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Dix millions mille dix

Lorsque Stella Baruk est venue pour sa conférence en Normandie (je l’ai relatée ici, ici et ), elle nous demandé d’écrire en chiffres le nombre « dix millions mille cent ». En cherchant une question d’écriture en chiffres à partir du nombre énoncé verbalement, j’ai repensé à sa proposition, mais je ne m’en suis pas souvenue correctement. Je ne me suis souvenue que de la présence de millions et qu’on n’entendait ni « un », ni « zéro », alors qu’on n’écrit que ça. Ma question à nos élèves a donc été celle-ci :

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Cette question s’inscrit dans une première proposition d’évaluation diagnostique, en sixième, dans le but de déployer un dispositif de remédiation le plus précoce possible, dans des collèges de Fécamp. Pour tester ce test je l’ai fait passer à mes élèves avant les vacances. Et hier, je l’ai corrigé. Rapidement, la question ci-dessus a attiré mon attention. Et pour cause : 27 propositions différentes si on ne considère que la succession de chiffres, et 38 si on tient compte de la façon de place les espaces. 25 réponses justes parmi 65 recueillies.

Je ne crois pas que ce soit anodin. Je ne m’attendais d’ailleurs pas à autant de richesse dans les réponses, dans les erreurs : les élèves de cycle 3 ont des difficultés à concevoir et écrire les grands nombres, d’accord. Ils ont du mal à se concentrer sur cette suite de chiffres à écrire pour passer du verbal à l’écriture chiffrée, surtout. Et cela parce qu’ils conçoivent mal le nombre. Regardez un peu :

Or, mes élèves sont de jeunes gens futés, qui savent déjà des tas de choses, et de bonne composition. Là, en plus, je leur ai expliqué qu’ils m’aidaient à aider des élèves d’ailleurs, qu’ils étaient mes petits cobayes, et ils se sont livrés à cet exercice de 13 questions très sérieusement.

Ils se trompent pour une très bonne raison, une raison robuste : ils n’ont pas fini d’acquérir des  concepts, qui leur permettent de passer mentalement d’une représentation du nombre à une autre. Ils se trompent parce que le concept lui-même de nombre, au coeur de tout ceci, est complexe. Leurs enseignants, moi  y compris, ont fait de leur mieux. Pourtant, tous ensemble, nous n’y sommes pas encore parvenus. C’est sans doute en se mettant le nez dessus, tout près, comme sur ces extraits de copies, et en abordant la question encore, encore et encore avec les enfants que nous réussirons. Et ce n’est ni annexe, ni anodin : comment certains des élèves qui ont produit les réponses que j’ai présentées en photo peuvent-ils se représenter leur environnement, lorsque celui-ci est autant quantifié, mesuré, décrit en chiffres ?

Chacune de ces réponses à précieuse. Par exemple, celle-ci est d’une grande logique : « dix millions mille dix, j’entends trois fois « dix », avec les « classes de l’école » : millions, milliers, et j’entends rien donc c’est la classe des unités. J’écris mes trois « 10 » :

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Et celle-ci, illisible tellement cet élève s’est trituré les neurones. Regardez sa production, et imaginez ce qu’il a dû vivre et ressentir, pendant un court instant :

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Je trouve que devant cette réduction, on ressent l’exclusion que peut représenter la non compréhension de la numération.

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Il est temps d’apprendre ses leçons

Mes chers élèves,

Je vous écris ce petit article, rien que pour vous, pour vous rappeler que mercredi 3 mars (soit dans une semaine et un jour), nous serez interrogés sur cinq questions de leçon : des questions sur les pages du cahier concernant l’arithmétique (les critères de divisibilité et les nombres premiers) et des questions sur les polygones particuliers (carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, etc.).

Je vous rappelle également que si vous ne savez pas votre leçon, vous allez passer du temps avec moi, le lundi et le vendredi, de 16h à 17h, jusqu’à ce que vous connaissez les notions sans lesquelles vous allez être en difficulté. Vous pouvez appeler ça une punition si vous voulez, ou des heures de retenue, mais c’est bien plus constructif que ça en fait. Je vais vous réapprendre à apprendre, s’il le faut.

Ainsi, soyez raisonnables, éteignez cette console, posez ce ballon, garez ce vélo et lâchez ce téléphone, au moins dix minutes chaque jour d’ici à lundi, pour apprendre.

C’est beau, vous savez, d’apprendre. Parce qu’après, on sait. Et savoir, c’est vraiment chouette. Ca rend plus grand, plus libre. Et ça permet de rentrer plus tôt chez soi le lundi et le vendredi.

