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« Le rectangle, dit carré long »

Aujourd’hui, mes parents m’ont ramené de leur dernier voyage un petit bouquin sur Mesurer et tracer au Moyen-Âge, qu’ils ont eu à Guédelon. Le parcourir m’a donné envie de rentrer par des activités médiévales dans le thème grandeurs et mesures en 6ème. Pour les classes des écoles dans lesquelles je vais régulièrement, je pourrais essayer les activités de calcul. En revanche, pour la géométrie, je vais avoir comme un problème, à commencer par les définitions !

Il y a aussi de quoi imaginer des activités sur le ratio, pour des élèves de cycle 4.

 

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Priorités et bonnes idées

Ce matin, en sixième, nous avons terminé d’étudier les priorités de calcul. Pour clore ce bout de séquence, nous avons visionné cette vidéo :

Elle est vraiment top, pour faire un rapide bilan des priorités de calcul. En plus, ce qui est super, c’est de voir le taux de personnes répondant correctement : mes élèves se sont tout de suite demandé pourquoi tel calcul avait tel score, pourquoi ce classement de difficulté, ce que les personnes qui se sont trompées avaient bien pu répondre. C’était très chouette.

Mais ils sont allés plus loin : au calcul 4+4×4, la majorité des élèves m’a expliqué :

« On effectue d’abord 4×4 parce que c’est prioritaire, ça fait 16, et on ajoute 4, ça donne 20 ».

Mais un élève voyait les choses autrement :

Moi je me dis des 4, dans 4×4, il y en a déjà 4. Si je dois faire 4+4×4, ça me fait un 4 de plus, donc cinq « 4 », et je fais juste 5×4″.

Pas mal, non? On peut se dire qu’il a « juste » compris la multiplication, mais déjà ce n’est pas simple, et on peut aussi envisager sa démarche sous l’angle de la distributivité et de la factorisation.

Ce qui est encore plus chouette, c’est que ses camarades ont voulu comprendre. Il a fallu y passer un peu de temps, mais ça leur a plu. Et lorsque le calcul 4×4–4 est apparu, un autre élève s’est exclamé :

On peut faire pareil que L. : des 4 il y en a quatre, mais on en enlève un, donc ça ne fait plus que trois 4, et 3×4 ça donne 12.

Voilà une séance comme j’aime : tout ça prend du sens, les jeunes se posent des questions, veulent comprendre, s’écoutent et sont prêts à réutiliser ce qu’ils viennent de comprendre.

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Des poèmes mathématiques

Mes élèves de sixième ont réalisé avec ma collègue documentaliste des poèmes mathématiques. Ils avaient pour consigne de respecter une contrainte parmi de et multiples propositions. Aujourd’hui j’ai pu découvrir leur travail. Quelle belle surprise !

C’est amusant, car je retrouve des éléments, des messages que j’essaie de leur transmettre au quotidien. Serait-ce efficace?

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Et après les légos ?

Une collègue m’a posé une question qui va ouvrir ma journée : qu’est-ce qui vient après la séance légos ? En particulier, comment se mène le passage de la  fraction à l’écriture décimale ?

Alors alors alors. Je reprends mon plan de séquence et mon cahier de textes.

C’est la plus longue séquence de l’année. Elle me permet de traiter les fractions, les nombres décimaux, les pavés droits, les pourcentages, la perspective cavalière. Nous enfonçons aussi assez fort le clou de l’arithmétique, car pour manipuler des fractions, il faut que certains automatismes soient intégrés. Cette séquence est d’autant plus longue qu’elle est ponctuée d’événements, de rallyes, et que des incises sur d’autres thèmes s’y glissent.

