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Léonard de Vinci en Ulis

Cet après-midi, je suis allée tester ma séance Léonard de Vinci en Ulis. Mon mari-coordo et moi l’avions adaptée : au lieu de tout condenser en une heure, ce qui est déjà difficile en classe ordinaire, j’avais décidé de franchement dédoubler la séance. Et mon mari avait prévu une vidéo sur Léonard de Vinci, assortie d’un questionnaire.

La description et l’analyse de la séance telle qu’elle est prévu au départ se trouve ici et .

Après la petite vidéo et son décryptage, pour mieux comprendre qui était Léonard de Vinci, j’ai présenté le Codex Atlanticus.

La page qui m’intéresse particulièrement aujourd’hui, c’est celle-ci :

j’en ai extrait le dessin sur lequel nous travaillons :

Alors zou, c’est parti : que voit-on dans cette figure ? Réponse majoritaire et résistante : des lettres. Oui mais non, je fais des maths, là. Alors des carrés et des ronds, me répond-on. Des quoiiii ? J »ai cru entendre « rond », j’ai dû me tromper, puisqu’on est en maths. Des cercles, d’accord.

Alors combien de carrés ? 1. Combien de cercles ? 4. Non, 5. Ok.

Maintenant, comment devrais-je procéder pour représenter cette figure en respectant les relations entre les différents éléments ? C’est parti :

En proposant leur plan, les élèves se sont trompés pour le grand cercle. C’est intéressant car c’est justement lui qui pose problème son centre est facile à déterminer, mais son rayon l’est moins, particulièrement lorsqu’on réalise la figure sur une application de géométrie dynamique. Mais j’ai laissé les élèves aller là où ils voulaient et ils se sont plutôt bien débrouillés.

Etape suivante : à vous, jeunes gens !

Au départ, l’idée de « faire de la géométrie » n’a pas enchanté les élèves… Mais j’ai atteint mes objectifs (conceptualiser le carré, parler codages, réactiver l’usage de l’équerre, parler compas et manipuler, décomposer une figure, planifier ses étapes de construction, établir des relations entre objets, s’autoriser des sur-figures) parce que les élèves étaient actifs. Le progrès, je trouve, c’est qu’ils acceptent d’écouter plus longtemps pour définir leur plan d’attaque.

J’aime beaucoup ces séances. En dehors du fait que cela me redonne l’occasion de travailler avec mon mari, je trouve que ces élèves d’Ulis vont loin, et sont bien là pour travailler. On peut être exigeant avec eux, à condition de les sécuriser en permanence, de bien baliser tout en laissant la prise d’initiative et le hors-clous possible.

La semaine prochaine, peut-être passerons-nous sur GeoGebra. Je ne sais pas encore, il faut que j’en discute avec mon mari.

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En quatrième, c’est limite !

En quatrième ce matin, je demande la différence pour les élèves entre statistiques et probabilités. Globalement, ce qui ressort de leurs interprétations, c’est que les probabilités prévoient, donnent une mesure des chances ou des risques d’une expérience pas encore réalisé, alors que les statistiques étudient une expérience réalisée. Apparaît aussi l’idée d’ « idéal » de la proba, contre le prosaïsme des stats. Nous développons et précisons, pour porter une trace écrite dans la leçon. Je finis par évoquer les probas comme modélisation, comme cas limite, comme ce qu’on obtiendrait en réalisant une expérience un nombre infini de fois.

Et là, paf, au fil des échanges, un élève me demande si l’infini est un nombre. Alors bon, que voulez-vous que je fasse ? J’évoque droite réelle et droite réelle achevée…

Un autre élève rebondit : mais alors madame, on peut faire des opérations sur l’infini ?

Un autre rétorque : bah oui, évidemment par exemple l’infini divisé par l’infini ça fait 1.

Ai-je essayé de résister ? Sans doute. Peut-être. Je ne sais plus. Me suis-je retrouvée au tableau en expliquant avec passion les limites à des élèves de quatrième, en combinant allègrement concepts de lycée et vulgarisation pour donner à mes élèves une chance de me suivre au moins un peu ? Oui !

