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Platon en cours de maths en cycle 3

C’est l’objet du premier atelier que j’ai suivi hier. Il était vraiment intéressant, même si je ne mettrai pas en oeuvre en classe l’activité que je vais résumer. En revanche je vais m’en servir en formation en master 2 enseignement.

Dans ce dialogue, qui correspond aux pages 344 à 352 de l’édition de 1976 chez Flammarion, Socrate interroge un esclave au sujet de la duplication du carré. l’esclave commence par se tromper, en proposant que pour être d’aire double le carré doit avoir le côté double aussi, puis face au questionnement ouvert (enfin, plus ou moins ouvert) de Socrate, il comprend qu’il s’est trompé. Socrate conclut ainsi :

SOCRATE.

Que t’en semble, Menon ? A-t-il {l’esclave} fait une seule réponse qui ne fût son opinion à lui ?

MENON.

Non ; il a toujours parlé de lui-même.

SOCRATE.

Cependant, comme nous le disions tout à l’heure, il ne savait pas.

MENON.

Tu dis vrai.

SOCRATE.

Ces opinions étaient-elles en lui, ou non ?

MENON.

Elles y étaient.

SOCRATE.

Celui qui ignore a donc en lui-même sur ce qu’il ignore des opinions vraies ?

MENON.

Apparemment.

SOCRATE.

Ces opinions viennent de se réveiller en lui comme un songe. Et si on l’interroge souvent et de diverses façons sur les mêmes objets, sais-tu bien qu’à la fin il en aura une connaissance aussi exacte que qui que ce soit ?

MENON.

Cela est vraisemblable.

A partir de ce dialogue, Renaud Chorlay (de l’ESPE de Paris), Alexis Gaudreau (enseignant de mathématiques à Paris) et Dominique Heguiaphal (professeur des écoles à Paris), de la commission inter-IREM Histoire et épistémologie, ont proposé l’atelier « Lire un texte du patrimoine au cycle 3 ».

Après qu’ont été précisés les objectifs et les limites de l’expérimentation, les références à des travaux de chercheurs comme Goigoux et Cèbe, nous avons réfléchi ensemble sur les notions mathématiques rencontrées dans le texte, ou qui peuvent être évoquées à partir de sa lecture. Elles sont nombreuses et en effet correspondent très bien au cycle 3. Ensuite, nos animateurs nous ont questionnés sur les difficultés rencontrées, pour les élèves comme pour nous, à sa lecture. Ces analyses-là étaient déjà très intéressantes en elles-mêmes.

Puis nos trois collègues nous ont présenté leurs fiches de séquences, des fiches outils complètes, et des productions d’élèves, là aussi assorties de propositions d’analyse.

Quel en est mon bilan ?

Premier constat : des ateliers animés par des enseignants, c’est bien aussi… J’avais un peu tendance à sur investir les conférences,à tout miser sur les « stars de la recherche ». Hier, les travaux de ces collègues, comme de ceux de l’atelier de l’après-midi, m’ont vraiment beaucoup apporté. Les deux groupes nous ont présenté un travail pensé de façon profonde, précise, tourné vers les élèves, et étayé par des travaux concrets d’élèves. C’est agréable de rencontrer des formateurs qui ont l’expérience du terrain, qui peuvent décrire leurs observations concrètes. Cela m’a fait pas mal réfléchir quant à mon métier de formatrice (aux retours positifs, lorsqu’il y en a, des enseignants que je peux former. Je comprends mieux ce qu’ils veulent me dire) et à ce que j’ai pu écrire dans mon mémoire de CAFFA.

