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Revenons à la médiane.

Je reviens à mon histoire de médiane. Je rappelle le problème : dans la question reproduite ci-dessous du sujet de mathématiques de DNB des centres étrangers, on demande LA médiane d’une petite série statistique. Or selon la définition choisie, deux réponse peuvent convenir.

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Comme je donne aux élèvesune définition procédurale (la valeur centrale d’une série ordonnée si son effectif est impair, la moyenne des deux valeurs centrales d’une série ordonnée si son effectif est pair) et que je considère comme une conséquence qu’au moins 50% des valeurs de la série lui sont inférieures, et pareil pour supérieures, je n’avais pas de souci en corrigeant l’exercice. Mais une collègue m’a fait remarquer qu’avec sa définition, à savoir qu’une médiane d’une série statistique est UNE valeur qui partage la série en deux sous-séries qui contiennent chacune au moins 50% des valeurs, la médiane n’est pas unique, et dans ce cas précis 5,5 et 6 conviennent. On aurait aussi pu proposer n’importe quelle valeur entre 5 et 6.

Voilà qui pose deux problèmes, à deux niveaux différents : comment sera corrigée cette question, et y a-t-il consensus sur un sens, sinon une définition, de la médiane ?

Sur Euler, on trouve ceci :

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J’ai ouvert mes manuels, en me limitant aux manuels cycle. Voici ce que j’y ai trouvé :

Dans le Delta :

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La définition ne pose pas de problème puisqu’elle annonce « une » valeur. Nous sommes donc dans un cas apparemment assumé de non unicité de la médiane. Les exemples sont cohérents : dans le premier cas, seule la valeur 15 convient selon la définition. Pour l’exemple 2, la définition est aussi respectée  il n’y a pas unicité et l’algorithme est donné comme une méthode que l’élève peut automatiser.

Dans le Maths Monde :

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La définition est équivalente, donnée en effectif plutôt qu’en fréquence. C’est bien UN nombre qui… Et les exemples sont traitées de façon cohérente, avec la précision encore plus explicite que dans le Delta : tu as le choix, mais voilà comment tu peux faire si tu veux automatiser. L’importance d’ordonner pour y voir plus clair est évoquée, sans lui donner un caractère indispensable.

Dans le Livre scolaire :

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La définition est plus algorithmique : on part d’une série dans l’ordre croissant et on n’évoque pas la comparaison des valeurs de la série à la médiane. C’est une définition assez visuelle, mais moins basée sur la compréhension.

Dans le Kiwi :

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Ici, on a fait finalement le choix de la définition algorithmique. Mais on part de la médiane qui est UN nombre pour définir LA médiane. On glisse ce qui picote sous le tapis, là. C’est le problème avec la définition algorithmique, en fait.

Dans le Dimensions :

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Le choix du Dimensions est celui du Livre scolaire, mais le développement de l’exemple 2  explicite la non-unicité clairement. Et il ajoute la reformulation qui donne plus de sens, en comparant les valeurs à la médiane choisie.

Dans le Transmaths :

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Cette fois, la définition propose de comparer les valeurs de la série à la médiane, et précise inutilement qu’il faut ordonner les valeurs de la série dans l’ordre croissant. Comme dans le Kiwi, l’exemple 2 impose une méthode sans donner de choix. L’exemple rend la médiane unique.

Dans le Myriade :

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Comme dans le précédent manuel, imposer de commencer à ordonner n’est pas utile au vu de la définition donnée. En revanche le personnage développe la non-unicité de la médiane d’une série d’effectif pair.

Au final, je vais changer de définition. Pourtant hier encore je pensas qu’elle était la plus pratique. Pratique je ne sais pas mais signifiante, non. Je préfère la version de Maths Monde, pour le coup : elle es courte et les remarques qui l’enrichissent sont à leur juste place, je trouve.

Sur le site de l’académie de Strasbourg, on trouve un intéressant document d’Etienne Meyer qui aborde explicitement la question. Dans les programmes actuels, on ne trouve aucune définition relative à la médiane :

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Etienne Meyer avait décortiqué les anciens programmes de troisième et de seconde pour éclaircir les choses.

définitions algorithmiques des quantiles et de la médiane

On peut prévoir des difficultés de compréhension chez les élèves de la définition des quantiles en raison de la structure de la phrase française « le plus petit élément q des valeurs des termes de la série  tel qu’au moins  25% des données soient inférieures ou égales à q ». L’ordre d’énonciation dans la langue française n’est pas congruent avec  l’ordre des opérations successives qu’il faut effectuer pour trouver la valeur du quartile .

Pour les élèves il est peut-être préférable de donner des définitions algorithmiques des quantiles. La définition donne ainsi le moyen de calculer le quantile correspondant.

