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Le théorème de Pythalès

Huer, j’étais comme d’habitude le lidi dans ma classe : je ne la quitte ni à la récré ni le midi, car les élèves viennent lire et jouer. Un élève que je ne connais pas arrive, grand gaillard tout timide :

Madame, j’ai une question. Y a un truc j’ai pas compris en classe avec ma prof.

Oui, vas-y ?

C’est un théorème. Le théorème de Pythalès. J’y arrive pas.

Mmmh. Le théorème de Pythalès. Il parle de quoi, ce théorème ?

(Sur un ton vaguement méfiant) Bah de triangle…

Comme cet élève est en troisième, j’ai supposé qu’il s’agissait du théorème de Thalès. Nous avons commencé à le travailler, mais la tâche est d’ampleur. Il revient donc vendredi pour aller plus loin.

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Intro aux équations, en coenseignement !

Cette semaine commence très très bien : nous introduisons les équations et la résolution des équations en cointervention. C’est vraiment super car cela nous permet de nous poser des questions différentes et d’apporter des propositions réponses différentes aussi. Mon collège, Gani Mohammed, a prévu son matériel et les supports. Peut-être avec des dés tous sur la face 1 nous éviterons certains obstacles, comme le fait que des élèves sont perturbés que le même solide, qui a donc la même masse, représente un nombre d’unités différentes. Mais déjà la séance est efficace

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Papier crayon, l’IREM Paris Nord

Cette année je travaille beaucoup les figures de l’IREM Paris Nord. Je les trouve tellement top… Il y en a pour tous les niveaux, tous les besoins. Quand on ouvre chaque fichier, on n’a accès qu’aux fonctionnalités prévues par les auteurs. Ça aussi c’est extra : les élèves ne se perdent pas dans des choix multiples, et en même temps on les oblige à passer par là où on veut.

Ces outils clefs en mains, bien pensés et bien réalisés, je les utilise avec tous mes niveaux. Alors quand mon mari m’a demandé de revenir dans sa classe, j’avais envie d’essayer ça avec ses élèves d’Ulis. Nous étions dans de très bonnes conditions : peu d’élèves et nous étions trois adultes. J’ai adapté le niveau en proposant les figures de la première série.

J’avais plusieurs objectifs :

  • Développer l’inhibition. Les élèves de mon mari en manquent parfois. Ils veulent réussir tout de suite, sans obstacle. Or sur ce travail il fallait attendre les consignes, écouter la stratégie que je leur proposais, l’écouter vraiment pour être capable de la transférer, attendre que tout le monde soit au même point pour que je puisse donner la suite des instructions ;
  • Développer la déconstruction de figures : je voulais que les élèves repèrent des alignements pas évidents, par exemple. Je pensais que cet objectif allait être difficile ;
  • Faire comprendre l’importance de créer les points : sur Geogebra, que deux lignes se coupent ne donne pas existence au point d’intersection pour l’application ;
  • Transmettre qu’on a le droit de tracer des « trucs en plus », même sans les faire disparaître ensuite ;
  • Apprendre à utiliser GeoGebra, dont ces jeunes personnes ne sont pas familiers ;
  • Travailler des notions de géométrie : les lignes, des polygones, l’intersection.

Comme j’utilise ces ressources souvent avec les élèves, j’avais une idée des difficultés qui pouvaient se présenter. J’avais donc demandé à mon mari de préparer des reproductions d’écran en couleur. Les reproductions permettent de tracer « Papier-crayon » et la couleur permet aux élèves de mieux se repérer entre ce qui est à l’écran et ce qui est sur feuille.

Première étape : repérer la correspondance entre les points de l’amorce et le dessin à réaliser. Nous avons nommé les sommets du dessin, tous de la même façon pour pouvoir échanger en nous comprenant, et ensuite c’est allé tout seul. Les élèves ont vu les correspondances. Ce qui m’a bluffée, c’est qu’ils ont tout de suite vu les alignements nécessaires et que tracer des éléments n’apparaissant pas sur le dessin ne les a pas du tout gênés.