Deux heures plus tard, à la récré, des élèves sont revenus m’en parler. Quelques-uns avaient poursuivi leur réflexion en posant leurs conjectures sur un joli brouillon. Ils avaient bigrement bien raisonné. Un autre m’a dit : « j’ai cru comprendre, mais en fait j’ai rien compris, madame. Je ne vous ai pas suivi , finalement. Tout ce que j’ai compris c’est que les calculs sur l’infini c’est compliqué parce que ça dépend comment on va vers l’infini. Et du coup on ne peut pas dire comme ça paf, ça va faire ça ou ça. »

Pas si mal pour un élève de quatrième qui n’a rien suivi…

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7/20 % de chances, c’est pas beaucoup.

Il y a quelques jours, en quatrième, nous avons réactivé le thème des probabilités. Les élèves l’ont déjà travaillé en cinquième : depuis les programmes de 2015, les probabilités sont étudiées mathématiquement dès le début du cycle 4. C’est plutôt un point positif, car c’est un sujet accessible, propice à la modélisation, riche en représentations diverses, en lien avec l’environnement des élèves, facilement appuyé sur le ludique, support intéressant pour développer le langage… Et puis l’étude des probabilités échappe un peu à l’aspect cumulatif des mathématiques scolaires, en demeurant abordable sans pré-requis particuliers jusqu’à la classe de seconde. C’est une respiration bienvenue pour tout le monde, le moment de raccrocher sans peine des wagons. Mais il y a un revers à la médaille : nous, enseignants, nous répétons beaucoup en probas, sans grandes nouveautés sur plusieurs années. En cinquième on découvre la notion de probabilité, mais on peut déjà aller assez loin : on calcule des probabilités dans des cas simples, mais les élèves ont des tas de questions et sont aptes à comprendre au-delà des attendus de leur niveau de classe. En quatrième on modélise davantage, on convoque un vocabulaire plus développé, les situations étudiées sont plus riches. En troisième le lien entre fréquences et probabilités doit être posé, mais on peut l’avoir mis à jour bien avant.  Les situations s’enrichissent encore, on utilise le tableur ou la programmation pour alléger les calculs répétitifs ou simuler l’aléatoire.

Alors il y a toujours un risque pour que les séquences de probabilités soient plan-plan, surtout en quatrième. Je n’aime pas trop ça, dans ma pratique, la plan-planitude. J’essaie de ruser en combinant inégalité triangulaire et probabilité, au travers d’une activité que j’aime beaucoup et qui rend les élèves actifs et découvreurs, ou bien nous mettons en œuvre l’expérience des aiguilles de Buffon, ou bien nous nous lançons dans des manipulations qui mènent à des modélisations intéressantes et des utilisations vraiment bienvenues des outils numériques, ou bien nous réfléchissons à partir de l’excellent jeu Avé ! ou de la cible dont j’ai équipé ma classe. Cette semaine, c’est pourtant un exercice de base qui m’a fourni un matériau de choix pour comprendre les besoins de mes élèves et devoir remédier au pied levé, ce qui me réveille toujours joyeusement les neurones.

Nous travaillions un exercice du manuel de classe, avec une situation classique : une urne, des boules de trois couleurs différentes, des probabilités à déterminer. L’urne contenait 20 boules, dont 7 vertes. A la question « quelle est la probabilité d’extraire une boule verte lors d’un tirage aléatoire », je m’attendais au classique « 7 », au prévisible « 7/3 » (car il y a trois couleurs différentes de boules), aux ricanements nerveux de quelques élèves car on parle de boules, ce qui est vraiment trop rigolo. Mais en fait, j’ai obtenu une erreur bien plus délicate :

L’élève, K, qui a résolu l’exercice au tableau a bien identifié les issues de l’expérience aléatoire, a dénombré l’effectif total de boules, a écrit une fraction de façon fort pertinente, et là, paf, a adjoint à son 7/20 un symbole de pourcentage. Lorsque je lui ai demandé de m’expliquer ce qu’il avait écrit, K m’a expliqué : « 7 c’est les boules vertes, 20 c’est toutes les boules possibles, donc 7/20. » Ok, ai-je renchéri, mais tu as écrit « % », après 7/20. « Bah oui », m’a répondu K, « c’est des chances donc faut que je réponde en pourcentages ».

