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Causons petits sous.

Les centimes sont des centièmes d’euros. Hé bien ça peut vous paraître évident, mais ça ne l’est pas du tout.

L’enseignement de la monnaie commence en cycle 2. Entre le CP et le CE2, on apprend progressivement les euros et les centimes. Or on ne dispose pas alors du nombre décimal. Et pour cause : le décimal sera amené par les fractions, et ce n’est que pour le cycle 3, tout ça. Mais cela signifie qu’il y a dès le départ de la manipulation des euros et des centimes un malentendu : on ne peut pas vraiment présenter les centimes comme des centièmes. On peut dire qu’il faut 100 centimes pour faire un euro, bien sûr. Mais cela reste compliqué, d’autant que les écritures de prix sont variables : dans un même magasin, on va trouver 4,12€ ou 4€12c ou 4€12. De quoi préparer tranquillement chez les petits la vision de la virgule comme séparateur ou recollement de deux nombres entiers.

Cela se retrouve jusqu’en sixième (au moins) : plusieurs élèves ont modifié la réponse proposée à une question ainsi :

Ils se sont donc trouvés dans l’incapacité de faire le lien entre 60 centimes et des euros. Certains ont répondu 0€60 ou 0€60centimes, d’ailleurs. Et c’est intéressant qu’ils aient aménagé la consigne pour pouvoir répondre : c’est mieux qu’une absence de réponse et cela me dit des choses, à moi. Mais je me suis interrogée sur le point à attribuer ou pas : tout dépend de ce que j’évalue ici, l’opération ou le lien euro-centime.

Ca me dit : cette question fera partie des cinq questions corrigées avant la prochaine course. Faut qu’on cause sous, les jeunes. Petits sous.

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(titre à lire avec un ton qui fait peur) La frrrrraction

Je suis plutôt contente : sur cette question 15 de la course aux nombres de mars qui avait été si loupée, j’ai obtenu cette fois tout plein de bonnes réponses. Pas mal de 2/3, quelques 1-1/3. Mais il va tout de même falloir y revenir : les erreurs qui demeurent sont pleines de sens.

Il y a les élèves qui répondent 2 unités. Ceux-là sont peu. ils ont compté le nombre de graduations et pouf, 2. Quatre élèves (sur 49) ont répondu 0,2 unités, remarquable adaptation pour rendre acceptable cette idée de 2 graduations : soit ils se sont dit que la réponse devait être comprise entre 0 et 1 et bim, ont transformé 2 en 0,2, soit ils sont habitués encore à avoir des axes gradués de façon décimale. Cette année, on ne peut pas dire que cela ait beaucoup été le cas, donc ce serait une représentation antérieure.

Autre erreur assez représentée, 3/4. Je suis plus perplexe.? Je pense que c’est une estimation visuelle : on est à plus de la moitié, mais il manque une graduation pour arriver à 1. Peut-être ces élèves ont-ils compté les graduations, d’ailleurs, les « petits traits ». Dans ce cas, ils sont arrivés au troisième petit trait sur quatre, et pouf, 3/4. Il faut que je discute avec eux pour qu’ils m’expliquent leurs démarches. Je me demande aussi si ces élèves savent que 3/4 s’écrit aussi 0,75 et s’ils répondraient 0,75 pour la mesure du segment recherchée.

Enfin, ce n’est pas une erreur, mais la dernière production me dit quelque chose d’important. Elle émane d’une brillante élève, qui a eu besoin ici de faire apparaître « d' » devant « unité ». Autrement dit, elle considère toujours la fraction d’abord comme une proportion de quelque chose, comme la fraction partage. Elle n’est pas encore arrivée à la fraction en tant que nombre. Ici d’ailleurs cela peut se comprendre, mais c’est tout de même très intéressant.

Nous parlerons de tout ceci mardi.

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Le chaperon à toutes les sauces

Cet après-midi, j’ai corrigé les productions qui rentrent ces jours-ci sur le Chaperon (ici et , et et pour d’autres productions). En voici quelques exemples ; je suis vraiment contente, car les élèves se sont investis pour une grande partie d’entre eux, en réalisant des travaux vraiment très chouettes :

Vous noterez le poids de l’actualité, avec le Chaperon qui a à sa disposition du gel hydroalcoolique…

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Bigarrure : plouf dans les maths en CM2

Hier je vous avait parlé de mes plans pour la deuxième séance de bigarrure dans le triangle. Là, j’en reviens et c’était super ! Les enfants ont hyper bien travaillé, ils ont bien plus participé que la fois précédente, il y avait de l’énergie, ma collègue avait l’air très satisfaite aussi et je me suis vraiment bien amusée. J’ai senti que c’était intense, efficace.

