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L’alignement à Paris

J’ai trouvé une belle configuration, à Paris ce matin, pour travailler l’alignement avec mes élèves ou des élèves des écoles. J’ai écrit pas mal déjà sur ce thème, ici par exemple, avec la didactique des pommiers. En fait, c’est vraiment à tous les niveaux scolaires et même avec des adultes qu’on peut discuter l’alignement : l’alignement ne naît pas du bord droit de la règle ; à l’inverse, on a conçu des règles aux bords droits pour, entre autre, vérifier des alignements. Le pli de la feuille est très bien pour travailler l’alignement avec des petits, mais c’est dans le micro espace et il manque une généralisation au méso ou au macro espace. Les pommiers c’est bien, et ça, je trouve, c’est encore mieux :

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% et camembert

Je reviens sur une question de cet exercice, que j’ai commenté dans l’article précédent : la question c.

C’est frappant comme ce que représente un pourcentage échappe à beaucoup d’élèves. Les réponses que j’ai obtenues pour cette question étaient toutes exprimées en grammes, au départ. Plusieurs élèves avaient répondu 24g, parce que c’est « le bout de la droite ». D’autres avaient répondu « ça dépend, parce qu’il y a plusieurs points sur la courbe », d’autres « on ne peut pas savoir parce que la droite (comprenez l’axe des ordonnées) va pas jusqu’à 100 ». Bien peu d’élèves avaient pensé à calculer l’image de 100.

Ceux qui l’ont fait sont passés par

  • l’image de 40 divisée par 10 et multipliée par 25,
  • l’image de 40 plus l’image de 40 plus la moitié de l’image de 40,
  • l’image de 80 multipliée par 10 et divisée par 8,
  • l’image de 160 plus l’image de 40 divisée par 2,
  • un élève ou deux ont eu l’idée de placer 100g sur l’axe des abscisses et de lire l’image, seulement.

Pourquoi si peu d’élèves ont-ils eu cette dernière idée, pourtant efficace ? A cause du « calculer » de la consigne. Ce « calculer » a fait que beaucoup de leurs camarades ont jugé cette démarche incorrecte. Pas dans l’idée, mais dans l’adéquation avec ce que la consigne attendait. J’ai trouvé le débat intéressant : « calculer » induit un calcul, certes. Mais dans tous les cas on s’appuie sur des lectures graphiques (les images de 40, de 80, etc.) et on peut considérer que place 100 à mi-chemin de la graduation 80 et de la graduation 10 est aussi le fruit d’un calcul. De plus, le fait de passer des grammes aux pourcentages est aussi une compétence liées aux nombres, même si’l y a là aussi du modéliser et du représenter. Alors moi, cela ne me choque pas.

Et vous, qu’en pensez-vous ?

https://eduscol.education.fr/document/17227/download
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La proportionnalité en quatrième, sans pralines roses dedans

Alors en fait, il y aura des pralines roses, mais pas tout de suite.

Comme je l’ai écrit dans le post précédent, je n’avais pas le même découpage de séances avec mon autre quatrième, et si je m’engageais dans les pralines, je coupais l’activité en deux. Cela m’ennuyait. Alors j’ai improvisé et je me demande si ce n’est pas mieux, au final : nous avons travaillé sur les acquis de 5e sur la simplification l’addition, la soustraction de fractions, et aussi sur la nature des nombres (1,8=18/10, 3=3/1, tout ça). Puis j’ai donné des exercices pour la séance suivante, en précisant que la première question de l’exo du manuel (le Transmaths) paraîtrait peut-être difficile, mais qu’il fallait au moins proposer des réponses aux autres questions. De retour en classe, nous avons corrigé tout cela. Les calculs de fractions m’ont semblé avoir bien roulé (nous en avions détaillé quatre ensemble en classe, les élèves avaient à résoudre les quatre suivants, et vont en avoir à traiter régulièrement pour bien ancrer les procédures). Pour l’exercice du camembert, voici ce que la première question a donné :

La question qui m’intéressait le plus était la première : la deuxième est une lecture graphique assez naturelle, la troisième est très chouette car elle fait le lien avec les % mais ce n’était pas mon urgence (même si elle a été très productive au final), et la dernière était intéressante du point de vue du « calculer » (a-t-on le droit de calculer à partir de données récoltées par lecture graphique, épineuse question sur laquelle je reviendrai).