Unknown

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A chacun ses mathématiques

Dans un article de la BBC (assez mal traduit), Clara Grima, enseignante et chercheuse espagnole, auteur de « May mathematics be with you ! », s’interroge sur la « mauvaise réputation » des mathématiques. Selon elle, à l’instar de stars, de personnalités,

Les enfants apprennent à détester les mathématiques avant de les étudier, parce que c’est dans l’environnement, dans la société.

Clara Grima promène avec elle des souvenirs de maths. De bons souvenirs, qui évoquent la beauté des maths, qui renvoient au plaisir de comprendre. Mais elle-même dit ceci :

La première chose que les mathématiques m’ont donnée a été une dose d’humilité : mon orgueil et mon ego ont été traînés dans la boue de façon cruelle, parce que je n’étais pas aussi bonne que je le pensais.

Voilà qui est violent ! Serait-ce « simplement » ça, le pivot de l’attrait ou du dégoût pour les _110721737_81vwapox-sl-1maths : ce moment où elles restent opaques, ou l’on sent que le concept domine notre esprit, où il faut fournir cet effort qui nous emmène plus loin en nous ? Cet effort nécessite d’y croire, et d’accepter d’échouer quand même. Il exige d’être tenace, de remettre en cause ses croyances, d’être prêt à s’être trompé.

En cela, l’attrait des maths ressemble à celui pour les arts. À ceci près qu’on peut ressentir la beauté d’un morceau musical, en être ému aux larmes, sans savoir jouer soi-même de l’instrument. On peut être bouleversé par une oeuvre sans être capable d’en produire une. Mais comprendre la beauté d’une démonstration dépasse la perception de la beauté artistique, et demande une part de compréhension, et de savoirs.

Finalement, pour accéder à la beauté des maths, c’est vrai qu’il faut des efforts spécifiques. Il faut en avoir vraiment envie, ou peut-être y être obligé, mu par un autre projet.

Lorsque je repense à ce qui m’a fait aimer les maths, je n’arrive à rien cerner, dans mon histoire, qui serait un moment-clef. Je me souviens, toute petite, aimer expliquer, aimer aider mes camarades, les « rendre contents » d’avoir compris, soulagés d’un fardeau scolaire. Mais je me suis davantage tournée vers les maths parce qu’elles me résistaient, je crois. Je devais travailler, en maths. Pour ne pas toujours réussir. Alors qu’en langues, en français ou en philo, j’obtenais d’excellents résultats sans fournir d’efforts conscients. Serait-ce de l’orgueil, voire de la vanité, qui m’aurait amenée aux mathématiques ?

Au sortir du lycée, j’ai hésité : prof, oui. Mais de quoi ? D’allemand, j’aurais aimé. Mais j’étais si timide, comment imaginer donner envie de parler à voix haute une langue étrangère devant un groupe ? De lettres classiques, aussi. Mais le latin et le grec, que j’aimais tant, déclinaient déjà sérieusement. Et pour la grande lectrice que j’étais, je ne voyais pas de moyen, dans le cadre scolaire, de transmettre le goût de la lecture. Et puis les maths. Pourquoi pas les maths ?

Je trouvais ça beau, quand même, les maths. Avec un quelque chose d’indéfinissable, de particulier. J’avais eu la chance d’avoir un vieux monsieur, en terminale, qui devait avoir près de quatre-vingts ans, qui succédait à sept ou huit remplaçants. Il n’avait pas vraiment traité le programme. Mais il nous avait parlé de groupes, d’anneaux, d’homomorphismes. Alors bon, nous n’étions pas au top sur les notions curriculaires (à l’exception des nombres complexes, que chaque remplaçant nous a fait étudier. Là, nous étions au point), mais il m’avait ouvert une porte. J’avais rencontré l’absolu de l’abstrait, le toucher vaporeux du concept, j’avais bien conscience de tout ce que j’ignorais, de ce que je ne voyais pas de ces mathématiques mystérieuses. J’avais aussi ressenti, avec le premier prof de l’année, décédé prématurément, le vide devant une tâche inaccessible, et, après des heures de travail acharné sur un terrible devoir, sans doute pas malade larmes de rage et de nuits courtes, le début de la sensation profonde de compréhension.

Sur ce devoir, le premier de l’année, sur la résolution générale des équations de degré 3, il avait annoncé : « je rends les copies dans l’ordre décroissant des notes. Je commence . Mademoiselle Lommé, 7. C’est minable mathématiquement mais on pourra faire quelque chose de vous. Et puis au moins vous avez réfléchi vous-même. Ça se voit… » (ton condescendant). 30 ans après, je m’en souviens. Et curieusement, j’avais été flattée. Je m’étais dit « c’est vraiment un imbécile », j’avais mis ça sur l’immense pile de ce que je ne voulais surtout pas devenir comme enseignante, et je m’étais remplie d’énergie. Le « minable » ne m’avait pas blessée. Curieusement, j’avais ressenti l’envie de défi, de me dépasser.

