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Un apprentissage de la démonstration en sixième

Cette semaine, nous avons explicitement travaillé sur l’exercice de la démonstration en sixième. C’est une mini-séquence que j’adore, vraiment. Je vois que les élèves se transforment et j’adore ça.

Voici le plan de mes trois séances :

Séance 1

Étape 1

Je commence par expliquer à mes élèves l’évolution des attendus dans leur parcours, et mes objectifs : globalement, nous évoquons la catégorisation de Catherine Houdement, avec la géométrie naturelle (géométrie 1), la géométrie axiomatique naturelle (géométrie II) et la géométrie axiomatique formaliste (géométrie III). J’explique à mes élèves que le collège va leur apprendre à quitter « c’est un carré parce que ça se voit » pour « c’est un carré car (propriétés diverses, adaptées et minimales) », et exiger d’eux qu’ils parviennent à intégrer cette modification fondamentale de raisonnement. Je leur explique aussi qu’en maths on ne croit pas ce qu’on voit. En maths, on est convaincu parce qu’on comprend. Enfin, je leur explique que nous allons nous engager cette année dans cette transformation, tranquillement, pour qu’ils puissent la vivre naturellement. Et je leur annonce que « ça ne va pas être facile, il va falloir réfléchir dur ». Rien de mieux pour avoir l’attention de tous… 🙂

Étape 2

Je présente le premier document aux élèves : trois propriétés, d’abord, que nous lisons ensemble et reformulons. Qu’est-ce que ça veut dire tout ça, une troisième quoi, comment le dire autrement, est-ce que c’est vrai, tout ce qui est écrit là ? Et nous représentons dans la classe, physiquement, avec des cordes, les grandes règles, etc., pour être sûrs que tout le monde a bien compris.

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Étape 3

Deuxième document : un tableau. Il vient du site Pyromaths (niveau sixième, section propriétés sur les droites). Pendant toute cette étape et la suivante, les élèves n’ont pas les documents papier devant eux. Ils doivent juste écouter. Nous remplissons ensemble la première ligne, etCapture d’écran 2019-03-13 à 18.48.50 ensuite les élèves passent au tableau (ceux qui le souhaitent) pour remplir le reste. Chacun pose ses questions, nous débattons : comment noter les droites, que coder, quel codage indique quoi, ça veut dire qui déjà perpendiculaire, l’orientation du schéma est-elle importante, quels indices me permettent de choisir telle ou telle propriété, etc. Il s’agit de représenter en langage mathématique et en schéma à main levée les « données », de choisir la « bonne » propriété et d’identifier la conclusion. À ce niveau, je choisis un tableau comme celui qui illustre cette section, avec des droites nommées (d1), (d2), (d3). Nous cherchons comment identifier la propriété à utiliser, ce qui nous amène naturellement à discuter de ce qui relève de la colonne « donnée » et de la colonne « conclusion ».

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Étape 4

Je termine la présentation de l’exercice avec trois remarques importantes :

  • Mon objectif principal est d’identifier ce dont on est sûr, parce que les données ou la figure nous fournissent ces informations, et ce qui relève de la démonstration, mais qui, pour exister, nécessite une justification donnée par la propriété.
  • Deuxième remarque : je ne veux pas des représentations faites avec des outils de construction. Je veux du dessin à main levée, car là ce qui compte, ce sont les codages. Ma figure peut être de travers, si elle porte les bons codages, je dois pouvoir raisonner dessus. C’est hyper important, ça : les objets mathématiques existent dans ma tête, mais ne sont que représentés, forcément imparfaitement, sur ma feuille. Je le dis aux élèves de cette façon.
  • Les données, en maths, on les appelle aussi les hypothèses. Et le mot hypothèse est dangereux, car il ne signifie pas la même chose en SVT par exemple, qu’en mathématiques. En SVT je formule une hypothèse, dont je ne suis pas sûr, et je cherche à la valider ou à l’invalider. Pas ici. Je suis sûr de mes hypothèses : c’est ma matière de réflexion, les données de l’énoncé.
  • Le codage utilisé dans l’exercice pour les parallèles (elles sont représentées en gras) n’est pas universel, et seulement valable pour cet exercice, avec moi.

