Das Thema des heutigen Kurses
Ich freue mich darauf: Ich liebe es, Wahrscheinlichkeitsrechnung zu unterrichten !
Catégorie : Cinquième
Une discussion passionnante en 5e, ou comment conceptualiser le nombre le vendredi à 16h45
Rholala, il faut que je vous raconte. Il est 16h30, les élèves et moi enchaînons notre septième heure de cours, et c’est la dernière de la semaine. Histoire d’ajouter au confort, c’est leur deuxième heure de maths dans la journée. Histoire d’ajouter à la sérénité, c’est le jour de la photo de classe et il y a eu un incident perturbant pour une partie des élèves pendant l’heure précédente.
Au début de l’heure, il faut faire redescendre la tension et l’énervement. Alors je tangue entre fermeté et douceur, entre « on se tait, maintenant. » claironné avec vigueur suivi immédiatement par un « vous entendez le silence, là, ça fait du bien, non ? » chuchoté. Et puis je leur souris : « allez, on est tous bientôt en weekend et il nous reste une heure de maths. De maths ! C’est pas le bonheur, ça ? »
Je vois bien que certain(e)s ne sont pas aussi convaincus que moi. Mais par chance, ils sont sympas, bien élevés et respectent mon bonheur. Alors on y va.
D’abord, nous revenons sur une activité de distributivité de Jérôme Urvois, qu’il a bien voulu partager.
Les élèves ont reçu chacun un dé. Ils ont lancé le dé pour chaque variable, ont écrit la substitution numérique puis ont calculé en respectant les priorités de calcul. Cela closait notre étude des priorités, d’ailleurs. En même temps, ils ont complété un tableau d’effectifs pour relever les occurrences de chaque face du dé. Ainsi, sur une seule activité, j’ai abordé priorités opératoires, probabilités et calcul littéral. Ca a super bien fonctionné.
Aujourd’hui, nous revenons sur l’aspect proba, d’abord. Un élève me donne ses effectifs, et on est loin de la régularité. J’adjoins les résultats de cinq autres élèves, on se rapproche. Nous discutons : qu’est-ce qui se passe ? Qu’est-ce qui devrait se passer si on met dans notre feuille de tableur les résultats de tout le monde ? Nous faisons l’essai, c’est plus régulier encore. Nous évoquons finalement les probas comme modélisation idéale, limite, de situations statistiques.
Et puis nous revenons sur l’aspect calcul littéral : comment les élèves ont-ils fait pour des expressions qui contenaient des constantes, comme a+2b ? En fait, ça n’a pas été du tout intuitif pour eux : certain(e)s se sont demandé si puisqu’ils remplaçaient les a, b ou x par des faces de dés, il fallait faire la même chose pour des 2 ou des 7. Intéressant. Nous parlons aussi du cas où une même lettre réapparaît dans le même calcul : a+2(b+a), par exemple, doit-il amener à lancer le dé deux ou trois fois ? C’est fondamental, comme question, en fait, car cela touche au sens même de la lettre dans un calcul. Et puis les élèves me demandent : mais madame pourquoi on a le droit de relancer pour un autre calcul qui a les mêmes lettres ? Est-ce qu’on ne devrait pas garder les mêmes valeurs qu’avant ?
Bon là déjà je me dis deux choses :
- Cette activité est formidable et va me faire gagner un temps fou car les élèves sont en train de conceptualiser plutôt que de s’inventer des trucs et astuces pour survivre dans le calcul littéral ;
- Il est 16h30 et nous faisons des maths pour de vrai. J’adore.
