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Mots et maux (2)

Même classe, même jour, même exercice que :

  • Ferid nous propose les nombres 51, 52 et 53 pour répondre à la question. Qu’en pensez-vous ?
  • C’est bon, ça marche.
  • Mais nous on a une autre solution madame !
  • Ah oui, allez-y.
  • 1, 52 et 103.
  • Qu’en pensez-vous, les autres ?
  • La somme ça fait 156 et c’est des entiers, mais ça va pas parce qu’ils sont pas consécutifs. Nous on avait fait l’erreur aussi au début.

Ils expliquent à leurs camarades, et les convainquent.

  • Vous voyez comme les mots sont importants? Si je ne comprends pas la signification de chaque mot « entier », « somme », « successif » dans le champ des mathématiques, je risque de ne pas comprendre la question et de répondre à côté. C’est pour ça qu’il faut que vous demandiez, lorsque vous n’êtes pas sûrs, ou, encore mieux, que vous alliez vérifier dans mon ami dico. Alors on fait quoi, on garde ou pas la proposition 1, 52 et 103 ?
  • Non, on peut pas, ça va pas puisqu’ils sont pas successifs.
  • Ok. Quelqu’un a une autre idée ?
  • Oui, oui. Enfin non, mais on cherche et on va presque trouver !
  • Mais non madame, c’est pas possible, on a trouvé les seuls qui peuvent correspondre à la consigne !
  • Pourquoi ?
  • C’est logique, il n’y en a pas d’autres !
  • Vous êtes convaincus, tous ? P’têtre qu’il a raison… Ou p’têtre qu’il se trompe… Comment pourrais-tu convaincre tes camarades ? Ou te convaincre que tu te trompes ?
  • Je sais pas. … Aaaah si je sais, je fais le montrer avec du calcul littéraire. Je vais mettre un chiffre du genre « z » à la place du truc et je vais raccourcir le calcul comme on a appris et ensuite je vais solutionner le « z ».
  • Et comment tu vas faire le celui d’après de z ?
  • Celui d’après de z, c’est avec +1, puisqu’il est successif. C’est pour ça que j’ai pris z, sinon avec a bah ça aurait été b. Tu peux prendre que z.

Je n’ai même pas le temps de réfléchir à la façon dont je vais amener les élèves à reformuler cette jolie trouvaille, comment je vais leur faire comprendre que a ou z, c’est la même idée : ils se replongent tous dans leurs calculs. Je me demande ce qu’ils font. Je circule, j’observe. Ils ont tous écrit une modélisation correcte, une équation qui traduit la consigne. Certains butent sur la résolution, les autres leur expliquent que c’est une « opération à trou sans trou ».

Ils trouvent 51 pour le premier entier, et complètent par 52 et 53. Et me déclarent :

  • Il a raison, Antoine. Parce que quand on a écrit le problème avec une lettre, et qu’on a réduit et qu’on a résolu, ça donne ça et il n’y a rien d’autre que ça peut donner.
  • Ça fait une solution unique, madame.
  • Enfin unique mais c’est les trois nombres ensemble qui sont uniques, quoi.
  • Quand même madame, c’est cool le calcul littéral ! C’est genre fort, quoi !
  • Par contre Antoine il dit z, mais ça peut être a, ou x, ou n’importe quoi d’autre, parce que le truc qu’on met à la place pour imaginer il a pas d’importance.
  • Oui, moi j’ai fait un smiley. Ça marche aussi.
  • Ah oui, c’est vrai. b c’est pas le successeur de a dans les maths. C’est dans l’alphabet, que c’est vrai, chuis bête.

Ouahou. Je suis sortie épuisée, mais ouahou. Ils ont compris plein de choses, sans moi.

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Mots et maux (1)

Question, en quatrième :

Est-il possible de trouver trois entiers successifs dont la somme est égale à 156 ? Décris ta démarche pour justifier ta réponse.

Sur chaque table, je pose un enregistreur.

