ceux qui utilisent le compas), et la première comparaison apparaît d’elle-même : la longueur est toujours « beaucoup » plus grande que le diamètre.

Je crois que mon objectif à cette étape est que les élèves comprennent de façon profonde le cercle, qu’ils le « vivent ».

Le traitement des données

J’affiche les mesures obtenues par les élèves. Je n’affiche que les trois premières colonnes, et je demande aux élèves ce que nous pourrions bien en faire. Si cela ne vient pas (ça arrive), je leur demande s’ils pensent possible de trouver un lien calculatoire entre diamètre et périmètre. Aujourd’hui, ils voulaient d’abord trouver une constante additive.  Comme ça ne marchait pas, ils ont réfléchi différemment et le « triple, enfin pas loin » a émergé, suivi de près par le concept de proportionnalité. Alors je demande aux élèves de faire apparaître le rapport, pour chaque objet. Ils proposent une division, énoncent la formule à entrer en D2, et suggèrent un copier-glisser. L’utilisation du tableur est réactivée, impec.

 Voici une des séries, extraordinairement précise :

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Habituellement, j’ai des séries moins précises. Aujourd’hui, c’était magique. Les élèves ont vu la proportionnalité, et semblent avoir bien accepté les variations dues aux erreurs de mesure. Un élève, qui n’en pouvait plus de se taire depuis le début de la séance, a enfin pu déclarer avec emphase : « c’est π, en fait, ça devrait faire trois-quatorze partout ! ».

Avant de poursuivre, nous discutons précision : finalement, qu’est-ce qui fait qu’une mesure est proche ou « trop » imprécise ? Nous étudions l’impact d’erreurs de mesure assez mineures sur la valeur du rapport obtenu. Cela nous montre comme les manipulations sont délicates, et comme expliquer est plus intéressant que juger.

π, le coefficient de proportionnalité

Nous revenons alors sur ce que nous venons de découvrir, et que je confirme aux enfants : en effet, le diamètre et la longueur du cercle sont proportionnels, et le coefficient de proportionnalité est un nombre qu’on note π et qu’on appelle pi. C’est pas dingue, ça ? Si, les élèves semblent partager mon émerveillement. J’ai en face de moi une intensité de regard extraordinaire. Les questions fusent : comment on sait combien ça fait ? Qui a trouvé ça le premier ? Comment on le calcule ? Est-ce qu’on peut le calculer, d’ailleurs ? Pourquoi on l’écrit comme ça ? Pourquoi ce signe-là et pas un autre ? Est-ce que l’aire du disque elle sera aussi proportionnelle au diamètre ? Mais tout ça, à part « pourquoi ce signe-là », c’est pour les deux prochaine séances. Je l’explique, mais toutes les questions sont notées pour être bien sûrs de n’en oublier aucune par la suite.

Et là ça ne rate jamais : des élèves remarquent des affichages sur π, et qu’il y a « beaucoup de chiffres » sur ces affichages. C’est le moment de regarder le mur du fond de la classe.

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π, nombre d’une nature inédite

Sur le mur du fond, il y a les premièrs chiffres significatifs de π, dessinés par mes élèves des trois premières années où j’étais dans cet établissement : 3, la virgule et les 475 décimales suivantes. Mais voilà, ce n’est que le début, car nous pourrions continuer à l’infini… Je me lance alors dans la première explication (il y en aura d’autres dans la semaine à venir, puis des réactivations) quant à la nature de π. Quand je demande aux élèves quels types de nombres ils connaissent, ils me citent les entiers, les décimaux et les fractions. Alors je leur explique que π appartient à une autre famille encore : ils sont bien d’accord, π n’est pas entier. Pourquoi n’est-il pas un nombre décimal ? « Parce qu’un nombre décimal, ça se termine à un moment donné ». Et pourquoi n’est-ce pas une fraction ??? J’ai toujours quelques élèves pour répondre comme aujourd’hui : « parce que quand on fait la division d’une fraction, ça se répète, et là ça a pas l’air ». Ce moment-là, c’est mon moment d’évaluation à moi : ai-je bien travaillé cette année ???

