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Tu veux 245 bonbecs ?

Ces deux dernières semaines, j’ai proposé de nouveau un exercice d’estimation. L’année prochaine, je voudrais en proposer un par mois. La mission des élèves qui souhaitent participer est simple : combien ce vase contient-il de bonbons ?

Après deux semaines de concours (avec proposition unique pour chaque participant), nous avons aujourd’hui délivré la réponse : il y en avait 245. Ce n’est pas une approximation : Laura et moi avons vraiment dénombré les bonbons à l’unité près.

Ce qui est intéressant, c’est de suivre les démarches des élèves : il y a ceux qui y vont tout à fait à l’arrache et vous annoncent 70 ou 2300, il y a ceux qui commencent à compter et fatiguent alors y vont à la louche, il y a ceux qui calculent le volume de bonbons en mesurant le diamètre et la hauteur, estiment le volume d’un bonbon (pas facile, car pas le droit de bouger le vase et pas de bonbon à dispo) et en déduisent une bonne approximation, il y a ceux qui comptent le nombre de bonbons de l’étage du dessus et le nombre d’étages (en général c’est plutôt bien aussi), ceux qui « calculent les tranches verticales et multiplient », quoi que cela veuille dire précisément. Et il y a la démarche de Quentin, que je garde pour la fin, tant elle est pépitesque.

Bon, résultat des courses, nous avons 2 premiers (un élève à -1 et une collègue à +1), 5 deuxièmes (quatre à +5, un à -5) et un troisième (237). Tous vont gagner des bonbons du vase. Et nous allons recommencer, avec Laura, mais avec un autre type d’objet. Nous avons pas mal d’idées pour faire grimper le degré de difficulté au fur et à mesure… Nous allons bien travailler l’estimation lr’année prochaine, davantage dans une idée de progression que dans l’événementiel seul.

Là, la semaine prochaine, nous confronterons les démarches pour faire débattre les élèves sur leur validité, leur efficacité, leur simplicité. Je vais m’appuyer sur les productions écrites que certains élèves m’ont apportées :

Et pour finir, comme promis, la démarche de Quentin, tellement bien mise en forme, en plus… Une démarche expérimentale, une démarche théorique… Quentin est allé acheter des bonbons identiques, d’ailleurs, pour trouver une solution à sa façon. Lui qui écrivait si peu ses démarches, je suis tellement contente de lire sa production !!! D’ailleurs, il ne le sait pas encore (sauf s’il lit le blog, mais je l’ignore), mais il a beau ne pas être dans le top 3 des résultats, il va avoir aussi ses bonbons, pour la plus belle exposition de démarches que j’ai reçues :

Rholala, ce que c’est chouette !

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Regards de géomètre normands : bravo !!!

Cette semaine est exposée la première de Regards de Géomètres en Normandie, à l’Université des Sciences de Rouen, à Saint-Etienne du Rouvray. Voilà un magnifique travail, réalisé par quatre classes, porté par leurs enseignants, les intervenants et organisateurs de Regards de Géomètre, et tout particulièrement Nadine Amosse, qui a porté tout le projet académique !

Pour ma part, j’étais référente avec Nadine au départ, mais je n’ai pas réussi à tenir la distance : cette année de restructuration professionnelle pour moi (puisque j’ai cessé mes activités de formation mais que je me suis engagée dans de nouveaux projets) a aussi été celle des choix et des rééquilibrages. Et puis il y a des choses que je ne sais visiblement pas faire, en particulier côté organisation et logistique. Mais j’espère pouvoir continuer de collaborer autrement avec Maths en Scène et Regards de géomètre.

En tout cas, bravo Nadine, et merci !

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Thalès comme une fleur

J’avais une angoisse : allais-je avoir le temps de faire comprendre l’égalité de Thalès à mes élèves de quatrième ? Mon pari, c’était d’attendre la toute fin de l’année, une fois vus les réactivations sur les angles (correspondants), les triangles semblables, les agrandissements-réductions, les égalités de fractions et le produit en croix. Je m’étais dit : cocotte, si tu as bien travaillé, ça doit couler de source.

La semaine dernière, nous avons fait une séance en salle info, dont une partie consistait, de façon très classique, à construire une configuration de Thalès emboîtée et à observer l’égalité des rapports.

Au terme d’une séance assez épique, les élèves avaient, dans leur très grande majorité, formulé un lien logique de « les droites sont parallèles » vers « les rapports sont toujours égaux entre eux ».

Là, j’ai demandé de me restituer la configuration dans laquelle nous nous étions placés. Les élèves ont su : deux droites sécantes, deux droites parallèles entre elles sécantes aux deux premières. Que voyez-vous ? Ai-je demandé. Dans l’ordre, j’ai obtenu :

  • des lignes qui se coupent ;
  • des triangles dont un par-dessus l’autre ;
  • un truc moche (sci) ;
  • un triangle et un parallélogramme ;
  • non, un triangle et un trapèze ;
  • des points alignés d’un côté et des points alignés de l’autre.