Jolie représentation initiale, mais erronée. Alors j’ai fait appel aux camarades de K pour proposer de remédier à l’erreur de leur camarade, et j’ai globalement fait un flop. 7/20 ou 7/20 %, même combat. Bon bon bon. Le sens du pourcentage n’est pas posé. Les élèves savaient me dire que %, c’est « pour cent », mais que ce soit « sur cent » était un pas qu’ils n’étaient pas prêt à franchir. Ces élèves  utilisent le symbole « % » comme un symbole d’unité. Ce qui est intéressant, c’est que toutes et tous, ou presque, savent calculer 50%, 10%, 1% d’une grandeur, et donc, si on leur en laisse le temps, à peu près n’importe quel pourcentage d’une grandeur. Et là, ils donnent du sens à ce qu’ils font. C’est un peu comme si le % avait là une « valeur » différente parce que nous nous plaçons dans le champ des probabilités, comme s’il était une signature des probabilités. Obstacle supplémentaire : K était entré dans sa phase de déception amère et d’auto-dénigrement que je lui connais bien maintenant. Mais je savais que je pouvais renverser la tendance, aussi, car K et moi sommes tous les deux du genre tenace, mus par le même projet : qu’il comprenne. Être tenace ensemble est un puissant moteur pour moi.

Je suis revenue à ce que signifie 7/20 : selon K lui-même, c’est « 7 chances sur 20 possibilités ». Et quand on écrit un nombre sous forme de pourcentage, que cela signifie-t-il ? Qu’« on a 100 possibilités » Mais alors pourquoi écrire ici un pourcentage, si on n’a que 20 possibilités ? « Parce qu’on peut faire comme si, et imaginer qu’on a 100 possibilités en faisant comme si c’était proportionnel ». Ah, c’est mieux, ça, ça m’ouvre une porte. Comment imaginer qu’on a une situation similaire mais avec 20 boules dans l’urne ? « C’est facile madame : on multiplie par 5 parce que 5×20 ça fait 100. Donc on multiplie aussi en haut sinon ça change tout. Ça fait 35/100 ».

Là, moment de suspension. Je vois des regards qui traduisent de la réflexion, d’autres perplexes. J’attends. Je me tais. C’est difficile, ça, pour moi, mais essentiel pour les élèves. C’est K qui reprend « mais madame, ça veut pas dire que ça fait 35%, quand même… » Hé si, 7 sur 20 ou 35 sur 100, c’est la même proportion. J’ai poursuivi sur ma lancée : voyons quelle écriture décimale a 7/20. 7/20, c’est égal à 3,5/10 (qui n’est certes pas une fraction, mais cela ne change rien), soit 0,35. Mmmmmh, 0,35 ? 35 centièmes ? Là, j’ai vu K accepter, parce qu’il recollait tous les morceaux. 

Je pense qu’il faudra y revenir ; j’ai encore deux passages par les pourcentages dans ma programmation, ce qui me semble indispensable. Mais K a, je pense, compris, et n’est pas le seul dans la classe : il est passé de son traditionnel « je comprends rien de toute façon j’ai tout faux chuis nul » à « c’est super simple madame, c’est tout, là, y a que ça à comprendre ? », ce qui est un bon présage pour la suite.

Il demeure que c’est intéressant de voir comme certaines notions peuvent être utilisées correctement dans certaines circonstances, y être automatisées, même, et ne pas résister aux transferts vers un autre contexte. Et puis il y a le poids de pseudo-conventions, comme le fait de croire qu’il faut faire référence à des % si on parle probas. Pourtant, il y a sans doute derrière ceci une qualité : faire des liens entre mathématiques scolaires et environnement, avec les données dont sont si friands les médias, la plupart du temps exprimées en pourcentages. Le « de chances » ajouté par K à la fin de chaque ligne va en ce sens. C’est aussi pour ça que nous sommes là, nous enseignant(e)s : pour donner des clefs de lecture et de compréhension.

