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Construire une évaluation, ce que c’est difficile !

Demain mes élèves de cinquième seront évalués sur une heure. J’évalue très souvent, de façon rapide, en action en classe, en salle info, et je réévalue dès que je le peux. Mais une fois par période, je propose une évaluation récapitulative, sur la période mais aussi sur l’année. Construire ces évaluations, je trouve ça incroyablement complexe, et presque 30 ans de métier n’y changent pas grand chose, à part sans doute que je me pose encore plus de questions. Je suis davantage consciente du fait que l’évaluation est un moment très très fort d’apprentissage, aussi.

D’abord, il faut faire des choix d’objectifs : qu’est-ce que je veux évaluer ? Quels savoirs, quelles compétences ? Ca, ça va, c’est simple.

Ensuite, il faut trouver des tâches qui soient accessible à toutes et tous, ne présentent pas de problème de lexique, se rapportent bien à ce que nous avons travaillé, mais ne soient pas non plus des redites : les entraînements purs, je les teste en évaluation flash, et là je veux aller ailleurs.

Une fois cette étape atteinte, j’ai beaucoup trop d’exercices. Alors je catégorise, en les rangeant dans des parties nommées par le thème : « calcul littéral », « angles et triangles », etc. Et je m’interroge sur chaque item : qu’apporte cette question ? Que vais-je vraiment pouvoir évaluer ? Quels éléments parasites pourraient empêcher mes élèves de montrer ce qu’ils savent et ce qu’ils savent faire ? C’est la partie délicate, pour deux raisons : il y a des tâches que j’aime, auxquelles je tiens, et que j’ai du mal à abandonner alors qu’elles ne sont en fait pas bien adaptées au contexte évaluatif. Et puis même si j’ai progressé, c’est difficile de me mettre à la place d’élèves qui n’ont vraiment pas compris quelque chose. D’autant que si j’évalue maintenant, c’est parce que je crois que toutes et tous ont compris…

Bon quand j’en suis là, je mets en page. Objectif : que tout cela occupe un A3 recto-verso, qui sera plié en livret, de sorte que les réponses soient écrites sur cette feuille (sauf les figures, qui seront réalisées sur une feuille blanche à part, glissée dans l’évaluation-livret). J’aime bien que les élèves aient toujours le même type de support : des exercices qui annoncent ce sur quoi ils portent, pour choisir l’ordre de résolution, une forme qui est stable.

Quand j’ai fini par obtenir ce que je veux, que la mise en page me convient, j’imprime et je résous. Et en général je déchante. Des variables didactiques mal choisies, des redondances dans ce que j’évalue… Je corrige, je reprends, je réimprime, je reteste.

Après tout cela, j’ouvre mon Sacoche et j’attribue les compétences. C’est là que parfois tout est à refaire, parce que je n’ai pas un éventail suffisamment large de savoirs et de compétences dans l’évaluation, ou bien parce que des compétences qui me semblent fondamentales manquent…

Dans ce cas-là, C’est reparti pour un tour.

Et quand j’ai un contenu ordinaire qui me convient, c’est le moment de penser différenciation. Si tout va bien, elle est déjà incluse. Parfois, il faut que je revoie des choses ou que je prévoie un coup de pouce : des pictos, des mots en langue étrangère, des amorces pour les figures, des exemples pour illustrer ce que j’attends…

C’est un sacré boulot. Pourtant, une fois les copies revenues, et même parfois en direct pendant l’évaluation, je m’aperçois que ce n’est pas encore assez pertinent. Je le note, je l’analyse, et je réfléchis pour la fois prochaine… Sans que cela nuise aux élèves bien sûr.

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Nombres en formation

Ce matin, j’ai rencontré des collègues de cycle 2 de Rouen et sa région pour parler nombres et calculs. Des maths, dés échanges, des rencontres, avec toujours en visée les élèves… C’est ressourçant!

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Equations et propriétés des opérations

Ce matin, au petit dej, mon mari et moi discutions de la résolution des équations. Avec un de ses élèves en Ulis, il essaie de lui faire comprendre le principe de résolution, mais c’est difficile : son élève n’a déjà pas encore bien intégré la réversibilité addition/soustraction et multiplication/division, alors déterminer quelle opération appliquer pour conserver une égalité, c’est évidemment difficile. Cela m’a rappelé un échange avec des élèves de quatrième cette semaine, qui était très intéressant.

Nous avions introduit les équations depuis un moment, résolu des tas de calculs à trous, et commencé à représenter parle calcul littéral. Nous avions modélisé les équations du type x+a=b, et ça roulait plutôt pas mal, quels que soient les natures et les signes des nombres a et b.

