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Un peu moins que 0,1 ?

J’ai posé à mes élèves cet exercice, en évaluation, en quatrième :

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C’est un extrait d’exercice de DNB. Mes élèves de quatrième ne réussissaient pas à lire courbes, à extraire correctement les informations. Nous avons donc retravaillé ces compétences et ils ont obtenu un bon score à cette évaluation (il y avait un second exercice), avec 72% de réussite, alors que d’habitude ils tournent autour de 50%.

Cependant, une question les a mis en échec de façon assez générale, avec 28% de réussite : la question 3. J’attendais 0,09s. J’ai obtenu :

  • 0,09s (5 réponses)
  • Un peu moins de 0,1s (3 réponses)
  • 0,9s (6 réponses)
  • 0,1s  (6 réponses)
  • 9s (1 réponse)
  • et quatre élèves étaient absents.

Du point de vue de la lecture de courbe, tous les élèves ont suivi une méthode juste. Mais excepté 5 élèves, ils ont été en difficulté pour exprimer « un petit peu moins de 0,1s » de façon numérique. C’est une illustration flagrante des déficits de compréhension de la construction du nombre chez nos élèves : mis devant la question « à quelle valeur correspond la graduation qui précède 0,1 sur cette représentation ? », la majorité bloque. Alors on bidouille en faisant apparaître un 9, parce qu’on sent ou qu’on a l’habitude qu’aux changements de rang il en soit ainsi, ou bien on choisit d’arrondir, ce qui d’ailleurs est un choix défendable si l’on a conscience de sa difficulté. C’est une façon de s’adapter qui est raisonnable.

Mais tout de même, c’est un constat assez stupéfiant, cette mauvaise construction du nombre réel.

Vendredi, on en parle. Le glisse-nombre va nous aider : je vais d’abord laisser les élèves s’exprimer, laisser ceux qui ont réussi expliquer aux autres, et puis nous passerons par des représentations variées du nombre 0,1 : 1 dixième, 10 centièmes, 1/10, 10/100… Car heureusement, en maths, il n’est jamais trop tard pour comprendre.

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Avec des ciseaux ET des crayons de couleur

Il y a quelques semaines, j’avais proposé à mes élèves de sixième un petit exercice :

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J’ai récupéré 60 travaux, pour 53 élèves : deux élèves ont réalisé aussi le travail sous géogébra, et un papa, une maman, une grande soeur et deux grands frères ont eu envie aussi de me rendre leur production. Dans ces quatre familles, il n’y avait pas consensus. J’aime bien l’idée que ces quatre personnes se soient autorisées à me transmettre leur « travail », d’ailleurs.

Bon alors ce n’est pas extra en terme de réussite. voici ce que cela donne :

Capture d’écran 2018-12-31 à 17.22.08.png

La majorité des élèves n’a pas compris la consigne, et m’a rendu la figure découpée mais blanche, ou bien la figure coloriée, mais dedans, sans idée de superposition de couleurs. Pour 5 productions, la consigne a été comprise mais le résultat n’est pas correct. 25 élèves ont réussi, ce qui est beaucoup, je trouve, vu la complexité de la consigne, que j’avais peu travaillée en classe.

Parmi les élèves qui ont réussi, il y a une sous-catégorisation à faire :

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Quatre élèves se sont autorisés à « faire autrement ». C’est peu. Je ne sais pas si c’est parce qu’ils pensaient ne pas en avoir le droit ou s’ils n’y ont pas pensé, pour les autres, mais je dois en discuter à la rentrée avec les classes. D’ailleurs les deux élèves à avoir utilisé géogébra sont deux élèves dys, qui sont habitués aux aménagements.

Alors maintenant, qu’est-ce que je fais de tout ça ?

J’avais donné cet exercice pour la lecture de consigne et le tracé initial de la figure. Le tracé, c’est bon. La consigne, il faut que je la reprenne avec les élèves : pourquoi 11 d’entre eux ont réalisé la première partie et pas du tout la deuxième ? Par paresse, parce que c’était difficile, par manque de temps, parce qu’ils n’ont pas compris, parce qu’ils n’étaient pas sûrs, parce qu’ils n’avaient pas de crayons de couleur …?