Étape 5

J’efface tout et hop, je distribue les documents aux élèves. Ils doivent remplir les colonnes, en utilisant le document de propriétés pour les découper et les coller au bon endroit : comme il y a 5 tableaux, ça fait 15 propriétés et mon but n’est pas de faire de cette séance un exercice de copie.

Je laisse les élèves chercher et s’entraider, je donne un coup de main ou je rassure ceux qui en ont besoin, et assez rapidement je les interromps pour évoquer avec eux une nouvelle difficulté : et quand il y a des lettres tout partout ???

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Naturellement, les élèves notent les droites comme avant : par exemple, ils placent (FG) à côté d’une ligne droite, comme ils plaçaient (d1). Quand je les interpelle sur ce sujet, certains me disent que ça ne va pas, que les lettres représentent des points. Alors nous en parlons : pourquoi, dans (FG), F et G sont-ils des points et pourquoi n’avions-nous pas le problème dans (d1) ?

Alors les élèves placent des points, en faisant deux erreurs : leurs points se baladent on ne sait où (ils ne pensent pas, dans un premier temps, à placer une marque sur la droite concernée pour fixer la place du point) et ils dessinent des schémas dans lesquels il y a plusieurs points F, plusieurs points P. Nous en discutons et nous rectifions tout cela.

Pour la fois suivante, les élèves ont à remplir les tableaux.

Séance 2

Cette séance n’est pas complète : nous la complétons par autre chose, type entraînement de la course aux nombres ou questions flash. Elle prend environ 45 minutes.

Étape 1

Nous réactivons : quel fallait-il faire pour aujourd’hui ? Quels étaient mes objectifs ? Quelles difficultés les élèves ont-ils rencontrées ?

Étape 2

Ensuite, séquence foire d’empoigne : quatre élèves sur cinq ont envie d’aller au tableau. Ils pensent avoir bien compris, ils comprennent qu’ils sont en train d’apprendre quelque chose d’important.

Nous prenons le temps de tout compléter, de tout discuter, et tous les points de vigilance de la séance précédente sont réévoqués : certains élèves ne les ont pas entendus, pas compris, ou c’était trop tôt pour eux à ce moment-là. Toutes les questions sont renvoyées aux élèves, et la séance est bien vivante et interactive.

Étape 3

Qui veut cinq autres tableaux, en exercice facultatif, pour le plaisir, pour progresser encore, pour consolider s’il y a un doute ?

Beaucoup d’élèves sont volontaires. Si ce n’est pas le cas, il y a un souci. En principe, ils aiment cette séquence autant que moi…

Séance 3

Cette séance commence par la trace écrite, élaborée conjointement par les élèves et moi. J’ai laissé mon cahier de classe à une élève, mais je vous mettrai la trace en photo la semaine prochaine.

Enfin, la séquence s’achève sur une évaluation rapide : les élèves ont deux tableaux à remplir. Et lors de la prochaine évaluation bilan, ils en auront encore, mais cette fois sans avoir trois lignes qui correspondent chacune à une propriété différente. Une même propriété pourra servir plusieurs fois, ou pas du tout.

Voilà. Je veux bien les avis, les critiques et tout !

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Semaine des maths : journée 1

La semaine des maths a commencé dignement : au petit déjeuner un de nos garçons a commencé à réfléchir à des croquis car il va s’atteler, avec ses camarades, à la réalisation de statues mathématiques pour la journée régionale de l’APMEP. Dans la foulée, mon mari a déclaré « Par le lemme de Zorn, je te factorise ! », et là je me suis dit que oui, la semaine des maths c’était tout de même quelque chose.

En sixième, nous avons participé au rallye IREM de l’académie. Une de mes classes a été incroyable dans la coopération, la motivation et l’écoute pour débattre de leurs propositions. Ils m’ont bluffée ! En quatrième, nous avons participé à la course aux nombres 2019, et aussi au rallye Algorea.