Il écrit aussi :

Si vous êtes amenés à corriger un exercice dans lequel un calcul de quantiles est demandé, acceptez toute réponse conforme à la notion de quantile

Si vous composez vous même un énoncé, évitez si possible de poser brutalement la question : «quelle est la médiane ? » ou « quel est le premier décile ?», mais demandez le calcul d’une valeur répondant à une propriété explicitement formulée dans le contexte de l’exercice.

Il conseille la définition que j’utilisais et que j’ai décidé de ne plus utiliser comme définition, parce qu’elle est univoque.

Il n’empêche qu’il y a un souci et que cette question de DNB le met clairement en évidence. Les deux réponses 5,5 et 6 sont acceptables. Ou alors il faut imposer la définition algorithmique.

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Du CAPES à la troisième, belle continuité

Hier et aujourd’hui nous avons fait réviser les élèves, en troisième, pour le DNB. Nous avons rencontré cette question :

Un élève a justifié ainsi : « non, car il faut mettre au même dénominateur pour additionner deux fractions. » Cette justification m’a embêtée : certes, additionner deux fractions nécessite un dénominateur commun. Pour autant, dans ce cas précis, ç’aurait pu marcher quand même. Mon élève a donc vérifié que ce cas ne fonctionnait pas et m’a demandé si je pensais possible de trouver des cas où « ça marche ». Alors nous avons modélisé cette condition. On s’est bien amusés et j’ai pu mesurer comme certains de nos élèves de troisième atteignent un niveau remarquable grâce au travail de mes collègues.

C’était vraiment chouette!

ce qui est rigolo, c’est que c’est la somme des cancres que j’ai corrigée au capes!

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Le sujet de DNB des centres étrangers (avec des interrogations dedans)

Passons au sujet des centres étrangers.

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Les thèmes abordés :

En géométrie :

  • homothéties
  • le théorème de Thalès et sa réciproque
  • la trigonométrie
  • construction (d’un triangle équilatéral de côté 2cm)

En numération et calculs :

  • une décomposition en facteurs premiers
  • calcul numérique
  • écriture littérale d’un programme de calcul exprimé en langage naturel
  • expression d’un périmètre en fonction d’une variable
  • calcul d’une expression littérale pour une valeur de x donnée
  • résolution d’une équation
  • développement d’une expression littérale (double distributivité)
  • une réduction en pourcentage

En mesures et grandeurs :

  • notion de périmètre
  • volumes (d’un cylindre en particulier)

En gestion de données et fonctions :

  • la médiane d’une série statistique
  • écriture d’une formule de tableur
  • interprétation d’une feuille de calculs
  • tableau à double entrée
  • la lecture et l’interprétation d’un diagramme cartésien
  • le concept de proportionnalité (vu sous l’angle de la représentation graphique, d’un calcul de taux, d’une vitesse moyenne, de la proportionnalité « de base », de grandeurs produit avec le kWh)
  • probabilités

En programmation, il s’agit d’associer un script à la figure correspondante et de compléter deux scripts : il faut compléter le nombre d’itérations de deux répéter, et compléter deux mesures d’angles, dont l’une est évidente et l’autre moins, puisqu’il s’agit de tracer un triangle équilatéral et que beaucoup d’élèves vont répondre 60°.

En terme de compétences, on a à nouveau tout, dont beaucoup de représenter encore. On note davantage de calcul littéral dans ce sujet, et une difficulté globale qui me paraît plus importante. Pour autant, le sujet est moins rigolo à mon sens (j’aime bien l’ex des boulets dans le sujet d’Amérique du Nord) et certains exercices sont de grands classiques.

Difficile de me décider sur un exercice à analyser. Je choisi finalement le premier exercice, celui du QCM.

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Question 1 :

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Tout repose sur la connaissance de ce qu’est un nombre premier. Les trois propositions donnent bien 28, et ce sont toutes des produits (j’aurais tenté 23+5). Pour un élève qui pense que 2 n’est pas premier parce qu’il est pair, pas de réponse possible. Sans doute la puissance de 2 gênera des élèves.

Question 2 :

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38 correspond à 58-20, la deuxième proposition est correcte et la dernière correspond à 58-2%. On cherche donc à évaluer la représentation du pourcentage. Un élève un peu logique et qui s’est intéressé aux remises verra rapidement qu’en terme d’ordre de grandeur la dernière proposition est exclue. Il peut facilement s’en sortir en passant par 10%, mentalement. Une proposition correspondant à donner 20% du prix, soit la remise elle-même, est évitée, et c’est tant mieux pour un QCM. On n’aurait pas testé la même compétence et l’évaluation étant binaire, ce n’aurait pas été judicieux à mon sens.

Question 3 :

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Le choix ne porte que sur le choix de la ligne trigonométrique à utiliser. Bof, je ne suis pas bouleversée. Mais admettons que c’est une question de connaissances.