Mais je ne suis pas au bout de mes bonheurs. J’avais prévu d’enchaîner sur une petite trace écrite sur le rôle de la lettre. C’était histoire de reposer les élèves, de finir en douceur après avoir tendu l’élastique de notre pensée. Faudrait pas qu’il claque, ce précieux élastique ! Mais nous avançons un peu vite car les élèves sont dedans et me mâchent le travail. Ils voient où je voulais en venir, la trace écrite se pose toute seule. Je vois qu’il me reste du temps. Calculer une expression connaissant les valeurs des variables ne leur pose pas de problème, ils ont l’air tout heureux et beaucoup de mains sont levées pour répondre. Alors je me dis (je m’en dis, des choses) tiens, si j’essayais ça… Je leur ai rappelé que par « longueur x largeur » ou « L x l » ils pratiquent depuis longtemps déjà le calcul littéral. Et le périmètre du cercle, tiens, c’est quoi pour eux ?
Alors bon déjà, plusieurs élèves se souvenaient de la formule. En soi, ça m’a surprise. Nous écrivons « π x diamètre », une élève propose « 2 x rayon x π », nous comparons les deux, convenons que c’est la même chose, je suggère d’abréger et nous écrivons « π x d » puis « 2 x R x π » avec des égalités partout, en explicitant pourquoi on peut écrire des égalités. Ils écrivent, je les regarde. Plusieurs sont fixés au tableau. Un élève se lance :
mais madame, π alors, c’est une lettre ? C’est comme d ou R ? Quand on met « π », on fait du calcul littéral ? Ou non parce que c’est presque comme si on mettait 3 ? C’est pas un chiffre, mais on peut pas mettre n’importe quoi à la place ? C’est quoi au fond ?
Alors là, c’était parti. Qu’est-ce que π ? π est-il un nombre, une lettre, un symbole ? Et d’ailleurs, π est-il infini ou « précis » ? Comment l’a-t-on « trouvé » ? Comment est-on sûrs que son écriture décimale ne s’arrête ni ne se répète ? Mon moment préféré c’est quand, après avoir regardé le mur de décimales de π et entendu que je me suis arrêtée de coller parce qu’on était au bout du mur mais que ça continue à l’infini, les élèves me voient tracer un cercle de diamètre 1m et annoncer que la longueur de ce cercle est pile-poil égale à π… Cela nous amène à distinguer ce qu’est un nombre de ses écritures. C’est hyper profond.
C’était vraiment chouette. Je suis contente. Il y a des journées où c’est difficile, ou bien des journées où on a l’impression de faire des cours de crotte. Et puis il y a des moments où tout est fluide. Je profite.
Ecrire les opérations
En cinquième, nous sommes en fin de séquence qui contenait (entre autre) les priorités opératoires. Aujourd’hui, nous avons travaillé la façon dénoncer un calcul. Par exemple, je dis aux élèves « la somme de 4 et du produit de 6 par 2 », et ils doivent écrire « 4+6×2 », ou bien si le leur dis « le produit de 4 par la somme de 6 et 2 » ils écrivent (en principe) « 4x(6+2) ». Ils sont plutôt bien compris du point de vue des priorités, mais je suis perplexe : plusieurs d’entre eux écrivent systématiquement des calculs de cette façon :
J’avoue ne pas trip savoir comment interpréter cela : ces élèves pensent-ils application à un nombre de départ ? Ou bien écrivent-ils « juste » dans l’ordre de ce qu’ils entendent, sans se préoccuper de savoir qi la phrase calculatoire a du sens en tant que telle ? Je pense qu’en entendant « le produit de 7 par la somme de 1 et 3 », ils se débarrassent du produit par 7 et ensuite isolent la somme de 1 et 3 en indiquant les parenthèses parce qu’ils la conçoivent comme une sorte d’entité, mais sans relier les deux. Je vais en discuter avec eux.
Bon, sinon, j’ai bien aimé ça : nous parlons le même langage je crois…
Etre ou ne pas être : telles sont les questions
J’ai proposé à une classe de 4e (la semaine prochaine ce sera l’autre 4e) et à deux classes de 5e l’activité Être ou ne pas être, qu’un collègue m’avait envoyée et qui m’avait plu. J’ai donné l’activité, reformulé plusieurs fois, laissé une dizaine de minutes et j’ai ramassé les productions des élèves.