Pour bien comprendre comment ça fonctionne, une petite précision avant tout sur ce qui est venu avant : j’attaque la séquence légos en janvier, et avant nous avons étudié pas mal de choses, dont :

  • les unités de longueur, avec l’histoire du mètre
  • les moitiés/doubles, tiers/triples, quarts/quadruples, dixième/décuples au travers de problèmes, sans notations de fractions
  • les entiers et la décomposition décimale (avec utilisation du glisse-nombre pour multiplier, diviser par 10, 100, 1000, convertir des unités simples)
  • les estimations et les approximations
  • le calcul mental : des rituels d’entrée en classe, des rituels de début de séance, des Défi Tables, des entraînements à la course aux nombres, …
  • la proportionnalité, quant à son sens : savoir reconnaître des situations de proportionnalité et des situations de non proportionnalité
  • la division euclidienne, et l’arithmétique (critères de divisibilité, nombres premiers).

Tout ceci est important pour pouvoir dérouler la suite. Nous avons étudié d’autres notions et concepts, mais sans influence directe sur les fractions et les décimaux.

Voici mon plan de séquence sur fractions et décimaux. Entre parenthèses, ce qui ne concerne pas le thème :

Séance 1 :

  • (correction d’exercices sur le point étude précédent)
  • (Plickers sur l’arithmétique pour réactiver)
  • Activité légos, avec recherche individuelle, confrontation en groupe, débat sur les différents types d’écriture

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Séance 2 :

  • Rallye Castor-Algorea

Séance 3 :

  • Correction collective du premier tableau
  • (alarme incendie)
  • Un nombre peut s’écrire d’une infinité de façons
  • Débat sur la pertinence de chaque écriture
  • Début de la leçon

Séance 4 (en demi-classe) :

  • Réactivation en arithmétique, car je vais avoir besoin que tout ça soit bien
    automatisé : Divisibox dans Arithmética
  • Crible d’Erathostène
  • Jeu des nombres premiers dans Arithmética

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Séance 5 :

  • Interro flash sur les écritures d’un même nombre, en particulier les %
  • Reprise des conclusions des élèves sur la pertinence des écritures d’un nombre
  • Fin de la première partie de la leçon
  • Suite de l’activité et synthèse sur la « fraction nombre » : 2/7 est le nombre qui, multiplié par 7, donne 2 unités »

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  • Automatismes liés à la « fraction nombre »

Séance 6 :

  • (problème de l’horloge de voiture)
  • Correction des exercices et réactivation sur la fraction nombre
  • Avez-vous vu l’erreur sur les fractions, des Dudu
  • Recherche d’exercices, toujours pour automatiser, et pour s’engager dans des tâches complexes pour ceux qui y sont prêts

Séance 7 :

  • Correction des exercices
  • Evaluation flash rigolote
  • Fin de l’activité des légos (troisième partie) avec les sommes de fractions et les simplifications qui en découlent, naturellement
  • Suite de la leçon
  • Recherche d’exercices, différenciés

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Séance 8 :

  • Correction des exercices
  • Corde à linge sur les fractions
  • Début de l’histoire des décimaux : de l’Egypte Antique au 16e siècle, les fractions décimales s’imposent. Je n’aborde pas du tout les contenus qui utilisent ou évoquent la virgule à ce stade. Je m’appuie sur le document de Nicolas Pinel, le tailleur.

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Séance 9 :

  • (entrainement à la course aux nombres)
  • Exercices d’automatismes sur les décompositions en fractions décimales
  • Histoire de la virgule : diapo sur Stevin et l’apparition de nouvelles écritures, jusqu’à la virgule chez nous

Séance 10 (en demi-classe) :

  • Correction collective du jeu de carte et trace écrite de référence
  • Présentation du glisse-nombre, qui sera à partir de là à disposition pour chaque élève
  • Leçon sur les écritures « à virgule » et sur les décimaux, et distinction des deux : un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous dorme de somme de fractions décimales. 1/3 n’est pas un nombre décimal (retour sur la division et lien avec la période de la partie décimale), 6/5 est un nombre décimal.
  • Recherche de la dernière partie, les dominos

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Sur cette séance, on va loin, mais ça passe plutôt bien. Les élèves sont prêts.