Evidemment, ce ne sont pas des preuves. Mais les élèves eux-mêmes comprennent ma démarche sur l’année : « c’est pour ça que vous nous avez dit tout ça, c’est pour qu’on arrive à comprendre aujourd’hui ? » Bin oui, j’avais un plan. Le fait qu’ils parviennent à faire ces liens est pour moi une grande satisfaction, comme le fait qu’ils cherchent à comprendre mes chemins pédagogiques et didactiques : ils savent qu’il y a une logique, et c’est important.

A suivre…

Nous nous quittons sur des promesses : il nous reste des tas de choses à apprendre sur π, et particulièrement quoi en faire pour résoudre des questions mathématiques. J’évoque les ouvrages sur π de la bibliothèque de travail, souvent empruntés aussitôt, des affichages qu’il nous faudra évoquer, l’utilisation de la calculatrice, les éléments d’histoire que nous allons aborder. Tout un programme !

Conclusion

Si on se réfère au triptyque manipuler-verbaliser-abstraire, on est bien dedans :

  • manipuler pour comprendre au sens kinesthésique du terme, pour percevoir le problème, pour FAIRE des maths, les lier au concret, pour s’engager différemment, pour prendre des initiatives ;
  • verbaliser pour s’engager vers la conceptualisation, pour développer le lexique, pour insister sur la précision du vocabulaire, pour corriger des erreurs de représentations mentales, pour expliciter, pour réactiver, pour échanger, pour ouvrir sur de nouvelles questions, pour catégoriser…
  • abstraire : cette séance, et même cette séquence, permet de revenir un objectif majeur pour moi : réfléchir vraiment à la nature des objets mathématiques, comprendre, accepter et jouer avec leur nature « mentale ». Assumer cette abstraction, la revendiquer, car elle est l’essence des mathématiques : que nous discutions de ce qu’est un diamètre, de l’existence physique ou intellectuelle du cercle ou que nous nous interrogions sur la nature du nombre π, nous faisons vraiment des maths. Et c’est aussi pour cette raison que cette séance plaît tant aux élèves : nous allons loin, ils le savent. Ce ne sont d’ailleurs pas les élèves en difficulté « régulière » qui peinent le plus : on touche à des concepts, et tous peuvent s’engager s’ils s’en donnent la peine. Et comme ils sont curieux et qu’ils se laissent emmener par mon enthousiasme, ils s’en donnent la peine, pour une grande majorité en tout cas (j’évalue ce qu’ils ont retenu, la fois suivante).

Allez, juste pour le plaisir :

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Mes élèves et Maurits Cornelis

Depuis que j’ai introduit les questions de solides et de perspective par Escher, ça ne s’arrête plus : mes élèves empruntent les bouquins sur lui dans la bibliothèque de classe en continu, et ils me font de magnifiques réalisations. Et j’en attends d’autres…

Je suis déjà ravie d’avoir éveillé l’intérêt et la curiosité de ces élèves, ravie aussi qu’ils empruntent des livres, mais cela les amène aussi à aller bien plus loin : nous avons parlé de dimensions supérieures à 3 (deux élèves ont emprunté le DVD Dimensions, qu’ils ont regardé avec leurs parents), et de fil en aiguille nous nous sommes retrouvés à discuter de ce que pouvait bien représenter tout ça :

Capture d’écran 2019-04-04 à 08.15.18C’était très intéressant : en sixième, la notation du triangle et de l’angle est connue ; mes élèves ont compris tout seuls que « A, B, C » désigne trois points. En revanche il a fallu fouiller pour (ABC) : les parenthèses sont liées pour eux à la notion d’infini, mais comment faire avec trois points ? Nous avons eu un joli débat et nous avons évoqué le plan.