Groupe 1 :

L’un des élèves propose à l’autre de diviser 156 par 3. Son camarade lui fait remarquer qu’on pourrait d’abord vérifier que 156 est multiple de 3. l’autre lui répond « Tu veux dire est-ce que 156 est divisible par 3 ? ». Oui, il veut dire ça. Ils additionnent les chiffres qui composent 156, parce que « si ça ne marche pas, c’est pas la peine de se galérer ». 1+5+6=12, « zut, ça marche. Bon on pose ». Jusque là, je bois du petit lait : ils emploient les mots « multiple », « divisible », se parlent, travaillent vraiment ensemble, se souviennent du critère de divisibilité par 3, cherchent à optimiser leur démarche et planifient. Bonheur.

Ils posent, ils trouvent 52. Ils restent à contempler ce résultat, perplexes.

  • « Elle en veut trois, des entiers. On lui met quoi d’autre ? »
  • « Bah chais pas. Pourquoi elle en veut trois ? »
  • « Chais pas. On choisit quoi pour que ça fasse 156 ? »
  • « Ce que tu veux ».
  • « Comment on va savoir si ils sont successifs ? »
  • « Bah j’en sais rien. Ça dépend de la prof ».

Là, ils m’appellent.

  • « Madaaaaaaaaame ! On met quoi comme nombres successifs ? »
  • « Comment ça vous mettez quoi ? Vous en êtes où là ? »
  • « Bah on a trouvé 52 parce qu’on a divisé par 3, et donc on en a un successif, mais les autres on voit pas comment dire c’est quoi. »
  • « 52 c’est un nombre successif ? »
  • « Oui, forcément, on a divisé. il est bon, lui, on est sûrs ».
  • « Mais bon c’est vous qui le trouvez successif, nous bof ».
  • « Ça veut dire quoi, pour vous, que 52 est successif ? »
  • « Vous le trouvez bien, c’est un bon nombre. »
  • « Un bon nombre ? Pourquoi c’est un bon nombre ? »
  • « Bah c’est vous, hein, nous franchement, on le trouve pas super, enfin pas plus qu’un autre »
  • « Ok. Que signifie successif ? »
  • « Qui a du  succès ! »

Jamais on ne m’avait proposé ça. Mais cette année, c’est la deuxième fois. C’est quand même bizarre.

A mon injonction d’aller chercher mon ami dico, mes deux élèves ont râlé, ronchonné, renâclé… Et puis ils ont compris :

  • Aaah, d’accord, par exemple 52 et 52,1 c’est des entiers successifs !

Ca a pris un peu de temps, forcément : il a fallu réactiver ce qu’est un nombre entier, et réfléchir à l’idée de successeur dans l’ensemble des décimaux, quand même.

Mais c’était super intéressant.

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Sophie Germain Bientôt dans ma classe

Anne Boyé et Christine Charreton ont publié en 2017 un petit livre intitulé « Je suis Sophie 1777_COUV_sophiegermain.qxpGermain », aux éditions Jacques André Editeur. C’est un livre clair et instructif, qui se lit rapidement et facilement (et pour cause : il est écrit pour des élèves). Il retrace la vie de Sophie Germain. Comme j’ai décidé de lire des extraits d’ouvrages littéraires qui parlent de mathématiques ou de culture mathématique à mes élèves, j’ai décidé de leur en lire au moins des extraits, sinon tout : ils aiment que je leur lise à haute voix, mais sans doute aimeraient-ils suivre un livre entier. Je leur lis parfois trois minutes, parfois cinq, parfois dix si nous finissons en avance une activité, et ça marche bien : les élèves m’en reparlent, ensuite. Là, c’est l’histoire d’une vie, et en plus d’une mathématicienne, ce qui permet d’attendre trois objectifs en même temps : cultiver quant à l’histoire des maths, travailler les inégalités filles-garçons et discuter maths et filles.

Je pense que je commencerai par lire cette citation de Rousseau dans l’Émile (1712-1778, et Sophie Germain est née en 1776), que j’ai trouvée déjà dans un article d’Anne Boyé sur Sophie Germain, dans le bulletin de l’APMEP n°523 :

« Ainsi toute l’éducation des femmes doit être relative aux hommes. Leur plaire, leur être utiles, se faire aimer et honorer d’eux, les élever jeunes, les soigner grands, les conseiller, les consoler, leur rendre la vie agréable et douce, voilà les devoirs des femmes dans tous les temps et ce qu’on doit leur apprendre dès leur enfance.  »

Et encore : « La recherche des vérités abstraites et spéculatives, des principes, des axiomes dans les sciences, tout ce qui tend à généraliser les idées n’est point du ressort des femmes. (…) Elles n’ont pas non plus assez de justesse et d’attention pour réussir aux sciences exactes.»