Séance 11 :

Séance au CDI : décimaux et classification des documentaires, classification de Dewey

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Séance 12 :

  • (rallye IREM)

Séance 13 :

  • Correction des dominos
  • Début de la partie %

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Séance 14 :

  • Correction des exercices sur les %
  • Réactivation du concept de la proportionnalité
  • (lancement d’une activité sur la démonstration en géométrie)

Séance 15 :

Séance 16 :

  • (entrainement à la course aux nombres)
  • Présentation de l’activité « A better World »

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  • Réflexion en classe, et ce sera à présenter sur feuille et à me rendre
  • (suite de l’activité de démonstration)

Séance 17 (en groupe)

  • Activité : les solides
  • Leçon sur le pavé droit
  • Pavé droit et cube ?
  • Diapo sur l’oeuvre d’Escher

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Séance 18 :

  • (course aux nombres)
  • Leçon sur la perspective cavalière
  • Reprise et synthèse collective de l’activité « A better World »

Séance 19 :

  • Leçon sur les pourcentages
  • Les patrons d’un pavé droit : activités et leçon
  • Qu’est-ce qu’un agrandissement en maths ?

Séance 20 :

  • (Rallye Maths’n Caux)

Séance 21 :

  • Réactivation des agrandissements-réductions avec le problème des tasses
  • Correction des exercices ; cette séquence-fleuve est terminée !

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Mon π-day à moi

Aujourd’hui, séance de découverte de π dans chacune de mes classes de sixième. C’est une séance tout à fait classique dans son déroulé, mais que j’aime, car les élèves sont en même temps inventifs, intéressés et apprennent quelque chose de vraiment nouveau. Mais je me suis aperçue que mes objectifs et mon message avaient évolué, depuis le début où j’animais cette séance. C’est donc pour moi l’occasion de faire le point.

Voici comment se déroule la séance :

L’introduction

J’explique que nous allons découvrir quelque chose de nouveau et d’ébouriffant. Je prends un des objets que j’ai ramenés de la maison, comme le couvercle de la poêle, et j’annonce que je vais demander aux élèves de mesurer le diamètre et la longueur du cercle que porte cet objet. « Comment ? » me demandent mes élèves ; « Débrouillez-vous, il y a du matériel sur la table et si vous avez besoin d’autre chose, vous pouvez me demander ».

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« Lorsque vous aurez vos deux mesures, vérifiées par un camarade, vous viendrez me les dire et je les noterai dans un tableur. Ensuite nous les traiterons et nous réfléchirons ensemble. Essayez d’être hyyyyper précis. »

L’explicitation du vocabulaire, qui mène à des concepts

Avant de démarrer toutefois, petit rappel : je demande aux élèves ce qu’est un cercle, ce qu’est la longueur du cercle et ce qu’est un diamètre. La définition du cercle est vite réglée, mais nous l’avons beaucoup travaillée. La longueur intrigue, mais c’est vite plié aussi. Pour le diamètre, je sais que bien qu’étudié depuis longtemps, le mot pose problème. Voici les réponses que j’ai obtenues aujourd’hui sur une de mes séances :

  • C’est la moitié du rayon
  • C’est un trait qui touche le cercle
  • C’est une ligne qui passe par le milieu
  • C’est le double du rayon
  • C’est la distance entre deux points dans le cercle
  • C’est une ligne droite qui touche le cercle au début et à la fin et qui passe par le milieu.

Première étape : étudier ensemble chacune de ces formulations pour dégager une définition cohérente, exacte et formulée correctement. C’est toute une aventure, déjà : au travers de ces propositions on a des abords en termes de mesure (moitié/double/distance) et des abords géométriques (trait/ligne). Nous abordons explicitement la question de la nature mathématique du diamètre, et aujourd’hui une de mes classes a fait le lien avec les angles et la hauteur, dans la catégorie mots mathématiques polysémiques. Pour des élèves de sixième, j’ai trouvé ça très très bien. Comme quoi aller loin vaut le coup. Car derrière ces questions de langage se jouent des questions très conceptuelles.