Question 4 :

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Tiens, revoilà une médiane, avec une série en vrac, mais cette difficulté est contournée car aucune proposition ne correspond à la moyenne de 3 et 12. L’effectif total est pair, et la médiane n’est pas un entier : la première proposition est la bonne. 6 c’est la moyenne, 10 c’est l’étendue. Je suppose que nous avons donc ici une autre question dont le but est de tester les connaissances.

Une collègue m’a fait justement remarquer que 6 convient aussi : si on s’appuie sur la définition « La médiane d’une série statistique est le nombre tel que 50% au moins des individus ont une valeur du caractère inférieur ou égale à ce nombre
et 50% au moins des individus ont une valeur supérieure ou égale à ce nombre », 6 est en effet acceptable. Pour ma part je m’appuie sur la définition d’Euler, et il n’y a pas de problème :

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Mais je comprends cette collègue car dans certains manuels on trouve la définition sur laquelle elle s’appuie. Pour aller plus loin, voici ce qu’on trouve dans le Sesamaths :

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et alors la médiane vaut 5 si l’inégalité est au sens large… et6 si c’est aux sens strict et qu’on parle de valeurs acceptables pour la série considérée (c’est-à-dire du type n avec n entier compris entre 0 et 20 ou n+0,5 avec n entier entre 0 et 19. Et sinon en soi cette définition ne veut rien dire du tout au sens strict car il n’existe pas de plus petit nombre strictement supérieur à un nombre donné.

Question 5 :

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Une homothétie, ça c’est sympa. On élimine la proposition « 2 » car on lit bien la consigne et qu’il s’agit d’une réduction. En revanche les deux autres propositions m’ont plongée dans une grande perplexité. Si je réalise une homothétie de centre B et de rapport -0,5, j’obtiens la figure recherchée :

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Mais si je fais apparaître le point O, je peux définir mon homothétie avec un rapport de 0,5, non ?

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Evidemment, cette dernière possibilité est attachée ici à ce cas particulier, et non à une configuration générale (alors que la proposition -0,5 non) :

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C’est moi qui yoyote ? Au secours…

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Le sujet de DNB d’Amérique du Nord

Puisque demain je retourne en classe pour les révisions du DNB, il est temps de se pencher sur les deux sujets sur lesquels nous allons faire travailler les élèves. Commençons par le sujet d’Amérique du Nord.

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D’un point de vue global, on a huit exercices portant sur les thèmes suivants :

En géométrie :

  • le théorème de Pythagore
  • la trigonométrie
  • le théorème de Thalès (sous sa forme contraposée)
  • les transformations du plan (symétries centrales, symétries axiales, rotations et translations)
  • représentation mentale de solides

En mesures et grandeurs :

  • volume de la boule
  • longueurs, angles, capacités

En numération et calcul :

  • des représentations du nombre (fraction, pourcentage, écriture décimale)
  • le calcul de fraction (une application de « la somme des cancres » proposée au CAPES, c’est rigolo)
  • les nombres premiers
  • le calcul algébrique (un développement)

Dans le domaine des fonctions et de la gestion de données :

  • la notion d’image d’un nombre par une fonction
  • les probabilités
  • la représentation de données (diagramme en barres, tableau à double entrée, programmation, courbe représentative d’une fonction)
  • l’utilisation du tableur
  • le sens et l’interprétation de la moyenne, de la médiane, de l’étendue
  • application d’une formule donnée (pour déterminer la masse d’alcool dans une boisson) (à placer dans calcul aussi)
  • proportionnalité (masse volumique)

On trouve aussi de la programmation (compréhension d’un script avec une boucle conditionnel et un répéter).

Enfin, la notion de suite numérique est sous-jacente dans un exercice (mais non explicite évidemment).

Du point de vue des compétences, toutes sont représentées :

Chercher est mobilisée un peu partout, pour s’engager dans une démarche, tester, valider, extraire des informations, les organiser, les confronter à ses connaissances, analyser un problème ;

Modéliser est mobilisée dans l’exercice 1 pour se ramener à des modèles adaptés, sur les probas, dans l’exercice 7 pour comprendre la rangement des boulets, dans l’exercice 8 pour se reporter à l’interprétation des indicateurs statistiques, en programmation pour comprendre le script;

Représenter est mobilisée partout : au travers du dessin en géométrie, dans la représentation des nombres, dans l’exercice des boulets (situation spatiale) ;

Raisonner est mobilisée également partout : il faut établir des résultats justifiés, résoudre un problème ;

Calculer est mobilisée au travers du calcul littéral et de quelques calculs simples ;

Communiquer sera, je l’espère, mobilisée : en utilisant les langages mathématiques, pour expliquer et argumenter, pour porter un regard critique.

Pour finir, je vais analyser un exercice. J’ai choisi l’exercice 8.

