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Retricoter après détricotage

J’avais ici présenté des activités pour travailler la proportionnalité en sixième. Une des activités était celle-ci (document distribué et consigne ensuite) :

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« Vous avez quinze propositions de situation. Vous devez en choisir au moins dix, pour produire une question qui soit associée au début de consigne proposée. Je ne veux que la question, pas la réponse, mais si je vous interroge, vous devez être capable de me fournir votre solution. Parmi vos dix propositions, il en faut qui illustrent des situations de proportionnalité,des situations de non-proportionnalité et des cas indécidables (comme dans la fiche avec oui, non, ni oui-ni non). Si vous en produise plus de dix, vous aurez des XP supplémentaires, comme pour les travaux facultatifs habituels. Vous pouvez proposer plusieurs questions totalement différentes pour une même situation. Une fois vos papiers remplis, vous les découperez, vous noterez votre nom dessus et vous le rangerez dans l’enveloppe correspondante. »

Voici un exemple d’exploitation, partir de la vignette « peinture ». C’est mon activité de rentrée, pour se remettre dedans :

Capture d’écran 2019-02-20 à 15.29.47réactivation proportionnalité

Sur les 41 réponses proposées pour cette vignette, j’ai conservé 15 questions.

Les cinq premières questions vont être traitées en questions flash : chacun va chercher, individuellement et silencieusement, une réponse aux 5 questions sur son cahier d’exercices. Ensuite, nous allons en discuter. Les élèves pourront répondre dans l’ordre de leur choix. Mes objectifs sont :

  • réactiver la linéarité multiplicative et additive ;
  • réactiver le retour à l’unité (du point de vue du vocabulaire) ;
  • réactiver diviseurs et multiples ;
  • réactiver les unités d’aire et les conversions.

Ensuite, nous allons étudier ensemble les questions 6 à 15. je compte demander aux élèves pourquoi le les ai ainsi catégorisées (les fois suivantes, je ne les catégoriserai pas). Et ensuite, je voudrais savoir comment ils envisageraient de les résoudre, et surtout lesquelles leur semblent plus difficiles, et pourquoi. Je voudrais relier cela aux fractions, que nous venons d’étudier, avec l’idée de simplification, en lien avec la division et l’arithmétique. Par exemple, j’aimerais qu’ils devinent quelle surface revient le plus souvent dans les propositions collectées (72 mètres carrés). (Enfin, pour la question 15, je voudrais parler contexte, implicite et explicite.

Les élèves auront un travail similaire à mener sur une autre vignette, en évaluation.

 

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De la nécessité de faire expliciter les démarches

Une élève s’est demandé, lors d’une activité décrite ici, quel nombre est le plus grand de 2/3 ou de 3/5. Elle a réfléchi dur, a écrit ses idées sur son cahier, puis a levé la main, l’air conquérante. Comme je l’interrogeai, elle m’a dit : « C’est deux tiers ! »

J’aurais pu m’arrêter là, heureuse que la bonne réponse me soit fournie aussi rapidement. Mais comme souvent dans notre discipline, la réponse est bien moins intéressante que la démarche.

« Ok, ai-je répondu, pour toi 2/3 est plus grand que – on dit aussi supérieur à – 3/5. Avant que tu nous expliques, d’autres sont-ils d’accord avec toi ? »

Plusieurs mains se sont levées. À peu près autant d’élèves pensaient 3/5 supérieur à 2/3. Un seul autre élève pensait pouvoir proposer une explication : 25 élèves exprimaient donc un avis sans se penser être prêt à expliquer le pourquoi de cet avis.

« Alors, maintenant, explique-nous ta démarche ».