La mise en oeuvre

Je laisse quinze-vingt minutes aux élèves, et j’observe leurs méthodes. Aujourd’hui, j’ai vu différentes stratégies :

  • mesurer à la ficelle, la longueur mais aussi le diamètre ;
  • utiliser la règle pour mesurer le diamètre, mais aussi la longueur, en décrivant des tangentes successives ;
  • utiliser un feutre pour faire rouler l’objet et marquer la trace sur une feuille ;
  • utiliser le compas pour trouver le centre et en déduire le diamètre ;
  • tracer le contour de l’objet sur une feuille, coller la ficelle tout du long, à la colle ou avec du scotch, puis la mesurer ;
  • coller de la patafix tout partout et appliquer dessus le mètre-ruban ;
  • inventer un dispositif de pied à coulisse ;
  • placer des points rapprochés (l’élève en a marqué une quarantaine), tracer un polygone et mesurer le périmètre du polygone, puis conserver la valeur obtenue.

Le bilan de la mise en oeuvre

Nous avons repris rapidement les stratégies, mais nous y reviendrons lors de la prochaine séance pour certaines, comme pour celle du polygone, car je me sers de cette méthode moi-même pour arriver à une valeur approchée de π. Globalement, c’est surtout l’occasion que chacun me dise comme un cercle est différent d’un polygone, reformule la définition du cercle (en particulier pour ceux qui utilisent le compas), et la première comparaison apparaît d’elle-même : la longueur est toujours « beaucoup » plus grande que le diamètre.

Je crois que mon objectif à cette étape est que les élèves comprennent de façon profonde le cercle, qu’ils le « vivent ».

Le traitement des données

J’affiche les mesures obtenues par les élèves. Je n’affiche que les trois premières colonnes, et je demande aux élèves ce que nous pourrions bien en faire. Si cela ne vient pas (ça arrive), je leur demande s’ils pensent possible de trouver un lien calculatoire entre diamètre et périmètre. Aujourd’hui, ils voulaient d’abord trouver une constante additive.  Comme ça ne marchait pas, ils ont réfléchi différemment et le « triple, enfin pas loin » a émergé, suivi de près par le concept de proportionnalité. Alors je demande aux élèves de faire apparaître le rapport, pour chaque objet. Ils proposent une division, énoncent la formule à entrer en D2, et suggèrent un copier-glisser. L’utilisation du tableur est réactivée, impec.

 Voici une des séries, extraordinairement précise :

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Habituellement, j’ai des séries moins précises. Aujourd’hui, c’était magique. Les élèves ont vu la proportionnalité, et semblent avoir bien accepté les variations dues aux erreurs de mesure. Un élève, qui n’en pouvait plus de se taire depuis le début de la séance, a enfin pu déclarer avec emphase : « c’est π, en fait, ça devrait faire trois-quatorze partout ! ».

Avant de poursuivre, nous discutons précision : finalement, qu’est-ce qui fait qu’une mesure est proche ou « trop » imprécise ? Nous étudions l’impact d’erreurs de mesure assez mineures sur la valeur du rapport obtenu. Cela nous montre comme les manipulations sont délicates, et comme expliquer est plus intéressant que juger.

π, le coefficient de proportionnalité

Nous revenons alors sur ce que nous venons de découvrir, et que je confirme aux enfants : en effet, le diamètre et la longueur du cercle sont proportionnels, et le coefficient de proportionnalité est un nombre qu’on note π et qu’on appelle pi. C’est pas dingue, ça ? Si, les élèves semblent partager mon émerveillement. J’ai en face de moi une intensité de regard extraordinaire. Les questions fusent : comment on sait combien ça fait ? Qui a trouvé ça le premier ? Comment on le calcule ? Est-ce qu’on peut le calculer, d’ailleurs ? Pourquoi on l’écrit comme ça ? Pourquoi ce signe-là et pas un autre ? Est-ce que l’aire du disque elle sera aussi proportionnelle au diamètre ? Mais tout ça, à part « pourquoi ce signe-là », c’est pour les deux prochaine séances. Je l’explique, mais toutes les questions sont notées pour être bien sûrs de n’en oublier aucune par la suite.