Les élèves ont été attentifs et volontaires, voire enthousiastes. Et compétents, qu’ils soient en 6e ou en 3e. Une élève a réalisé trois dessins correctement et rapidement, de plus en plus autonome. Tous ont reproduit la stratégie que je leur avais proposée : 1-on nomme les points, 2-on cherche les alignements, 3-on vérifie si on sait où on va, 4-on y va. C’était très très chouette.

Je me rends compte que je surestime leurs difficultés parfois. Je pensais que le fait de faire des maths en même temps qu’ils apprendraient à se servir d’une application ferait beaucoup. Hé bien non. Et maintenant, mon mari a vu, ils savent comment ça marche, et tout est accessible en ligne pour poursuivre. Avec comme objectif de se passer du dessin papier, à moyen terme.

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Modéliser, maille par maille

En quatrième, nous avons travaillé sur les puissances : ce qu’est un nombre élevé à la puissance quelque chose, comment on calcule, comment agit la règle des signes sur les puissances. Et puis les élèves ont posé des questions, qui nous ont amenés à parler explicitement des propriétés des puissances. Nous avons raisonné sur les exemples, mais la tentation était trop forte de passer au littéral. Alors en expliquant pourquoi c’était plus efficace, j’ai fait venir des élèves ces quatre règles :

Nous nous sommes entraînés sur des exercices de Pyromaths, nous avons réexplicité les formules, catégorisé les questions des exercices par type de formule, et puis à un moment donné il était temps dévaluer tout cela. J’ai proposé cette petite évaluation, qui a pris autour de dix minutes pur la classe (mais moins de cinq minutes pour pas mal d’élèves) :

Ce matin, j’ai corrigé deux classes de quatrième. C’est vraiment intéressant : sur les deux classes, j’ai lu très peu copies d’élèves qui n’ont pas compris la partie application numérique (ils savent appliquer une règle, mais pas plus). Beaucoup d’élèves ont été capables de restituer les formules, mais seuls cinq ont placé des parenthèses autour de xy dans la dernière. Deux élèves n’ont pas réussi à relier les formules aux questions précédentes, même quand ils ne savaient pas répondre à la partie numérique ou à la partie littérale. Deux élèves ont réussi à restituer les formules, mais sans lien avec la partie numérique, non traitée.

Ce que cela m’apprend, c’est que le lien numérique-littéral n’est pas encore assez fort : des élèves répondent bien à la partie numérique et donnent des expressions littérales fausses (éventuellement toutes identiques d’ailleurs). La réciproque est plus rare mais existe, ce qui est étonnant je trouve. En revanche, ce que pratiquement tout le monde a réussi, c’est à associer l’expression littérale aux expressions numériques. Et c’est déjà ça, c’est un pas important vers la modélisation.

Je vais poursuivre ce travail pour donner du sens au littéral, privilégier le sens out en développant les automatismes et la mémorisation. Je trouve très important de savoir faire sur le numérique, mais aussi d’être capable de donner un modèle. Suis-je dans les clous du programme ? Sans doute pas :

Et en même temps, si : je suis bien partie du sens des opérations, d’exemples numériques, et ensuite les élèves ont modélisé littéralement. Ces formules ne figurent certes pas au programme, mais le programme est une base qui peut être dépassée. Je garde en tête, en évaluant, les objectifs curriculaires. Mais on va plus loin : je crois que c’est ce que je dois faire, dans ce cas. Pas pour les savoirs sur les puissances elles-mêmes, mais pour travailler le sens de la multiplication et ce qu’est la modélisation, ainsi que son intérêt.

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Le jour où on a sorti les dominos

Hé bien ce jour est arrivé : nous avons travaillé les bases de numération, la passage de la base 10 à d’autres bases et réciproquement, la logique, avec les portes logiques, et voilà, aujourd’hui il s’agissait de synthétiser puis de se lancer : comment construire une porte and, or ou xor en dominos ?