Ensuite, je commencerai la lecture du livre de mesdames Boyé et Charreton (qui en plus m’ont fait une belle dédicace, ce à quoi mes élèves seront sans doute sensibles, car ils aiment imaginer les personnes auteur de ce que nous travaillons ; quand je leur parle d’Arnaud ou de Roland, ils réagissent comme s’ils les connaissaient personnellement). Cela nous donnera l’occasion de croiser quelques notions d’arithmétique, par exemple, dont mes élèves sont en mesure de s’emparer. J’espère qu’ils vont aimer et retenir ! J’aimerais qu’il retiennent la volonté de Sophie pour surmonter le déterminisme social qu’on lui opposait, et aussi que son rêve à elle, c’était les maths.

Si vraiment la lecture intéresse bien mes élèves, je pourrai prolonger par la lecture et l’affichage de ces documents, réalisés par les élèves du club maths du lycée Maurice Genevoix :

 

 

L’APMEP propose aussi des exercices autour de Sophie Germain, mais là ce n’est pas du niveau de mes élèves.

Mon projet suivant est de lire le One Zero Show de Denis Guedj avec des élèves qui partageraient les rôles de la pièce avec moi.

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Le permis de rapporteur encore plus top

Arnaud a augmenté son permis rapporteur avec des rapporteurs de types différents. Les visuels s’adaptent. C’est super, même si ça tombe pile après la fin de ma séquence, crotte zut flûte. Les élèves m’avaient d’ailleurs réclamé un rapporteur virtuel comme celui que nous utilisons, circulaire. Et bin voilà, c’est fait. Comme huit de mes élèves de sixième n’ont pas validé le permis, je vais leur proposer de changer de version. Je me demande si cela va changer quelque chose dans leur réussite. Mais cela sera difficile à mesurer car entre-temps ils ont aussi retravaillé leur compétence.

On devrait les déclarer d’utilité publique, ces Dudu.

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Un peu moins que 0,1 ?

J’ai posé à mes élèves cet exercice, en évaluation, en quatrième :

Capture d’écran 2019-01-09 à 17.45.18.png

C’est un extrait d’exercice de DNB. Mes élèves de quatrième ne réussissaient pas à lire courbes, à extraire correctement les informations. Nous avons donc retravaillé ces compétences et ils ont obtenu un bon score à cette évaluation (il y avait un second exercice), avec 72% de réussite, alors que d’habitude ils tournent autour de 50%.

Cependant, une question les a mis en échec de façon assez générale, avec 28% de réussite : la question 3. J’attendais 0,09s. J’ai obtenu :

  • 0,09s (5 réponses)
  • Un peu moins de 0,1s (3 réponses)
  • 0,9s (6 réponses)
  • 0,1s  (6 réponses)
  • 9s (1 réponse)
  • et quatre élèves étaient absents.

Du point de vue de la lecture de courbe, tous les élèves ont suivi une méthode juste. Mais excepté 5 élèves, ils ont été en difficulté pour exprimer « un petit peu moins de 0,1s » de façon numérique. C’est une illustration flagrante des déficits de compréhension de la construction du nombre chez nos élèves : mis devant la question « à quelle valeur correspond la graduation qui précède 0,1 sur cette représentation ? », la majorité bloque. Alors on bidouille en faisant apparaître un 9, parce qu’on sent ou qu’on a l’habitude qu’aux changements de rang il en soit ainsi, ou bien on choisit d’arrondir, ce qui d’ailleurs est un choix défendable si l’on a conscience de sa difficulté. C’est une façon de s’adapter qui est raisonnable.

Mais tout de même, c’est un constat assez stupéfiant, cette mauvaise construction du nombre réel.

Vendredi, on en parle. Le glisse-nombre va nous aider : je vais d’abord laisser les élèves s’exprimer, laisser ceux qui ont réussi expliquer aux autres, et puis nous passerons par des représentations variées du nombre 0,1 : 1 dixième, 10 centièmes, 1/10, 10/100… Car heureusement, en maths, il n’est jamais trop tard pour comprendre.