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Nos émotions mathématiques en CE1

Cet après-midi, j’ai accompagné deux enseignantes de CE1 et leurs élèves. Nous sommes en REP. Je commence à bien connaître les enseignantes, qui m’accueillent avec énergie et gentillesse et cherchent à chaque fois à « me montrer des choses différentes ». Elles ont des tas d’idées et un niveau de réflexivité épatant. Les dialogues didactiques, avec l’ensemble des enseignantes de cette école d’ailleurs, c’est un bonheur.

Aujourd’hui, au programme, ateliers jeux mathématiques. Deux classes de CE1 jouent, et « surtout font des maths ». Les élèves l’explicitent, naturellement : lorsque je leur demande s’ils aiment jouer comme ça, plusieurs me répondent « jouer oui, mais surtout faire des maths », « Oui, les maths c’est drôle », etc.

J’observe les différents ateliers (atelier banquier, atelier monnaie, Yam’s, mistigris, jeux de géométrie, …). Et une des enseignantes me montre le Matador Junior, qu’elle a emprunté à Canopé. Elle voudrait le mettre en route, mais ne l’a jamais pratiqué, et comme je connais, je me retrouve à animer le groupe.

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Mais il y a un hic : les enfants ne connaissent pas la multiplication. Je vais donc improviser des variantes. En partant s’occuper des autres groupes, ma collègue dit aux élèves : « Claire elle va vous faire découvrir la multiplication, comme ça. Comme elle est prof de maths, elle va savoir vous expliquer ». Hahaahaaa, heuuuuuuuu bon la collègue est partie et les enfants me regardent avec de grands yeux plein d’envie de découverte. Bon bin c’est parti. Où, je ne sais pas encore bien, mais on va faire ce qu’on peut.

En principe dans Matador on lance deux dés, un à six faces (qui fournit le chiffre des dizaines) et un à dix faces (qui fournit le chiffre des unités), pour composer un nombre, compris donc entre 10 et 69. On lance les autres dés, qu’on doit combiner en effectuant des opérations, pour trouver le nombre cible. Mais il y a une contrainte : si on est sur une case +, il faut utiliser au moins une addition, si on est sur une case – il faut utiliser au moins une soustraction, et pour la multiplication c’est le même principe. Comme les enfants ne connaissent pas la multiplication et qu’on part d’une case addition, je me dis que pour commencer nous allons non pas composer un nombre à deux chiffres de la sorte, mais additionner les deux faces : atteindre 78 à partir de cinq dés (un dé 6, un dé 8, un dé 10, un dé 12 et un dé 20), c’est compromis.

Nous commençons donc ainsi : on lance les deux dés rouges, on additionne, puis on lance les cinq dés blancs et on essaie d’atteindre la somme rouge en combinant des dés blancs. Pour s’amuser, nous cherchons plusieurs solutions. Les élèves cherchent des propositions tarabiscotées, l’émulation est naturelle. Même chose pour les cases « moins », ce qui marche bien aussi. L’affaire se corse lorsque les enfants tirent une somme rouge qui nécessite plus de deux calculs.

Lorsque nous tombons sur les cases « ? », je propose d’abord des suites logiques, puis des questions-allumettes. Au départ, les questions allumettes laissent perplexes mes petits mathématiciens, puis ils comprennent le but et nous réfléchissons ensemble aux différentes stratégies : opérer au hasard n’est manifestement pas productif, et ils se mettent à vraiment réfléchir. Très très fort. Et ils réussissent à trouver par eux-mêmes, ce qui les ravit.