Deuxième constat : ce travail me laisse vraiment en pleine réflexion. En même temps que je le trouve intéressant (en plus, une activité maths-français qui en est vraiment une, c’est chouette) et que l’expérimentation en elle-même m’intéresse (j’aurais aimé avoir des tas de productions d’élèves devant moi pour m’y plonger et réfléchir), que je voudrais en savoir plus, je ne me vois pas déployer l’activité en classe, pour deux raisons. Je ferai abstraction, dans la suite, de l’argument que j’ai entendu hier dans les rangs des spectateurs : lire ce texte est impossible à des élèves de cycle 3. Je ne le crois pas. Cette lecture va prendre un temps très variable selon le public bien sûr, mais comme l’a dit hier Renaud Chorlay, c’est une question d’accompagnement. Et en effet, les fiches de travail font la part belle à la lecture, la compréhension du texte, la reformulation. Une autre remarque, faite par un inspecteur général présent, concernait la phase d’institutionnalisation, et m’a rappelé tout de suite une remarque similaire d’un de mes IPR la semaine dernière : quid de la trace écrite, de la reformulation de ce qu’on visait comme objectif ? Les élèves savent-ils ce qu’ils ont appris ? L’équipe qui présentait était passée par cette phase et n’a pas eu le temps d’approfondir, mais cette remarque de l’IG est vraiment très importante, en ces temps d’expérimentation d’activités interdisciplinaires. Évidemment que lorsque nous proposons une activité aux élèves, nous savons pourquoi et quels objectifs nous visons, mais il faut que ce soit explicite aussi pour eux.

Mes deux raisons à moi sont les suivantes :

  • Dans le texte, une des difficultés est que l’unité de mesure de longueur, le pied, est également utilisée pour mesurer les aires. Il me semble que les élèves de cycle 3 mettent difficilement du sens sur nos unités de mesure. Souvent, ils oublient le carré du mètre carré, le cube du mètre cube. Lorsqu’on leur demande de regarder leur résultat, ils corrigent la plupart du temps, mais généralement en s’appuyant sur leur mémoire plus que sur leur compréhension de la signification de ces unités : la prof elle vaut qu’on mette un deux pour les aires, alors je le mets. Mais ont-ils intériorisé pourquoi il faut « mettre le deux » ? Je crains vraiment que travailler avec des pieds de longueur et des pieds d’aire me gêne dans cette lente acquisition du sens des unités. Pourtant, nos intervenants ont expliqué que non, car ils ont explicité ce point avec les élèves. Les expressions « pieds de longueur » et « pieds d’aire » sont d’eux. Sur ce point, j’envisage tout à fait d’avoir tort. Mais je suis frileuse, pour le coup.
  • Deuxième point, le plus important pour moi : vers la fin de la séquence, on demande aux enfants de justifier que la figure obtenue en suivant les instructions de Socrate est un carré. Comme ils ne connaissent pas le théorème de Pythagore (nous sommes au cycle 3), ils ne peuvent pas démontrer. Ce qui est attendu d’eux est donc d’effectuer une vérification de façon instrumentée, avec l’équerre et la règle graduée, par exemple. Et là, ça coince pour moi : en sixième, j’essaie de faire glisser les élèves vers l’argumentation, de passer du perceptif au déductif. Or ici je ne suis pas en mesure d’invoquer les arguments qui seraient utiles. Ça m’embête fort, ça.

Reste que ce temps de formation est passé très vite, trop même, puisque j’aurais aimé des approfondissements et des prolongements. Et je pense utiliser ce support avec mes étudiants de master 2 l’année prochaine : il y matière à réflexion, et une réflexion de bonne qualité. Et puis écouter des collègues investis, motivés, qui travaillent en équipe, c’est revigorant.

 

 

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Le scepticisme, qualité mathématique

En route pour un séminaire à Poitiers, j’ai profité du train pour lire. J’avais glissé dans mon sac deux livres, un « livre de matheux » et un « livre normal ». J’ai commencé par le livre de matheux. Il s’agit en fait d’un tout petit ouvrage intitulé Les mathématiques sont la poésie des sciences, qui retranscrit une conférence de Cédric Villani, en mars 2013 à Namur. Le titre est une citation de Senghor.images

L’introduction reprend l’intervention d’Elisa Brune. Elle s’achève sur ces mots :

« Elles (les mathématiques) peuvent aussi gambader en pleine liberté, dans des espaces à trente-six dimensions, dans des nombres imaginaires, et personne ne leur demande de répondre à une expérience faite en laboratoire. 