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Cet exercice ressemble assez à ce qui peut être proposé aux élèves de seconde, dans l’idée. Que peut-on en dire ?

  • il faut bien lire la consigne, chargée d’informations à catégoriser : la série comporte huit valeurs, une réussite correspond à une valeurs supérieure ou égale à 10, on dispose de trois indicateurs et on sait que 75% des valeurs sont supérieures ou égales à 10 ;
  • la répartition et les contenus dans information 1 / information 2 sont curieuses ;
  • le 75% se ramène au troisième quartile, mais les quartiles étant sortis du programme l’information a été reformulée ;
  • la première question a plusieurs entrées : on peut simplement partir de l’étendue et raisonner par l’absurde : si une des notes inconnues était 16, l’étendue serait de 10, ce qui est supérieur à l’étendue annoncée. Les notes inconnues sont donc inférieures ou égales à 15, avec au moins l’une d’entre elles égale à 15. On peut aussi passer par la moyenne et la médiane, mais c’est nettement moins immédiat : avec un 16, le total de 7 notes donne 82. Il reste 10 points pour l’autre note, ce qui ne contredit pas le nombre de reçus mais fournit une médiane de 11,5 au lieu de 12.  C’est moins direct et cela impose d’avoir compris que dans la notion de moyenne, tout se joue sur la somme des valeurs ;
  • la question 1 correspond à une recherche d’information, et oblige les élèves à vérifier une proposition ;
  • la question 2 est une simple recherche de validation : avec les valeurs proposées, obtient-on bien les indicateurs annoncés et 75% de réussite ? Cette question est procédurale et j’aurais bien aimé une proposition de réflexion plus poussée. Les valeurs ne sont pas dans l’ordre, et on pourra vérifier la compréhension de l’importance d’avoir une série ordonnée, ou le degré d’étourderie, au choix ;
  • enfin, cet exercice donne comme contexte aux statistiques des notes, dans le cadre d’un concours. L’étude d’une situation plus utile et concrète ou liée à l’actualité aurait été plus intéressante.
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Les silencieux à l’école

Un article est paru dans Libé aujourd’hui, qui me touche particulièrement, aujourd’hui où j’ai participé à faire passer les oraux de DNB :

Jung catégorisait « comme «introverties» les personnes qui puisent plus facilement leur énergie dans le calme et la solitude, et qui la perdent avec davantage de fracas là où les interactions sociales sont incontournables ». L’article pose la question : les enseignants confondent-ils participation et investissement ? Sans doute pas, mais il est évident que participer, dans les normes scolaires, toutes rigides qu’elles soient, est une obligation. « Doit participer davantage », « trop discret », voilà des marronniers des bulletins. L’article amène à distinguer l’introversion et la timidité, toutes deux liées à la socialisation. L’une est un manque d’intérêt pour l’interaction, et l’autre la peur de l’humiliation sociale, assez compréhensible malheureusement en milieu scolaire.

Dans la Force des discrets (2012), Susan Cain explique que «les introvertis vivant dans le monde de l’idéal extraverti sont, comme des femmes dans un monde d’hommes, bafoués pour un trait de caractère indissociable de leur identité profonde».

Les effets secondaires de la non-participation reprochée sont le manque d’estime de soi, la dépréciation, l’attrait pour la transparence, le sentiment de décevoir, d’être inférieur. Les enseignants ne sont animés d’aucune mauvaise intention, mais parfois certaines maladresses blessent durablement et la confiance en soi est difficile à restaurer.

Ce matin, en voyant des élèves être dans une telle difficulté douloureuse pour passer leur oral, je me faisais la réflexion suivante : quand on a du mal à lire, à écrire, on a une aide, dans les examens. Un aménagement, un secrétaire, un lecteur. Mais quand on a du mal à s’exprimer en public, on n’a « qu’à se forcer ». Pourtant, croyez-moi, cela n’a rien de naturel pour certains enfants (et certains adultes d’ailleurs), et leur difficulté n’est pas feinte. Quand on est enseignant, qu’on passe sa vie à parler, il n’est sans doute pas évident de mesurer la réalité des introvertis, ou des timides. Pourtant c’est essentiel, car nous risquons d’être violents et d’abîmer de si belles pépites silencieuses…

Merci beaucoup à Rachid Zerrouki pour cet article, qui met en lumière les silences.

Actualité·Chez les cadres·DNB

Un nouveau brevet ?

C’est à lire ici : Jean-Michel Blanquer envisage une réforme du DNB pour 2021. On approche le rythme d’une réforme du brevet par an. Le DNB, jugé «trop lourd» par le ministre, serait modifié dans le sens d’une valorisation ses engagements civiques des élèves. C’est ce que monsieur Blanquer a déclaré hier en commission des finances de l’Assemblée nationale.

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