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Le jeudi avec Christelle

J’ai pu continuer de re-tester une séance de CE1, et c’était super chouette ! Heureusement que j’ai des terrains de jeux, et des compagnons de cogitation, pour mettre mes idées à l’épreuve : être hors-sol serait tout à fait inconsidéré… Aujourd’hui, en plus, nous avons fait fort du point de vue de l’inclusion. Cela constitue des moments qui font du bien ! Merci Christelle !

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Mes devoirs de l’après-midi (première partie)

Mes élèves sont très fort aux concours de programmation. En ne récompensant que les deux premiers binômes et les trois premiers individuels, à cause d’ex-aequo, j’ai 40 élèves à récompenser sur mes 5 classes pour le Castor… Les scores des lauréats vont de 195 à 330 points. Nous avons aussi participé à l’Alkindi et à l’Algorea 1. J’attends les résultats, et je vais m’organiser différemment pour les lots, car je viens de passer un certain temps à les constituer !

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Pythou, dernier acte

Et voilà, en quatrième, après un long travail filé sur plusieurs semaines (en parallèle avec d’autres thèmes), nous avons ensemble aujourd’hui synthétisé les usages de l’égalité de Pythagore. Youpi !

Les élèves ont su tout structurer et expliquer. Il n’y a que le terme de contraposée qu’ils ignoraient, naturellement.

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Mon bonheur-ricochet du jour

Mes bonheurs-ricochets, c’est quand des élèves comprennent quelque chose qui n’était pas l’objectif central prévu, mais que c’est super important. Aujourd’hui, c’était en quatrième. J’avais décidé de déployer l’activité de mon collègue Gani, activité sur la résolution d’équations, qu’il met en oeuvre avec moi en co-enseignement avec une autre classe de quatrième (trop chouette). Avec Laura, nous avions pensé des modifications pour que l’activité s’adapte aux niveaux très variés de ma classe, et corresponde à notre programmation. Je ferai bientôt un article pour raconter cette séance, mais ça va être un peu long à faire et là je n’ai pas trop le temps.

Donc, j’en reviens à mon joli ricochet. Une élève manipule pour résoudre une équation. Elle obtient une représentation matérielle de 2x = 8. Elle demeure perplexe : comment savoir ce que vaut x ? Car cette élève ne possède pas la division, ce qui complique l’acquisition de nouvelles compétences, forcément. Mais comme l’activité permet de manipuler, et que l’élève est vive et pleine d’initiative, elle cogite et je la vois prendre un des cubes de numération composant le nombre 8, et le poser sous un des pions qui représentent x. Elle en saisit un autre et le pose sous le « deuxième x ». Elle recommence jusqu’à épuisement des cubes et m’appelle : « madame, est-ce que ça veut dire que x ça vaut 4 ? » J’acquiesce, et je la vois s’illuminer. « Je crois que j’ai compris, madame. Je fais celle d’après ».

Elle bidouille son équation, et passe de 4x + 2 = x + 17 à 3x = 15 sans difficulté. Ca, les questions d’équilibre, elle a compris. Si j’enlève des unités d’un côté, je fais pareil de l’autre. Si j’enlève un x d’un côté, j’enlève un x de l’autre. Parfait. Avec elle on n’est pas encore à la modélisation par la représentation algébrique, mais ce n’est pas grave : elle donne du sens à ce qu’elle fait et je sens grandir cette énergie en moi, caractéristique de quand il se passe un truc vraiment important dans la tête d’un élève.

Devant 3x = 15, elle recommence ses paquets, unité par unité. Mais elle constitue bien trois paquets. Elle obtient x = 5, et m’appelle à nouveau pour valider. Là, elle me dit deux choses :

  • Madame, j’ai remarqué quelque chose : c’est parce que 3 x 5 ça fait 15 qu’on a 5 unités pour chaque paquet, non ?
  • Mais vous l’avez fait exprès, les nombres, là, non ? Parce que y en a jamais qui restent. Comment je ferais s’il y en avait qui restaient ?

