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Le zoo des symétries

Sonia Marichal a enrichi son zoo d’animaux symétriques, et c’est vraiment un très beau travail, et extra de le partager. Ce gros gros boulot est accessible sur son site (AlgoRythmes, mathématiques vivantes), mais aussi à partir de Twitter. Sonia partage aussi les fichiers GeoGebra, sur son site.

Il y a des moitiés d’animaux, à compléter selon qu’on préfère compléter la moitié de gauche ou celle de droite, plutôt pour le cycle 3 de l’école, et des versions « déstructurées » plus difficiles, plutôt pour le cycle 3 du collège. Et on a aussi accès au dessin complet. Regardez un peu si c’est beau :

Pour ceux qui rencontreraient des difficultés de téléchargement du pdf sur le site de Sonia, ça marche en cliquant sur le pdf en image en bas de son article.

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π

Aujourd’hui, nous avons institutionnalisé en 6e ce que nous avons appris dans l’année sur π. C’était l’occasion que les élèves expriment leurs représentations, que j’aborde dans l’ordre de proposition de ce matin :

π, c’est un chiffre infini ?

Bon alors non, π n’est pas un chiffre. C’est un nombre. C’est vraiment un nombre. Le fait qu’il soit désigné par une lettre grecque (le p grec de périmètre, après simplification de pi/delta pour exprimer le coefficient de proportionnalité entre périmètre et diamètre).

Côté « infini », c’est une belle illustration de verbalisation pas facile. Dire « π, il est infini » semble signifier qu’il a une « valeur infinie ». Or π a une valeur précise, comprise entre 3 et 4. On ne peut donc pas prétendre qu’il est « infini ». On peut dire que « en écriture décimale, π a une infinité de décimales ». Et là, mieux vaut préciser dans la foulée que ce n’est pas un nombre décimal, mais qu’il a une écriture décimale, impossible à retranscrire en entier cependant « pour de vrai ».

π, il a des chiffres qui se répètent ?

Dans l’écriture décimale d’une fraction, il y a une période :

Dans l’écriture décimale de π, il n’y a pas de période. Pour autant, forcément on retrouve plusieurs fois chaque chiffre, voire certaines successions de chiffres, mais sans régularité. π ne peut pas s’écrire sous forme de fraction, et oui, on en es sûrs parce qu’on l’a démontré. C’est un nombre irrationnel : il ne peut pas s’écrire sous forme d’écriture fractionnaire avec des entiers au numérateur et au dénominateur.

π, c’est quoi son dernier chiffre ?

Il n’y en n’a pas, puisque son écriture décimale est infinie. Vraiment infinie. Elle ne s’arrête pas. Elle continue toujours.

T’as compris, là ? 🙂

Mais π il est pas précis, alors ?

Si. Trace un cercle au tableau de diamètre 1 mètre, et paf, sa longueur (donc son périmètre) est égal à π mètres. π est la notation qui désigne ce nombre, « le nombre du cercle » comme m’ont dit des élèves. C’est un nombre précis, mais qu’on ne peut pas écrire en écriture décimale finie. Ah, je l’ai déjà dit ? 😉

π, on l’a inventé ou on l’a découvert ?

Non mais je vous assure, quel plaisir d’entendre cette question… Je l’ai retournée à la classe : qu’en pensez-vous ? Après discussion, les élèves se sont mis d’accord : on l’a découvert, il existe sans nous. On peut l’ignorer, mais le périmètre d’un cercle est toujours égal à π fois son diamètre.

Mais finalement, ça sert à rien toutes ces décimales, non ?

Là encore, j’ai laissé les élèves exprimer leurs points de vue. Finalement, leur conclusion est qu’au quotidien, non, ça ne sert à rien : approximer π à 3 est la plupart du temps suffisant. En cas de nécessité d’une grande précision, on peut toujours utiliser des décimales, mais 10 000 c’est excessif. Mais les élèves ont aussi dit que d’un autre côté, c’est bien de savoir qu’on est capable de connaître un grand nombre de décimales, parce que c’est « de la culture » et « un défi ».

