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Comprendre ou appliquer, le grand malentendu

Dans une évaluation, j’ai posé à mes élèves cet exercice :

Nous avions travaillé, en classe, déjà évalué et remédié. Là, c’est une réévaluation. Et en classe, j’ai présenté ainsi aux élèves :

Ce que je recherche, c’est de donner du sens à la notion de vitesse, en mettant en lien deux grandeurs (la distance et la durée), en faisant explicitement apparaître la proportionnalité, en proposant des données qui permettent le calcul mental, dont je ne veux pas qu’il soit un obstacle car ce n’est pas ce que je souhaite évaluer.

J’ai expliqué et ensuite ré-expliqué aux élèves mes objectifs. Il en reste encore 4 (sur 51) qui s’accrochent pourtant à cette formule :

Aucun de ces 4 élèves n’a réussi à résoudre correctement la question. 2 d’entre eux, comme ci-dessus, ont écrit leur formule et c’est tout. 2 autres ont tenté un calcul : 150:100 ou 150:140. Dans ces deux cas, les élèves ont indiqué sur leur copie qu’ils pensaient s’être trompés. L’élève qui est parti sur 150:100 c’est juste loupé sur l’unité, en fait.

En discutant avec ces 4 élèves, j’ai observé deux cas de figure : 2 m’ont dit que leurs parents les ont aidés à travailler et n’ont pas compris ma façon de faire, et trouvent que la formule c’est plus rapide « parce qu’on n’a pas besoin de réfléchir ». 2 autres m’ont expliqué qu’en physique, on fait comme ça. Bon, c’est déjà ça, qu’ils fassent du lien entre des disciplines différentes, car parfois les élèves pensent que les notions sont différentes d’une matière à l’autre même si elles portent le même nom.

Je trouve intéressante cette résistance. Elle est relative : sur les 51 copies, 40 exposent la solution de façon correcte et argumentée, 4 font référence à LA formule, 5 ne proposent aucune réponse et 2 font référence à la proportionnalité, mais se trompent dans le sens de la proportionnalité en effectuant des opérations qui ne sont pas adaptées à la proportionnalité. Toutefois, c’est à l’issue de longs efforts de ma part, et il demeure des représentations qui recherchent l’automatisme (ce qui n’a rien d’insultant, on en a besoin) de façon incompatible avec la recherche de la compréhension du principe (incompatibilité sans fondement).

D’ailleurs, j’en veux bien, de l’application de cette formule, moi, si elle est correctement employée et articulée avec la consigne. Le truc, c’est qu’en général c’est loupé.

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Automatisme, compréhension et fractions

Bon, je m’étais dit, allez, tu as 8 paquets de copies, tu en corriges au moins 5, et pas touche à l’ordi à part pour reporter tes compétences. Ca a été difficile. Heureusement je ne m’étais pas dit pas touche au téléphone, mais du coup j’ai suivi les conversations sur la division des copines et des copains, et puis il y a la première vidéo du groupe sur les mathématicien(ne)s, et j’ai bien hâte d’aller voir de plus près… Mais j’ai tenu, hahaaaaa.

Il me reste deux paquets. Mais pour aujourd’hui, j’arrête.

Tout ça pour en arriver au point qui m’intrigue : en sixième, nous avons fait une interro sur les fractions. Jamais je n’ai obtenu de si bons taux de réussite. Mes élèves, qui sont de niveau vraiment très hétérogène au départ, et avec des savoirs initiaux variés et parfois très originaux sur les fractions, ont su faire des choses comme ça, dans leur très très forte majorité :

Il y avait des questions pas faciles, quand même : la fraction du carré coloriée en jaune, placer sur un axe qui ne débute pas à 0, simplifier sans indication, revenir au sens de la fraction… Et là, vraiment, les élèves m’ont épatée. Et il y a UNE question sur laquelle le taux de réussite est 36%. TOUTES les autres sont au-dessus de 70%, sauf deux qui sont à 65%. La voici, cette terrible question :

Pourtant j’ai l’impression d’avoir toujours précisé « parties EGALES », mais non, la dernière figure a semblé juste à tout plein d’élèves.

Cela me donne le sentiment d’avoir transmis des savoirs faire mais que la compréhension n’est pas atteinte… Pourtant dans le reste des questions il faut aussi avoir compris des tas de choses sur le nombre. Mais je m’interroge, profondément.