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Et puis nous tombons sur une case multiplication. Ah. Bon. Je propose qu’on décide qu’il faut combiner au moins une addition et une soustraction sur ces cases, mais les enfants refusent collectivement : la maîtresse elle a dit que tu nous expliquerais la multiplication. Bon, ok, si la maîtresse a dit. Mais comment improviser une réponse à ces questions sans casser la conceptualisation qui sera proposée par ma collègue lorsqu’elle introduira la multiplication, d’autant que j’ignore comment elle le fera ? Alors je me lance :

Ce que je vais vous expliquer permet de trouver le résultat, mais vous verrez, il y a bien d’autres choses à comprendre. Il ne faut pas qu’avec ce que je vais vous expliquer vous pensiez que ça y est, vous avez compris la multiplication, que vous savez multiplier. On est d’accord ? C’est juste pour le jeu, pour commencer à réfléchir à la multiplication, aussi.

On est d’accord. De toute façon, du moment que je leur explique la multiplication, ils seront d’accord avec tout, je pense.

Sur les cases « × », nous allons juste lancer les deux dés rouges. Et nous allons essayer de trouver le résultat de la multiplication de ces deux nombres. Je vais vous expliquer. Vas-y, puisque tu es sur une case « × », lance les dés.

J’ai fait 3 et 6.

Ok. Nous allons calculer 3×6. Alors attention, écoutez bien. Calculer 3×6, c’est chercher combien de cases contiendrait un rectangle dans lequel j’aurais dessiné trois colonnes et six lignes. Je répète et je vous montre avec un dessin ?

Non, attends, j’essaie tout seul.

Le petit bonhomme trace un rectangle (à main levée, et là déjà je me dis que la maîtresse a donné des réflexes de recherche épatants), il trace trois colonnes, puis des lignes. Comme le rectangle est trop petit pour contenir six de ses lignes, il me demande :

Je peux allonger le rectangle ?

Oui, peu importe sa taille.

Il l’allonge et le contemple silencieusement, comme ses trois camarades.

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Je t’aide ?

L’enfant me regarde droit dans les yeux, hyper sérieux, hyper concentré :

Non.

Un moment s’écoule. Je les laisse cogiter.

J’ai compris. Je sais combien ça fait, 3×6. Il faut que je compte les cases, mais en fait je vais pas compter un par un, c’est trop long et puis c’est pas la peine. Ca fait 6+6+6, en fait. 6+6 ça fait 12, et encore 6 ça fait… 18. 

On peut écrire 3×6=18, alors, Claire ? On peut écrire « = » ?

Oui, c’est ça. Oui, on peut, puisque c’est égal. Vous m’épatez, là.

Mais c’est drôle, parce que 6+6+6, bah c’est 6, mais trois fois.

Aaaah oui. C’est pour ça : 6 qu’on compte trois fois, c’est trois fois 6, et donc 3×6 !

Ah oui, moi aussi j’ai compris.

A nouveau, moment de cogitation silencieuse.

Et regardez, si on se met comme ça (l’enfant tourne le rectangle), on inverse et ça ferait 6×3, mais ça ferait quand même 18 ! Ça marche comme ça tout le temps ?

Nous avons repris tout cela, écrit sur nos feuilles. J’en étais étourdie, émue. Un des garçons m’a dit « Mais c’est que ça, la multiplication ? » avec un ton condescendant du petit gars qui se la pète qui m’a bien amusée. Nous avons continué de jouer, et j’ai retenu mon souffle : allions-nous retomber sur une case multiplication ? Sauraient-ils répondre ?

Oui, et oui. Magnifique. Et à chaque fois, les enfants ne me lâchaient pas du regard pour savoir s’ »ils avaient bon ». C’était important, pour nous tous, et nous partagions quelque chose de très fort. Je sais bien que cela ne signifie pas qu’ils ont compris la multiplication. Là n’est pas mon propos. Mon propos, c’est que j’ai vu ces enfants faire des maths, je les ai vu penser, cheminer en eux-mêmes, vu avec mes yeux. J’ai du mal à m’expliquer, tellement c’était puissant.

Après la sonnerie, j’ai discuté avec les enseignantes, et je leur ai raconté tout ça. La maîtresse de ces enfants m’a dit, en parlant d’un autre enfant qui, arrivé à 1 000 dans un jeu, avait brandi le cube du mille avec un sourire lumineux et ne le lâchait plus :

« Tu vois, c’est qu’en maths que ça arrive, ça, que ça arrive comme ça : la révélation, quand ils comprennent ».

