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Mots et maux en mathématiques

Cédric Villani était l’invité de sur France Culture, le 15 novembre dernier, dans l’Invité des matins. C’est sur cet excellent blog que j’ai pêché l’info.

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Le ministre de l’Éducation, Jean-Michel Blanquer, a confié une mission au député de la République en marche et mathématicien Cédric Villani et à l’inspecteur général de l’éducation nationale Charles Torossian pour améliorer l’enseignement des maths à l’école, en particulier en réfléchissant à la façon de développer l’appétit des maths.

Monsieur Villani revient particulier sur le langage est la communication. Il évoque aussi la notion de fraction, comme un des premiers enjeux d’apprentissages, de compréhension pour la suite, et qui prépare l’art de la démonstration. Il met aussi en avant l’enseignant, et particulièrement l’enseignant de primaire : former, valoriser, permettre le travail en équipe… Son discours est assez rassurant : cette facette de Villani l’hyperactif est bien en phase avec la réalité du métier, ce qui ne doit pas être si simple pour un chercheur qui ne passe pas sa vie dans les classes. Au final, rien de neuf dans cette partie de son discours, mais il est de bon augure qu’il transmette ce message à monsieur Blanquer. Et Cédric Villani est très très diplomate et respectueux.

La réussite en mathématiques en France dépend du niveau de langue, et il faut donc s’appliquer à remédier à ces difficultés. C’est en effet une problématique assez terrible : pour des enfants en difficulté face à la maîtrise de la langue, le langage mathématique, univoque, dépourvu volontairement et nécessairement d’ambiguïtés, fonctionne et s’acquiert forcément différemment qu’ailleurs.C’est bien pour cela que nous sommes tous concernés par les remédiations liées à la parole de l’élève, écrite, orale, corporelle. Ce n’est pas du ressort unique des enseignants de lettres. Par exemple, le dispositif réapprendre à lire dans notre académie s’adresse absolument à tous les champs disciplinaires. Or on y trouve tout de même plus d’enseignants de champs non scientifiques. C’est dommage, d’autant que cela permettrait de développer les cultures d’établissement.

« L’enseignement doit être vécu dans un plaisir, ce qui ne relève pas forcément de la facilité. » C’est vrai bien sûr, mais certains enseignants sont dans l’impossibilité de vivre ce plaisir, débordés, perdus ou placés dans de trop mauvaises conditions. Et c’est un cercle vicieux, car l’enseignant malheureux se crispe, et les élèves le ressentent et réagissent en conséquence, de façon instinctive et amplifiée par l’effet groupe. Comment redonne-t-on le plaisir d’enseigner à nos jeunes ou moins jeunes collègues tout abîmés ? Je suis toujours impressionnée par certaines situations de souffrance extrêmes de jeunes collègues (au moins dans la fonction) parmi ceux que j’ai en charge à l’ESPE, comme parmi ceux que je forme sur site. La plupart vont bien, mais trop sont en difficulté. Enseigner peut vraiment remettre en cause, profondément. Le problème est donc aussi relatif au recrutement.

En fin d’entretien, il est dommage que le journaliste pose des questions intéressantes puis coupe Cédric Villani directement avant d’avoir obtenu sa réponse. Mais il lui laisse tout de même le temps d’expliquer qu’on peut raisonnablement arrêter de fixer sur les tables de multiplication, par exemple. Le calcul mental permet de développer les capacités d’abstraction et de concentration, mais « on n’a pas besoin de savoir ses tables de multiplication pour être un grand mathématicien« .

« Le cours de mathématiques n’est pareil à aucun autre. Il n’est pas là juste pour pour apprendre de la mathématique, il est là pour vous entrainer sur des questions de rigueur et de raisonnement, déductif en particulier. (…) Les mathématiques aident dans n’importent quel sujet. »

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Séquence Grenade : sixième

J’ai réfléchi entre les cours à ce que je voudrais faire sur Grenade avec mes élèves de sixième. Je compte me lancer mercredi, car je les ai deux heures d’affilée. Je pourrai ainsi changer de thème d’une heure à l’autre.