Pour passer la parole à Cédric Villani, je dirais des mathématiques qu’elles sont la science la plus libre. »

Au début de son intervention, Cédric Villani revient sur certains principes fondamentaux chers aux mathématiciens : le scepticisme a priori, le rejet des arguments d’autorité pour leur préférer la démonstration et le raisonnement logique (« Nul ne détient une parole plus forte que les autres »).

Dans la suite, Cédric Villani dit « Si les mathématiques étaient un art, parmi tous les arts possibles, ce pourrait être le design. En design, comme en mathématiques, on retrouve la même ambivalence, la même dualité – ou dialectique – entre l’harmonie,l’abstraction, l’esthétique et le devoir d’efficacité. (…) Étant partout autour de nous, comme les tables et le mobilier, les mathématiques sont envahissantes, mais elles se font oublier quand elles fonctionnent bien. »

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Ensuite, comme le titre de son intervention l’indique, il explore les liens entre mathématiques et poésie. Je suppose que selon le rapport de chacun aux mathématiques et à la poésie on est plus ou moins sensible à tel ou tel de ses arguments ; pour ma part, j’ai d’abord été touchée par le rapport au langage, à la poésie de mots en mathématiques.

J’ai aimé le parallèle tenté par Villani entre l’exercice des mathématiques et un poème de Tennyson, La dame de Shalott. Il explique qu’il aime imaginer « que c’est une allégorie du mathématicien, incapable d’appréhender le monde directement par des expériences comme le fait le mathématicien, et ne pouvant au contraire l’étudier qu’à travers son reflet dans le monde mathématique : les équations. » Cette idée et sa formulation me parlent. Voici un extrait d’une traduction du poème :

 

Là, elle tisse de nuit et de jour

Un tissu magique aux couleurs éclatantes,

Elle a entendu une rumeur dire

Qu’une malédiction s’abattrait sur elle si elle restait

A regarder en bas vers Camelot ;

Elle ne sait pas ce que peut être la malédiction

Et alors elle tisse encore plus.

Elle y voit le grand chemin à proximité

Descendant vers Camelot ;

Et parfois à travers le miroir bleu

Les chevaliers vont à cheval deux par deux.

Elle n’a pas de loyal et fidèle chevalier,

La Dame de Shallot

La suite du petit ouvrage est dans le style habituel de Cédric Villani : c’est agréable à lire, mais ce sont des propos qu’il a déjà tenus dans des ouvrages que j’ai lus ou des conférences auxquelles j’ai assisté. Il se cite d’ailleurs beaucoup lui-même de façon explicite, et tourne beaucoup autour de Poincaré, là aussi comme souvent. Mais la lecture demeure intéressante.

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 » Vous devez apprendre à aimer ce processus « 

Andrew Wiles est le mathématicien qui a prouvé le grand théorème de Fermat, un problème resté sans démonstration pendant des siècles. Dans un entretien lors du Forum des Lauréats Heidelberg en septembre 2016, relayé dans +Plus Magazine et traduit par Julien Keller pour Image des Mathématiques, Andrew Miles parle des maths, de leurs difficultés, de la façon de vivre les maths. Je vous conseille la lecture complète de l’article, vraiment simple et beau.

 » Je pense que beaucoup de gens ont été dégoûtés jeunes des mathématiques. En fait, ce que l’on constate c’est que les enfants ont vraiment du plaisir à faire des mathématiques jusqu’au jour où ils ont une expérience négative. Une mauvaise expérience vient probablement d’un mauvais enseignement ou d’un environnement où les gens ont peur des mathématiques. Mais la plupart des enfants que j’ai rencontrés trouvent les mathématiques très excitantes. Les enfants naissent curieux, et aiment explorer le monde autour d’eux. J’essaye de leur expliquer que les gens qui font vraiment des mathématiques éprouvent un réel plaisir, que c’est une chose passionnante. « 