Alors des maths.

Ce choix fait, j’ai découvert des mathématiques. J’ai découvert que je n’en découvrais toujours qu’une partie. J’ai découvert avec délice la topologie, l’algèbre, la théorie de la mesure, et avec moins de délices le calcul différentiel et les statistiques. J’ai adoré passer des heures à réfléchir, à m’accrocher, dans ma chambre d’étudiante, à chercher à comprendre, encore et encore, à répéter des gammes jusqu’à ce que cela en devienne naturel. J’ai adoré devenir compétente, passer les examens avec succès, acquérir une musculature mathématique pourtant bien légère, mais qui me nourrissait. J’ai goûté avec bonheur les démonstrations étalées sur trois cours de plusieurs heures chacun, et je pouvais me lever très tôt pour reprendre la partie précédente, pour ne rien perdre au spectacle.

Et pourtant, je n’ai pas eu envie de faire des maths au-delà. Je voulais les enseigner. Partager. Être prof, simplement.

Et puis au bout de dix ans d’enseignement, j’ai eu un ras-le-bol terrible des maths. J’avais envie de changer de discipline, de me tourner vers le champ littéraire.

Comme souvent dans les moments importants de ma vie professionnelle, ce sont mes IPR qui ont joué les bonnes fées (si, si.). L’ouverture d’une classe euro dans laquelle je pouvais enseigner les maths en allemand, l’association avec une formatrice de lettres (qui m’a appris à former tout court, d’ailleurs) pour animer partout des formations à l’aide individualisée en maths et français conjointement… D’accord, je pouvais faire des maths, à fond, mais pas seulement. Des maths, mais dans la vie.

Ma vie a changé. J’en ai profité pour partir en collège. Là, portée par tout ce que je construisais de nouveau, j’ai retrouvé très profondément le goût des maths. J’ai assumé pleinement ma passion pédagogique, puis didactique. J’ai dû aller fouiller loin dans les savoirs, les pratiques, pour comprendre et à mon tour transmettre. Plus seulement les mathématiques, mais comment on les comprend. Comment on les aime.

Clara Grima dit :

Je suis docteur en mathématiques et je ne peux pas diviser un nombre à trois chiffres ou calculer une racine carrée dans ma tête. La beauté des mathématiques est de penser, c’est de faire quelque chose que les machines ne savent pas faire.

Moi, je ne suis pas docteur en mathématiques, et je peux calculer ce qu’elle propose si le choix des nombres n’est pas trop désagréable. Mais je pense que ma beauté des mathématiques n’est pas liée à leur utilité en termes d’efficacité, de performance de machines.

Ma beauté des mathématiques à moi est liée à la sensation de liberté. Celle que confère la compréhension du monde, celle que confère la compréhension intellectuelle.

Et elle est liée au bonheur de les transmettre, ces magnifiques mathématiques. Finalement, ça, ça n’a pas changé depuis mon CE1 : mes mathématiques me permettent de rendre les gens contents, en les partageant.

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Bilan : ma programmation en sixième

Bon. Nous n’avons pas chômé, avec mes loulous de sixième, mais j’ai l’impression d’avoir encore des tonnes de choses à faire. Et l’année est bien avancée. En plus nous avons des projets qu’il faut travailler aussi. Alors là, il faut que je fasse le point. Ca me chatouille trop le cerveau.

Les attendus de fin de cycle, d’abord.

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C’est un peu ingrat, comme bilan, car certains concepts tiennent en une ligne et ont demandé des heures de travail : tout le travail autour de la proportionnalité, autour de la fraction.

Mais bon, ce qui me reste n’est pas si volumineux, parce qu’à part le cercle et le disque, nous avons déjà tout réactivé :

  • les décimaux, qui sont largement entamés en fait. Dans ma programmation, les pourcentages vont avec ;
  • Aires, puis volumes, qui arrivent juste après et ont été préparés ;
  • Le cas du cercle et du disque, un peu à part ;
  • La symétrie axiale, avec surtout la médiatrice ;
  • Une activité sur les échelles, avec une belle photo aérienne de Dieppe.

Si je quantifie ce dont j’ai idéalement encore besoin, il me faut :

  • 14 heures pour décimaux-pourcentages-échelles ;
  • 9 heures pour les aires et les volumes ;
  • 4 heures pour cercle et disque ;
  • 6 heures pour la symétrie axiale .

Autrement dit, il me fait 31 heures d’enseignements, plus 6 heures de rallyes, 6 heures de projet.

Ca fait 43 heures.