C’était aussi le jour que j’avais choisi pour distribuer les bonbons aux vainqueurs de la précédente manche.

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Vivement demain !

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Réaliser un MAGNIFIQUE glisse-nombres pour le tableau

Les grands glisse-nombres, maintenant.

Pour ceux qui n’auraient pas lu, l’article précédent donne les ressources institutionnelles sur l’usage du glisse-nombres.

Les dimensions

  • Le glisse-nombres orange mesure 100cm sur 40cm.
  • Le « bleu » mesure 100cm sur 25cm.
  • Les deux sont réalisés dans du carton de 3mm d’épaisseur.

Sur la photo, devant, c’est un glisse-nombres individuel.

Leurs différences

Le glisse-nombre bleu est plus léger, facile à utiliser au tableau sans manger trop de place.

Le glisse-nombre orange est génial pour montrer l’effet d’une multiplication ou d’une division par 10, 100, 1000… car la bande du haut, fixe, permet de garder une référence. En plus il est magnifique et c’est un cadeau de collègues. Par contre il est lourd et il a tendance à glisser sur le tableau.

La bande de chiffres

Pour réalise la bande qui coulissera dans le glisse-nombres, voici comment je procède :

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L’ancienne bande est HS. Elle était juste scotchée, ce qui n’est pas terrible : le scotche bute quand on coulisse et c’est fragile. Je choisi du bleu, pour la nouvelle bande.
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Je découpe 5 bande de 8,5cm de large dans la longueur des feuilles.
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Une feuille à plastifier me permet de recourir partiellement trois bandes. Je découpe d’autres feuilles pour faire le lien, en chevauchant les bandes…
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… comme ça !
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Ma bande est presque prête : tout est enveloppé dans du papier à plastifier.
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Je place des trombones à chaque jonction de feuille à plastifier, pour pourvoir déplacer l’ensemble sans catastrophe au moment de plastifier.
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C’est parti. Il faut laisser du mou sinon la tension déplace les feuilles. Et être bien attentif pour faire avancer la bande au rythme de la plastifieuse.

Les « ponts » et les aimants

Comment faire coulisser la bande ? Grâce à des « ponts » fabriqués en carton à l’arrière :

Ils sont collés au pistolet à colle et laissent peu d’espace, pour que la bande reste tendue.

Sur le glisse-nombres orange, même principe pour la bande du bas. Cette du haut est fixe.

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Les aimants viennent de chez Aleph. Ils sont pratiques car assez puissants et autocollants. Le glisse-nombres bleu en nécessite six et le orange au moins huit, mais dix c’est mieux.

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Voilà. D’autres questions ?

 

A l'attaque !·Activité rigolote·Allez les jeunes !·Cycle 3·En classe·Manipuler·Maths pour tous·Sixième

Manipuler, représenter, abstraire, pour comprendre

Nous continuons d’avancer dans les fractions. D’ici peu sur nos écran, le décimal va pouvoir être institutionnalisé. En attendant, comme je n’ai pas eu le temps d’intégrer les changements que certains parmi vous ont eu la pertinence de me proposer et la gentillesse de partager, je suis toujours sur ma trame initiale pour cette année.

Dans mes deux classes de sixième, nous en sommes à peu près au même point :

La première partie est finie :

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Une version collective

 

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Une version individuelle, qui m’intéresse et que je vais réexporter dans la séquence, car elle aborde les solides et les polygones, ce qu’aborde aussi cette séquence.

Aujourd’hui, nous avons comparé les écritures qui ont marqué les élèves :

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C’est intéressant de voir que les deux classes ont cité les cinq mêmes types d’écriture (pas en toutes lettres, par exemple), mais n’ont pas synthétisé de la même façon. En particulier, pour comparer deux nombres, une classe préférait initialement l’écriture fractionnaire, l’autre l’écriture décimale. Les deux classes ont évoqué la division, mais de façon différente aussi. À noter que tous m’ont dit que les décimaux étaient « réservés » aux maths, et compliqués hors maths.