Mon plan (si j’avais le temps, car pas question de brûler des étapes) était le suivant :

  1. Reprise des réponses des élèves, de façon générale, introduction du mot « scalène » vs « quelconque » : FAIT ;
  2. Question du jour : le grand triangle est-il rectangle ? FAIT ;
  3. Reprise tous ensemble : qu’avez-vous répondu ? Pourquoi ? FAIT ;
  4. Vérification de l’égalité de Pythagore, avec présentation historique et calcul posé de décimaux : FAIT ;
  5. Si nous avons le temps, voilà ce à quoi je voudrais arriver : une des deux méthodes vous convainc-elle plus que l’autre ? Pourquoi ? FAIT ;
  6. Digestif : géométrie sphérique. PARTIELLEMENT FAIT.

Bon bin c’est plutôt pas mal, d’autant que nous avons pris notre temps. J’avais une heure et demie, cette fois, ce qui était confortable. Quelques analyses à chaud :

Les questions 1 à 3, plus des questions bonus :

Les élèves étaient beaucoup plus souriants, détendus, participatifs. Ils ont proposé leurs erreurs, posé leurs questions. Les interactions m’ont semblé bien meilleures.

A l’introduction de « scalène », plusieurs élèves ont tout de suite demandé : « mais alors un triangle, il peut être scalène ET rectangle ? ». Nous y avons donc réfléchi ensemble, pour conclure que oui. J’ai ajouté une question à l’écrit : « le triangle est-il scalène ? », question qui n’a posé aucun souci. Du coup, j’en ai profité pour parler instruments de géométrie : la règle non graduée, la règle graduée (et hop un petit coup d’histoire du mètre), l’équerre (sans hypoténuse siouplé), le compas (qui ne sert pas à faire des ronds, non non non).

Côté réponses à la question « le grand triangle est-il rectangle », nous avons presque atteint l’égalité : 13 oui pour 15 non. Pourquoi ? C’est là que cette question est intéressante à poser : que les élèves répondent oui ou non, leur justification est la même :

Alors là, on a pas mal discuté : un élève a proposé de placer l’équerre « par l’intérieur », pour mieux voir, ce qui en a convaincu certains autres. Mais c’était troublant, pour les élèves, cette répartition presque équitable d’avis opposés. J’ai demandé s’ils avaient eu envie de répondre « il est presque rectangle », ou bien « ça dépend comment on le regarde », mais ça a fait flop : non, en maths on ne dit pas ça, faut choisir. Bon, dans ce cas-ci, c’est vrai.

Nous avons réfléchi aux équerres, à leur précision, à la manipulation, et nous sommes arrivés au fait que pour l’équerre, c’est chaud : il faut en même temps veiller au sommet et aux côtés de l’angle droit. Et ne plus bouger pour observer.

Mais alors, comment faire ? La question 4

J’ai annoncé que nous allions avoir recours à une autre façon de s’y prendre : l’utilisation, du théorème de Pythagore. J’ai mis les formes, en expliquant bien (je crois) que les élèves ne sauraient pas tout ce que savent des élèves de collège sur ce théorème, mais que j’allais les guider dans son application. J’ai parlé de monsieur Pythagore, et les élèves ont commencé par mesurer bieeeeen précisément les longueurs des côté du grand triangle de Bigarrure. Puis je leur ai demandé de poser la multiplication de chaque longueur de côté par lui-même, d’entourer le résultat le plus grand, d’additionner les deux autres, de comparer. Une fois présenté le principe de l’égalité, tous les élèves étaient d’accord : le triangle n’est pas rectangle. Non seulement les résultats obtenus étaient différents, mais ils les ont trouvés « trop différents » pour supporter une erreur de précision.

Z’en pensez quoi : Pythagore vs équerre ?

Sans surprise, Pythagore l’emporte à 26 voix contre 2. Le combat était inégal : les enfants étaient si contents et fiers d’avoir « appris » l’égalité de Pythagore… Et puis beaucoup d’entre eux aiment calculer. Il y a de belles pépites parmi les réponses : on sent bien que calculer rassure, « fait classe », mais il y a aussi un rapport à la vérité ressenti comme différent. C’est exactement à cela que je voulais arriver : parler vérité, argument, démonstration. Cerise ur le gâteau : un élève a eu le recul d’écrire que oui mais bon quand même, on mesure. Quelques autres objections tout à fait sensées sont citées : c’est plus long, avec de grands nombres ou des décimaux à beaucoup de chiffres on peut galérer, etc. Vraiment extra, ces réponses !