Pour corriger, je pense m’appuyer d’abord sur les productions fausses, en faisant chercher l’erreur et le pourquoi de cette erreur, son bien-fondé. Ensuite, je corrigerai avec géogébra, en montrant les deux procédures : un élève a tracé ses triangles avec des segments, l’autre par des polygones. Celui qui a utilisé les polygones a été beaucoup plus efficace, car la solution apparaît alors toute seule, par effet de transparence. En parallèle, je ferai circuler les deux calques, qui donnent exactement la même idée que géogébra par les polygones.

J’aime beaucoup cet exercice mais il faut que je réfléchisse à mieux l’amener l’année prochaine. Je l’aime bien parce que je trouve qu’il mobilise du Représenter, bien sûr, mais aussi du Modéliser. Du coup, je pensais attirer les élèves avec le Représenter, qui leur semble souvent accessible et sympa, et les amener à modéliser. Mais le Modéliser est difficile, vraiment. Peut-être commencerai-je à l’avenir par bien analyser la consigne avec les élèves, puis présenterai-je des productions de cette année qui ne remplissent pas les objectifs : une blanche, une colorée dedans, une ou deux fausses.

Cela devrait être mieux.

 

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Plus que, de plus, ou alors moins ?

Serge Petit nous a présenté une intervention enthousiaste, comme à son habitude, et très Capture d_écran 2018-12-12 à 12.18.51intéressante elle aussi (je suis fan de Serge, j’adore la méthode des Numéras, ok. Mais je reste tout à fait objective, si, si).

En s’appuyant sur les travaux de Raymond Duval, Serge Petit nous a parlé représentations, langage et sémiotique.

Il nos a présenté un petit problème. Moins de 6% des 2 000 PE, CPC et IEN ont réussi à le résoudre correctement. Alors nous avons réfléchi à pourquoi.

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Si on répond « à la Vergnaud », on peut proposer qu’il s’agit d’un problème à deux transformations, et que les problèmes de transformation d’état sont plus difficiles. Mais les enseignants expriment des difficultés liées à la lecture de l’énoncé, à la nécessité de lever les implicites (difficulté spécifiquement française), à l’absence de stratégie visible dans la trace écrite,à l’absence de vérification, dans l’ordre d’énonciation, du point de vue des représentations sémiotiques, et par manque d’outils pour analyser l’énoncé.

Serge Petit a ensuite proposé une critique des représentations partie/tout pour ce type de problème : il ne permet ni l’enchaînement des étapes, ni de visualiser la variable temps.

Et comme le dit Serge : « Faire un dessin n’est pas un travail mathématique ! »

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Schizophrénie et correction de copies

Voici ce que j’ai trouvé dans une copie de sixième :

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Comme je corrigeais à fond, sur le coup, je me suis dit : « cet élève a répondu au pif… N’importe quoi. »

Je suis passée à la copie suivante. Je l’ai corrigée, avec une petite voix qui me répétait : « le pif, chez les élèves, ça n’existe pas souvent… Tsss tsss, pas sérieux, ton boulot, cocotte… »

J’ai repris la copie précédente. J’ai regardé et je me suis dit : « il n’a rien compris, ok ». Pourtant on l’a travaillé en classe, et j’ai repris avec lui certains exos spécifiquement. Ca m’a énervée, que tout soit faux.

Je suis passée à la copie d’après encore. Je l’ai corrigée, et la petite voix, qui commençait à m’agacer sévère, me disait : « Ah oui d’accord, ça t’énerve et c’est tout. Super productif, bravo. Et l’élève, là, qui n’a effectivement toujours pas compris, tu le laisses tomber ? Parce que tout est faux ça ne vaut pas la peine de gratouiller ? Tu n’as pas envie de comprendre ??? Comment vas-tu l’aider, si tu ne comprends pas ? Et dis donc, c’est pas ça, ton boulot, comprendre ce que les gamins ne comprennent pas pour qu’ils puissent le comprendre ? »

J’ai soupiré. La petite voix s’est tue un moment, j’ai recherché la copie et je l’ai mise de côté. J’ai fini mon paquet en paix. En plus elles étaient drôlement bien réussies, ces évaluations. Enfin, presque… Le presque qui dérange ma petite voix.