À cette occasion, nous avons retracé leur parcours mathématique pour découvrir les fractions. Ils se sont souvenus d’abord avoir partagé, puis avoir divisé. Bien. Hé bien aujourd’hui, leur ai-je dit nous allons envisager les fractions d’une autre façon encore. Et nous avons entamé la deuxième partie :

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J’ai de nouveau utilisé les logos, pour les coller au tableau :

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Puisqu’il fallait comparer, nous avons comparé jusqu’à ce que le même nombre soit représenté à coup d’unités ou à coup de 2/3. Certains élèves ont compris très vite, vraiment compris : trois fois deux tiers, ça donne deux tiers plus deux tiers plus deux tiers, donc six tiers, ou deux unités. D’autres ont remarqué la « coïncidence  » des nombres 2 et 3 qui apparaissent dans des rôles différents. Ils m’ont fait écrire ça :

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Ensuite, nous sommes passés à la question 2. Dans la question 1, mon but était de m’appuyer sur la manipulation (dont le sens avait été intégré par les élèves dans la partie 1) puis la représentation, et de s’engager dans l’abstraction. Dans la question 2, j’espérais pouvoir me passer de l’étape de manipulation. Les élèves me l’ont réclamée, alors j’ai fait mine de les suivre. Rapidement, ils m’ont dit que non, ça allait être trop long puisqu’il faudrait « 8 petites briques et 3 grandes briques ». Quand j’ai demandé pourquoi, certains m’ont montré le dessin qu’ils avaient fait sur leur cahier en s’imaginant la manipulation, et d’autres n’en avaient pas besoin : ils avaient modélisé.

Un élève a résumé ainsi :

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Il a utilisé des dessins pour généraliser, ce qui est une démarche intéressante.

Enfin, nous sommes passés aux exercices. Des automatisations du type 5×(3/5)=? Tous les élèves ont réussi, et m’ont dit des tas de choses très variées :

  • C’est super simple, la réponse est dans la question
  • En fait on répète tout le temps la même chose, c’est facile
  • Ca veut dire que 5 cinq fois le nombre trois cinquièmes ça donne trois unités
  • Ça veut dire que si je mets cinq petites briques de trois picots de long ça donne trois unités qui seront chacune des briques de 5 picots
  • Est-ce que je peux faire un dessin ?
  • Est-ce que je peux prendre les légos pour le faire parce que je ne vois pas ?
  • En fait, 3/5 c’est un nombre et la multiplication m’explique ce qu’il veut dire

Autrement dit, les élèves en sont à des stades très différents de leur compréhension. Pour certains elle n’est pas encore vraiment engagée, pour d’autres peut-être aboutie. Je les avais avertis en début de séance, qu’il faudrait du temps et que ce temps ne serait pas le même pour chacun. Mais un rythme de compréhension, ça se respecte. Et ça se travaille, aussi.

Comme il me restait quelques minutes, j’ai eu le temps de mener avec eux une petite réflexion : qui parmi vous pense avoir compris ? Presque toutes les mains se sont levées, mais une élève (par ailleurs réservée, j’étais contente qu’elle exprime son point de vue ainsi) a dit « Moi, je ne sais pas si j’ai vraiment compris. Je sais ce que je dois faire, je sais comment le faire, mais je ne suis pas sûre de savoir vraiment pourquoi. »

Nickel, c’est exactement ce que j’attendais.

Alors, ai-je demandé aux autres ? Réfléchissez bien. Je vous repose la question, car votre camarade a raison : je peux savoir quoi faire là tout de suite sans avoir vraiment compris. Qui a compris ? Il restait moitié moins de mains levées et les enfants avaient l’air de considérer la question avec un grand sérieux. C’est normal et cela ne m’inquiète pas du tout, car c’est ainsi chaque année et en fin d’année je ferai mon bilan. Comme je travaille par tâche et pas par notion, nous allons réactiver tout le temps  partir de maintenant et donner du sens par des biais et dans des contextes variés. Mais surtout, je suis très contente que nous ayons pu réfléchir à ce que signifie comprendre, et à pourquoi c’est utile. Comme a conclu un élève « si je n’ai pas vraiment compris, dès que ça va changer un peu ou être au milieu d’autres trucs, je saurai pas faire. Ou j’aurai oublié. Si j’ai compris, bin j’aurai compris, quoi. »

Demain, réorganisation au propre de tout ce que nous avons institutionnalisé dans tous les sens mais façon puzzle.