Finalement, annoncer que la première question pourrait poser problème semble avoir plutôt libéré les réponses : la quasi-totalité des élèves avait formulé une proposition. Beaucoup étaient fausses, mais appuyée sur une démarche juste : les élèves ont souvent écrit que puisque 40+80=120, on pouvait tester si l’addition correspondante est vraie pour la matière grasse. Et là, soit ils ont mal lu les valeurs, soit ils ont loupé leur addition. Je suppose que parvenir à cette procédure avait mobilisé leurs ressources, car c’est surprenant autant d’erreurs de base. D’autres sont passés par la linéarité multiplicative, 40×2 et 40×3. Du coup, j’avais mon objectif de linéarité atteint, avec cet exercice.

Mais plusieurs élèves avaient fait appel aux rapports, comme dans le premier « ou » du tableau. Et là, youpi, nous avons pu faire le lien explicitement entre fractions et proportionnalité. Ca, c’est chouette, j’étais très contente et cela prépare le produit en croix justifié.

Personne n’a eu l’idée de la droite passant par l’origine du repère, ce qui est normal : personne ne le savait et le changement de registre vers le graphique n’avait jamais été traité avec ces quatrièmes tout neufs. Je les ai guidés, en expliquant que c’est la forme de la courbe qui donne une justification, et l’alignement est venu rapidement, comme symptôme de régularité qui semblait coller avec la proportionnalité, pour les élèves. La nécessité de l’alignement AVEC l’origine n’est pas venue tout de suite, alors j’ai tracé une droite qui coupait l’axe des ordonnées ailleurs, et les élèves ont réagi tout de suite : « Ah bah non, c’est pas possible, sinon quand on n’a pas de camembert il ya quand même de la matière grasse ! » Bien, trace écrite dans la foulée et zou.

La fois prochaine, nous pralinerons. Je me demande si le traitement de l’activité va être très différent, du fait de l’exercice du camembert.

J’aime bien pouvoir comparer l’effet d’une programmation ou d’une autre. C’est intéressant et cela m’amuse.

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La didactique et les non didacticien(ne)s

Hier, j’ai assisté à la journée hommage aux travaux de Rémi Brissiaud à Paris. Lors de cette journée, nous avons écouté des interventions de didacticien(ne)s. Lors des pauses, j’ai eu l’occasion d’échanger avec des personnes de métiers variés, mais qui toutes et tous étaient intéressé(e)s et concerné(e)s par Rémi, ce qui constitue un sérieux point commun. J’ai été frappée par le rejet vraiment très fort des interventions très « didactique pure », disons, par une partie des spectateurs.

Ce qui m’a intéressée, c’est que les personnes qui rejetaient vertement ces interventions ne le faisaient pas parce qu’elles ne les ont pas comprises : ce sont des personnes cultivées et agiles du point de vue de l’enseignement des maths. Elles pouvaient débattre sans problème du contenu que nous venions d’entendre. Mais ces interventions leur ont semblé complètement déconnectées de la réalité : la réalité des classes, des anciens élèves, des professionnel(le)s et des parents qu’elles et ils sont. Je ne partage pas leur point de vue, mais je suis d’accord avec certains des éléments évoqués, et nous avons pu débattre de façon intéressante (pour moi) de ce que nous avions ressenti, réfléchi, compris. Je n’ai moi-même pas uniquement des expériences didactiques positives, mais la virulence de la charge contre les chercheuses et chercheurs en didactique m’a surprise : leurs reproches ne s’adressait pas à la didactique en tant que discipline, mais à celles et ceux qui en sont professionnel(le)s de façon « exclusive ». Un de mes camarades a même jugé « grave » que la formation des enseignants leur soit confiée dans les INSPE, identifiant un risque de déstabiliser et de contre-outiller les jeunes du métier.