Et puis j’ai re-regardé cette production. En fait c’est très intéressant, ce qu’il a fait, cet élève :

  • il comprend la logique de la suite proposée : chacune des quatre propositions le montre, il effectue la « bonne » opération, que ce soit une addition ou une soustraction, de dizaines, ce centaines, de milliers ;
  • tant qu’il n’y a pas de retenue à gérer, tout va bien ;
  • dès qu’une opération induit une retenue, paf-badaboum : il reprend le premier nombre de la ligne et ajoute ou retranche une centaine au lieu d’une dizaine, un millier au lieu d’une centaine. Seule la dernière ligne fait exception, et je me demande si le deuxième chiffre est un 1 ou un 7. Si c’est un 7, peut-être l’élève était-il arrivé au bon résultat mais qu’écrire trois chiffres au lieu de quatre l’a perturbé, ou peut-être ne lui a pas semblé logique.

En tout cas, le souci de cet élève est bien le passage des unités aux dizaines, des dizaines aux centaines, etc. Sans doute voit-il les choses comme une incrémentation ou une décrémentation d’un chiffre qui a bougé dans les premières propositions, et de ce fait il bloque quand cette opération devient impossible : il n’envisage pas qu’elle ait une influence sur les chiffres qui l’entourent. Il est dans l’ordinal, je pense. Mais pour pouvoir répondre, il a trouvé des stratégies de contournement. Et comme il s’agit d’être logique, plusieurs stratégies sont possibles : l’exercice n’est pas fermé.

Comme cet élève bénéficie d’un PPRE, je vais voir la collègue qui s’en occupe pour lui proposer des remédiations précises qui convoquent la structure décimale du nombre. De mon côté, je suis en train de lui chercher des fiches qu’il puisse traiter de façon assez autonome : évidemment, cet élève est en très grande difficulté, alors autant revenir dès que possible sur ce qui lui manque à la base. Mais pour avoir réussi à ce qu’il me fasse confiance une fois où il s’est lancé et a brillé, en en bouchant un coin à ses camarades, je sais qu’il est volontaire. mais comme cela doit être difficile, de suivre le rythme !

Moralité : la flemme, c’est vraiment pas beau.

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La liberté de nommer

Ce pourrait être épilogue de mon fil d’articles « parler les maths », mais j’y reviens, car j’ai oublié d’évoquer ce point (ahah, quel jeu de mots) : lorsque j’ai projeté les productions de narration de la figure de Léonard de Vinci en classe, devant cette production :

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la réaction des élèves de mes deux classes a été « il a pas le droit de mettre des noms, le points yzavaient pas de lettre sur le dessin ». Un élève en particulier m’a dit qu’on ne pouvait pas les nommer parce qu’on ne savait pas comment ils s’appellent, de toute façon. Et il y en a même un qui a trouvé à me dire que Léonard de Vinci ne savait pas écrire, alors il ne fallait pas « mettre de lettres ». Mais de façon générale, leur réaction est très intéressante et mérite qu’on s’y attarde :

  • les élèves veulent accomplir la tâche scolaire dans les normes fixées par l’enseignant, et ces normes ont une importance considérable pour eux, même si elles sont implicites, voire fantasmées ;
  • les élèves ne s’accordent pas, de ce fait, d’éléments de liberté qui ne nuisent pourtant pas à l’accomplissement de la tâche ;
  • je pense que beaucoup d’élèves ne nomment pas spontanément les points parce qu’ils ne les envisagent pas comme tels. Ils voient des « endroits » importants pour la réalisation de la figure, mais ont-ils suffisamment abstrait pour les envisager comme des points ? Pas sûr du tout.

Il me semble tout à fait fondamental de veiller à expliciter nos objectifs et de permettre aux élèves reprendre les initiatives dont ils se privent arrivés au collège, alors que souvent ils en prenaient davantage à l’école. Même si en effet il y a des règles, des normes et des contraintes, l’école ne doit pas être le lieu du on-n’a-pas-le-droit.

Il me semble aussi fondamental de relever ce genre de choses, pour que ceux qui voient la figure comme un joli dessin fassent le lien avec l’exercice mathématique et les notions qui y sont rattachées. On pourrait passer à côté d’un symptôme comme celui-là : si je n’avais pas projeté la figure et écouté les réactions, je n’aurais pas compris, pour ma part.

Or les maths sont un outil de liberté, et l’école devrait être un outil d’émancipation.

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Parler maths (3)

Ceci est la fin de ma mini-saga. Le temps de l’élévation et du bilan est venu.