Pour rappel, car j’ai eu des questions suite au précédent article, une attaque nocturne est, dans notre système maths et jeux de rôles, une activité qui permet d’introduire un thème d’étude, de façon non anticipée. L’attaque nocturne vient contrarier notre progression, l’interrompt, et nous la réglons avant de poursuivre notre chemin. Parfois cela vient de moi, comme ici, mais plus souvent ce sont des questions ou des problèmes (comme le chewing-gum de Clara) qui les amènent à la classe. Une bonne attaque nocturne rapporte des XP à l’élève qui la propose, car il a su identifier dans son environnement un contenu en lien avec les maths et il participe à la vie de la classe.

Voici ce que j’ai imaginé pour le moment, et je suis preneuse de toutes les idées, critiques et remarques. Vous allez voir, il n’y a absolument rien d’original là-dedans ; je surfe juste sur ma vague Grenade, et je vais l’exploiter comme fil directeur dans l’année. Et puis de cette façon nous abordons les pavages et les frises. Et de toute façon, une attaque nocturne doit se traiter de façon spontanée. Les années suivantes cela peut donner lieu à un contenu plus développé, lorsque cela en vaut la peine. Par exemple nous nous référerons au chewing-gum de Clara, plus tard, comme réactivation.

 

Séquence Grenade

Première partie : mémorisation

C’est la première activité explicite sur le geste d’attention et la mémorisation dans l’année. Les élèves sont prévenus a priori de l’objectif et du fait qu’ils vont devoir restituer des éléments que je vais leur transmettre.

 Je projette à mes élèves la carte de l’Espagne et je leur montre où est Grenade, en leur disant «Grenade est une ville située au sud de l’Espagne ». Je nomme l’Andalousie.

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J’annonce que nous allons travailler sur un palais appelé l’Alhambra. J’insiste sur l’orthographe du mot, avec le « h » entre le « l » et le « a ».

 Je lis le texte suivant :

 L’Alhambra de Grenade est un des monuments majeurs de l’architecture islamique, témoin de la présence musulmane en Espagne du VIIIe siècle au XVe siècle. Le nom féminin Alhambra provient de l’arabe, Qalat al Hamra c’est-à-dire « le château rouge » en raison de la couleur que prennent les murs du monument au coucher du soleil.

L’Alhambra est un ensemble fortifié de bâtiments situés sur une colline de Grenade. L’origine de l’Alhambra remonte à 1238 avec l’entrée à Grenade du premier souverain nasride, Mohammed ben Nazar. Chaque souverain reprenait le palais de son prédécesseur et en édifiait de nouvelles parties.

Je demande aux élèves s’ils ont des questions et je projette les trois photos de l’Alhambra.

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Je commente rapidement les photos, puis je leur distribue la fiche de restitution.

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Une fois que les élèves ont répondu, nous restituons ensemble et j’appelle à réfléchir à ce qu’ils ont retenu, et pourquoi. J’en interroge plusieurs pour fixer la mémorisation des réponses. Nous évoquons divers schémas possibles de mémorisation.

J’avertis les élèves que je les réinterrogerai ; je les encourage à parler de ce dont ils se souviennent à la maison ou entre eux. Le but est de leur montrer qu’ils sont capables de mémoriser, mais qu’on ne mémorise durablement que ce qui prend sens et qui est réactivé de façon pertinente.

 

Deuxième partie : réactivation de la symétrie axiale et institutionnalisation 

Je présente au tableau les 24 pavages que j’ai plastifiés, tenus par des aimants. Je demande aux élèves de les observer. Je leur demande s’ils en voient qui sont « symétriques », et je les laisse réfléchir.

J’envoie au tableau un élève qui met à part les pavages « non symétriques ». À partir de sa proposition, je demande une proposition de définition de « symétrique ». J’ai comme objectifs :

  • D’entendre « symétrie axiale » ou « axe ». il faudra sans doute plusieurs étapes avant d’y parvenir ;
  • D’entendre « plier », superposition », tout ce qui fait référence aux acquis de l’école ;
  • De voir la question des couleurs apparaître.

J’envoie au tableau des élèves qui tracent sur les pavages plastifiés des axes dont ils pensent que ce sont des axes de symétrie. Nous devons arriver à avoir identifié des figures avec un, deux, plus de deux axes de symétrie.