Alors nous avons développé : oui, il y a un rapport avec 3 x 5, et comment alors anticiper le résultat avant même de faire la manip ? Evidemment, là, il faut les tables, pour cette élève, sinon c’est trop de paramètres. Mais elle m’a dit elle-même : « Mais madame, c’est ça, la division, non ? On fait des paquets et on cherche combien on met d’unités par paquets ? C’est ça, non ??? » Hé oui. Alors nous sommes parties ensuite sur « s’il en reste » : ça s’appelle effectivement le reste, dans la division, et en effet j’ai fait exprès que le reste soit nul. Nous avons pris un exemple où le reste aurait été de 1 pour 2 paquets, de 4 pour 8 paquets, et nous sommes convenues que non, nous n’allions pas couper mes cubes de numération en deux.

Mais cette élève est repartie super fière, dynamisée par sa nouvelle compréhension de la division et par sa première approche réussie de la résolution d’équations.

Et moi, bin pareil.

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Un album pour les tout petits en quatrième

Aujourd’hui j’ai pu réutiliser cet album avec les élèves de quatrième :

Mes élèves, dans les deux classes dans lesquelles j’ai présenté l’album, ont été très perplexes : pour des tout-petits (l’album s’adresse à des 0-3 ans), le théorème de Pythagore ne leur est pas apparu comme un sujet très pertinent. Selon eux, soit l’enfant ne peut pas comprendre. Et si le but est de montrer des formes, alors pourquoi avoir choisi ce sujet ? Je partage leur opinion, mais cet album est pour moi un formidable outil pédagogique.

Je leur montrais pour qu’ils trouvent ce qui cloche. Ils ont trouvé, les bougres. Et ils ont même trouvé trois soucis.

un souci de représentation

L’angle droit est codé par un petit disque, le long de presque tout l’album. Cela rappelle un peu le décodage allemand, par exemple. Mais à la dernière page c’est un angle clairement aigu qui porte ce codage :

Un problème de concept

Dans cette page et la précédente, le mot « carré » est utilisé de manière équivoque : il désigne le carré « numérique » (produit d’un nombre par lui-même) dans la phrase, et est représente par un carré « géométrique ». C’est bien l’idée d’ailleurs, dans le théorème de Pythagore. Mais l’enfant ne peut pas accéder au carré « numérique », et mes élèves ont trouvé qu’il manque l’évocation de l’aire, puisque le carré est un ensemble de points, pas un nombre.

Un souci de logique

Enfin, il y a là une erreur, contre laquelle je ne cesse de mettre mes élèves en garde. Je suis contente, des élèves l’ont détectée dans les deux classes de quatrième.

Ici, on évoque l’existence de l’hypoténuse avant de conclure que le triangle est rectangle. Ah non ! L’hypoténuse n’existe que si le triangle est rectangle. Je ne peux pas en parler si la nature du triangle en tant que triangle rectangle n’est pas posée en hypothèse.

Bon, il demeure que j’aime cet album : il est beau et me permet de bien travailler !

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Le théorème de Pythagore pour calculer des trucs chelous

En quatrième, nous avons travaillé le théorème de Pythagore. En principe, les élèves sont outillés et savent à peu près tout faire : calculer la longueur si deux sont connues dans un triangle rectangle, prouver qu’un triangle est rectangle ou ne l’est pas, connaissant les mesures de longueur des trois côtés. Mais les situations que nous avons travaillées sont toutes purement mathématiques, soit pseudo concrètes

Travailler des exercices contextualisés mais représentés en version papier, c’est important, pour travailler la compréhension d’une consigne complexe et l’extraction d’informations, les images mentales, et puis comprendre à quoi ça sert, justement, tout cela. Des exercices purement mathématiques, sans contexte, c’est important aussi : les mathématiques sont utiles, mais il faut aussi s’entraîner pour travailler les gestes mentaux, ce qui est parfois plus accessible pour les élèves en difficulté, puisque moins d’informations sont données et qu’on se centre sur les données et la question. Et on peut trouver des exercices un peu rigolos, comme ce pile up, que j’aime beaucoup, qui permet d’automatiser tout en devant rester très attentif, et qui fait un peu voyager :

Mais voilà, j’aime bien aussi travailler des exercices complètement concrets. Je m’inspire donc d’un exercice du manuel Sesamaths (certains exercices ci-dessus en sont également issus), en le « mettant en matériel » plutôt que de le mettre en mots ou en images. Voilà à quoi ressemble cette séance.