Parmi toutes les tâches à réaliser dans leur évaluation, mes élèves avaient à résoudre cet exercice :

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Le but était d’évaluer leurs compétences de représentation d’une figure, mais aussi e surtout dans la narration de construction qu’ils en feraient.

J’ai commencé à corriger leurs productions le jour même, le mercredi : j’avais hâte de savoir ce que cela donnerait, car il me semblait que le travail effectué ensemble depuis la rentrée, perlé puis massé, programmé et hyper explicite, avait porté ses fruits. Il me semblait que dans les productions orales la qualité était meilleure, qu’ils étaient plus motivés aussi, pour être précis et montrer leur expertise du langage mathématique.

Alors je commence par la conclusion : c’est un franc succès. Selon mes critères, sur ce type de tâche, mes trois dernières classes de sixième avaient obtenu 45%, 32% et 38% de réussite, avec quatre items évalués :

  • Représenter (pour la figure) ;
  • Utiliser un vocabulaire adéquat (intersection fait pencher vers vert-vert, rond vers rouge-rouge) ;
  • Expliquer, argumenter (j’évalue là la recherche, la complétude et la précision des explications, sans tenir compte de la nature du vocabulaire) ;
  • Mettre en forme un raisonnement (y a-t-il des étapes successives identifiées comme telles, peut-on suivre le fil logique ?)

Hé bien cette année, mesdames et messieurs, mes deux classes obtiennent respectivement 75% et 69% de réussite !!! Non mais c’est pas beau, ça ? Ce n’est pas encore assez, mais en fin de première période, je suis TRES contente du travail fourni par ces jeunes gens. Notons que la classe dont tout le monde se plaint fait mieux que l’autre, en passant.

Quelques productions, pour illustrer tout cela ?

La figure, d’abord :

Quelques extraits de copies ? Allez, c’est parti. J’ai plutôt choisi des extraits qui ne sont pas entièrement satisfaisants :

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Langage technique : vous posez la mine (c’était la pointe…), vous écartez…
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Là, le manipulatoire (prendre le compas, faire un demi-cercle) et le perceptif (en haut, en bas) l’emportent. Le vocabulaire est mal choisi (une droite de 12cm).
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Pas assez précis dans les instructions, mais le vocabulaire se développe, avec intersection
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Gros progrès de cette élève, qui passe de rond, trait, etc. la fois précédente à cercle, arc de cercle, rayon. Mais les éléments caractéristiques importants ne sont pas présents, et elle tient mal la distance encore. Ça va venir, on progresse !
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Ah non, voilà un exemple de stagnation.
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Ca ne va pas non plus : les éléments caractéristiques sont absents, segment est remplacé par trait, la conclusion est non explicite.
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« Pour commencer j’ai tracé un trait à la règle, de 6cm, tout fin ». On n’est pas encore entré dans l’abstraction.
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Rigolo : la notation segment a pris un sens suffisamment fort pour que cet élève l’utilise dans sa phrase.
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Cet élève complètement changé de style entre les deux exercices : le premier n’était pas satisfaisant du tout, mais lorsque j’ai projeté des productions de ses camarades il a trouvé efficace de nommer les points pour désigner simplement les objets.
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Pas mal du tout !
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La structure est forte, avec « fin ». On est dans un mélange de différents niveaux de langage : trait pour segment, pointer le compas, le côté de la droite, à l’opposé, arc de cercle…
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Ça ne va pas, ici : on est à nouveau dans le perceptif, avec la « figure bien arrondie » et la précision « je la colorie au crayon de couleur ». Cette élève n’a pas compris encore ce que j’attends. Elle raconte, mais on est trop loin des maths.
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L’explication était, dans cette copie, assortie de ces quatre étapes schématisées. chouette, non ?

J’attribue ces progrès à deux choses : d’une part, la programmation d’un plan de bataille précis, alors qu’auparavant le langage était un fil rouge, mais ne faisait pas l’objet aussi précisément d’un tel travail, d’activités dévolues. Et puis la prise de conscience pour moi, et la valorisation, du langage technique géométrique rend tout ça possible : c’est la marche qui manquait pour permettre eux élèves d’accéder au langage mathématique, je crois. Merci Édith !

Reste à voir la suite de nos aventures… 🙂