« J’ai colorié », m’a répondu l’élève. J’ai pris deux formes pareilles, deux rectangles qui mesurent la même longueur et la même largeur, et j’ai colorié 3/5 et 2/3, et j’ai vu que 2/3 c’est beaucoup plus grand que 3/5. »

Voici ce qu’a réalisé cette élève :

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Sa production est très intéressante :

  • Elle a su s’engager dans une recherche, se donner une méthode, la suivre jusqu’au bout, et a eu envie de la partager. Rien que ça, c’est super ;
  • Elle a comparé ce qui est comparable : elle a effectivement dessiné deux rectangles identiques, et a exhibé son idée comme argument de validation de sa démarche ;
  • Le premier rectangle est « coupé » en dix parts égales, et l’élève a représenté 3/10 en affirmant représenter 3/5. En fait, en nous expliquant, elle nous a montré qu’elle avait tracé d’abord un rectangle de deux carreaux sur cinq carreaux, et coloré trois parts. Elle avait bien représenté 3/5 de la surface du rectangle. Mais ensuite, elle a tracé un autre rectangle de quatre carreaux sur cinq. Une de ses camarades lui a fait remarquer qu’elle ne pouvait pas comparer deux fractions d’unités différentes. Elle a du coup « rajouté » la moitié inférieure du premier rectangle. Mais n’a pas modifié la partie grisée, puisqu’il y en avait bien 3 ;
  • Représenter 1/3 sur le deuxième rectangle a bien embêté mon élève : ni la longueur de cinq carreaux, ni la largeur de quatre carreaux ne s’adaptait facilement à des tiers. Alors elle a opté pour un découpage différent, « comme on faisait à l’école avec les pizzas ». Elle même fait référence à la notion d’angle. Certes, sauf que cette pizza-là n’est pas circulaire mais rectangulaire. Interrogée sur son partage, l’élève a rapidement observé que ses parts n’étaient égales, en estimant le nombre de carreaux qui composaient chacune d’elles. Elle s’est alors demandé quelles dimensions choisir pour se simplifier la vie.
  • Sur les deux notes : « 2 carreaux=1 part » et « Il y a plus que 2 carreaux », l’élève a voulu argumenter (ce qui est bon réflexe) pour conclure : en haut en grisé il y a trois fois deux carreaux, ce qui donne six carreaux, alors qu’en bas chaque part contient (beaucoup) plus que deux carreaux, et cela dépasse six carreaux grisés.

La proposition de cette élève est très riche et permet d’aborder de multiples points avec la classe : la nécessité de comparer ce qui est comparable et de se donner une référence, la méthodologie, les limites de la fraction partage (l’autre élève a proposé de comparer les deux fractions écrites en quinzièmes, et tout le monde a trouvé ça bien plus efficace au final), l’intérêt d’expliquer son cheminement…

C’est un beau matériau pédagogique, et je suis très contente que cette élève ait eu envie de le partager. Après analyse elle était toute contente, d’ailleurs, ce qui laisse penser que son rapport à l’erreur est construit dans le bon sens.

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Evaluer des brouillons pour visiter des cerveaux (5)

Dernière analyse pour le moment (un peu bâclée, il faut que j’aille en cours) : j’avais choisi cinq premiers brouillons de la pile, au hasard, pour voir si j’avais des analyses à formuler sur tous. Manifestement oui. je me demande maintenant si j’en aurais autant à dire sur chacun des autres… Je suppose qu’il y aurait des redondances, mais je suis surprise de la variété de ces cinq productions piochées aléatoirement.

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  • L’élève a compris le principe de proportionnalité : 3 mois-3 minutes, 1 mois-1 minute.
  • Ensuite, l’élève se met à la recherche d’un jour. Alors il divise systématiquement par 2 : 1mois, 15 jours, 7,5 jours (pourquoi ×12 heures ?), 3,25 jours, et un essai inabouti par manque de temps pour diviser encore par deux. Ainsi, il a du mal à élaborer une stratégie anticipée. Il espère que « ça va bien tomber ». Mais il ne procède que par division et ne bidouille pas par addition ou soustraction comme cela arrive parfois.
  • Diviser 3,25 par 2 pose problème, ce qui est matérialisé par les fiches et le petit rond au-dessous du 5. L’élève a divisé 3 par 2, a écrit 1,5, et a dû se poser ensuite la question de quoi faire de ce « ,25 » entouré et fléché. Il est probable qu’il conçoive le décimal comme la concaténation de deux entiers, et qu’il envisage séparément partie entière et « nombre formé par la succession des décimales ».
  • Comme l est troublé, élève cafouille entre ses calculs de jours et ses calculs de secondes.
  • Les égalités ne sont pas légales. Le signe « = » est utilisé comme un mot de liaison. C’est très fréquent jusqu’en cinquième, et bien difficile à éliminer, comme mauvaise habitude, même bien après.
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Evaluer des brouillons pour visiter des cerveaux (4)