Michel Fayol avait justement évoqué cette fracture entre les métiers de la recherche en didactique : ceux de la didactique « pure », et ceux des personnes comme Rémi Brissiaud, décrit comme davantage tourné vers le terrain, plus côté outils que côté modélisation, même si en fait Rémi était aussi du côté modélisation selon moi. Mais c’est vrai, chez Rémi, si la démarche de recherche était rigoureuse et structurée, il était guidé par des principes de réalité, pour rendre utilisables ses outils dans nos classes. En tout cas, cette fracture, elle est considérable. Je la comprends, car j’ai essayé sans succès de me tourner vers la didactique. J’ai rapidement échoué : je suis « trop de terrain », sans doute, ou peut-être ai-je trop besoin de gigoter, je ne sais pas. Pour autant, la didactique, ses apports, ses ressources et ses professionnel(le)s me sont indispensables pour me nourrir et corriger, améliorer, faire évoluer ma pratique, au filtre de ma personnalité professionnelle et de mes besoins.

M’enfin, ça m’a scotchée quand même, ces échanges. C’est triste de travailler sur l’enseignement des maths et de ne pas se comprendre les uns les autres. Car en effet, certains autres ne comprennent pas non plus les uns, clairement. Heureusement cette incompréhension mutuelle n’est pas générale. Parce que je pense que nous avons besoin les uns des autres, et qu’unir nos forces est indispensable.

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Hommage aux travaux de Rémi Brissiaud : Karen Fuson

La dernière intervention ce ce bel et dense hommage est en anglais, en direct de San Diego. Il s’agit de Karen Fuson, qui nous présente « Conceptual, charming, clever and engaging : the wonderful books of Remi Brissiaud ». Madame Fuson juge les ouvrages de Rémi les plus beaux et créatifs, engagés et adaptés à l’enseignement qu’elle a vu dans les différents pays qu’elle a pu observer, et pas seulement dans le champ numérique, mais aussi en géométrie (je suis bien d’accord !!!). Sur le plan pédagogique, le fait de répéter une activité en variant les nombres est aussi un appui important pour développer l’activité des élèves. La décomposition-recomposition, la multi-représentation, la mentalisation d’une situation, le travail sur les mots-nombres si terriblement difficiles en français, le travail explicite sur la commutativité, le recours à des collections organisées ou non, le fait de compter en avant ou en arrière, sont des apports cruciaux.

Karen Fuson a fait un condensé lumineux des idées de Rémi tout au long de ses productions d’ouvrages à destination des enseignants. Elle a parlé de la méthode de Rémi « make-a-ten-method », en faisant de grands gestes comme Rémi en aurait fait : elle vit le même engagement, la même familiarité avec la classe.

Karen Fuson a présenté des cartes de codes secrets, sur lesquelles le 10 est une carte deux fois plus large que celles des nombres de 0 à 9 : on peut poser sur le 0 du 10 une carte-unité, et le 1 du 10 n’existe pas de façon isolée. J’aime bien, ça.

Karen Fuson a terminé son intervention en larmes. Rémi a marqué, même bien loin d’ici.

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Hommage aux travaux de Rémi Brissiaud : Emmanuel Sander

Emmanuel Sander nous a présenté l’avant dernière intervention : des leviers psychologiques pour les apprentissages mathématiques, quelques défis d’apprentissage pour lesquels les apports de Rémi Brissiaud sont décisifs. Selon Emmanuel Sander, si on veut rentrer dans la pensée de Rémi Brissiaud, il faut s’intéresser aux ressorts, aux leviers de la psychologie. D’autre part, la compréhension et les concepts occupent une place cruciale : qu’est-ce que c’est que comprendre ? Comment peut-on favoriser la compréhension ?