Cette dernière réponse, parfaitement rafraichissante, est aussi intéressante : en quoi, finalement, avons-nous fait plus de mathématiques en mesurant et en calculant, qu’en plaçant l’équerre ? Parce qu’au final, le moment où nous avons fait le plus de maths est sans doute le moment où les élèves se sont interrogés sur ce qu’ils préfèrent et pourquoi, ou sur ce qui leur paraît le plus pertinent.

Géométrie sphérique

Nous avons juste eu le temps, pour la géométrie sphérique promise la dernière fois, d’examiner ma boule en polystyrène et d’en extraire un triangle sphérique. Mais ça valait le coup : quels beaux regards j’ai eu face à moi !

Conclusion

Ce qui était vraiment chouette, c’est qu’à chaque étape, un ou plusieurs élèves ont posé une question qui m’emmenait naturellement sur l’étape prévue suivante ! Cela m’a donné l’impression d’une bonne construction de séance, car les enchaînements étaient ainsi fluides et pas du tout artificiels.

Je revois la classe dans deux semaines, et ensuite encore deux semaines après. Dans deux semaines, j’ai prévu de repartir sur la géométrie sphérique car là, ils sont en appétit, de faire la synthèse de leurs réponses à la méthode qu’ils trouvent la plus pertinente et de développer un peu (car elle est appuyée aussi sur la manipulation et l’observation : on mesure les côtés, ce qu’un élève a relevé), et de nous lancer dans nos propres bigarrures.

Cette fois, c’est sûr : je range Bigarrure dans les pépites. A mon avis, c’est une activité aussi pertinente en classe qu’en formation, en constellation par exemple.

Encore merci à David Sire, sans qui rien de tout ceci n’aurait pris forme, et à Aline qui m’a accueillie dans sa classe.

Prochaine étape (à part finir la séquence en CM2) : transformation de la séquence pour des cycles 2. Sans Pythagore, donc avec d’autres outils ! (j’ai déjà mon iodée, elle m’est venue en classe tout à l’heure 🙂 )

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Séquence bigarrure en CM2

Voici un premier point d’étape sur ma séquence Bigarrure dans le triangle, que j’ai commencé d’animer en CM2 avec une séance de 45 minutes. Demain je retourne en classe pour continuer, et j’aurai sans doute plus d’une heure. Pour le moment, je tâtonne tout à fait ; il faut que je fasse le bilan de la première séance pour organiser la suivante.

Première séance (vendredi dernier)

Je me suis présentée aux enfants, car c’était la première fois que je rencontrais cette classe. J’en ai reconnu plusieurs, bien que je ne les aie jamais vus : je suis là dans ma circo et il y a de solides airs de famille, même masqués.

Etape 1 : réactivation du vocabulaire

D’abord, j’ai annoncé que nous allions travailler en géométrie. J’ai affiché au tableau mes grandes formes de référence (plastifiées et magnétisées), et j’ai demandé ce que les élèves reconnaissaient. Ils ont, curieusement, commencé par me citer le trapèze. En revanche, pour expliquer pourquoi il s’agissait d’un trapèze, il a fallu de l’aide : ça se voir, mais ça ne se dit pas facilement ; intéressant !

Les mots qui ont émergé ont été :

  • polygone, quadrilatère, pentagone, hexagone, octogone ;
  • carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze ;
  • triangle, avec son lot de qualificatifs : équilatéral, isocèle, rectangle, rectangle isocèle ;
  • sommet, côté, diagonale.

Nous avons bien tout défini et j’ai insisté sur l’imbrication des quadrilatères particuliers : un carré est un rectangle et un losange, qui sont des parallélogrammes et des trapèzes, qui sont des quadrilatères qui sont des polygones. Rectangles et carrés ne sont pas étrangers l’un à l’autre, par exemple.

Enfin, j’ai amené un peu de vocabulaire supplémentaire, comme cerf-volant ou scalène.

Une autre fois, je ne réactiverai pas ce vocabulaire pour voir ce que donne l’étape suivante sans ce coup de pouce a priori.

Etape 2 : premier regard

J’ai projeté l’oeuvre de Kandinsky, que j’ai présenté. Nous avons réfléchi au mot « bigarrure ». Et j’ai demandé aux élèves d’écrire sur leur feuille ce qu’ils avaient vu au premier regard, ce qui les avait frappés :

Ensuite, je leur ai distribué leur reproduction plastifiée et je leur ai demandé de l’analyser géométriquement. Que pouvaient-ils discerner et exprimer ? Entre cette étape et la précédente, je n’ai rien ajouté.