Quatrième production :

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  • Voici un élève qui a besoin de la représentation pour réfléchir. Ce qui est bien, c’est qu’il a trouvé un moyen par lui-même de représenter la situation. En revanche, c’est chronophage et aboutit à une conclusion fausse.
  • Les données importantes sont indiquées en haut : 3 minutes, 3 mois. En bas, 3 minutes sont converties en secondes, par addition itérée.
  • L’élève « écrit son mois » et case dedans les secondes d’avance de mon horloge. À chaque seconde, un petit point. Il va au bout, sans se tromper dans le dénombrement, tout à fait absorbé dans sa tâche : représenter de façon exhaustive lui permet d’avoir quelque chose à faire, l’impression de faire des maths, de répondre à mon exigence d’engagement intellectuel. Même si ce n’est pas forcément le cas. Mais l’élève est de bonne foi, veut montrer qu’il est avec moi, dans la classe de maths.
  • L’élève a « écrit son mois » et perd de vue qu’il y en a trois, des mois. Il case ses secondes dans l’espace d’un mois et conclut que « la voiture » avance de 6 secondes par jour, en donnant du sens au schéma, en faisant le lien avec la question posée, en cherchant à coller aux exigences scolaires classiques avec une phrase de conclusion, mais les trois mois ont disparu.
  • Le recours à la division n’apparaît pas du tout. À aucun moment la modélisation n’est engagée. Je vais en discuter avec l’élève pour voir si en m’expliquant il franchit ce pas.

 

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Evaluer des brouillons pour visiter des cerveaux (3)

Troisième production :

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  • On constate immédiatement un contraste absolument saisissant avec les autres bouillons : l’écriture est soignée, le document parfaitement propre et structure (un trait pour séparer les différentes zones), la consigne est recopie et une phrase de conclusion figure.
  • Pour passer des mois aux jours et des minutes aux secondes, les calculs ne sont pas indiqués : la démarche est transparente pour l’élève.
  • La division est posée. Je lui demanderai pourquoi. Je pense qu’il est capable de donner le résultat sans la poser, mais la technique de la division doit encore être fragile en sixième, et à nouveau la poser est une façon d’avoir un support visuel structuré.
  • Le sens est sonné avec la réponse, assortie de son unité.
  • Cet élève est très appliqué, très anxieux, et très soucieux de se conformer à des normes, parfois imaginées d’ailleurs. Il ne parle pas français depuis très longtemps.  Et sa production est la plus propre et rédigée de mes 56 productions… J’aimerais qu’il se détende et s’autorise une réflexion plus « naturelle ». Mais je suis totalement admirative devant la volonté, les intelligences et la rigueur de cet enfant. Si j’avais vécu sa vie, aurais-je été capable de ça ?
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Evaluer des brouillons pour visiter des cerveaux (2)

Deuxième production :