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Faire des liens

Souvent, c’est difficile de faire faire des liens aux élèves entre les différents éléments que nous travaillons avec eux. Encore plus entre disciplines, d’ailleurs. Mais aujourd’hui, en sixième, nous avons étudié et utilisé le crible d’Eratosthène sur Arithmetica. Nous avons trouvé les 25 nombres premiers entre 1 et 100, et j’ai demandé aux élèves ce qu’ils en pensaient, si ils trouvaient que c’est beaucoup ou peu. Réponse :

« 25 parmi 100, ça dépend comment on le considère, madame. Ca fait 25%, ou encore un quart, ou deux huitièmes, ou bien 25 centièmes. Mais on pourrait dire que c’est 250 millièmes, aussi, ou deux dixièmes et cinq centièmes. Et puis c’est une unité moins trois quarts, ou 0,25. Donc bon, tout dépend comment on le regarde.« 

Le tout avec un magnifique sourire… Bravo les jeunes !

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A l'attaque !·Allez les jeunes !·Chez les élèves·Cycle 4·En classe·Je suis fan·Mots de maths

Mots et maux (2)

Même classe, même jour, même exercice que :

  • Ferid nous propose les nombres 51, 52 et 53 pour répondre à la question. Qu’en pensez-vous ?
  • C’est bon, ça marche.
  • Mais nous on a une autre solution madame !
  • Ah oui, allez-y.
  • 1, 52 et 103.
  • Qu’en pensez-vous, les autres ?
  • La somme ça fait 156 et c’est des entiers, mais ça va pas parce qu’ils sont pas consécutifs. Nous on avait fait l’erreur aussi au début.

Ils expliquent à leurs camarades, et les convainquent.

  • Vous voyez comme les mots sont importants? Si je ne comprends pas la signification de chaque mot « entier », « somme », « successif » dans le champ des mathématiques, je risque de ne pas comprendre la question et de répondre à côté. C’est pour ça qu’il faut que vous demandiez, lorsque vous n’êtes pas sûrs, ou, encore mieux, que vous alliez vérifier dans mon ami dico. Alors on fait quoi, on garde ou pas la proposition 1, 52 et 103 ?
  • Non, on peut pas, ça va pas puisqu’ils sont pas successifs.
  • Ok. Quelqu’un a une autre idée ?
  • Oui, oui. Enfin non, mais on cherche et on va presque trouver !
  • Mais non madame, c’est pas possible, on a trouvé les seuls qui peuvent correspondre à la consigne !
  • Pourquoi ?
  • C’est logique, il n’y en a pas d’autres !
  • Vous êtes convaincus, tous ? P’têtre qu’il a raison… Ou p’têtre qu’il se trompe… Comment pourrais-tu convaincre tes camarades ? Ou te convaincre que tu te trompes ?
  • Je sais pas. … Aaaah si je sais, je fais le montrer avec du calcul littéraire. Je vais mettre un chiffre du genre « z » à la place du truc et je vais raccourcir le calcul comme on a appris et ensuite je vais solutionner le « z ».
  • Et comment tu vas faire le celui d’après de z ?
  • Celui d’après de z, c’est avec +1, puisqu’il est successif. C’est pour ça que j’ai pris z, sinon avec a bah ça aurait été b. Tu peux prendre que z.

Je n’ai même pas le temps de réfléchir à la façon dont je vais amener les élèves à reformuler cette jolie trouvaille, comment je vais leur faire comprendre que a ou z, c’est la même idée : ils se replongent tous dans leurs calculs. Je me demande ce qu’ils font. Je circule, j’observe. Ils ont tous écrit une modélisation correcte, une équation qui traduit la consigne. Certains butent sur la résolution, les autres leur expliquent que c’est une « opération à trou sans trou ».