Nous en sommes à peu près là :

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Comment on sait que ça existe, si on peut pas les représenter ? (débat shakespearien en quatrième)

Voilà une question quasi métaphysique d’A., élève de 4e, lors de la séance sur la règle des signes. Nous avions bien avancé déjà, et nous discutions des raisons pour lesquelles je n’ai pas recours en classe à la comptine « les amis de mes ennemis etc. » J’avais expliqué aux élèves que je comprends qu’on leur ai transmise, dans leur famille, parce que cela va vite et donne l’impression de transmettre un savoir, mais en fait non. C’est un moyen mnémotechnique, et c’est tout. Cela ne signifie pas qu’il est interdit ou mal d’y avoir recours (n’est-ce pas, Elise ? 😉 ) ; cela signifie que moi, en tant qu’enseignante, je ne vais pas m’y référer, parce que je veux faire comprendre. Ensuite, une fois qu’on a compris, évidemment que chacun d’entre nous construit ses automatismes. C’est normal et cela fait gagner de l’énergie. Et puisqu’on a compris pourquoi la règle est ainsi, on peut faire des raccourcis sans dégâts. Plus important, lorsqu’on se trouvera devant un cas plus complexe, on pourra revenir au sens pour surmonter l’obstacle, et transférer dans des contextes différents.

J’avais donc argumenté pour éliminer l’usage venant de moi de cette proverbiale ritournelle. C’était le moment crucial, celui où j’espère que j’ai convaincu ou au moins intrigué les élèves, et qu’ils vont me faire suffisamment confiance pour abandonner la chansonnette un moment et accepter d’écouter ma démonstration, pleine d’inconnues et de distributivité, ce qui naturellement peut passer pour moins attractif (enfin je dis ça parce que je l’observe, évidemment qu’une démonstration c’est attractif, mais bon). J’ai senti qu’ils n’étaient pas tout à fait mûrs, que j’allais faire splotch. Alors j’ai décidé d’être explicite :

Vous êtes en quatrième. Aujourd’hui vous découvrez la règle des signes. On est dans l’abstraction, et c’est extra. Nous avons besoin de réfléchir aussi à des choses abstraites. En soi, la règle des signes ou le théorème de Pythagore ou ce que vous voulez, ce n’est pas l’essentiel : si vous en avez besoin un jour dans votre vie ou votre métier, vous pourrez l’apprendre ou le redécouvrir, vous êtes assez futés pour ça. Le contenu n’est pas le plus important. (T., arrête de démonter tes stylos et concentre-toi, écoute-moi) Ce qui est important, c’est que j’arrive à enrichir vos outils de pensée : que vous sachiez argumenter, trouver des contre-exemples lorsqu’il en existe, articuler votre raisonnement, distinguer une preuve d’une affirmation, bref ne pas dépendre des autres pour penser, ne pas être convaincu par celui qui parle le plus fort ou celle qui parle en dernier, mais savoir ce que vous pensez et pourquoi vous le pensez, et pouvoir le transmettre à autrui.

Depuis l’année dernière, on travaille ensemble les nombres relatifs. C’est un bouleversement, en fait, pour vous : jusqu’ici, quand on vous apprenait la numération et à calculer, on pouvait représenter ça avec des objets : je vous sors des pommes, des cubes, des bidules et des machins, et on voit comment les opérations fonctionnent. Mais avec les nombres négatifs, ce n’est pas possible : je ne peux pas vous montrer -7 pommes. Parce que comme on a dit tout à l’heure, le « – » du -7 et le moins de « je soustrais 7 », ce n’est pas exactement la même chose, même si c’est lié. Je peux prendre 9 pommes et en enlever 7 et vous dire : tu vois, je « fais -7 pommes ». Mais là je fais une soustraction sur un ensemble qui me le permet parce que j’ai assez de pommes pour le faire. (W., si tu continue à faire l’acrobate je te prive de tabouret. C’est pour t’aider à te concentrer, pas pour faire le clown, ce tabouret) Quand je parle de -7, ça ne peut pas être des pommes : c’est un nombre, une abstraction. Je peux le représenter en l’écrivant, je peux parler de température (c’est juste une notation en fait, comme sur la droite graduée), je peux vous parler de découvert à la banque, mais pas concrètement avec des objets.

Et je veux, moi, vous faire accéder à cette abstraction-là. C’est pour ça que je vais vous démontrer la règle des signes, et pas vous équiper de formules magiques.

Alors là, il m’a semblé que c’était bon, qu’on pouvait y aller. Et comme je l’ai relaté ici, ça s’est bien passé de mon point de vue.