D’abord, je présente l’objet central : un arc pour enfant. Il appartenait à un de nos garçons quand il était enfant. La corde est élastique.

Une fois l’objet présenté, ma question est la suivante : pourquoi est-ce que je vous présente cet objet ? Que pourrions-nous bien faire avec ?

Évidemment, les propositions initiales sont « lancer des flèches », assorties de pas mal de propositions plus ou moins farfelues et inenvisageables. Je le sais, je m’y attends, et d’une certaine façon cela fait partie du jeu : à ce moment-là, j’ai l’attention de toutes et tous. Alors je recentre : « on est en maths, vous vous souvenez ? »

Les élèves cherchent, parfois trouvent, parfois se disent qu’il y aurait bien du théorème de Pythagore dans l’air… Mais ce n’est pas si facile de modéliser notre arc. Le premier élément qu’ils trouvent, en général, c’est « de combien la corde s’allonge-t-elle quand on la tend ? » C’est bien, déjà, mais cela manque de contraintes : je peux la tendre plus ou moins. Et exprimer cette tension en termes de force paraît difficile en quatrième. Alors comment faire ? « On peut dire comment on la recule, madame ! » émerge, la plupart du temps. « Ok, mais reculer comment ? Finalement c’est un peu comme se demander comment on la tend, quelle force on exerce, il faut encore préciser… » Alors nous débattons, et toujours des élèves trouvent que plus on éloigne la main du bois de l’arc, plus la corde est tendue. Aaaaah, nous y voilà : nous pourrions mesurer la distance entre la main et l’arc. Mais quelle partie de la main ? Quelle partie de l’arc ? Comment définir des points, vraiment passer à la modélisation mathématique, mais en ayant posé le vocabulaire qui permet à chacun(e) de comprendre sans équivoque ? Croyez-moi, c’est tout un truc d’en arriver là.

Au bout d’un moment, d’efforts et de partages, nous avons une consigne. Parfois on donne la distance point de tension de la corde – « centre » de l’arc, parfois la longueur dont la corde s’allonge. Et il faut calculer l’autre donnée. Mais pour que cela soit possible, il faut encore repérer les différentes mesures : c’est très difficile pour une majorité d’élèves de faire le lien entre la longueur de la corde au repos et le double de l’hypoténuse d’un triangle rectangle qu’ils repèrent assez facilement.

Il rester encore à mettre en forme la consigne de façon définitive, à prendre les mesures sur l’arc « en vrai », à vérifier qu’elle est explicite, et à résoudre le problème. Une dernière étape est d’attribuer des noms aux points importants : certains élèves hésitent encore à considérer qu’ils en ont le « droit », ou s’interrogent sur un choix plus pertinent qu’un autre pour nommer ces points.

L’idéal, c’est de pouvoir proposer l’exercice à une autre classe. Cette année, ce devrait être possible avec un de mes collègues. Les réponses nous reviennent et les élèves peuvent les analyser : quels écueils ? Sont-ils imputables à la consigne, à la présentation du problème, ou à des erreurs de raisonnement, des manques dans les savoirs ? Les réponses sont-elles justifiées, suffisamment, correctement ?

Là, nous aurons exploité cet arc d’enfant. Nous aurons retravaillé l’égalité de Pythagore, mais surtout nous aurons réfléchi à la modélisation et à la façon dont on met en mots une consigne. Devoir la transmettre oblige à réfléchir à ses propres besoins.

Et comme ça, on sait à quoi ça sert, le théorème de Pythagore : ça sert à calculer des trucs chelous sur un arc de gamin. Enfin, c’est ce que m’a dit un élève il y a deux ans. En ajoutant « et c’était trop dar, j’ai bien aimé madame ».

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Plier des rectangles en Ulis

Cet après-midi, dans la classe de mon mari coordo Ulis, nous avons poursuivi le travail amorcé sur les aires et les périmètres, avec l’excellente activité « Plier des rectangles ». Malheureusement, j’ignore qui sont les auteurs de cette activité : un collègue me l’a transmise, avec son analyse, et je l’utilise depuis.