Voici un rapide bilan :
- Plus de 50% des élèves de 5e citent les noms des points comme une donnée, contre 25% des élèves de 4e ;
- 8% des élèves de 5e identifient le parallélisme de (AB) et (EF), et un seul le justifie. En 4e, 20% des élèves le relèvent et c’est justifié plus d’une fois sur deux ;
- Un élève (de 4e) a calculé DB en supposant que le triangle BCD est rectangle. Un autre élève a vu BCD rectangle, mais c’est tout ;
- Plus de 25% des élèves citent « AE=ED=3cm » dans la question 2 ;
- Un peu moins de 10% des élèves ont calculé le périmètre de ABCD dans la question 2.
Je suis assez surprise, par différents points :
- Je n’ai vu aucun élève s’emparer de son équerre ou de son rapporteur. Je n’en ai même pas vu mesurer pour vérifier si la figure était en vraie grandeur. Je pensais vraiment que davantage d’élèves seraient en géométrie instrumentée ;
- Beaucoup d’élèves voient le quadrilatère ABCD, et pas seulement des « triangles collées » ;
- Une écrasante majorité d’élèves manifestent qu’ils passent d’une vision points à une vision lignes, et la vision surface est mobilisée explicitement pour plusieurs ;
- Les élèves ont le plus souvent réussi à fournir des réponses distinctes aux deux questions, et pertinentes.
Ce qui me surprend moins, c’est que les notations sont utilisées de façon vraiment youhou.
La semaine prochaine, nous allons synthétiser et débattre.
Une activité de 6e (ou de 5e) pour travailler gestion de données, proportionnalité et aires.
Pour finir ma journée, j’ai préparé une petite activité, pour des 6e et éventuellement des 5e en réactivation. Elle s’appuie sur un tweet (en fin d’article). Il s’agit de travailler la gestion de données, la proportionnalité et les aires. je l’ai placée en troisième période, dans la séquence qui nous amènera à modéliser l’aire du rectangle. En 5e, cela pourrait être n’importe quand, puisqu’il s’agit d’une réactivation, mais pas trop tard dans l’année.
J’aime bien ce type de tâche, car les élèves sont autonomes, en situation de résolution de problèmes, avec de multiples compétences engagées, et nous pouvons mener ensuite un débat contradictoire, puis construire une synthèse tous ensemble. Nous travaillons plusieurs notions et en même temps cela ne prend pas tellement de temps. Et puis c’est un document authentique et d’actualité.
Voici le tweet qui m’a donné envie de travailler ce support :
Projet cartographie
J’ai envie de faire un projet cartographie, et une nouvelle collègue d’histoire géo dans mon collège, qui est partante pour que nous travaillions ensemble. Je pense que ce sera en 5e, mais comme les services ont changé je ne suis pas sûre qu’elle aura ce niveau. Ce sera peut-être en 4e. Des collègues de lettres, arts plastique, éducation musicale, SVT et documentation sont dores et déjà ok pour des projets. Sans doute sciences physiques et technologie suivraient si cela colle bien à leurs programmes.
Je suis donc un peu dans le flou, mais en même temps j’ai besoin de me projeter (haha) pour pouvoir proposer quelque chose dès la rentrée. J’en ai discuté avec la partie historien-géographe de mon mari ce midi et je pense que je vais suivre son idée : à partir d’une carte réalisée par les élèves, d’un monde imaginaire, fabriquer la représentation sur un globe.
Les lettres pourraient produire de l’écrit de voyage. Les arts plastiques pourraient travailler sur la carte « à plat ». L’histoire-géo pourrait travailler les représentations du monde, les distances (comme on le fait en étudiant les parcours de migrants), les échelles. La SVT et/ou la SPC pourraient travailler rotations terrestres, saisons, géologie, systèmes solaires, etc. La techno pourrait réaliser le pied du globe, qui serait constitué d’une boule de polystyrène recouverte de papier. L’éducation musicale peut travailler sur les mondes imaginaires, par exemple, mais ma collègue aura des milliers d’idées de toute façon.