Voici quatre énoncés. Deux questions sont bien réussies en cycle 1, deux non :

Il y a deux problèmes où il est question de perdre des billes, deux où il est question d’en gagner. Alors on peut se dire que la 2 et la 4 sont plus facile. Ou alors on peut observer que les questions 1 et 2 engagent de plus grands nombres, et sont plus difficiles. Pourtant, la simulation mentale, liée à la représentation que l’élève se construit de la situation, fait que dans la problème 1, on peut surcompter ; dans la deuxième, il faut compter en descendant, et c’est difficile. Même chose pour le problème 3, et le 4 est plus facile car on peut enlever 4 de 31. C’est tout à fait contre-intuitif sur le plan de l’analyse de l’énoncé. Le 1 et le 4 sont réussi avec une fréquence autour de 15/20 et les deux autres avec 8/20.

Cela renvoie aux travaux de typologies de problèmes, à la Vergnaud ou à la Riley. Introduire la simulation mentale n’avait encore jamais été fait. Et pourtant, c’est un facteur majeur.

Lorsque la simulation mentale de la situation spontanément évoquée par l’énonce mèneà la solution, la simulation est facilitatrice, alors que lorsque la simulation n’est pas praticable c’est un facteur de difficulté. Par exemple, « quel est le prix de 3 objets à 50 cuzeros ? » versus « quel est le prix de 50 objets à 3 cruzeros ? » donne respectivement, auprès d’enfants brésiliens non scolarisés, 75% et 0% de réussite, parce qu’on peut facilement simuler mentalement la première situation, mais pas la deuxième.

Ce modèle est important, et ces travaux ont eu de nombreuses retombées : c’est un phénomène très large, étendu en particulier à des énoncés dans lesquels aucune action n’est mentionnée.

L’enjeu est celui du recodage. Distinguer compter en avançant et compter en reculant est dans ce cadre tout à fait fondamental.

Voici un exemple de problème discordant avec la simulation mentale :

Le recodage sémantique est une manière l’élargir les stratégies que par ailleurs les élèves savent mettre en oeuvre.

Rémi Brissiaud a apporté des éléments décisifs pour la recherche et la pédagogie, en étant ancré dans la psychologie, e s’appuyant sur les interprétations des élèves et les processus de résolution, en les accompagnant dans leur développement conceptuel par des situations de résolution de problèmes et des interventions adéquates.

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Hommage aux travaux de Rémi Brissiaud : Michel Fayol

Une petite pause et ça repart, avec Michel Fayol.

Quand on s’intéresse à améliorer les apprentissages des enfants, on a deux grands choix à un moment de sa carrière : le choix valorisé, défini comme le plus important, qui est la recherche fondamentale. C’est celui que j’ai fait. Mais il y a une deuxième possibilité : innover, privilégier ce qui peut avoir un effet sur l’action immédiate des enseignants, les performances des élèves, et c’est ce choix qu’a fait Rémi, et il l’a fait avec panache et une réussite indéniable.

Ces deux choix créent une tension, particulièrement importante en France : l’édition est libre et la recherche est contrainte, et les relations entre les deux ne sont sans doute pas ce qu’elles devraient être. La co-pénétration de ces deux mondes est sans doute fondamentale pour les élèves, les maîtres, la formation.

Michel Fayol
http://www.cafepedagogique.net/lexpresso/Pages/2017/12/20122017Article636493528997699150.aspx

Rémi ne croyait pas à la réification, portée souvent en didactique fondamentale. Sa préoccupation est une préoccupation d’apprentissage et l’a porté toute sa vie. Elle a alimenté sa recherche et l’ensemble de ses productions : comment faire pour que les enfants apprennent mieux et que les maitres introduisent mieux les outils, recourent à des pratiques plus efficaces ?