Nous sommes arrivés devant une équation du type 3x+5=2. Comme nous avions manipulé avec mes cubes et le système de mon collègue Gani Mohamed, les élèves ont tout de suite compris que je les faisais monter en compétences et qu’il allait falloir diviser, « parce que 3x c’est trois fois x et que pour décrocher la multiplication par 3 il faut une division ». Nous avons discuté priorités de calcul, dégagé des règles, puis nous avons traité d’autres exemples, et nous sommes arrivés là où je savais que ça allait être dur-dur : une équation du type -6x+2=11.

Les élèves ont commencé par soustraire 2 dans chaque membre de l’égalité, certains mimant les plateaux de la balance avec leurs mains, d’autres ayant un accès plus direct à la résolution calculatoire. Et ensuite ? Quand on est devant -6x=9, on fait quoi ? Hé bien pour la majorité des élèves, on additionne 6, voilà.

Alors j’ai souri, parce que je m’y attendais et que j’aime bien aider les élèves à surmonter des obstacles. Comme là j’étais dans ma zone de confort, c’était tranquille. Nous sommes revenus à ce qu’est -6x. Tout le monde m’a dit: « c’est x multiplié par -6 ». « Alors on fait quoi ? » ai-je demandé. Réponse :

Bin en principe on devrait diviser, mais quand même on va pas diviser par un nombre négatif ??? … On peut, madame, diviser par un nombre négatif ?

On n’aurait pas étudié la règle des signes ? On n’aurait pas appris à gérer les divisions par des nombres négatifs ?

Si mais c’est pas pareil, là faut diviser-diviser, avec la règle des signes, on fait des calculs.

Il y a deux enseignements à ces échanges :

  • Je n’ai pas réussi à donner assez de sens à la règle des signes. En même temps, je comprends : je l’ai démontrée, et pour certain(e)s c’est donc du domaine de l’abstraction, de l’idéalité, voire de la bidouille ;
  • Diviser, cela reste faire des paquets ou déterminer combien d’objets il y a dans les paquets. Et on ne peut pas constituer concrètement des nombres négatifs de paquets, ni mettre dans des paquets un nombre négatif d’objets. Ces représentations de ce qu’est la division datent de l’école et ne sont pas facilement adaptables pour les élèves, comme beaucoup d’approches apprises à l’école. Il y a la division-division, qui a du sens, et la division-calcul, qui est manifestement autre chose.

C’est sur cette question que mon mari a eu une idée, appuyée sur du repérage, et je vais essayer. Mais on est de toute façon dans une difficulté robuste : on ne peut pas tout représenter concrètement, parce qu’à un moment donné le but est justement de passer à l’abstraction. En même temps, certains élèves en ont besoin, de manipuler, et il faut aussi les accompagner.

Bref, c’est compliqué, et passionnant.

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Le calendrier maya, par CoVo

Lors de notre récente sortie chez le bouquiniste, j’ai ramené ce livre, édité chez Dante :

Je travaille régulièrement sur la numération maya, pour réfléchir à la numération et aux calculs dans d’autres bases, et pour travailler le zéro : chez les Mayas, le symbole « coquillage » symbolisait l’absence dans un rang donné, mais ce n’était pas un zéro car il ne permettait pas les calculs. Le zéro à la Brahmagupta, lui, avait ceci de révolutionnaire qu’il était d’emblée fait pour calculer, pas seulement pour écrire des chiffres qui constituent l’écriture d’un nombre. C’est super important, comme différence.

Donc bref, je me suis dit tiens, ce livre m’intéressera sans doute. Et c’est le cas.

La lecture est très accessible : le livre est illustré, façon bd-doc. On apprécie ou pas le ton humoristique, mais il permet sans aucun doute une entrée facile pour des jeunes, malgré un aspect désuet.

Côté maths, c’est intéressant : l’auteur mélange chiffres, lettres, nombres et numéros. C’est un ouvrage traduit, en plus, et j’ignore donc comment le texte a « vécu ». C’est très intéressant à observer, car c’est signifiant, du point de vue didactique. Je ne suis pas d’accord avec l’approche du zéro, pour les raisons que j’ai expliquées plus haut, même si en effet la création de ce symbole pour écrire les nombres est une magnifique idée, déjà. Et j’aime l’explication proposée par l’auteur du choix de la coquille. C’est joli.

J’aimerais, en fin d’année, proposer quelques pages de ce livre à mes élèves pour voir comment ils réagissent. Je saurai ainsi ce que je leur ai transmis, et là où j’ai échoué.