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  • L’investissement ce cet élève m’est d’abord paru insuffisant. Mais en réfléchissant, je me suis aperçue qu’il était identique à ce lui de l’élève de l’article précédent. C’est la même chose, simplement il a posé une division qui lui a demandé moins de travail. Mais c’est intéressant, car je me serais bien énervée sur la pauvreté de la trace, et ç’aurait été injuste au regard de l’autre production. Évaluer est donc aussi utile pour prendre nos perceptions plus objectives (mais jamais complètement bien entendu)
  • L’élève commence comme le précédent, et comme beaucoup : passer de trois mois à 90 jours (il était entendu que nous considérions des mois de 30 jours). Puis il divise 90 jours par 180 (secondes, manifestement). La division est posée, mais cela ne sert pas à grand-chose excepté d’avoir un support visuel : l’arc au-dessus du 90 indique que l’élève s’est appuyé sur ce visuel, mais il ne fait figurer aucune étape.
  • L’élève n’indique pas de phrase de conclusion, ne met pas en valeur un des nombres obtenus. Il n’y a pas non plus d’unités. Tout comme le précédent, on peut se demander s’il a mis du sens sur son calcul, sur son résultat.
  • Le choix de l’opération montre que l’élève a dû percevoir que dans ce type de problème, il y a une question de répartition, et que l’opération adaptée est sans doute la division. Poser une opération rassure : on a fait quelque chose, on a fait des maths, on a été actif, on montre une compétence calculatoire. Mais en divisant 90 par 180 l’élève montre surtout qu’il n’a pas mené son raisonnement correctement, par manque de compétence ou par précipitation par exemple.

 

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Evaluer des brouillons pour visiter des cerveaux (1)

J’ai raconté ici la question que j’ai posée à mes sixièmes mercredi, et l’évaluation d’un point de vue collectif.

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Voyons aujourd’hui quelques analyses individuelles : que m’apprennent les productions de mes élèves ?

Je vais reprendre l’analyse de ces productions avec mes élèves, en classe, lundi.

Production 1

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  • Cet élève commence par calculer 30×3, en ligne. Il a compris que je demande « par jour » et qu’il peut être utile de convertir les mois en jours. Il place ce calcul de départ en haut à gauche, sans doute car c’est vraiment son point de départ.
  • Ensuite, cet élève pose une division : 3÷90. Cela me laisse penser qu’il a compris la consigne, l’enjeu, qu’il veut faire 90 paquets de quelque chose en fractionnant 3 en parties égales. Il se lance dans la division. Dans 3, il n’y a pas 90 unités. Il surmonte le fait de devoir s’engager dans les décimaux et poursuit. Dans 30, il n’y a toujours pas 90 unités. Il en est à 0,0. Là, il se trompe et fait apparaître un nouveau 0. Il faut que je voie avec lui pourquoi, à quel moment il s’est trompé. Je me demande si ce n’est pas au tout début en fait, au moment où il est passé des entiers aux décimaux, qu’il en aurait écrit deux, des 0.
  • On peut remarquer qu’à un moment donné, l’élève a besoin de calculer 90×3, et il le pose. Pourtant il avait calculé 30×3 en ligne. Ça aussi, je vais lui demander pourquoi. À mon avis, il calcule 30×3 par addition itérée, et 90×3 serait plus pénible à effectuer à cause des retenues dans l’addition stérée, alors il pose. Mais a-t-il compris qu’il calculait 3 fois 9 dizaines ?
  • L’élève poursuit, et constate que le reste est toujours le même. Il complète alors son quotient par des 3 successifs, en terminant par des points de suspension. Il sait que l’écriture décimale comporte une infinité de 3.
  • Une fois ceci fait, l’élève me dit « j’ai fini madame, j’ai trouvé, c’était facile ! » et me rend sa feuille. Sauf qu’il n’y a ni indication de la réponse à la question (je ne demandais pas de rédaction, mais j’avais spécifié que je voulais pouvoir facilement comprendre quelle était leur proposition de réponse), ni unité pour donner du sens. Comment l’élève interprète-t-il le résultat ? C’est 0,003333… quoi ? Est-ce bien la réponse à la question ? Il s’est arrêté là parce qu’il a trouvé « un nombre », parce qu’il a posé une opération. Mais il n’est sans doute par revenu à la question pour valider, vérifier sa proposition. A-t-il seulement conscience que c’est d’une mesure de temps qu’il parle ?

Je saurai lundi.