Ils trouvent 51 pour le premier entier, et complètent par 52 et 53. Et me déclarent :

  • Il a raison, Antoine. Parce que quand on a écrit le problème avec une lettre, et qu’on a réduit et qu’on a résolu, ça donne ça et il n’y a rien d’autre que ça peut donner.
  • Ça fait une solution unique, madame.
  • Enfin unique mais c’est les trois nombres ensemble qui sont uniques, quoi.
  • Quand même madame, c’est cool le calcul littéral ! C’est genre fort, quoi !
  • Par contre Antoine il dit z, mais ça peut être a, ou x, ou n’importe quoi d’autre, parce que le truc qu’on met à la place pour imaginer il a pas d’importance.
  • Oui, moi j’ai fait un smiley. Ça marche aussi.
  • Ah oui, c’est vrai. b c’est pas le successeur de a dans les maths. C’est dans l’alphabet, que c’est vrai, chuis bête.

Ouahou. Je suis sortie épuisée, mais ouahou. Ils ont compris plein de choses, sans moi.

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J’espère qu’ils sont fiers.

Aujourd’hui, j’allais dans les écoles, comme tous les jeudis-vendredis.

Ce matin j’ai vu mise en oeuvre la méthode Picbille en CE1 et c’était très très intéressant, comme toujours d’ailleurs. En plus, à chaque fois que je viens dans les classes, j’apprends en matière de gestion de groupe : nos collègues PE, qui n’ont pas de vie scolaire comme dans le second degré, qui s’adressent à des enfants plus jeunes, qui passent la journée entière avec les enfants, gèrent au quotidien des situations qui sans doute nous mettraient nous dans l’embarras.

Un des moments forts de la journée, ça a été le calcul mental : l’enseignant a repris la famille des quatre-vingts et des quatre-vingt-dix, et, à coup de « et encore deux », « et encore un », les enfants sont arrivés à 100. Et alors là, quel magnifique enthousiasme : déjà, à 99, les enfants se sont exclamés « 99 !!! C’est incroyable !!! ». Et arrivés à 100, ça a été « Ouaiiiiiiiis, 100!!! », « C’est la fête, on est à 100! », et les enfants en ont profité pour exprimer le nombre 100 sous plein de formes différentes : 80+10+10, 80+20, 90+10, 10+10+…+10, 10×10… J’espère que l’enseignant s’est senti fier : c’est bien lui qui a allumé ce feu, cette envie de faire des maths. C’était beau à voir.

Et cet après-midi , j’ai introduit et animé la séance, dans une autre école, grâce à la gentillesse de la collègue qui a bien voulu me laisser mener la mise en activité. Nous avions décidé de faire construire un jeu aux enfants, sur le modèle de celui que j’avais fait élaborer aux sixièmes. Aujourd’hui, il s’agissait de leur expliquer l’objectif, les règles du jeu, et de leur faire concevoir des questions.

J’ai donc expliqué tout ça aux enfants, et pour moi cela a été une expérience très forte : il m’a fallu me concentrer fort pour m’adresser à eux avec les bons mots. Ils ont été super attentifs, et moi je me sentais tellement trop grande, juchée sur mon mètre quatre-vingt, mes talons et l’estrade… Mais ça s’est bien passé, et ensuite ils ont bossé d’une façon qui nous a scotchées : ils ont réussi à se concentrer vraiment longtemps, à produire des tas de questions super, et tout le monde a travaillé dur, dans une ambiance très sympathique. Ils ont rédigé une centaine de questions, ce qui est plutôt pas mal !

Le bilan est vraiment de grande qualité, même si certaines productions ne pourront pas être retenues. Le plus frappant, c’est que ce qu’ils ont produit une majorité de problèmes, et que ces problèmes sont bien des problèmes et sont intéressants. J’espère que l’enseignante est fière : c’est sa pratique quotidienne de problèmes qui les a amenés à considérer ce type d’exercices avec autant de naturel et d’envie.

Et puis c’est rigolo, j’ai passé avec eux quatre ou cinq jeudis après-midi et ils me connaissent déjà bien…

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