Mais ensuite, A. m’a posé sa question, qui la turlupinait :

Mais madame il y a une question que je me pose, quand même. Les nombres négatifs, Comment on sait que ça existe, si on peut pas les représenter ?

C’était une si jolie question que je l’ai relayée à toute la classe. Ma réponse a été spontanée, mais sans doute hyper imparfaite :

Tout dépend de ce que tu entends par « exister » : puisqu’on les a pensé, les nombres, ils existent, non ?

Nous en avons reparlé, depuis, et les élèves ont apporté des arguments pour poursuivre le débat :

  • Un carré ça existe pas en vrai de vrai, tu as des trucs carrés mais c’est pas des « carrés » et pourtant on pense que les carrés ça existe ;
  • la liberté, je peux pas la voir mais ça existe. Ou l’amour, genre ;
  • Les nombres relatifs et les autres, ils existent parce que avec on peut faire des calculs pour répondre à des trucs concrets de la vie ;
  • non, moi je suis pas convaincu. Genre si je me dis tiens, je vais inventer une quatrième dimension et puis une cinquième et tout, elles vont exister ???
  • Les nombres négatifs ils existent pas en fait. C’est de les écrire qui existe. Comme quand on écrit sur les licornes.

Ce sont de bien belles réflexions, et je vais les arroser régulièrement pour qu’elles croissent joliment. Cela pourrait contribuer à répondre à la question (légitime) « mais à quoi ça sert les maths ? »

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La règle des signes

Voilà un thème qui ne m’avait jamais laissée satisfaite : la règle des signes en quatrième. Mais ça, c’était avant. Cette année, j’étais fermement résolue à aborder la règle des signes d’une façon qui parle à l’intelligence. Alors en fait, les années précédentes aussi, hein : je ne cherche jamais à m’adresser à autre chose en classe. Mais arrivée devant le moment fatidique, je faisais de la soupe. Pas de la bonne soupe. Soit elle manquait de sel, soit elle était trop légère, soit je renversais la soupière au moment de servir.

J’ai parlé de mon approche de cette année ici, déjà.

Cet été, j’ai bien réfléchi : pourquoi ? Pourquoi cela me résiste-t-il ? J’ai identifié plusieurs points de blocages ou des obstacles :

  • Les élèves s’accrochent à des moyens mnémotechniques que leurs familles leur ont parfois déjà donné et ne cherchent pas à COMPRENDRE pourquoi « moins par moins ça fait plus ». Réagir en fournissant une réponse techniquement juste leur suffit, et pas à moi. Mais pour remédier à cela, il faut déconstruire. Pas facile du tout ;
  • Pour faire les choses bien, il faut avoir suivi un itinéraire progressif et précisément jalonné. Je pense que je n’avais pas eu la rigueur de le baliser de façon claire, et que la deuxième période était trop précoce par rapport à ce que j’avais traité déjà. Sauf que je veux aborder la règle des signes en deuxième période. Ca bloque trop de choses sinon ;
  • J’ai accumulé des frustrations sur ce thème et rendre les élèves exécuteurs est facile ; la balance entre les deux faisait sans doute que je choisissait la facilité, parce que parfois, on n’a pas de place pour la complexité, pour des tas de raisons différentes.

Une fois que j’ai su que j’allais avoir des classes de quatrième cette année, je me suis donné de l’énergie. J’ai pensé à Laura, aussi, AED en prépro dans ma classe : il y a deux ans elle a dû voir quelque chose de peu convaincant. Moi qui la pousse à toujours être plus pointue, et qui la vois l’être avec tellement de talent, je ne pouvais pas me résoudre à ne pas chercher à expliquer vraiment la règle des signes.

Bon en fait, ça a été comme sur des roulettes. J’avais tellement lu ce document de l’IREM et ceux de l’Ifé (ici, )

La métaphore (le « repérage sur la droite graduée ») qui consiste à utiliser cette grandeur fonctionne cependant à peu près bien auprès d’un nombre significatif d’élèves pour ce qui concerne l’addition. Elle se complexifie pour la soustraction et se constitue en obstacle pour la multiplication des relatifs. En effet, la grandeur « déplacement » ainsi construite est une grandeur de dimension 1, et le produit devrait être associé à une grandeur de dimension 2.