Bien. Maintenant je compte ce qui me reste avec mes classes. J’ouvre Pronote. Je compte. Semaine après semaine. Je passe les jours fériés, les jours où je serai convoquée pour des formations académiques, nationales, pour être jury de CAPES, et deux sorties.

Et là, voilà :

  • 43 heures en sixième 1 ;
  • 44 heures en sixième 2 ;
  • 42 heures en sixième 4.

Wouhou. Pile. Mais comme j’ai prévu large dans mes besoins, je pense que ça le fait.

Et ça c’est avec 6 heures de projet, ce qui est plutôt pas mal.

Bon, il ne fait rien relâcher, mais on tient le bon bout. Je peux rester sereine.

Biiiiiiiieeeen. Je vais faire des frites, tiens.

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Résoudre des problèmes en cycle 1 (avec du M@ths en vie dedans)

Pendant cette période, je suis allée souvent en maternelle. C’est bien, car cela manquait à mon répertoire d’action. En particulier, j’ai travaillé sur des problèmes. Mais comment amener des élèves de maternelle à travailler à la résolution de problème, sans recours à l’écrit, avec des rapports sociaux en construction et un lexique de petit enfant ?

Voilà ce que j’ai proposé aux collègues, et je suis contente de la mise en oeuvre. Il s’agit d’une modalité de problèmes épistolaires, mais au sein de la même école (ou pas, d’ailleurs) :

Etape 0 : je projette ou j’affiche une photo issue de M@ths en vie, choisie parce qu’elle me donne plusieurs idées de consigne de problème. Par exemple, de l’algorithmique :

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Ou bien de la géométrie :

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Ou des nombres et du calcul :

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Étape 1 : je demande aux enfants de décrire, le plus précisément possible, ce qu’ils voient. En général, ils font émerger le vocabulaire nécessaire, et aussi du vocabulaire qui n’est pas bien adapté, ce qui est tout aussi intéressant. Ils évoquent beaucoup les couleurs, et, surtout, ils inventent et brodent. Et ça, c’est la première partie de mon travail, en termes d’objectifs : leur faire comprendre que nous allons faire des mathématiques, inventer des consignes que nous proposerons à la classe d’à côté, et que pour ça, il va falloir être explicite. Oui, en maths on imagine et on crée, mais si on veut inventer des questions qui feront réfléchir les copains, il va falloir se plier à quelques règles, histoire de se comprendre les uns les autres.

Cette étape ressemble à une usine à gaz. Ca patine, on avance, on régresse, on réavance, on formule, reformule et re-reformule les contraintes et les objectifs, et au final ça marche et l’enseignant et moi sommes tout heureux. Mais ça prend un temps vraiment important, en tout cas pour qui n’est pas habitué aux classes de cycle 1. Ce n’est à mon avis pas du tout du temps perdu : les échanges, s’ils ne sont pas uniquement mathématiques, portent justement sur le langage, les interactions entre les enfants, sur les normes scolaires et sur ce que sont les mathématiques, et tout ça est utile et nécessaire. Et c’est la vie de l’enseignant, particulièrement en cycle 1 : éveiller, faire apprendre la vie dans son ensemble.

Étape 2 : les enfants proposent des consignes. S’ils n’ont pas d’inspiration ou n’osent pas, on peut en proposer, nous les grands, avec des consignes valides et d’autres invalides. Cela libère bien la parole. Et ensuite, une fois les propositions listées, on catégorise. Qu’est-ce qu’on garde, qu’est-ce qu’on remise ? Qu’est-ce qui correspond à un problème de maths ? Parfois une proposition de consigne donne un problème sans solution, ou à multiples solutions. Souvent, on garde : ce sera un matériau riche pour les élèves et l’enseignant de la classe réceptrice.

Étape 3 : une fois les problèmes choisis, on les résout. Par groupe, en général, après une phase de recherche individuelle. En une fois ou en plusieurs fois, mais en tout cas les enfants sont lancés, et ils commencent à adorer ça : non pas les problèmes (comme dirait Gad El-Maleh), mais résoudre des problèmes.

Étape 4 : c’est presque terminé : les problèmes sont construits, formulés, résolus. On les hiérarchise, du plus simple au plus complexe. Les enfants ne sont pas toujours d’accord entre eux, mais surtout ils me font comprendre ce qu’ils ressentent comme difficile. Ca, c’est très très intéressant.

Étape 5 : on apporte nos problèmes aux copains.Ils les résoudront eux-mêmes, et nous renverront leurs solutions, et leurs commentaires. Puis nous nous rassemblerons, pour synthétiser, et réfléchir encore une fois aux deux questions : c’est quoi faire des mathématiques ? C’est quoi, un problème, en mathématiques ?