 » Maintenant, quand vous faites des mathématiques à l’adolescence ou à l’âge adulte, vous devez affronter le fait de rester bloqué. Beaucoup n’arrivent pas à l’accepter. Certains trouvent cela très stressant. Même les gens qui sont très bons en maths ont du mal à s’y faire et ont un sentiment d’échec. Mais cela fait partie du processus naturel et vous devez l’accepter, apprendre à aimer ce processus. Oui, vous ne comprenez pas quelque chose sur le moment, mais vous savez que plus tard vous comprendrez – c’est une étape obligée. (…) Il ne faut pas en avoir peur, tout le monde doit passer par là. « 

 » Dans un certain sens, ce que je combats le plus est cette idée, que vous trouvez par exemple dans le film Will Hunting, que les maths sont un don et que vous avez ou non ce don. Mais, ce n’est pas du tout l’expérience des mathématiciens. Nous trouvons tous les maths difficiles ; en cela nous ne sommes pas différents de quelqu’un qui se bat avec ses exercices de maths au lycée. C’est vraiment la même chose. Nous sommes juste entraînés à gérer le combat sur une plus grande échelle et nous avons acquis une plus grande résistance intérieure aux revers. « 

 » Je pense qu’il n’est pas souhaitable d’avoir une trop bonne mémoire si vous êtes mathématicien. Vous devez avoir une mémoire un peu imparfaite parce que vous avez besoin d’oublier la façon dont vous avez abordé votre problème la dernière fois où vous y avez réfléchi. « 

 » La créativité est l’essence même des mathématiques. Je sais qu’en dehors du monde des mathématiciens, les gens ont des opinions diverses au sujet des maths, se disant « mais tout n’est-il pas déjà connu ? », ou bien « tout ne se déduit-il pas de manière mécanique ? ». Pas du tout, c’est extrêmement créatif. Nous trouvons des solutions complètement inattendues, que ce soit dans nos raisonnements ou dans nos résultats. Oui, pour communiquer nos découvertes aux autres mathématiciens, nous avons besoin de les rendre très formelles et très logiques. Mais ce n’est pas de cette manière que nous créons, ce n’est pas comme cela que nous réfléchissons. « 

 

 

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Le graveur de mathématiques

Hier, au Palais de la Découverte, j’ai été arrêtée par les gravures de Patrice Jeener, que je ne connaissais pas. J’ai vraiment trouvé très belles ses oeuvres. En voici quelques-unes, exposées sur la mezzanine du département mathématiques du Palais :

L’après-midi, au salon Culture et jeux mathématiques, paf, nous sommes tombés sur son stand, avec le monsieur en chair en en os. Et mon mari m’a offert trois de ses gravures, qui maintenant sont là, à ma droite, au mur dans ma salle à manger. Je suis très très contente…  Je les scrute, je m’y promène, je me faufile… Allez, je vous les montre :

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Parlons un peu de Patrice Jeener. Né en 1944, il a eu l’idée de ce qui est le travail d’une vie maintenant à l’occasion d’une visite au Palais de la Découverte… Il a été exposé à l’Institut Poincaré l’année dernière. Voici une vidéo qui parle de son travail, de son  » monde étrange  » :

C’est curieux, car plonger dans les oeuvres de ce graveur de mathématiques m’a fait avancer dans une réflexion qui me rattrape sans cesse. Depuis quelques semaines, il m’arrive, lorsque je fais des maths avec des élèves de lycée ou des étudiants à l’université, d’avoir un sentiment d’étrangeté terrible. Tout à coup, j’ai l’impression qu’une partie de moi s’est détachée et me contemple, perplexe : pourquoi fais-je des maths ? Quel est leur sens, au fond ? Que signifie vraiment cette activité mentale, intellectuelle, que représentent véritablement ces signes jetés sur le papier ? Comment se fait-il que je mette tant de moi, tant de conviction et de sincérité à expliquer des mécanismes dont la finalité m’échappe sans doute… C’est déstabilisant, car ce sont des pensées parasites, qui me déconcentrent et me déconcertent. La plupart du temps elles font irruption dans ma tête alors que je dois expliquer quelque chose qui n’est pas évident, qui me demande de vraiment réfléchir, et c’est pourquoi c’est encore plus embêtant. Contrairement à une phase il y a une dizaine d’année, cela ne me détourne pas du tout de l’exercice des mathématiques, du goût pour la discipline. Mais je m’interroge : est-ce une façon détournée pour mon cerveau de refuser la difficulté ? Est-ce à force de lire des bouquins sur les maths, de m’imprégner de l’histoire des maths et des mathématiciens, tout en contradictions, en ruptures, en querelles, voire en affrontements ?