file:///Users/claireauger/Downloads/PER-nombres-relatifs-5eme%20(1).pdf

J’ai donc modifié ma programmation en quatrième, pour travailler en première période :

  • Le rôle de la lettre dans le calcul
  • Le sens du signe =
  • Les réductions d’expression littérales
  • la distributivité
  • Les nombres relatifs : les comparaisons, l’addition, la soustraction, l’opposé

J’ai veillé à continuer, comme en cinquième, à aborder les nombres relatifs comme des nombres, et non comme des « graduations » : pas de thermomètre, pas de sous-sol numéroté, rien que des nombres. J’ai beaucoup parlé de représentation de nombres, aussi. J’ai assumé explicitement l’abstraction pour montrer aux élèves que ce que je voudrais leur transmettre, ce sont des outils de pensée, pas seulement (pas vraiment ?) des contenus, et donc certainement pas des formules magiques, trucs ou astuces pour avoir une bonne note sans peine.

Tout ça, j’ai l’impression de le faire tout le temps. Mais là il fallait que j’aille plus loin pour que le sens de ma démarche soit lisible pour les élèves : je devais le faire de façon articulée, tendue vers un objectif. Cela m’a demandé beaucoup de concentration et de préparation, parce que je suis plutôt du genre intuitive et spontanée. Et puis je change souvent de direction.

Cette semaine, nous y sommes arrivés, à cette fameuse règle des signes. La réactivation s’est super bien passée : bah oui, multiplier ne rend pas forcément un nombre plus grand, il suffit de voir quand on multiplie pas 0,5 ; l’opposé était là aussi. L’addition itérée de négatifs est bien posée : les élèves ont été capables de me parler spontanément de distances à zéro, d’écart à zéro, alors que je n’ai pas focalisé là-dessus, mais juste reformulé pour que le plus grand nombre d’élèves ait ce qui lui parle le mieux. En tout cas, les réactions des élèves pendant la réactivation étaient rassurantes.

J’ai utilisé pile poil les exemples du document de l’IREM cité plus haut, avec une recherche individuelle courte puis un débat collectif. Nous avons bien avancé. Pour se convaincre sans addition itérée que 4,2x(-8) donne un résultat négatif, je suis passé directement par la deuxième démonstration proposée, celle qui passe par 4,2x(0-8). Ca a été impec. Quand il s’est agi de travailler sur (-5)x(-3), les élèves ont pu le faire tout seuls. Nous avons discuté de la pertinence de ce que nous écrivions : pourquoi passer par là ? Pourquoi ce 0 dans la parenthèse ? Est-ce que « plus simple ça peut pas suffire » ? Puis nous avons eu une conversation sur l’abstraction, dont je parlerai plus tard.

Deux jours plus tard, nous avons posé la trace écrite, et les élèves ont su la refaire en autonomie pour la majorité. Ils ont aussi su m’expliquer pourquoi je trouve ça bien d’enseigner de cette façon la règle des signes. Evidemment, comme je leur ai dit que je trouvais peu pertinente par rapport au sens la comptine des ennemis de mes ennemis (sans compter que le concept d’ennemi m’est étranger, et que si j’en avais, je ne vois pas pourquoi les ennemis de mes ennemis seraient mes amis, franchement), les élèves me taquinent pas mal avec ça… Tssss. Ca change de décaler la virgule, déjà.

Je pense que j’ai fait passer un message, en plus de la règle des signes : un message quant à l’abstraction, à la valeur de la démonstration, à l’intérêt de généraliser, d’argumenter. La règle des signes est acquises par la quasi totalité des élèves sur la première évaluation flash, mais ça, c’est peut-être bien comme d’habitude. C’est sur des cas plus complexes que je saurai si cette entrée a rendu plus robustes mes élèves.

Mais cela me soulage d’avoir réussi à aller au bout de ce que je voulais faire. Là, c’est bien fait à mon sens. En même temps en me relisant je trouve ça d’un élémentaire assez ébouriffant, et je me demande pourquoi j’ai rencontré de telles difficultés. En même temps, cela ne me gêne pas du tout, intellectuellement. C’est même intéressant de voir comme on peut patiner sur tel ou tel sujet. Peut-être n’avais-je pas assez tricoté ma progression et ma programmation, et les élèves ne pouvaient pas suivre naturellement. j’ai vraiment besoin que les étapes viennent d’eux le plus possible, mais pour cela il faut que tout s’articule, qu’ils aient compris, intériorisé, mémoriser.