Tiens, retour sur les principes de ce matin, pour pouvoir dénombrer :

Rémi propose donc d’éviter le comptage numérotage : lorsque je déplace un jeton, je dis « un » seulement quand le jeton est déplacé dans une boîte et non visible. Ce qui est fou, c’est que personne n’a évalué l’effet de cette recherche. La question du subitizing est aujourd’hui admise comme une capacité des enfants à quantifier, à dire combien il y a quand on a des collections de 1, de 2, de 3, parfois de 4, sans avoir besoin de compter de manière ostensible. Peut-être qu’il y a un comptage, peut-être qu’il est très rapide. A un moment on a dit que non, mais on en est moins sûrs aujourd’hui. C’est corrélé avec la mémoire visuo-spatiale. Comment passe-t-on de cette phase à celle qui permet d’aller à 5, à 6 ? Ce passage est extrêmement long. Les travaux de Rémi auraient sans doute conduit à une mise à l’épreuve aux Etats-Unis, mais cela ne s’est pas fait alors que c’est sans doute une clef de l’apprentissage de la numération.

Peu de chercheurs ont contribué autant que Rémi à l’élaboration et à la diffusion d’outils vers les enseignants, tout en ayant à coeur d’aller voir précisément l’effet de ses propositions. Une évaluation de l’utilisation des manuels et de l’effet de cette utilisation serait bien utile, et devrait être financée et encadrée. Une des questions-clef porte sur les savoirs en actes et sur la conceptualisation. Voici un exemple frappant sur l’équivalence et le signe « = » :

On connaît bien les apprentissages implicites dûs aux effets d’exposition en lecture, mais beaucoup moins en mathématiques.

Une conclusion :

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Hommage à Rémi Brissiaud : Christine Chambris

Christine Chambris a présenté son intervention intitulée « rencontres ».

Rémi souhaitait un usage commun du mot quantité. Pour Christine, c’est un terrain mouvant, car nous ne mettons pas tout la même chose derrière ce mot ; comment faire pour parler et échanger autour du mot quantité, alors ?

Voici une situation de classe :

Au travers de son intervention, l’enseignante rend les 21èmes et les 7èmes « objets que l’on compte ». On s’éloigne du nombre. Que fait de cela le didacticien ? QU’est-ce qui manque aux élèves, pour qu’ils ne comprennent à ce point pas ? La supposition de Christine Chambris est qu’il existe des savoirs qui ne sont pas identifiés par les acteurs de l’enseignement ; l’enseignant essaie d’enseigner quelque chose et est obligé de se rabattre sur des objets. Dans l’enseignement des fractions, Douady rapporte ceci : les parties hachurées ont-elles la même aire ? Les élèves ne sont pas d’accord, et même après manipulation et débat, ils ne le sont toujours pas. Certains doutent même de leurs premières propositions.

Un autre exemple concerne les aires, avec Rahaman et Subramaniam (2015). Pour comparer des surfaces, certains élèves ont besoin de réaliser matériellement le pavage, et d’autres pas.

Les deux problèmes convergent. On peut raisonner par l’absurde, en utilisant la notion de quantité :

Pour cela, il faut pouvoir comparer.

Cette approche des quantités correspond aux approches modernes des quantités. Elles existent dans les approche classiques, mais de façon plus implicite (le tout est plus grand que la partie). Dans les textes contemporains sur les grandeurs ou les quantités, on trouve des preuves du type ce celle ci-dessus. Mais en prenant de la distance par rapport à cette preuve, on est amené à prouver l’égalité de deux aires, sans recomposer l’un dans l’autre ; et ça, ça donne l’idée de ce qu’est la quantité. Cette preuve est totalement absente de tous les travaux en didactique. Pourquoi cela ?

Au 19e siècle, il y a eu deux changements épistémologiques majeurs : on modifie les objets de base en passant des grandeurs aux entiers, puis aux ensembles. Cela concerne les mathématiciens savant, mais pas les maths pour tout le monde. Deuxième changement : c’est un changement de paradigme d’axiomatisation. Jusque là, on était sur l’idéalisation de la réalité, et on passe à une axiomatisation formelle, où les objets doivent être unis de caractéristiques non contradictoires. Ce sont en fait deux modes de travail complémentaires des mathématiciens.

J’ai trouvé cette intervention passionnante, mais je dois fouiller pour me cultiver. J’en ignore trop.