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Le retour de l’évaluation, en quatrième

Aujourd’hui, dans mes deux classes de quatrième, nous revenons sur une évaluation d’avant les vacances, qui a été plutôt loupée. Je ne pouvais pas en rester là, alors j’ai décidé d’apprendre aux élèves comment on se relève d’une gamelle, comment on utilise l’erreur pour progresser. J’ai donc proposé un corrigé bien détaillé aux élèves, promis de répondre à toutes les questions qu’ils et elles me poseraient pendant les vacances, et aussi pendant le début de la semaine à la rentrée. Le plan était de refaire une évaluation similaire aujourd’hui, avec un objectif : progresser. Et pour les élèves qui ont plus de 70% de réussite et qui en avaient envie, j’ai préparé des évaluations personnalisées, pour qu’ils compensent ce qu’ils avaient raté mais ensuite aillent plus loin. Enfin, pour celles et ceux qui avaient plus de 90%, j’ai prévu une évaluation franchement ambitieuse.

Je ne sais pas quelle sera la qualité de ce que je vais corriger. Mais ce que je constate, c’est que la mise au travail a été remarquablement rapide, que les élèves m’appellent pour poser des questions tout bien comme il faut : « madame, est-ce que c’est bien comme ça qu’on fait ? », « madame, vous pouvez regarder si là je pars bien ? », « madame, quand vous dites développer, je fais ça fois ça plus ça fois ça, c’est ça ? Et après je peux réduire ? » Autrement dit, on n’est pas dans le « j’ai rien compris », mais dans l’analyse, et ça ça me plaît. Les élèves qui en ont besoin ont demandé des tables, une élève a la barre à relatifs, un utilise un matériel pour représenter les fractions…

J’espère constater des progrès, vraiment. Mais vu l’engagement des élèves aujourd’hui, c’est possible. Ce que je veux avant tout, c’est leur apprendre à construire sur un loupé. C’est ça le plus important et le plus transférable pour leur avenir. Ce que je voudrais en effet secondaire, c’est me sentir tranquille par rapport à leurs apprentissages… Je ne peux clairement pas accepter de continuer notre chemin en ignorant ce qu’ils n’ont pas acquis : leur évaluation globalement ratée m’évalue moi aussi.

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Mesurer or not mesurer ?

En cette fin de période, je corrige des copies : les bilans sont faits, et je rêve de « vraies » vacances, pendant lesquelles je travaillerai, forcément, à la période à venir et à de nouveaux aménagements à partir de ces bilans, mais qui auraient quand même un air de vacances. Le paquet qui sans doute est le plus crucial pour moi, c’est celui de sixième : nous entrons dans l’hypothético-déductif. Nous nous éloignons tranquillement (enfin, j’espère) de la géométrie instrumentée, en particulier, pour pénétrer dans le merveilleux monde de l’argumentation. Mais en même temps, nous avons appris à mesurer des angles. Et ça, c’est tout à fait instrumenté. Je me trouve donc confrontée à un écueil de taille : donner les moyens à mes élèves de repérer quels éléments, dans une consigne s’appuyant sur un dessin géométrique, permettent de savoir si « on a le droit de mesurer ou pas », si « on peut dire que ça se voit ou faut dire des trucs de raisonnement ». C’est franchement difficile, ça, et depuis des années j’essaie de progresser. On dirait que j’y parviens, ou alors mes élèves ont compris ou progressé sans moi, ce qui est fort possible. Dans les deux cas, c’est chouette. En tout cas, en sixième c’est vraiment le moment d’un pivot : en cycle 4, les élèves auront pratiquement abandonné le tout instrumenté, ou ne le rencontreront que dans des circonstances rares et de ce fait bien étiquetées pour pouvoir être repérées. Avant, à l’école, certains élèves ont rencontré de l’hypothético-déductif, mais pas tous, et à des niveaux très différents. Là, en sixième, on est clairement sur un terrain mouvant, dans un entre-deux en même temps décisif et bien miné d’implicite. Il me faut transmettre des outils. Je suis particulièrement aidée en cela par la présence dans ma classe d’élèves du dispositif ULIS, d’élèves allophones, d’élèves autistes. Pour aider ces élèves, pour qui l’accès à l’information se fait différemment, je dois être particulièrement claire, et tout le monde en profite (même moi : parfois je m’aperçois que j’ai mal conceptualisé quelque chose ou que mon langage est mou).