Ce que c’est complexe, ce boulot !

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Code en bois : l’évaluation

Alors, retour sur Code en bois, que j’expérimentais cette année :

Ici, je présente le dispositif.

Là, une première analyse est proposée.

Ici, une suite d’analyse, en sixième.

Le dispositif Code en bois a son site, là.

Et l’évaluation, alors ? J’en parle ici. Voici ce que j’ai proposé aux élèves :

J’ai apporté quelques aménagements en direct : dans l’exercice 2, les élèves peuvent réécrire un script plutôt que d’adapter le script existant. On suppose aussi qu’on dispose d’un infinité de flèches, que si on tire sur l’allié on ne l’atteint pas et qu’on n’a pas de flèches lourdes.

J’ai terminé de corriger et d’évaluer les copies des classes auxquelles j’ai proposé cette évaluation. Mes classes sont entre 64% et 72% de réussite, ce qui est très chouette. Le meilleur score est atteint en 5e et le moins bon (mais cela reste satisfaisant, tout de même en quatrième) :

En quatrième, voici les relevés d’évaluation :

En cinquième :

Et en sixième :

Une difficulté commune à toutes les classes est de s’orienter en fonction du personnage et non en fonction du dessin représenté sur la consigne. Une autre est de penser à terminer les boucles, même si une majorité d’élèves a essayé de le faire. Assez fréquemment la fin est mal placée et la déplacer rend l’algorithme opérationnel. Enfin, troisième point commun, la double fonction de la brique répéter/tant que conduit à des erreurs à l’écrit.

Très peu d’élèves ont écrit des algorithmes abscons. Pour la quasi totalité, on peut identifier la stratégie, même lorsqu’elle est maladroitement mise en forme et en mots.

J’avais différencié un peu selon les niveaux de classe : les élèves de quatrième devaient tout traiter, les élèves de cinquième avaient un bonus possible et les élèves de sixième pouvaient choisir entre l’exercice 2 et l’exercice 3. Certains élèves, en nombre assez conséquent, on réussi plutôt le 3 ou choisi directement le 3 au détriment du 2 : je pense que créer est plus aisé en fait pour elles et eux que transformer. Pour transformer il faut s’appuyer sur un existant qui contraint ou qu’on n’a pas bien compris, je suppose.

Enfin, une grosse différence est que les plus âgés des élèves essaient d’avoir recours à plus de variété d’instructions : des répéter, des tant que et des si, voire des si/sinon, ce qui a l’avantage de rendre leur algo plus court et efficace, mais qui a l’inconvénient de prendre plus de risques car c’est plus complexe, avec des boucles dans des boucles. Cela fait qu’il est difficile de comparer les résultats d’évaluation des élèves de sixième et des élèves de quatrième, par exemple.

Là où je suis contente, c’est que pas mal d’élèves, en particulier en quatrième, ont eu recours à bon escient à des « tant que pas ».

Je suis vraiment ravie de l’expérimentation de ce dispositif, code en bois.

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Une page publicitaire

Voici la page de pub que j’ai proposée à Jonzac. Elle était valable là-bas, mais pas seulement : l’APMEP expédie chez vous les brochures de vos rêves !

Si j’en ai le cran, la prochaine fois je vais plus loin, et pour les journées du Havre c’est l’apothéose… Ou alors je me dégonfle, on verra.

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Un exercice sans paroles, niveau collège

J’adore ce type d’exercices. Je cogite souvent pour mon plaisir sur des versions un peu résistantes. Celui-là est tout simple : il est adapté à tous les niveaux si on accepte les opérations à trou, et est impec pour les élèves qui ont découvert la racine carrée :

Ce qui est sympa, c’est qu’il faut que les élèves justifient de la nature des figures, qu’ils doivent prendre de petites initiatives (dont nommer les sommets, s’ils veulent que nous échangions facilement), qu’il faut passer par des étapes non explicites. Et puis c’est un bon support pour parler d’unités : quand on divise des cm^2 par des cm, ça donne quoi ?

Je mets de côté.