Ces collègues sauront-elles un jour ce qu’elles m’apportent ? Et sauront-elles que si les enfants ont été capables de cela, c’est grâce à leur travail quotidien, à leur réflexion didactique, à leurs pratiques pédagogiques, à leur façon de se poser sans cesse des questions, à leurs échanges en continu ?

J’espère.

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Un apprentissage de la démonstration en sixième

Cette semaine, nous avons explicitement travaillé sur l’exercice de la démonstration en sixième. C’est une mini-séquence que j’adore, vraiment. Je vois que les élèves se transforment et j’adore ça.

Voici le plan de mes trois séances :

Séance 1

Étape 1

Je commence par expliquer à mes élèves l’évolution des attendus dans leur parcours, et mes objectifs : globalement, nous évoquons la catégorisation de Catherine Houdement, avec la géométrie naturelle (géométrie 1), la géométrie axiomatique naturelle (géométrie II) et la géométrie axiomatique formaliste (géométrie III). J’explique à mes élèves que le collège va leur apprendre à quitter « c’est un carré parce que ça se voit » pour « c’est un carré car (propriétés diverses, adaptées et minimales) », et exiger d’eux qu’ils parviennent à intégrer cette modification fondamentale de raisonnement. Je leur explique aussi qu’en maths on ne croit pas ce qu’on voit. En maths, on est convaincu parce qu’on comprend. Enfin, je leur explique que nous allons nous engager cette année dans cette transformation, tranquillement, pour qu’ils puissent la vivre naturellement. Et je leur annonce que « ça ne va pas être facile, il va falloir réfléchir dur ». Rien de mieux pour avoir l’attention de tous… 🙂

Étape 2

Je présente le premier document aux élèves : trois propriétés, d’abord, que nous lisons ensemble et reformulons. Qu’est-ce que ça veut dire tout ça, une troisième quoi, comment le dire autrement, est-ce que c’est vrai, tout ce qui est écrit là ? Et nous représentons dans la classe, physiquement, avec des cordes, les grandes règles, etc., pour être sûrs que tout le monde a bien compris.

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Étape 3

Deuxième document : un tableau. Il vient du site Pyromaths (niveau sixième, section propriétés sur les droites). Pendant toute cette étape et la suivante, les élèves n’ont pas les documents papier devant eux. Ils doivent juste écouter. Nous remplissons ensemble la première ligne, etCapture d’écran 2019-03-13 à 18.48.50 ensuite les élèves passent au tableau (ceux qui le souhaitent) pour remplir le reste. Chacun pose ses questions, nous débattons : comment noter les droites, que coder, quel codage indique quoi, ça veut dire qui déjà perpendiculaire, l’orientation du schéma est-elle importante, quels indices me permettent de choisir telle ou telle propriété, etc. Il s’agit de représenter en langage mathématique et en schéma à main levée les « données », de choisir la « bonne » propriété et d’identifier la conclusion. À ce niveau, je choisis un tableau comme celui qui illustre cette section, avec des droites nommées (d1), (d2), (d3). Nous cherchons comment identifier la propriété à utiliser, ce qui nous amène naturellement à discuter de ce qui relève de la colonne « donnée » et de la colonne « conclusion ».