Dans cette dernière évaluation, sur les angles justement, j’avais à proposer des exercices instrumentés et d’autres non instrumentés. C’est très très frustrant de voir des élèves être passés à côté d’une consigne alors qu’on sait que peut-être ils auraient su répondre s’ils avaient compris notre objectif. Lors des évaluations je circule en permanence pour reformuler, vérifier, relancer. Mais certain(e)s arrivent à passer entre les mailles de mon attention : ils sont 29, dont beaucoup qui ont besoin directement de moi pour écrire ou lire, et moi, hé bien je suis toute seule. J’ai donc bien réfléchi à mes consignes pour essayer de permettre à la majorité de mes élèves d’être les plus autonomes possible.

D’abord, je me suis appuyée sur ce que j’ai essayé de tricoter avec mes élèves : « en vraie grandeur », j’ai le droit de m’appuyer sur des mesures prises directement sur la figure. « En mesurant », « à l’aide de ta règle graduée », « à l’aide de ton rapporteur », aussi. En revanche, si des mesures sont portées qui ne correspondent pas à la réalité du dessin, je ne dois rien mesurer d’autre. Si les lignes droites sont tracées de façon « bloblotante » (c’est le terme scientifique, naturellement), cela indique aussi une figure d’étude, pas en vraie grandeur. Si des codages sont présents, c’est sans doute que la figure n’est pas non plus « pour de vrai », car sinon on n’aurait pas besoin de ces codages. Mais si la consigne comporte le verbe « sembler », c’est qu’on se trouve dans un autre cas un peu différent sur le plan conceptuel : on peut utiliser la figure, mais on va formuler une conjecture, assortie d’une estimation et sans doute d’éléments modélisants, argumentatifs. On est un peu entre les deux cas précédents. C’est vraiment compliqué, quand même, pour des collégiens tout neufs ! Nous avons catégorisé ces éléments de langage, pour la première fois en classe, à l’écrit. Habituellement je les évoque à l’oral. Mais je voulais une trace, cette fois.

Ensuite, j’ai pensé le support visuel. Mes évaluations bilans ont toujours le même format et la même présentation : un A3 plié en livret, contenant les consignes et les espaces de réponses Pour commencer, j’ai posé sur des pages différentes de l’évaluation les exercices de géométrie instrumentée et les exercices d’argumentation. Visuellement, je sépare. En tournant la page, l’élève change de cadre géométrique. Il l’ignore, mais au moins il ne voit pas dans son champ de vision des exercices instrumentés et hypothético-déductifs en même temps.

Enfin, j’ai cogité sur les consignes. Je voulais proposer cette question, sans doute issue du manuel Sesamaths, sur lequel je m’appuie souvent : un angle est représenté aigu et porte la mention 100°. Qu’est-ce qui cloche ? ma réponse attendue est « cet angle semble aigu, ce qui n’est pas compatible avec une mesure de 100°, qui correspond à une mesure d’angle obtus ». Mais comment formuler ?

« Que penses-tu de ce dessin ? », trop vague. L’élève peut me répondre qu’il est noir, qu’il est bien fait, etc.

« Ce dessin est-il juste ? Pourquoi ? » : c’est complexe, car qu’est-ce qui constitue le point de départ ? Est-ce l’indication de mesure ou l’angle ?

Deux difficultés supplémentaires me sont apparues : la première est côté élève. Les points F et T sont placés par un trait qui coupe les demi-droites, et le codage de l’angle, parfaitement inutile par ailleurs, est aussi un trait. Pas bon, ça. Mais en même temps, c’est intéressant de voir si ce trait-là va embêter les élèves, et comment ils l’interprètent Alors je l’ai laissé et je me suis promis d’y être vigilante. Bon, en fait cela a gêné deux élèves seulement, à ma connaissance, et encore : ils se sont dit qu’il manquait un nom de point à cet endroit, mais que ça aurait été bizarre pour l’un, et que c’était inutile pour l’autre.

La deuxième difficulté est côté prof : même si nous avons travaillé tout ceci en amont, qu’est-ce qui empêche les élèves d’utiliser le rapporteur, et qu’est-ce qui invalide cette démarche ? Rien. Alors je vais indiquer dans la consigne qu’on doit le faire sans rapporteur. J’étais sûre que les élèves joueraient le jeu, et ils l’ont fait.

J’en suis finalement revenue à ma consigne. J’ai décidé d’intituler l’exercice « estimer un angle » pour donner une idée de la compétence concernée, et d’allouer clairement le droit à l’estimation. Puis j’ai bien indiqué « semble », et interdit le recours au rapporteur. Et puis j’ai précisé que la figure semble fausse, et centré l’action sur l’explication : « Explique », pas « constate ».