Et moi, je vois cela en plusieurs phases :
- Les différents types de projections : j’ai pas mal de ressources, de sites qui montrent ces projections et leurs avantages et inconvénients, les liens avec la représentation sphérique. Forcément on parlerait un peu géométrie sphérique, rholala zut.
- Le repérage : dans un plan, sur un pavé droit, sur une sphère. Nombres relatifs, coordonnées au programme.
- En fin de parcours, on transpose le plan « tout plat » fait dans la projection que les élèves auront choisie à l’étape 1, sur le globe. Et on voit s’ils ont réussi à tenir compte des déformations des cartes raplaplates pour obtenir ce qu’ils voulaient sur la sphère.
Je pense que c’est un projet relativement sobre pour moi : faire la carte prendra du temps mais peut être réalisé en partie en arts plastiques, et surtout sur les temps du midi ou les permanences passées dans ma classe. On travaillerait sur plusieurs domaines, et le but principal est de travailler les représentations, en l’occurence du monde. Cela nous ferait passer par de l’histoire, et de l’histoire des maths.
En 5e ce serait bien, mais en 4e je peux donner une autre ampleur u projet du point de vue mathématique, avec les théorèmes de Pythagore, de Thalès, un soupçon de trigo… Les deux conviennent cela dit.
Le sommaire du cahier de leçons de cinquième pour 2022-2023
J’ai remis d’équerre le sommaire du cahier de 5e. J’ai modifié quelques petites choses : trop de place par-ci, pas assez par-là, une erreur de numération de pages, et j’ai détaillé certains points comme les transformations (les élèves, lorsqu’ils cherchaient translations ou symétrie centrale dans le cahier, ne les trouvaient pas) ou les triangles semblables (je les avais intégrés à « angles et triangles » mais là aussi ils n’y avaient pas accès facilement).
Voici ce que cela donne :
J’ai toujours au moins une page de battement par domaine pour ajouter des traces écrites surprises, mais en 5e cela commence à être difficile de se cantonner aux 96 pages du cahier. Et en 4e, cela va être encore pire ; je vais devoir être plus synthétique.
Ma programmation de 5, 2022-2023
Entre une magnifique foire à tout et un petit coup de peinture dans la salle de bains de ma fille, j’ai calé ma programmation de 5e de l’année prochaine : c’était juste une réorganisation de celle de cette année. Demain je m’attaquerai au sommaire du cahier de leçons, qui devrait bouger un peu car j’ai manqué de certaines pages cette année.
Cette programmation me satisfait toujours moins que celle de 6e, sans que je sache au juste pourquoi. Mais celle-ci me paraît satisfaisante, sauf sur l’aire du triangle, qui arrive bien trop tard et que je m’arrangerai pour réactiver plus tôt, même si son institutionnalisation peut faire l’objet du dernier thème de l’année.
Mathe auf Deutch, 3. Teil
Après une première partie et une deuxième partie, nous voilà à la troisième étape de ce début de maths en allemand. Cette fois, c’est parti pour un peu de géométrie. Comme les élèves en auront déjà pas mal plein la tête, entrée en matière oblige, j’ai eu envie de passe par GeoGebra : c’est facile de changer la langue, les élèves vont se trouver face à du vocabulaire nouveau mais comme ils connaissent le logiciel, ils devraient s’y retrouver sans souci. Voici donc l’activité d’entrée :
La trace écrite reprend des icônes, mais en partie seulement, pour se focaliser sur ce qui va nous être nécessaire rapidement.
En automatisation, je pense continuer le calcul, en dictant des opérations, que ls élèves écrivent avec le résultat, et qu’ensuite ils verbalisent. Ou alors chaque élève propose une opération et les autres la traitent. En tout cas, l’idée est de leur permettre de continuer d’avancer pour pouvoir arriver bientôt à des problèmes, dans lesquels les nombres et le calcul ne soient pas des obstacles.
Mathe auf Deutsch, 1. Teil
Comme je l’écrivais hier, j’ai commencé à travailler ma programmation de maths en allemand pour les élèves de 5e qui débutent cette langue l’année prochaine. J’aurai une petite quinzaine d’élèves, une heure par semaine.
