En Turquie, il n’y a pas vraiment de bac, mais des tests de compétences qui donnent une attestation de niveau. Selon le type de test passé, on obtient une attestation qui permet de postuler pour telle ou telle université, dans tel ou tel domaine. En ce moment, j’aide une élève turque qui passe un de ces tests, le test de base. Et il y a des exercices vraiment sympas pour nous enseignants, qui peuvent nous permettre de varier nos types de contenus. En voici une, que je pense proposer à mes élèves de 6e, 5e et 4e la semaine prochaine :

Cet énoncé propose à peu près ceci :

Un prof fait travailler ses élèves sur la comparaison de nombres rationnels. Il écrit au tableau trois affirmations :

• ce nombre est supérieur à 1/2
• ce nombre est supérieur à 1/3
• ce nombre est supérieur à 1/4

Il précise que, pour le nombre auquel il pense, deux affirmations sont vraies et une est fausse.

Question : parmi les cinq nombres proposés, lequel est celui auquel il pense ?

Source (page 24)

C’est un exercice vraiment intéressant, car il implique une démarche mentale très structurée, qu’il faut déjà raisonner en elle-même :

1. Une affirmation est fausse, ok. Y a-t-il plusieurs choix possibles pour cette affirmation?
2. Simplifions.
3. Quelles comparaisons entre les nombres proposés ?
4. Et donc ?

Alors pour la première étape, ce n’est manifestement pas si simple : il faut encore décomposer en comparant 1/2, 1/3 et 1/4, en pensant soi-même cette question, alors qu’on a envie d’obtenir une réponse rapide. L’énoncé donne ces trois nombres su plus grand au plus petit, ce qui constitue un obstacle pour qui ne maîtrise pas bien le concept de fraction, autrement dit la majorité de nos élèves. Pour celles et ceux qui n’accèdent pas encore au nombre en tant que fraction, il faudra faire un détour parla représentation, mais cela détourne encore de notre question et fatigue.

Là, on arrive à un pivot du raisonnement : quelle affirmation peut être fausse ? Un nombre ne peut pas être supérieur à 1/2 et inférieur à 1/4, par exemple. L’affirmation « 1/4 » est donc forcément vraie. De même pour la « 1/3 ». Cela dit, si ce raisonnement est transparent pour l’enseignant, il peut être très confus pour les élèves, car il mobilise plusieurs variables intellectuelles en même temps. Finalement, sans accès à la fraction-nombre et à la comparaison de rationnels, c’est difficile d’arriver ici.

Etape 2 : en attendant, nous cherchons un nombre supérieur à 1/4 et 1/3 mais inférieur à 1/2. Autrement dit, nous visons entre 1/3 et 1/2. Bye-bye 1/4.

Etape 3 : les nombres proposés sont rangés dans l’ordre croissant. On pourrait donc taper dans les propositions centrales, puisque nous cherchons entre 1/3 et 1/2. Mais pour qui manipule les transformations de fractions, on peut aussi écrire ces fractions en 24-ièmes : 1/3=8/24 et 1/2=12/24.

Etape 4 : deux grands types de démarches sont possibles, je pense : si on a transformé 1/3 et 1/2 en 24-ièmes, on identifie la fraction-réponse dont le dénominateur est entre 8 et 12, et il n’y en a bien qu’une. Sinon, on peut éliminer facilement 1/24 et13/24, mais ensuite il va tout de même falloir recourir au calcul (c’est quoi un tiers de 24 ? C’est quoi un demi de 24 ?) ou bien se lancer dans des dessins qui sont longs à réaliser de façon exacte : les 24-ièmes sont bien choisis, car ils rendent difficile la représentation exacte.

Dans tous les cas, ce petit exercice est en fait très riche et amène à faire évoluer les représentations-parts de la fraction. Il montre aussi d’une façon éclatante comme l’automatisation du calcul mental (la multiplication en particulier) est indispensable.

J’ai un autre exo sympa, je vous le présente dans la journée.