Et là ça ne rate jamais : des élèves remarquent des affichages sur π, et qu’il y a « beaucoup de chiffres » sur ces affichages. C’est le moment de regarder le mur du fond de la classe.

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π, nombre d’une nature inédite

Sur le mur du fond, il y a les premièrs chiffres significatifs de π, dessinés par mes élèves des trois premières années où j’étais dans cet établissement : 3, la virgule et les 475 décimales suivantes. Mais voilà, ce n’est que le début, car nous pourrions continuer à l’infini… Je me lance alors dans la première explication (il y en aura d’autres dans la semaine à venir, puis des réactivations) quant à la nature de π. Quand je demande aux élèves quels types de nombres ils connaissent, ils me citent les entiers, les décimaux et les fractions. Alors je leur explique que π appartient à une autre famille encore : ils sont bien d’accord, π n’est pas entier. Pourquoi n’est-il pas un nombre décimal ? « Parce qu’un nombre décimal, ça se termine à un moment donné ». Et pourquoi n’est-ce pas une fraction ??? J’ai toujours quelques élèves pour répondre comme aujourd’hui : « parce que quand on fait la division d’une fraction, ça se répète, et là ça a pas l’air ». Ce moment-là, c’est mon moment d’évaluation à moi : ai-je bien travaillé cette année ???

Evidemment, ce ne sont pas des preuves. Mais les élèves eux-mêmes comprennent ma démarche sur l’année : « c’est pour ça que vous nous avez dit tout ça, c’est pour qu’on arrive à comprendre aujourd’hui ? » Bin oui, j’avais un plan. Le fait qu’ils parviennent à faire ces liens est pour moi une grande satisfaction, comme le fait qu’ils cherchent à comprendre mes chemins pédagogiques et didactiques : ils savent qu’il y a une logique, et c’est important.

A suivre…

Nous nous quittons sur des promesses : il nous reste des tas de choses à apprendre sur π, et particulièrement quoi en faire pour résoudre des questions mathématiques. J’évoque les ouvrages sur π de la bibliothèque de travail, souvent empruntés aussitôt, des affichages qu’il nous faudra évoquer, l’utilisation de la calculatrice, les éléments d’histoire que nous allons aborder. Tout un programme !

Conclusion

Si on se réfère au triptyque manipuler-verbaliser-abstraire, on est bien dedans :

  • manipuler pour comprendre au sens kinesthésique du terme, pour percevoir le problème, pour FAIRE des maths, les lier au concret, pour s’engager différemment, pour prendre des initiatives ;
  • verbaliser pour s’engager vers la conceptualisation, pour développer le lexique, pour insister sur la précision du vocabulaire, pour corriger des erreurs de représentations mentales, pour expliciter, pour réactiver, pour échanger, pour ouvrir sur de nouvelles questions, pour catégoriser…
  • abstraire : cette séance, et même cette séquence, permet de revenir un objectif majeur pour moi : réfléchir vraiment à la nature des objets mathématiques, comprendre, accepter et jouer avec leur nature « mentale ». Assumer cette abstraction, la revendiquer, car elle est l’essence des mathématiques : que nous discutions de ce qu’est un diamètre, de l’existence physique ou intellectuelle du cercle ou que nous nous interrogions sur la nature du nombre π, nous faisons vraiment des maths. Et c’est aussi pour cette raison que cette séance plaît tant aux élèves : nous allons loin, ils le savent. Ce ne sont d’ailleurs pas les élèves en difficulté « régulière » qui peinent le plus : on touche à des concepts, et tous peuvent s’engager s’ils s’en donnent la peine. Et comme ils sont curieux et qu’ils se laissent emmener par mon enthousiasme, ils s’en donnent la peine, pour une grande majorité en tout cas (j’évalue ce qu’ils ont retenu, la fois suivante).