Quel première analyse puis-je faire ? Sans élément de comparaison, ce n’est pas évident, mais tout de même il y a des remarques à faire :

  • Les couleurs sont citées par plus d’un quart de la classe au premier regard, la moitié avec plus de recul ; je m’attendais à beaucoup plus ;
  • La forme triangulaire l’emporte très clairement sur le reste, avec deux fois plus d’élèves qui regardent le grand rectangle que d’élèves qui regardent la multitude de rectangles ;
  • Les polygones autres que les triangles sont pratiquement absents au premier regard, mais déboulent en force avec l’analyse ;
  • Les éléments hors grand triangle ne sont repérés qu’au deuxième temps ;
  • Le mot « disque » est absent du lexique convoqué ;
  • En deuxième étude, les élèves entrent plus dans la géométrie, alors qu’ils étaient davantage dans le ressenti de prime abord, comme le demandait ma consigne. Ils ont donc fourni un effort particulier pour aller chercher dans leurs connaissances et vérifier si cela s’applique à Bigarrure ;
  • Ma dernière remarque pour cette fois porte sur la répartition des visions point, ligne et surface : les élèves citent bien plus facilement des surfaces que des lignes, et plus facilement des lignes que des points. Cela tient sans doute à une façon de voir (puisque quand on leur demande ce qu’ils voient en premier c’est une surface à plus de 90%), mais aussi au répertoire qu’ils ont à leur disposition : ils connaissent bien plus de variété de mots pour désigner une surface qu’un point.

Etape 3 : reprise en collectif

Une fois ceci fait, nous avons repris en grand groupe pour faire le point ensemble. Beaucoup d’élèves ont découvert la signature, plusieurs ont réalisé qu’ils n’avaient pas vu ce qui est à l’extérieur du triangle. Nous avons pas mal discuté, et cela m’a emmenée vers de la géométrie sphérique, dont j’ai juste évoqué l’existence.

Question suivante, dans un article prochain : et demain, je fais quoi ?

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Une erreur signifiante

Des erreurs, nous en faisons tous et c’est très bien : les erreurs sont un carburant très efficace pour apprendre et pour enseigner. Evidemment, il est des erreurs plus regrettables que d’autres. Mais là tout va bien : on est en maths, et personne n’a de raison de souffrir d’une erreur.

Alors voici la narration d’une erreur en 5e. Elle porte sur l’aire des triangles, mais ce n’est pas ça l’important. L’important c’est de pouvoir analyser comme cette erreur est le résultat d’une démarche sensée de la part d’un élève volontaire et intelligent, qui veut répondre au mieux à une question. Il lui semble qu’il lui manque une information, alors il compose. Il introduit dans sa démarche du perceptif pour ensuite l’appliquer de façon procédurale, comme appris en classe. Cela ne le choque pas, car l’exercice scolaire dans son ensemble comporte pour beaucoup d’élèves une part de conventions et d’arbitraire, voire de franchement obscur, qui lui a appris à recourir au système D pour aboutir. Et il trouve un moyen acceptable pour lui de surmonter son obstacle.

C’est une jolie erreur car elle est riche d’enseignements pour tous, et ces enseignements sont très profonds. Côté prof, ils font vraiment réfléchir à la nature de l’exercice mathématique et à la perception que peuvent en avoir nos élèves. Finalement c’est comme en art : il y a ce qu’on pense donner à voir, et il y a ce qui est vu.

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En justifiant.

Pendant les vacances, ma fille est venue me voir avec son cahier de maths. Elle avait un devoir maison ; elle est en première et suit la spé maths. C’était sur les suites. Elle devait prouver une égalité du type :

Elle me demande rarement de l’aide, en maths, mais c’est toujours sur la façon d’exprimer quelque chose, ce qui colle tout à fait avec son profil (elle est autiste). Là, elle voyait bien pourquoi l’égalité est vraie, mais ne savait pas quoi transmettre. Je lui ai demandé à quoi elle avait pensé, et elle m’a dit :

Je peux écrire ça direct, après tout, puisque c’est vrai :

Mais si on nous demandait de recopier la consigne, j’aurais remarqué avant. Ou alors je peux écrire ça, mais bon, on se doute qu’on l’a vu, le 10 000 à mettre en facteur :

Ou alors je peux écrire ça, parce que le truc un peu subtil c’est la formule des puissances à l’envers :

Mais dans ce cas-là je peux aussi écrire ça :

Ca dépend ce que je suis censée savoir et ce que je suis censée montrer que j’ai compris, mais ça, comment je le sais, moi ?