Le mur de π

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Au menu

Aujourd’hui, c’est lundi! Et le lundi, je vais à l’école. Alors je pourrai vous parler :

  • De l’aire du disque avec Archimède en 6e,
  • De la suite de TutTut avec le passage au plan dessiné en CP,
  • D’un petit passage en circo pour le déjeuner et m’apportera sans doute quelques découvertes,
  • Du retour d’Albert, qui croit toujours détester les livres, en CP encore,
  • Je finirai par un conseil de classe, mais malheureusement vu ce qu’est devenu cet exercice désincarné, pas sûr qu’il soit inspirant.
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Maths dehors

Aujourd’hui, j’ai participé au webinaire intitulé Maths dehors par ClasseDehors. C’était l’occasion d’échanger avec les collègues présents et d’écouter les autres intervenants, Christophe Gilger (co-concepteur M@ths en vie, CHamonix), Michaella Alarcon (enseignante – St Bonnet du Gard), Sandrine Chabeaudie (enseignante en CE2 – La Crèche).

Christophe Gilger a entamé le webinaire avec la présentation de sorties mathématiques dans le cadre de M@ths en vie, avec les objectifs du formidable dispositif dont il est cocréateur. En particulier, Christophe a présenté une expérimentation sur deux problèmes similaires mais dont la photo est soit juste illustrative, soit un élément de la consigne. Le résultat montre que les élèves en dificulté gagnent vraiment à entrer dans des problèmes type M@ths en vie.

Sandrine a présenté sa classe de CE2, et comment les promenades mathématiques permettent de répondre aux besoins variés et consistants de ses élèves. Elle a expliqué que la première fois, les enfants ont pris beaucoup de photos de fleurs, parce qu’ils sont familiers des fleurs des nombres, et j’ai trouvé cette idée amusante et vraiment positive. Ensuite, Sandrine a prévu un support pour formaliser une autre sortie mathématique, et elle a noté que les enfants en difficultés, particulièrement les discrets, s’épanouissaient bien pendant ces séances. Elle a veillé à l’articulation entre le dans-la-classe et le hors-la-classe :

On peut faire une découverte en classe, approfondir dehors, mettre à l’écrit en classe, vérifier et consolider dehors.

Sandrine

Sandrine a conclu par une pensée que je partage :

Je me sens vraiment bien dehors.

Michaella a présenté ses objectifs dans une classe à triple niveau (CP-CE1-CE2) en milieu rural. Son objectif n°1, c’est faire du lien avec tout ce qui peut faire faire des maths. Elle a retrouvé ses élèves de l’année dernière cette année, et cela l’a amenée à réfléchir l’évolution des balades, pour que ce ne soit pas une redite, mais participe aux apprentissages. Elle est finalement arrivée à une balade pluridisciplinaire, avec aussi un lien avec le patrimoine local et l’histoire. Elle amis en place un système de tutorat, a beaucoup réfléchi l’organisation, mais aussi le travail réalisé avant et après les balades : il ne s’agit pas « juste » de sortir à la chasse aux maths, mais de rendre le tout vraiment propice aux apprentissages.

Tout est en ligne ici.

Ensuite, c’était mon tour. J’ai présenté trois axes, en essayant de balayer différents niveaux, en interdegré, et d’aborder en même temps des objectifs mathématiques (en particulier pour aboutir à la modélisation) et des objectifs transversaux (pour les dyspraxiques, contre les inégalités de genre…) :

Un collègue a posé la question de la pertinence de la géométrie dans la cour, en s’interrogeant sur le risque de construire des représentations mentales contreproductive. J’ai trouvé sa question très intéressante, car c’est la reprise ensuite, et le débat, qui permet de verbaliser toutes les représentations fausses et discuter représentation et modélisation : lorsque Gaspard demande pourquoi on dit qu’on a formé un cercle tous ensemble et pas plutôt un polygone à 21 côtés, il touche des neurones une question passionnante, qui permet une discussion qui fait avancer tout le monde.

Merci aux organisateurs et aux collègues qui ont suivi le webinaire !