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Les équations en main

Cela fait un moment que j’ai promis de décrire le dispositif de mon collègue, Gani Mohamed, que nous coanimons avec sa classe : il a 4h hebdomadaires avec une de ses classes et j’ai les heures quinzaine de groupe. Il vient coenseigner avec moi avec le premier groupe, et ensuite je reproduis sur le deuxième. Le thème, filé depuis le milieu du premier trimestre : la résolution d’équations.

Gani s’est appuyé sur un dispositif existant, à partir d’un article dont j’ai oublié la référence. Il article trois niveaux successifs.

Premier niveau : des constantes positives et des inconnues

Les pions bleus représentent chacun l’inconnue. Ls dés symbolisent le nombre d’unités (côté constates) ajouté. La balance ou la règle évoquent l’équilibre, matérialisent l’égalité.Tout de suite, cela a bien fonctionné. Mais j’avais un souci, de mon côté : utiliser le même dé pour représenter des nombres d’unités différents me gêne, associé au principe de la balance. Peut-être avec des dés tous sur la face 1 nous éviterons certains obstacles. Alors pour ma part j’ai remplacé les dés par des cubes de numération, qui en plus présentent l’avantage d’être clipsables et déclipsables, ce qui est particulièrement pratique lorsqu’il fait diviser : on peut facilement représenter la correspondance entre 1 seul pion et un certain nombre d’unités constantes.

A ce niveau, on induit bien l’effet des opérations sur chaque membre de l’égalité, la nécessité d’opérer les mêmes dans chaque membre, et le calcul mental est facilité. Je me suis approprié le dispositif pour mes classes, du coup, mais en associant tout de suite la représentation puis la modélisation. Gani, lui, a préféré continuer la manipulation et n’introduire la représentation avec les calculs qu’au troisième niveau. En revanche il a beaucoup plus insisté que moi sur la vérification, ce en quoi il a sans doute raison.

Deuxième niveau : des inconnu et l’opposé de l’inconnue

Les pions bleus, c’est x. Voici les pions blancs, qui représentent -x. Sur ses fiches à compléter, Gani les note « * ». Là encore, j’ai gardé ses idées, en nommant explicitement -x au lieu de « * » et en précisant bien qu’on quitte l’idée de la balance. Parce qu’ajouter un pions pour exprimer qu’on retire éventuellement quelque chose, c’est délicat. Mais à ce niveau, les élèves ont déjà bien modélisé et cela n’a pas posé de souci. Toutefois, j’ai vraiment expliqué aux élèves pourquoi je procédais ainsi et quelles limites je voyais, pour éviter de mauvaises représentations. La discussion qui s’est engagée entre nous a été très intéressante : les élèves ont compris quelles questions je me pose, et pourquoi. Je pense que cela les a aidé à éviter certaines confusions, en fait. Vive l’explicite !

Cette étape est essentielle pour comprendre que x+(-x)=0 et permet des tas de simplifications. Je n’avais pas compris comme elle est importante au départ. La suite m’a montré comme ce principe de manipulation est pertinente et efficace.

Tout est possible, car tout est relatif !

Nous voilà dans les négatifs pour les contantes. Cela met un peu de couleurs… Et ça marche bien ! Pour ma part ces manipulations n’ont été que projetées à la visualiseuse, réalisées par des élèves ou en « dictée à l’adulte ». Comme j’avais déjà modélisé plus tôt, ç’aurait été un peu artificiel je crois. C’est simplement dû à la progression différente que j’ai choisie. Mais pour des élèves qui ont besoin de voir, de manipuler, qui sont en difficulté ou ne parlent pas français, cela m’a vraiment permis de lever des blocages.

Le dispositif de manipulation n’est pas fluide dans tous les cas : pour représenter « x-2(-x+3) », il faut poser du matériel en plus pour en enlever avant de commencer, et là ça devient vraiment compliqué. Mais je reste convaincue pour l’introduction : c’est plus simple et pratique, et plus efficace, que ce que je faisais auparavant.

Au final, Gani m’a permis de reconsidérer ma façon d’introduire les résolutions d’équations ; et la sienne a très bien fonctionné. Je suis juste trop impatiente de modélisation pour suivre ses pas, mais ses élèves sont très performants avec le matériel. Et j’adore ces échanges, qui me font avancer, et sont toujours tranquilles et constructifs. Que du bonheur.

Et la suite ?

Hé bien j’aimerais tester avec les Ulis de mon mari, en attendant de tester avec mes Ulis à moi l’année prochaine… J’ai vraiment envie de voir ce que cela permet, jusqu’où je pourrai aller. Mais avant, il faut que je lui en parle et qu’il soit d’accord pour aller aussi loin dans des compétences de cycle 4…

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Albert version 2023 : toujours top, jamais le même

Aujourd’hui, je suis allée dans la classe de CE1 de Christelle. Nous avons deux projets en route, mais il nous manque quelques éléments concrets pour les terminer tout à fait, et là, Christelle avait envie de commencer Albert. Alors allons-y pour Albert!