Cette incertitude bloquait ma fille : impossible d’avancer au-delà. Je ne l’ai pas questionnée sur ce qu’elle pense que son prof attend, car l’autisme l’empêche de capter les attentes d’autrui. Je sais que son prof annonce ses attentes, comme je le fais moi-même en classe. Alors je l’ai amenée à faire son choix à elle, et elle a choisi la version que j’aurais également choisie, celle qui finalement avait l’argument le meilleur :

Mais cela m’a à nouveau fait réfléchir à la dose d’implicite que nous attendons de nos élèves. Même en supposant que les élèves soient toujours réceptifs, nous ne pouvons pas dire pour chaque question quel niveau de réponse nous attendons : d’une part cela prendrait un temps fou, d’autre part amener les élèves à choisir est justement très intéressant et important. Le problème, c’est que non seulement c’est chargé d’implicite, mais ce peut être chargé d’arbitraire ; là, c’est de moi que je parle, pas de son prof. Il se trouve que j’ai corrigé pas mal de copies pendant les vacances, et que sur un exercice j’ai eu la certitude après coup (dans une fulgurance qui s’est imposée à moi comme ça, chez le boulanger, alors que j’avais corrigé les copies trois jours avant) que j’avais évalué complètement positivement une solution chez un élève, avec un degré de justification faible, et pas chez un autre, qui pourtant avait eu la même lacune de justification.

Mince de zut de crotte.

Je sais qu’il y a de l’arbitraire à corriger. Mais là c’est surtout que mon propre degré d’attendu était si implicite que même moi, je n’étais pas au clair avec ?

Je suis rentrée et j’ai cherché tout de suite les deux copies auxquelles j’avais pensé. En fait, sur celle évaluée tout à fait positivement, il y avait des traces relatives aux mesures effectuées. Sur l’autre, non. Sur la première, il y avait aussi une première solution, fausse, très détaillée, effacée. Je crois que ça aussi, ça a compté dans mon évaluation : il y avait là la trace d’une intention de justification encore plus développée que celle choisie au final.

Je me suis sentie rassurée, sur le coup : je pouvais justifier moi-même cette évaluation différente. Mais en y repensant après la question de ma fille, je me demande ce que j’ai fait passer aux élèves : j’ai écrit « justifie ta démarche ; toute trace de recherche, même incomplète ou inexacte, sera valorisée ». D’accord, mais comment mes élèves sont-ils censés deviner que tracer un vague segment avec des graduations suffit à me satisfaire ? Pire, qu’une solution effacée contribue en fait à l’évaluation ? N’est-ce pas la double peine pour ceux qui sont moins à l’aise ? Non seulement ils ne sont pas sûrs d’eux, mais en plus ils ont davantage de difficultés à prendre ce recul presque didactique, et c’est normal…

C’est très, très compliqué.

Faut que je réfélchisse.

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Un quiz de 5e sur l’inégalité triangulaire

Là, j’ai reçu 26 copies sur 48, et j’ai surtout reçu les copies des élèves les plus en réussite. Alors ils semblent avoir compris le principe, ceux-là, mais pour les 22 autres je ne sais pas… La dernière proposition de la dernière question a fait chuter beaucoup d’élèves, ce qui est normal : il fallait changer de regard.

Le quiz est ici, et il porte vraiment exclusivement sur l’application de l’inégalité triangulaire.

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Un quiz de 6e sur les décimaux

Voici un autre quiz, toujours avec Quizinière, que je partage ici. Je ne peux pas en déduire grand-chose car la moitié de la classe m’a envoyé sa copie. Mais quand même, cela me montre que les élèves n’ont pas encore compris la construction du décimal :

Les quiz que je dépose ici sont très modestes : ils visent à vérifier ce qui coince, et le fait d’avoir des questions à choix multiples avec plusieurs réponses justes m’aide à mieux cerner les difficultés persistantes. Mais c’est tout de même toujours très parcellaire, comme évaluation.

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Un quiz de 6e sur l’ordre et les fractions

Pour tenter de comprendre où en sont mes élèves sur les fractions, je leur avais proposé ce petit questionnaire élaboré avec Quizinière :

Je vous le partage ici.

J’avais demandé à mes élèves de la résoudre vraiment tout seuls, pour pouvoir savoir quoi reprendre. Mais je vois bien que quelques-uns ont dû se faire aider (ce qui par ailleurs peut être très profitable pour eux). Par ailleurs, 5 élèves sur 26 ne m’ont pas envoyé de copie. Alors j’obtiens une photo floue, mais bon, c’est déjà ça. C’est vraiment « encadrer par deux entiers consécutifs » qui est le plus problématique. Nous en avons beaucoup parlé en classe, mais c’est complexe.

Allez, j’attaque les autres Quizinières que j’ai à corriger.