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Géométrie dans la cour, cuvée 2021 : icosikaihenagone d’élèves de sixième

La différence par rapport à mes habitudes, cette année, c’est le moment où j’ai mis cette séance en oeuvre : en toute fin d’année. Nous avons parlé géométrie depuis septembre, en continu, puisqu’aucune séance de ma programmation ne contient un seul domaine. Et de ce fait, il faut reconnaitre que les élèves savent pas mal de choses ; en plus, ils sont habitués à mes mises en situations déroutantes, et s’adaptent sans souci.

L’alignement

Pour représenter une droite, les élèves ont utilisé l’idée du raton lumineux, en gros : est-ce qu’on en voyait bien un seul quand on se mettait à « un bout » ? Mais, problème : « madame, une droite c’est bien la ligna qu’a pas d’bout ? » En effet. Alors un groupe a juste aligné ses points-élèves, et l’autre a représenté des flèches, au « bout », pour montrer que la droite se poursuit :

Les élèves se sont rebaptisés G, G prime, G seconde, G tierce, G deux fois seconde, etc.

Pour représenter un segment, un groupe a choisi de placer un élève perpendiculairement et d’utiliser ses jambes comme « petit trait », et l’autre a « mis un élève de travers à une extrémité », dont un a eu l’air de trouver sa situation très agréable :

Parallèles et perpendiculaires

Pour représenter des parallèles, deux visions se sont confrontées :

  • On s’aligne et le dernier passe devant le premier dans chaque droite, et on voit si on se rejoint : cet élève définit les parallèles comme « ne se coupant jamais ». D’autres lui ont opposé que ça allait être long et qu’on n’aurait peut-être pas la place dans la cour ;
  • On tend une corde entre nous et on se déplace perpendiculairement, pour voir si la distance entre les deux droites est contante : là, c’est la définition par écart constant, qui me plaît déjà plus.

Des élèves ont pensé se mettre face à face et coller leurs pieds, mais ils ont remarqué rapidement qu’ils n’ont pas tous les jambes de la même taille.

Cela nous a permis de réactiver « si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre », que les élèves ont fait remonter tout seuls. Nous en avons profité pour réactiver et représenter les autres propriétés que nous avions étudiées.

Pour les droites perpendiculaires, les élèves ont fait à vue de nez. Ils ont tenu à ce que « des élèves aillent de l’autre côté du point d’intersection, sinon ça fait genre demi-droite ».

J’ai alors présenté la corde à 13 noeuds et son usage pour vérifier un angle droit. Voir l’ombre se dessiner a donné envie aux élèves de recommencer l’alignement en suivant l’ombre du bâtiment :

Nous l’avons ensuite exploitée pour refaire deux perpendiculaires « plus perpendiculaires » :

Le cercle

Enfin, nous avons travaillé le cercle, et là tout de suite un élève a pensé à utiliser la corde, parce qu’un cercle « c’est pas juste rond, c’est qu’on doit tous être à la même distance du centre ». Réactivation des mots « équidistant », « rayon », « centre », etc. :

Un élève a fait remarquer qu’ils représentaient possiblement un cercle, mais que cela pouvait être aussi un polygone à 21 côtés, selon comment on imagine relier les sommets-élèves… Super ! Nous avons donc cherché le nom de ce polygone : l’icosikaihenagone. Sans absents, on aurait dessiné un icosikaitrigone, mais bon.

Retour en classe

De retour dans la classe, au frais, les élèves ont complété une trace écrite qui expose ce qu’ils ont compris et ce qu’ils retiennent. Globalement, leurs retours témoignent d’une réactivation du vocabulaire. Quelques-uns expriment qu’ils ont compris ce qu’ils n’avaient pas compris précédemment. Ils ont beaucoup plus écrit que lorsque je propose en début d’année, mais deux élèves disent ne pas avoir vraiment évolué avec l’activité car ils savaient déjà tout ça, ce qui est logique :

C’était intéressant pour moi de voir la différence entre cette activité comme activité en cours d’apprentissage et activité de réactivation. Mais je la conserverai comme activité d’apprentissage, l’année prochaine, si nous ne fermons pas à ce moment là… Je pense qu’elle est plus efficace ainsi, et qu’elle contribue à construire une culture commune à laquelle dans l’année je peux faire référence avantageusement.