Cette année, nous avons compacté le début de la séquence : nous avons aujourd’hui lu et reformulé l’histoire, identifié des rectangles et déterminé ce que c’est, un rectangle, dessiné un Albert avec la machine à coins-pics-de-rectangles, puis dessiné un Albert avec l’outil expert : l’équerre. Le tout en une heure et demie, avec une cadence assumée mais en laissant chacune et chacun terminer à son rythme. Le tout sans prononcer une seule fois le mot angle : ça, c’est pour la fois prochaine.

C’était extra. Déjà, travailler avec Christelle est toujours un bonheur. Ses loulous sont super, aussi. Un élève en situation de handicap a réussi à faire toute la première partie de l’activité avec toute la classe, avec succès, et Christelle l’a aidé pour réaliser la deuxième partie après le déjeuner. Et Albert, c’est une pépite de garçon-rectangle.la semaine prochaine, nous poursuivons avec les angles et nous expérimentons pour la première fois un prolongement. Ouaiiiiiis, vivement jeudi prochain !

Premier Albert, avec la machine à coins-pics-de-rectangle :

Deuxième Albert, avec l’équerre :

Avant/après, mais les élèves ont déjà été tellement appliqués avant… (bravo !)

Et c’est l’effet magique des maths : les élèves voient des figures partout !

L’objectif, c’est de modéliser, pour parvenir à transmettre une définition du rectangle comme un quadrilatère à quatre angles droits. Et là, si nous avons tout bien fait dans l’ordre, le carré devrait apparaître comme rectangle particulier, alors que le discours des enfants aujourd’hui a priori était clairement et explicitement à l’inverse : le rectangle, c’est un carré étiré. Mais plutôt que de dire non non non, c’est pas ça, nous déconstruisons par l’acte et nous reconstruisons par l’acte et la modélisation.

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Nouveaux projets en route…

Cette semaine et la suivante vont être riches de projets pour moi, avec des aboutissements sur des thèmes qui me sont chers. Cette semaine, c’est un nouveau dispositif que je teste en coenseignement avec une collègue d’un autre établissement, et le regard de deux chercheurs… J’ai hâte de voir ce que cela va donner !

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Tu vois le tableau ?

Cet après-midi, après deux voyages à Ikea pour avancer notre projet bibliothèque, j’ai avancé un autre projet qui va bientôt aboutir, sur les résolutions de problèmes. J’avais envoyé un schéma de résolution à mon éditeur, dont il ne pouvait rien faire, en tout cas c’est ce que le graphiste lui avait dit. Bon, ok, je reprends mon schéma.

Mais qu’est-ce que c’est que ce truc ??? Qu’est-ce que j’ai voulu dire ? Ouaaaaah…

Alors bon, j’ai pris mon temps, j’ai remis en ordre, et surtout j’ai restructuré : c’était une trace écrite de tableau, au départ. Sauf qu’une trace écrite de tableau, en classe, avec des élèves et tout, ça vit, ça prend du sens mais ce n’est manifestement pas fait pour être transmis de façon décalée dans le temps.

Cela me donne très envie de l’intéresser aux traces écrites enseignantes de tableau. On doit apprendre plein de choses en les analysant. Sur celle que j’avais laissée, il y avait de belles approximations symboliques et langagières, du genre qui piquent aux yeux une fois sortis de la classe. Et puis elle montre aussi une co-construction : on y lit les ralentissements, les accélérations et les détours. C’est très rigolo. Je vais regarder mes tableaux, je crois.

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Des gens, des maths, des gaufres

Et voilà, retour dans le train. J’ai adoré présenter mon projet. Je suis toute heureuse de sentir comme je l’assume, comme il a du sens pour moi, pour faire progresser toutes et tous les élèves et outiller leurs enseignants. Mais chut, je ne vous en dirai plus que début mars. En attendant, j’ai une excellente lecture, Claire Diterzi dans les oreilles et cinq délicieuses gaufres au-dessus de ma tête, que je ramène à ma famille et qui parfument tout le wagon… Et j’ai le petit bonbon que m’a donné une de mes élèves ce matin. Parfait, en somme.

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J-2,5

Allez hop, après mes quatre heures de cours (théorème de Pythagore, probas, aire du triangle, décimaux, fractions et un peu de l’œuvre d’Escher, j’ai sauté dans le bus et j’attends mon train pour aller présenter un projet éditorial achevé, chez Bordas. J’espère que je vais sinon convaincre, au moins faire passer un agréable moment aux personnes qui seront venues échanger avec moi !