En Ulis, j’ai donc apporté mes rectangles découpés, de 20cm sur 12cm. En classe ordinaire, j’utilise du papier blanc. Là, j’avais décidé d’utiliser sur papier à petits carreaux, car je savais que les élèves ne savaient pas calculer l’aire d’un rectangle, et je voulais m’appuyer sur les petits carreaux pour dénombrer les cm2.

D’abord, j’ai demandé ce qu’est la forme de mes papiers. J’ai d’abord entendu « triangle », alors nous avons parlé de triangles et de quadrilatères. Ensuite, sur la proposition de rectangle, j’ai demandé pourquoi et j’ai tout de suite obtenu qu’il a 4 angles droits. J’ai demandé quelles autres propriétés possède le rectangle : les côtés égaux sont venus rapidement. En revanche, pour le parallélisme des côtés opposés, il a fallu ramer.Quand j’ai évoqué les diagonales j’ai bien senti que le succès était très mitigé.

Ensuite j’ai donné la consigne : plier le rectangle, de façon à toujours former des rectangles superposables (donc pas en diagonale), trois fois de suite. Nous avons obtenu plusieurs rectangles différents. Nous avons expliqué pourquoi « tout le monde a bon », bien que les résultats soient différents. Un élève en particulier était très gêné par cette idée : en même temps cet élève était paralysé à l’idée d’ « avoir faux », et en même temps qu’en maths il peut y avoir plusieurs solutions le dérangeait.

Etape suivante : mesurer la longueur et la largeur du rectangle obtenu, à la règle. Pas facile, en fait ! Après plusieurs essais et des corrections méthodologiques sur le geste de mesurage ou la lecture de la longueur, nous avons obtenu trois possibilités : 6 cm sur 5 cm, 10 cm sur 3 cm et 20 cm sur 1,5 cm. Cette dernière possibilité a été remise en cause, et il a fallu convaincre.

Bon et alors, le périmètre de chaque type de rectangle obtenu ? Les élèves se souvenaient de ce qu’est le périmètre. Ca a été plutôt bien :

Nous en sommes arrivés à l’aire. Là, j’ai demandé que les élèves comptent le nombre de carrés formés de 4 petits carreaux. J’ai expliqué plus tard pourquoi : ces carrés ont un côté de 1 cm, or le cm était mon unité de référence pour le périmètre. Cela m’a permis d’introduire le « centimètre carré, avec sa notation. Les élèves ont trouvé 30 cm2.

Que les aires soient les mêmes ne surprenait finalement pas les élèves : « c’est normal, on a plié le même rectangle autant de fois ! » Mais alors pourquoi les périmètres sont-ils différents, ai-je interrogé ? « Parce qu’on n’a pas plié pareil. Autant de fois, mais pas pareil », m’a répondu une élève.

Dernière étape : faire arriver les élèves à institutionnaliser la formule de l’aire. Il restait peu de temps, je ne suis donc pas passée par le nombre de cases d’un tableau en fonction de son nombre de lignes et de colonnes. Nous avons interrogé les élèves sur le lien opératoire possible. Ils ont fait des essais, et ont trouvé que c’est la multiplication de la longueur par la largeur qui donne l’aire :

Mon mari est alors revenu sur le périmètre : comment écrire une formule générale qui donne le périmètre ? C’était intéressant de voir les élèves résister à l’introduction de mots ou de lettres dans les calculs. Ils proposaient une méthode en phrases explicatives, ou bien des exemples successifs, mais passer par une méthode générale, c’est difficile !

J’ai beaucoup aimé cette séance : il fallait réussir à conserver l’attention de ces élèves, qui ont bien travaillé malgré une tendance permanente à l’évaporation pour certains. Et j’ai aimé aussi que leur enseignant intervienne pour recentrer mes questions : je pense qu’elles sont trop vagues parfois, que j’essaie de faire construire alors que lui, il sait qu’il faut être plus précis, induire davantage. Il parvient à les reformuler sans donner la réponse, mais en sécurisant davantage ses élèves.

En tout cas, plier des rectangles, ça fait faire des maths !