Et puis j’ai construit les autres exercices de la même façon : angles, proportionnalité, tableur, aires et périmètres, géométrie spatiale, droite, demi-droites, segments et appartenance. Autant vous dire que cela me prend un certain temps. Au moins, je connais bien mon contenu et mes objectifs avant de corriger, ce qui me fait sans doute gagner du temps ensuite.

Et puis les élèves ont composé. Et là, bonheur. Toutes et tous ont répondu, et si je n’ai pas encore vérifié toutes les réponses, celles que j’ai contrôlées sont satisfaisantes ou exactes. En voici trois exemples :

Notez le choix des mots : « semble », « je pense », et tout bien argumenté. En plus, « il/elle », magnifique.

Alors là, « petit » est trop peu précis. Petit par rapport à quoi ? Il aurait fallu se référer à la comparaison avec l’angle droit. De même, l’angle obtus est convoqué sans lien avec le 100°. Mais on voit que l’élève a compris l’idée et raisonné correctement. Il faut encore préciser les éléments de justification. Le « ça m’étonnerait » est très bien : l’élève prend avec lui la réflexion, la ramène à lui (ou elle, je ne sais plus).

« Il me semble », parfait. Nous avons bien fait de travailler explicitement le langage : les élèves utilisent les éléments que je leur ai donnés. Ici, changement de façon de voir : l’angle est faux, la mesure est considérée comme l’information juste. « à vue d’yeux » traduit l’estimation.

Je suis très contente des écrits, mais il reste une question dans cet exercice : qu’est-ce qui est la référence, finalement ? Pour moi, c’était la mesure car je demandais « pourquoi la figure est-elle fausse ». De nombreux élèves ont considéré que c’est la mesure qui est fausse, le dessin étant le point de départ. En même temps, ils viennent de mesurer beaucoup, beaucoup d’angles à partir de dessins, et en ont tracé, mais moins. Les deux versions sont justifiables, je pense, mais je vais en débattre avec elles et eux à la rentrée tout de même.

Mais avant cela, je termine ces corrections et je prends des vacances…

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Code en bois : l’évaluation

Alors, retour sur Code en bois, que j’expérimentais cette année :

Ici, je présente le dispositif.

Là, une première analyse est proposée.

Ici, une suite d’analyse, en sixième.

Le dispositif Code en bois a son site, là.

Et l’évaluation, alors ? J’en parle ici. Voici ce que j’ai proposé aux élèves :

J’ai apporté quelques aménagements en direct : dans l’exercice 2, les élèves peuvent réécrire un script plutôt que d’adapter le script existant. On suppose aussi qu’on dispose d’un infinité de flèches, que si on tire sur l’allié on ne l’atteint pas et qu’on n’a pas de flèches lourdes.

J’ai terminé de corriger et d’évaluer les copies des classes auxquelles j’ai proposé cette évaluation. Mes classes sont entre 64% et 72% de réussite, ce qui est très chouette. Le meilleur score est atteint en 5e et le moins bon (mais cela reste satisfaisant, tout de même en quatrième) :

En quatrième, voici les relevés d’évaluation :

En cinquième :

Et en sixième :

Une difficulté commune à toutes les classes est de s’orienter en fonction du personnage et non en fonction du dessin représenté sur la consigne. Une autre est de penser à terminer les boucles, même si une majorité d’élèves a essayé de le faire. Assez fréquemment la fin est mal placée et la déplacer rend l’algorithme opérationnel. Enfin, troisième point commun, la double fonction de la brique répéter/tant que conduit à des erreurs à l’écrit.

Très peu d’élèves ont écrit des algorithmes abscons. Pour la quasi totalité, on peut identifier la stratégie, même lorsqu’elle est maladroitement mise en forme et en mots.

J’avais différencié un peu selon les niveaux de classe : les élèves de quatrième devaient tout traiter, les élèves de cinquième avaient un bonus possible et les élèves de sixième pouvaient choisir entre l’exercice 2 et l’exercice 3. Certains élèves, en nombre assez conséquent, on réussi plutôt le 3 ou choisi directement le 3 au détriment du 2 : je pense que créer est plus aisé en fait pour elles et eux que transformer. Pour transformer il faut s’appuyer sur un existant qui contraint ou qu’on n’a pas bien compris, je suppose.