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Hommage aux travaux de Rémi Brissiaud : Jean-Paul Fischer

Après un autre hommage par Agnès Batton, qui a témoigné de son regard sur la carrière et les apports de Rémi Brissiaud, Jean-Paul Fischer (de ACE) a présenté son intervention, baptisée « La chance versus le pré-enregistrement », et nous a présenté ses travaux.

Comme Brissiaud, monsieur Fischer connaissait l’approche des pédagogues « anciens », avec l’idée du cache pour masquer une partie des unités.

Dans l’alphabet latin ancien, les majuscules étaient orientées vers la gauche. A l’époque romaine, elle se sont orientées vers la droite : auparavant on écrivait de droite à gauche, et les Romains écrivaient de gauche à droite. L’orientation des lettres a suivi. Les enfants ont tendance à faire la même chose, selon le sens d’écriture qu’ils utilisent. Les chiffres, eux, sont toujours majoritairement orientés vers la gauche.

Sur son troisième exemple de découverte-chance, Jean-Paul Fischer pensait que la corrélation serait nulle, car il ne voyait aucune raison qu’il en existe une. Mais il a été surpris du résultat : la corrélation était négative.

Sur ce thème, voici une recherche sur le pré-enregistrement, que critique Jean-Paul Fischer. Dans le pré-enregistrement, on dépose la méthodologie, la question, les résultats attendus sur un site. Ici, les enfants brésiliens, d’une manière stupéfiante, écrivaient b à la place de d et d à la place de b. Or s’ils ne les distinguent pas, on devrait avoir 50% d’erreur à peu près ; de ce fait Jean-Paul Fischer pense qu’il y a une erreur dans l’étude.

J’ai eu du mal à suivre le propos de monsieur Fischer ; peut-être l’effet de début d’après-midi, ou bien une structure de la présentation assez nouvelle vague, et sans explication de certains concepts évoqués. Peut-être ça y est, j’y suis : c’est un éloge de la chance en recherche, plus ou moins. Et ça balance sévère : Jean-Paul Fischer est entier, dans ses jugements.

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Hommage aux travaux de Rémi Brissiaud : Stéphane Bureau

Pour clore la matinée, Stéphane Bureau a exposé l’oeuvre intellectuelle et pédagogique au service des enseignants, de Rémi Brissiaud. Rémi n’est toujours resté à l’interface de la recherche et des pratiques de terrain. C’était en même temps extraordinairement stimulant et très délicat.

Rémi s’est situé à contre-courant d’une époque, à la fin des années 70 et dans les années 80, en soulignant l’importance des dialogues en classe. Il cherchait en même temps à former les enseignants et à les outiller. Or passer de la théorie à la pratique n’est pas chose aisée : de nombreux projets arrivent chez les éditeurs, proposant de transposer des pratiques de classe. Mais souvent il y a des biais, qui empêchent la généralisation et la décontextualisation des connaissances produites. Rémi a évité tous les écueils, avec l’aide d’André Auzoulias.

Rémi s’inscrit dans la lignée des pédagogues inventeurs comme Montessori, Herbiniaire-Lebert ou Cuisenaire. Il était capable d’innovations pédagogiques qu’il présentait à Retz avec son énergie légendaire. Il était d’une intelligence vraiment lumineuse, et capable d’une grande plasticité intellectuelle. Les Noums le montrent bien, avec une adaptation aux nouvelles technologies qui en même temps servait ses objectifs et ce à quoi il croyait. Stéphane Bureau a décrit ses expérimentations en CP, sur la fin de sa vie, d’une façon touchante et qui résonne bien avec ce que je connaît de Rémi.

Rémi faisait le show, mais tel un thérapeute des mathématiques il prenait soin de son public d’enseignantes et d’enseignants. Sur un temps donné assez court il parvenait à leur redonner une véritable confiance en eux-mêmes. Cette alchimie extraordinaire s’est produite suffisamment souvent pour qu’une école porte déjà son nom ou que Google ait décidé de retenir Picbille comme une figure iconique d’une période de vingt ans.

Stéphane Bureau

Stéphane Bureau a eu la gentillesse de me nommer en évoquant Premiers pas vers les maths, et j’en suis très fière.