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La fin de l’averse

Voici la dernière partie de ma séquence de quatrième, Y’r’pleut, adaptée (j’espère) pour bien fonctionner avec mes élèves de quatrième de cette année.

Nous aurons donc parlé risque, chance, peut-être déjà probabilité, et puis pourcentages. Nous en arrivons à la dernière partie, respiration après l’attaque des % : les probabilités.

Nous allons traiter l’activité suivante : par binôme, les élèves vont tracer des triangles. Pour cela, ils doivent d’abord tracer un segment de 7cm de long. Pour la longueur des deux autres cotés, je leur donne deux dés à jouer, qu’ils lacent et qui fournissent la longueur des autres côtés. Ils doivent en réaliser au moins trois, mais j’espère plus.

Lorsque tous les binômes ont obtenu au moins trois triangles, bilan : qu’avez-vous obtenu ? Avez-vous des remarques à faire ? On peut projeter ou afficher des triangles. Là, on discute, et on réactive l’inégalité triangulaire (et on colle la leçon si ce n’est pas déjà fait, mais je ne me souviens plus car j’ai oublié mon cahier témoin dans la classe).

Et puis on va plus loin : si on choisit deux nombres au hasard a et b, si on a plus de chances d’obtenir un triangle constructible ou non constructible ? Ensuite, on met en commun de façon graduelle, pour intégrer à notre étude de plus en plus de résultats. Il faudrait que les élèves réalisent un grand nombre de lancers. J’ai prévu le tableur qui va avec, qui me permettrait de parler des « SI » dans le tableur. j’en ai aussi une version complétée avec la fonction ALEA, que j’utiliserai ensuite pour travailler sur un encore plus grand nombre de propositions.

Capture d’écran 2019-01-02 à 15.51.18.png

Mais je compte surtout utiliser la version de mon collègue Claude Fey, qui a construit ce super outil :

Ainsi, les élèves visualiseront vraiment la situation en fonction du nombre de lancers. Pour les grands effectifs, je m’appuierai sur le tableur rempli avec ALEA.

La question qui devrait émerger est : est-ce qu’on a vraiment 58,6666667% de chances de pouvoir construire un triangle ? Un tableau à double entrée devrait nous y aider, et nous faire passer des fréquences aux probabilités.

Il faudra ensuite institutionnaliser les probabilités, mais nous construirons la leçon ensemble. Cela devrait contenir ce type d’éléments, en gros :

Capture d_écran 2019-01-02 à 15.59.35

Voilà, ma séquence est prête et claire dans ma tête.

Y a plus qu’à…

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Y’r’pleut des pourcentages

Je poursuis la description de ma séquence de quatrième : y’r’pleut.

Deuxième étape : scène de ménage

Nous allons visionner cette vidéo, qui vient de chez les Dudu. Elle va me permettre de retravailler sur les pourcentages, qui comme les choux, passent mieux s’ils sont planqués. En plus, nous allons revoir ce que signifie prendre une fraction de… et le produit de fractions, étudié en novembre.

Les élèves vont répondre sur leur cahier, de façon individuelle, puis discuter par îlot, puis nous allons confronter les différentes réponses. À mon avis, ce devrait être riche… Lorsque nous aurons expliqué le pourquoi des représentations mentales erronées, nous passerons à une trace écrite de ce genre :

Leçon %.jpg

Je ne sais pas si nous compléterons tout, mais je ne pense pas. Cela dépendra de ce qui vient et de la fatigue de mes élèves à ce moment-là, car ce sera un lundi et ils en seront à leur troisième heure de maths en classe entière.

Dans la suite de la séquence, mais pas forcément tout de suite (j’attendrai d’avoir une heure en demi-classe), nous aborderons deux documents à questionner :

Celui-ci, sans doute sans les questions, mais seulement avec le document lui-même, qui nous permettra d’introduire la notion de ratio :

% et ratio.jpg

et celui-ci, pour appuyer encore sur les augmentations et baisses en % :

Et puis nous traiterons des exercices, et là j’ai préparé un comment ça va :

Capture d_écran 2019-01-02 à 15.23.25

Capture d_écran 2019-01-02 à 15.39.38

Les élèves qui iront plus vite pourront attaquer les crapauds :

Capture d’écran 2019-01-02 à 15.42.23.png

Je proposerai trois séries de questions flash, deux en diapo et une papier, dans les jours qui suivront.