Du point de vue de l’organisation, je voudrais que toutes et tous suivent l’atelier sur la première période. Si ensuite des élèves veulent arrêter, parce que cela ne leur plaît pas ou parce que gagner une heure est important pour leur pêche (je suppose que cet atelier sera placé à 8h ou à 16h), elles ou ils arrêteront (mais bon, j’espère bien que non !). Peut-être des élèves de 4e pourront-ils participer, mais cela ajoute encore une contrainte sur l’emploi du temps déjà bien verrouillé en raison de l’existence de beaucoup d’options (ce qui est très bien).
C’est délicat, de débiter sans rebuter : il faut bien apprendre les bases, comme les nombres, mais en même temps il ne faut pas que je bourre le crâne de ces jeunes gens, ni qu’ils s’ennuient. Je voudrais faire attractif mais pas infantilisant. De la nouveauté aussi en maths mais pas de course d’obstacles non plus. Alors voilà comment j’imagine les choses.
D’abord, cette première partie ne correspond pas forcément à une heure. je ne sais pas où je vais, en fait, alors je l’accepte et on verra. j’ai découpé mes « séances » en des parties qui ne correspondent justement pas à des séances au sens du temps. Et je suis prête à tout bouleverser en direct si besoin.
- Je vais commencer par présenter l’atelier : pourquoi nous sommes là, comment nous allons travailler, ce que nous allons apprendre, pourquoi et comment nous allons l’apprendre. J’annoncerai qu’il n’y aura pas de devoirs, et là cela devrait déjà détendre tout le monde. Il y aura une ligne dans le bulletin pour une appréciation, et mentionner que les élèves ont suivi cet atelier. Si tout va bien, il sera pérenne, toujours à raison d’une heure par semaine, les années suivantes, en triple niveau (5e-4e-3e) au final.
- Ensuite, je distribue à chaque élève son cahier, tout droit venu d’Allemagne, avec de l’allemand écrit dessus. Je trouve ça très très chouette d’avoir un cahier allemand. Je suppose que les élèves vont vouloir savoir ce qui est écrit, qu’ils vont découvrir les pages à petits carreaux et les pages à lignes, qu’ils vont me demander ce qu’ils peuvent écrire en allemand pour faire une présentation, ce qu’ils pourront faire pour la fois suivante (naaan, c’est pas des devoirs, c’est pour le plaisir et c’est pas obligé).
- Nous allons coller la première trace écrite : les nombres de 0 à 10. Nous allons les lire, les dire, nous entraîner un peu. Mais tranquille. Nous allons nous attarder un tout petit peu sur « ganze » : pourquoi préciser les nombres « entiers » ? Parce qu’il en existe d’autres… Nous allons parler discret et continu, comme ça en passant.
- Ensuite, activité : à quoi sert d’étudier les nombres si ce n’est pas pour calculer ? Alors juste trois mots : plus, minus et gleich, et en route pour du calcul qui mobilise nos nouveaux mots-nombres allemands. Il y a beaucoup de triangles de calcul, pour que chaque élèves, s’il en a envie, puisse lire les calculs de l’un d’eux. Mais on peut aussi en laisser de côté, pour plus tard.
- Deuxième partie de l’activité : des maisons de calcul. Là, je dis les nombres à écrire dans les cases de gauche, et les élèves doivent reconnaître (mais on prend le temps, on a la trace écrite, on vérifie bien, on sécurise), puis je donne le calcul à effectuer, et les élèves remplissent et oralisent. Cela me fait de la compré orale et de l’oral. Progressivement et je pense naturellement, nous arriverons à des relatifs. Sans m’appesantir (je vais aussi étudier les relatifs avec toute la classe de 5e dans laquelle sont regroupés ces élèves), nous allons manipuler une nouveauté et envisager le signe « – » de deux façons différentes : dans 2-3 et dans -1, il porte un statut différent.
Et voilà. Première partie achevée.
C’est déjà pas mal, non ?
Pierre Carrée 