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Maths dans la cour

Comme j’interviens mercredi sur Maths dans la cour, et que le ciel nous tombait sur la tête lorsque j’aurais dû le faire mes 6e2, j’ai décidé de le faire aujourd’hui : j’aurai des productions toute fraîches pour mercredi. Ils ont encore réussi à me surprendre alors que je mène cette séance tous les ans !

Je vous raconte ça en rentrant, mais là je retourne faire des maths dans la cour, en CP cette fois !

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Super-mathematics : haricots, fractions et unités anglo-saxonnes

En sixième, chaque année, je propose mon activité Superman et les super-mathématiques. C’est mon fils qui avait trouvé cette case au fil de ses lectures et me l’avait signalée, il y a des années.

Pour moi, ce problème est l’occasion de :

  • faire un peu d’anglais, montrer que parler anglais, comprendre l’anglais est évidemment nécessaire ;
  • faire chercher un problème de plus : extraire les données utiles, décomposer en sous-problèmes, trouver une stratégie, justifier, communiquer ;
  • travailler grandeurs et mesures (en déstabilisant avec des unités peu familières aux élèves : dans un pound il y a 16 ounces) ;
  • traduire « 1 haricot pèse 20 ounces » en « 20 haricots pèsent 1 ounce », ce qui est pour moi un des objectifs principaux en numération en sixième ;
  • travailler la proportionnalité, en modélisant (10 pounds de haricots, sachant qu’un ounce contient 20 haricots, …) ;
  • travailler le calcul mental (160×20, comment faire rapidement et sans « ajouter des zéros », mais en verbalisant que c’est 16 dizaines fois 2 dizaines, donc 32 dizaines de dizaines, c’est-à-dire 32 centaines) ;
  • réfléchir à l’évaluation ;
  • réactiver l’écriture des nombres, avec 1/20, 70%, etc.
  • parler notations : 32,000 ???
  • montrer que même Superman peut se tromper, et que donc se tromper ce n’est vraiment pas grave.

Je traite de Superman et ses haricots en groupe, en général, et en débit d’année. Mais cette année, tout a été différent et un peu imprévisible : je n’ai pas pou l’aborder dans une de mes deux classes avant… ce matin ! Mais c’est l’occasion de réfléchir à quand placer au mieux ce problème, et d’observer les différences.

Le fait que ce soit en anglais ne gêne pas outre mesure les élèves : nous commençons par expliquer le texte, et aujourd’hui j’ai vu la différence avec le début d’année : ils sont bien meilleurs en anglais en fin d’année, d’une façon impressionnante : dans les deux groupes ils ont uni leurs forces et traduit le texte sans mon aide. Souvent, ce qui les entrave vraiment pour entrer dans la réflexion, ce sont des unités de mesure qu’ils ne connaissent pas. Là encore, j’ai trouvé leur approche beaucoup plus fluide que d’habitude : ok, on n’est pas familiers de ces unités ; hé bien ça doit être « genre comme les miles » et on va aller chercher sur internet combien il y a d’ounces dans un pound. Voilà, pas besoin d’en faire un plat. En début d’année, les élèves sont surpris d' »avoir le droit » de recourir à internet pour trouver l’information. Là, pas du tout.

Alors nous résolvons, avec des variations dans la méthode proposée par les élèves :

En une fois la partie résolution de l’activité terminée, j’amène les élèves à se questionner sur la production de Superman :

Et ça, en bout de course, mène à l’évaluation de sa production. Les élèves, d’habitude, me proposent des notes : entre 4/20 et 10/20 la plupart du temps, avec un pic autour de 6. Cette année, ils sont partis directement sur les points verts et rouges, en étant beaucoup plus nuancés que les élèves de début d’année : au final, il a compris, notre cryptonien. Il s’est juste loupé dans son calcul « en mettant un zéro de trop ». Et ça, les élèves le formulent eux-mêmes, quand on leur demande d’y réfléchir. J’ai dégainé Sacoche et nous avons, ensemble, en votant (mais c’était très consensuel), évalué Superman. Nous avons obtenu ce genre de bilan :

Et là, nous faisons le lien avec la note : ça veut dire quoi, 69% ou 78% (les scores attribués par les deux groupes d’aujourd’hui) ? 78% :

  • ça veut dire 78 parmi 100
  • ça veut dire 78 sur 100
  • ça veut dire 78 centièmes
  • donc ça fait 7,8 sur 10
  • ah bah ça fait le double, sur 20
  • il a 15,6/20.