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Étape 4

Je termine la présentation de l’exercice avec trois remarques importantes :

  • Mon objectif principal est d’identifier ce dont on est sûr, parce que les données ou la figure nous fournissent ces informations, et ce qui relève de la démonstration, mais qui, pour exister, nécessite une justification donnée par la propriété.
  • Deuxième remarque : je ne veux pas des représentations faites avec des outils de construction. Je veux du dessin à main levée, car là ce qui compte, ce sont les codages. Ma figure peut être de travers, si elle porte les bons codages, je dois pouvoir raisonner dessus. C’est hyper important, ça : les objets mathématiques existent dans ma tête, mais ne sont que représentés, forcément imparfaitement, sur ma feuille. Je le dis aux élèves de cette façon.
  • Les données, en maths, on les appelle aussi les hypothèses. Et le mot hypothèse est dangereux, car il ne signifie pas la même chose en SVT par exemple, qu’en mathématiques. En SVT je formule une hypothèse, dont je ne suis pas sûr, et je cherche à la valider ou à l’invalider. Pas ici. Je suis sûr de mes hypothèses : c’est ma matière de réflexion, les données de l’énoncé.
  • Le codage utilisé dans l’exercice pour les parallèles (elles sont représentées en gras) n’est pas universel, et seulement valable pour cet exercice, avec moi.

Étape 5

J’efface tout et hop, je distribue les documents aux élèves. Ils doivent remplir les colonnes, en utilisant le document de propriétés pour les découper et les coller au bon endroit : comme il y a 5 tableaux, ça fait 15 propriétés et mon but n’est pas de faire de cette séance un exercice de copie.

Je laisse les élèves chercher et s’entraider, je donne un coup de main ou je rassure ceux qui en ont besoin, et assez rapidement je les interromps pour évoquer avec eux une nouvelle difficulté : et quand il y a des lettres tout partout ???

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Naturellement, les élèves notent les droites comme avant : par exemple, ils placent (FG) à côté d’une ligne droite, comme ils plaçaient (d1). Quand je les interpelle sur ce sujet, certains me disent que ça ne va pas, que les lettres représentent des points. Alors nous en parlons : pourquoi, dans (FG), F et G sont-ils des points et pourquoi n’avions-nous pas le problème dans (d1) ?

Alors les élèves placent des points, en faisant deux erreurs : leurs points se baladent on ne sait où (ils ne pensent pas, dans un premier temps, à placer une marque sur la droite concernée pour fixer la place du point) et ils dessinent des schémas dans lesquels il y a plusieurs points F, plusieurs points P. Nous en discutons et nous rectifions tout cela.

Pour la fois suivante, les élèves ont à remplir les tableaux.

Séance 2

Cette séance n’est pas complète : nous la complétons par autre chose, type entraînement de la course aux nombres ou questions flash. Elle prend environ 45 minutes.

Étape 1

Nous réactivons : quel fallait-il faire pour aujourd’hui ? Quels étaient mes objectifs ? Quelles difficultés les élèves ont-ils rencontrées ?

Étape 2

Ensuite, séquence foire d’empoigne : quatre élèves sur cinq ont envie d’aller au tableau. Ils pensent avoir bien compris, ils comprennent qu’ils sont en train d’apprendre quelque chose d’important.

Nous prenons le temps de tout compléter, de tout discuter, et tous les points de vigilance de la séance précédente sont réévoqués : certains élèves ne les ont pas entendus, pas compris, ou c’était trop tôt pour eux à ce moment-là. Toutes les questions sont renvoyées aux élèves, et la séance est bien vivante et interactive.

Étape 3

Qui veut cinq autres tableaux, en exercice facultatif, pour le plaisir, pour progresser encore, pour consolider s’il y a un doute ?

Beaucoup d’élèves sont volontaires. Si ce n’est pas le cas, il y a un souci. En principe, ils aiment cette séquence autant que moi…

Séance 3

Cette séance commence par la trace écrite, élaborée conjointement par les élèves et moi. J’ai laissé mon cahier de classe à une élève, mais je vous mettrai la trace en photo la semaine prochaine.

Enfin, la séquence s’achève sur une évaluation rapide : les élèves ont deux tableaux à remplir. Et lors de la prochaine évaluation bilan, ils en auront encore, mais cette fois sans avoir trois lignes qui correspondent chacune à une propriété différente. Une même propriété pourra servir plusieurs fois, ou pas du tout.

Voilà. Je veux bien les avis, les critiques et tout !