En tout cas, hier, écrasée par la chaleur sous les tentes de la place Saint Sulpice, en regardant ces surfaces et ces courbes magnifiques et leurs équations, je savais pourquoi je fais des mathématiques : parce que ce monde-là est aussi un peu le mien, parce que je m’y sens bien, parce qu’il est beau, silencieux et vrai.

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Ma journée des maths à moi

Hier, nous sommes allés à Paris, mon mari et moi. Pour ma journée des maths rien qu’à moi.Cela a été une super journée. Je vous raconte (si, si).

Nous sommes partis en train très tôt, ce qui m’a donné l’occasion de commencer à lire deux bouquins sur les nombres qui attendent depuis un bon moment sur mon bureau :

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D’une part, j’avais envie de m’immerger dans les maths, dès le début de la journée. D’autre part, je réfléchis en ce moment à un dispositif de remédiation sur le nombre, pour les élèves arrivant au collège et en difficulté, et il me faut réactiver, apprendre et réfléchir. Comme notre train avait une fâcheuse tendance à s’arrêter dès qu’il rencontrait une gare, j’ai eu le temps de bien avancer les bouquins. J’ai relevé cette jolie citation de Lebesgue :

 » À aucune époque les mathématiciens n’ont été entièrement d’accord sur l’ensemble de leur science que l’on dit être celle des vérités évidentes, absolues, indiscutables, définitives. « 

Arrivés à Paris, nous avons rejoint le Palais de la Découverte, après avoir glandouillé un peu en sirotant du café frappé, parce qu’il était trop tôt. Je voulais revoir le département mathématiques du musée, et visiter l’exposition sur les probabilités.

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Je consacrerai un article sur cette exposition, pour pouvoir la présenter de façon approfondie.

Côté département de maths, il y a deux pôles, en gros : la fameuse salle π, que je vais pouvoir présenter à mes élèves demain, et une salle sur pavages et transformations planes. La salle π a surtout de l’intérêt pour des jeunes si il y a présence d’un animateur, d’autant qu’ils sont vraiment intéressants au Palais de la Découverte. Quant au pôle pavages et transformations, il y a des activités sympas à faire, avec des manipulations bien choisies. J’aurais eu mes cinquièmes sous la main, nous aurions passé un certain temps là.

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L’après-midi, nous sommes liés au salon culture et jeux mathématiques qui se tient place Saint Sulpice jusqu’à mardi. C’était un très bon moment, pendant lequel nous avons discuté, joué, navigué entre des passionnés.

Nous avons pu retrouver l’équipe de Navadra, toujours aussi souriante et sympa, et avec des projets de ouf : Navadra est en train de devenir un jeu en 3D !

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Pour l’avoir vu, ça rend vraiment bien ! Et ils ont encore des tas de projets en développement…

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Nous sommes rentrés bien fatigués, bien cuits, et j’ai des tas d’idées. Et puis demain, nous allons pouvoir changer un peu la déco de la classe et tester les nouveaux jeux !

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Des p’tits poèmes pour faire (aussi) des maths

La vidéo suivante provient de « Incl@ssables mathématiques », et elle est vraiment très sympa. Elle propose de réfléchir à l’oeuvre de Raymond Queneau (membre de l’OuLiPo) en mobilisant les arbres de dénombrement, les calculs de puissances et éventuellement la notation scientifique, et aussi les conversions d’unités. Il y a de quoi faire… Une idée d’activité pour l’année prochaine ?