Allez, juste pour le plaisir :

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Activité de saison

Un ami m’a envoyé ces photos ; un prof de maths qui se ballade, ça s’interroge sans cesse, à des moments inattendus :

cloches1[1]cloches2[1]

Cela m’a donné envie de bricoler une petite activité rapide, qui me permette de réactiver la proportionnalité par une entrée intéressante : quels critères pour savoir si une situation est proportionnelle ou non ? En prime, je réactive aussi, dans le même domaine, les agrandissements-réductions. Et puis nous allons forcément aborder bien en face les différentes écritures d’un nombre : fraction, écriture décimale, pourcentage, valeur exacte ou approchée ? Il va falloir faire preuve d’initiative, pour répondre à certaines questions, et j’attends de voir ce que proposeront mes élèves. C’est sans prétention et je ne vais pas passer beaucoup de temps là-dessus, mais l’idée m’a plu.

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Je ne mets pas en ligne le corrigé, car j’ai des élèves qui me lisent…

La page suivante sera ensuite projetée au tableau pour aborder quelques questions intéressantes, comme la place des maths dans l’élaboration de ces cloches, en particulier en lien avec la musique.

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L’activité complète est ici : Une histoire de vieilles cloches

Et là en version modifiable : Une histoire de vieilles cloches

 

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Des fiches et des méthodes : précisions

En début d’année j’avais élaboré des fiches qui présentent des méthodes que je vois utilisées en classe en cycle 2 et 3 :

  • ACE
  • Picbille
  • MHM
  • La méthode Singapour parla Librairie des écoles
  • Les Numéras
  • Mes premières mathématiques

J’en ai pas mal discuté, cette semaine, avec différentes personnes, et beaucoup de collègues m’ont demandé d’y accéder. Je remets donc un lien pour aller télécharger les versions courtes ou les versions longues. Mais quelques remarques s’imposent :

  • Dans chaque cas, la description tient en une page (c’est la version courte), et contient, dans la version longue, des extraits qui me semblent représentatifs, sur 7 pages. Je voulais un format synthétique pour pouvoir, quand je le transmets, qu’il soit vraiment lu.
  • À l’exception de la méthode de Singapour de la Librairie des écoles (que je n’ai pas réussie à contacter efficacement jusqu’ici), toutes les fiches ont été validées par un des auteurs. Cela m’a obligée à la neutralité.
  • Mon but n’était pas ni promouvoir telle ou telle méthode, ni de la déprécier. L’objectif est avant tout de comprendre et de mémoriser les principes, les spécificités, les objectifs de ces travaux. Dans ma mission de formation, auprès des enseignants, je comprends mieux de quoi il retourne et je dispose d’un répertoire de références.
  • Du fait de cette volonté de neutralité, l’analyse des points de vigilance, les leviers, les points d’entrée dans l’enseignement sont peu développés. Mon approche n’est pas comparatiste, et n’a rien d’institutionnelle : ce n’est pas une référence. Un collègue m’a fait remarquer que la co existence de telles fiches sur l’ensemble des méthodes pourrait laisser à penser que toutes les méthodes se valent, alors qu’il y a aussi une efficacité de l’enseignement à questionner. C’est voulu : je me place dans un contexte d’accompagnement, dans lequel je chemine avec mes collègues, et je ne prescris pas.

Ces fiches sont donc bien à envisager en ce sens : elles constituent un résumé propre et une première approche réflexive rapide pour des professeurs des écoles. Elles ouvrent le débat, et permettent au formateur de développer la réflexion commune, avec les enseignants qu’il accompagne.

PS : merci à Miguel, dont j’ai repris les propos pour les échanges qui font réfléchir et formuler plus clairement…