Enfin, une grosse différence est que les plus âgés des élèves essaient d’avoir recours à plus de variété d’instructions : des répéter, des tant que et des si, voire des si/sinon, ce qui a l’avantage de rendre leur algo plus court et efficace, mais qui a l’inconvénient de prendre plus de risques car c’est plus complexe, avec des boucles dans des boucles. Cela fait qu’il est difficile de comparer les résultats d’évaluation des élèves de sixième et des élèves de quatrième, par exemple.

Là où je suis contente, c’est que pas mal d’élèves, en particulier en quatrième, ont eu recours à bon escient à des « tant que pas ».

Je suis vraiment ravie de l’expérimentation de ce dispositif, code en bois.

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Tu peux attendre un douzième d’heure s’il te plaît ?

J’essaie, en début de sixième, après avoir fait découvrir des numérations égyptienne, mésopotamienne, romaine, grecque, maya, chinoise, shadok, etc., de faire le lien avec les calculs de durées. Nous expliquons pourquoi soustraire avec compensation est risqué, car le report de la retenue ne fonctionne pas de la même façon, nous réfléchissons au rôle de la virgule (3,5h c’est quoi? 3h05min ? 3h50min? aucun des deux ?) et nous en arrivons à parler de dixièmes : un dixième d’heure, c’est 6 minutes. C’est très pratique de savoir ça. Mais en général c’est long à installer. Les élèves comprennent sur le coup, de façon superficielle, et il faut y revenir encore et encore dans l’année pour ancrer ce savoir, pour qu’il soit attaché à une vraie compréhension.

Cette année, lorsque j’en suis arrivée là, un élève s’est illuminé. Il trouvait ça tellement pratique, et ça rendait pour lui les fractions « hyper utiles ». Il a écrit ceci dans sa copie d’évaluation :

C’est imparfait, comme explication, mais je comprends qu’il a compris et en plus il utilise la fraction à bon escient.

Je suis joie.

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Quels objectifs quand on demande une définition en évaluation ?

Dans la leçon :

Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones

PS : nous avons défini bien avant polygone

Dans les copies : 2 élèves restituent la définition. Et sinon, voici un échantillon représentatif :

Alors bon, le premier, c’est simple : c’est inexact.

Et après ? Comment évaluer ? Quel est mon objectif ? Pas d’avoir une classe de perroquets, d’accord. Mais est-ce que je cherche à savoir s’ils ont compris ou à savoir s’ils savent l’exprimer ? Tous les ans j’ai la même interrogation.

Alors j’ai décidé de ne pas choisir. J’évalue communiquer – utiliser correctement le vocabulaire mathématique, et puis modéliser – identifier les propriétés et les relatons utiles.

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Ecrire les opérations

En cinquième, nous sommes en fin de séquence qui contenait (entre autre) les priorités opératoires. Aujourd’hui, nous avons travaillé la façon dénoncer un calcul. Par exemple, je dis aux élèves « la somme de 4 et du produit de 6 par 2 », et ils doivent écrire « 4+6×2 », ou bien si le leur dis « le produit de 4 par la somme de 6 et 2 » ils écrivent (en principe) « 4x(6+2) ». Ils sont plutôt bien compris du point de vue des priorités, mais je suis perplexe : plusieurs d’entre eux écrivent systématiquement des calculs de cette façon :

J’avoue ne pas trip savoir comment interpréter cela : ces élèves pensent-ils application à un nombre de départ ? Ou bien écrivent-ils « juste » dans l’ordre de ce qu’ils entendent, sans se préoccuper de savoir qi la phrase calculatoire a du sens en tant que telle ? Je pense qu’en entendant « le produit de 7 par la somme de 1 et 3 », ils se débarrassent du produit par 7 et ensuite isolent la somme de 1 et 3 en indiquant les parenthèses parce qu’ils la conçoivent comme une sorte d’entité, mais sans relier les deux. Je vais en discuter avec eux.

Bon, sinon, j’ai bien aimé ça : nous parlons le même langage je crois…

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Qui qui qui qu’a plus d’copies, qui qui qui quiiiiii

(À lire sur la musique délicieuse et subtile des snorkies…)

Je suis dans le train, entre les cours que je terminais à 17h en Normandie et le bureau de l’APMEP à Paris, et j’ai corrigé mes deux paquets de copies ! Bon, ils étaient courts, ok. Mais quand même, je suis bien contente. D’autant que presque toutes et tous mes élèves ont compris les techniques de calcul que j’évaluais, ce qui va faciliter aide à ceux et celles pour qui ce n’est pas encore le cas !