Je demande aux élèves une formulation qui ne comporte pas les idées de pli et de superposition. Je veux faire émerger progressivement la notion de médiatrice, il faut donc que les mots « milieu » et « perpendiculaire » émergent. Les élèves peuvent venir tracer ce qu’ils veulent sur les motifs. Je veux aussi que la conservation des mesures soit évoquée.

 À l’issue de ce débat, plusieurs élèves reformulent. Je leur demande de prendre une feuille de brouillon et, par binôme, d’y noter une définition de ce que sont deux points symétriques par rapport à un axe. Je ramasse ces feuilles, qui me serviront pour l’institutionnalisation.

 

Troisième partie : construction et symétrie

Étape 1

Je distribue un des pavages par binôme. J’utilise la nature de la figure et le nombre d’axes de symétrie comme variable didactique. Je distribue aussi les feuilles de construction. Chaque binôme doit d’abord construire le motif, sans couleurs. Pour cela, les deux membres du binôme discutent de la marche à suivre, puis le réalisent tous les deux. Ils ne passeront à l’étape suivante que lorsque j’aurai validé les deux constructions.

Étape 2

Une fois les deux constructions validées, les deux élèves du binôme doivent mettre leur motif en couleur, de sorte qu’ils utilisent une symétrie axiale différente l’une de l’autre. La fantaisie et l’originalité sont encouragées : faut que ça pète, et leurs productions renouvelleront notre déco de classe. Une fois débutée en classe, cette partie peut être poursuivie à la maison.

  

Quatrième partie : institutionnalisation

Étape 1

Réactivation des éléments culturels liés à l’Alhambra

Étape 2

Projection de propositions de trace écrite et débat pour décider ce que nous gardons de façon définitive dans le cahier de leçon ; nous l’écrivons alors, en illustrant selon les propositions des élèves.

 

Cinquième partie : consolidation

Exercices réguliers, des questions flash aux exercices de construction.

Bon, il me reste à plastifier mes reproductions, ce que je vais faire tout en préparant le dîner. J’ai une idée de suite d’activité pour les sixièmes, mais avant cela demain je dois réfléchir très vite à mon activité de cinquième. J’ai une trame, mais ce n’est pas abouti. Mais comme je vais à Dieppe demain matin pour animer une formation, j’irai le temps du trajet pour réfléchir tranquillement.

Suite demain, donc.

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Attaque nocturne prévue cette semaine

De Grenade, j’ai ramené ce bouquin :

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Je pense que nous allons nous en servir assez rapidement pour entamer les symétries axiales. Je vais commencer par choisir des motifs. Je ne sais pas encore si je choisi un motif pour deux ou un pour quatre. Ensuite, je pense demander aux élèves de trouver les axes de symétrie, sans tenir compte des couleurs, en réactivant comme cela a été vu à l’école. Puis nous ferons une mise en commun pour en parler.

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Là, nous devrions pouvoir commencer à modéliser les symétries axiales. Et à ce niveau, je rajouterai comme contrainte que la symétrie respecte aussi les couleurs. De là, je demanderai aux élèves de refaire le pavage grâce au patron fourni dans le bouquin, mais de sorte qu’ils utilisent plusieurs couleurs et respectent deux symétries axiales différentes.

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Je ne suis pas sûre d’être très claire… Demain j’extrais des pavages et ensuite je m’attaque à ma fiche de prep. Ce sera plus clair à transmettre alors.

Je vais réfléchir à utiliser ce support aussi en cinquième, pour les transformations.

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Des pavages plein la tête

L’Alhambra, c’est incroyable. J’ai eu l’impression en même temps d’être extraite de ma réalité et plongée dans un imaginaire incroyable. Et puis mon cerveau tournait à une vitesse fatigante pour capter tout ça, en perdre le moins possible mais aussi noter mentalement tout ce qui pourrait me fournir des activités pour mes élèves. Epuisée, j’étais, à la fin de la journée. Et ravie.

J’ai pas mal d’idées. Pour mes sixièmes, nous allons travailler sur les symétries en allant nettement plus loin que ce que j’avais envisagé jusqu’ici. Mon idée de départ repose sur ce genre de photos :

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Pour les cinquièmes, ce sera, bien sûr, pavages et frises. J’ai des tas de photos mais le chargement est si long que je les posterai une fois revenue en France…