Enfin, nous réfléchissons : pourquoi les élèves obtenaient une évaluation si différente en analysant les compétences.

C’est vraiment une situation très riche, qui synthétise bien l’écriture des nombres et la proportionnalité. Nous avons fait de super mathématiques, c’est certain, car on touche au sens de l’écriture des nombres. Quant à Superman, il peut se rassurer : tout le monde a pris avec bienveillance son erreur de calcul. En revanche, il pourrait envisager d’être moins prétentieux… Et la dame pourrait réfléchir par elle-même plutôt que d’être admirative par défaut.

Je me dis que c’est bien aussi de l’aborder en fin d’année ; mais faire réfléchir les élèves à l’évaluation, leur permettre de comprendre encore mieux comment j’évalue, a plus de sens en début d’année. Je vais donc essayer de caler la question de l’évaluation sur une autre analyse d’erreur, plus précoce, l’année prochaine, et sans doute laisser superman plus tard dans l’année. Peut-être pas autant, mais pas non plus en première période.

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Qu’est-ce qu’une « bonne » situation ?

Récemment, sur le fil Twitter de M@ths en vie de cycle 3, un problème a été publié qui a suscité des commentaires :

Je trouve ça intéressant, car les commentaires étaient dans le sens de « c’est quoi cette question : le prix ne va pas changer ». Mais la personne qui a proposé le problème le savait, ce n’est pas une erreur. La vraie question, c’est : qu’est-ce que les élèves comprennent à ce genre d’affichage (en les adultes, aussi, car ce n’est pas clair pour tout le monde) ? L’idée de cette proposition de situation est justement de faire réfléchir à l’interprétation : est-ce vraiment une promotion ? Dans quelles conditions a-t-on intérêt à profiter de l’offre ? Mais on ne peut pas poser la consigne ainsi, sans quoi on dévoile tout le piment de la situation.

Je compte proposer cette photo à certaines de mes classes, pour ma part, et pas seulement en cycle 3 : il y a d’abord l’extraction d’informations, l’inhibition qui permet de ne pas se ruer sur le premier calcul venu, et ensuite on va pouvoir calculer le montant du bon d’achat et prendre du recul : « ça vaut le coup » dans quels cas ? Bon, en plus, « 20% par tranche de 60€ d’achat », c’est pas clair-clair, mais 20% c’est vraiment parfait pour des élèves de cycle 3… Et 111,20€, c’est bêta ; mais sera-t-il avantageux d’ajouter un achat à 9€ ?

Bon, vous l’avez compris, je suis fan. Ce n’est évidemment pas un problème à évaluer, mais ce que j’appellerai un problème-débat. Du pur M@ths en vie !!!

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Dernière manche du rallye Maths&Caux

Après la dernière manche de l’Algorea, voici la dernière manche du rallye Maths&Caux. C’est vraiment satisfaisant de voir ces jeunes gens aussi autonomes : ils vont chercher du brouillon, des calculatrices, se mettent en groupes tranquillement, discutent entre groupes pour surmonter les obstacles, et, surtout, travaillent.

Pour le Maths&Caux, je passe toujours par les mêmes étapes : à la première manche je me dis que jamais, plus jamais je ne ferai faire de rallye à cette classe (à peu près quelle que soit la classe). Ensuite je me dis que ça progresse un peu. Et puis à la dernière manche, je suis toujours ravie. Donc peut-être pourrai-je envisager de faire preuve de recul, pour les années à venir…

Merci aux collègues qui travaillent à ce rallye, nous on adore !