J’étais contente des différentes visions mobilisées, d’autant que certains élèves sont capables de mobiliser plusieurs visions. J’ai annoncé que nous allions nous pencher sur les deux triangles, PAF et POC. Que peut-on dire de PAF et POC ? Très vite, des élèves m’ont parlé d’agrandissements-réductions. Mais pourquoi ? Ai-je demandé ? Comment le savez-vous ? Et là, bonheur : ils ont été plusieurs à répondre « parce qu’ils sont comment on dit, déjà… Semblables. » Ouhlala, j’étais contente que le mot et le sens de « semblable » remonte : nous craignons toujours que les élèves oublient au fur et à mesure ce que nous leur apprenons. Mais pourquoi sont-ils semblables, ai-je réinterrogé ? Fastoche : « les angles de PAF et les angles de POC, ils ont la même mesure parce qu’il y en a un qui est dans les deux triangles et les autres c’est des angles correspondants mais avec les parallèles ils sont égaux ».

Là, je me suis dit qu’on allait avancer beaucoup plus loin que prévu.

Nous avons reformulé, et j’ai demandé : mais pourquoi je vous amène là ? C’est quoi mon but ? Rebelote, plusieurs élèves concluent : « bah si ils sont semblables les longueurs sont proportionnelles et donc il y a un nombre qui multiplie les côtés de POC pour trouver ceux de PAF ». Puis un ange passe, et « Aaaaaaah, c’est pour ça que quand on divise ceux qui vont ensemble ça fait le même nombre, c’est le coefficient d’agrandissement-réduction-truc-muche ! »

Nous avons ensuite exemplifié et reformulé. Puis nous avons commencé à voir à quoi ça va servir tout ça, avec quelques cas concrets et des exemples d’exercices de DNB. Pour finir, un exercice a été réussi… Par TOUS les élèves !!! Wouhouuuuuu !!!

La fois prochaine, je voudrais continuer de développer la mise en forme, avec l’émergence des hypothèses indispensables, institutionnaliser et entrevoir contraposée et peut-être réciproque.

Mais je suis soulagée et vraiment satisfaite : je voulais donner de la cohérence, je crois que c’est réussi. Cela me conforte dans l’idée qu’une programmation ciselée, c’est fondamental.

Ca fait du bien, parce que dans l’année, je n’ai pas tout réussi, voyez-vous. Alors je me régale des victoires.

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Un nombre, il peut faire autrement qu’être relatif ?

Dans la catégorie question intéressante, en voilà une pas mal, posée aujourd’hui par un élève de quatrième. Je venais de dire : attention à l’ordre dans les négatifs, il est inversé. Par exemple, -4< -3 alors que 4 > 3. J’en profite : comment appelle-t-on ces nombres au fait ? Un élève me répond : un entier relatif, il est positif ou négatif. Et là, un autre élève lève la main et me dit : « mais madame, pourquoi on précise relatif finalement ? Un nombre, il peut faire autrement qu’être relatif ? »

Alors nous avons redéfini les entiers relatifs, et là les élèves en connaissent des tas qui n’en font pas partie, comme -2,6 ou 5/3. Mais ce n’était pas la question de fond de l’élève qui avait posé sa question : ce qu’il voulait savoir, c’est s’il existe des nombres dont on ne peut pas dire qu’ils sont positifs ou négatifs. J’ai interrogé mon élève : « tu crois que c’est possible ? » Il m’a répondu oui, parce qu’il y a des tas de choses qu’on n’imaginait même pas et maintenant on a compris, alors peut-être.

Je n’ai pas pu résister : j’ai parlé des imaginaires (et des complexes). Il m’avait vraiment tendu la perche, je ne pouvais pas résister. Cela nous a permis de réactiver la règle des signes, et d’ouvrir une porte. Evidemment, nous n’y avons consacré que quelques minutes et c’était vraiment juste une évocation, mais j’ai beaucoup aimé que les élèves ne rejettent pas l’idée d’autres nombres, qui leur sont totalement inconnus.

Ils m’auront fait consommer de l’énergie, mes zozos de quatrième. Mais ils ont un beau potentiel de des acquis intéressants.

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π

Aujourd’hui, nous avons institutionnalisé en 6e ce que nous avons appris dans l’année sur π. C’était l’occasion que les élèves expriment leurs représentations, que j’aborde dans l’ordre de proposition de ce matin :

π, c’est un chiffre infini ?

Bon alors non, π n’est pas un chiffre. C’est un nombre. C’est vraiment un nombre. Le fait qu’il soit désigné par une lettre grecque (le p grec de périmètre, après simplification de pi/delta pour exprimer le coefficient de proportionnalité entre périmètre et diamètre).

Côté « infini », c’est une belle illustration de verbalisation pas facile. Dire « π, il est infini » semble signifier qu’il a une « valeur infinie ». Or π a une valeur précise, comprise entre 3 et 4. On ne peut donc pas prétendre qu’il est « infini ». On peut dire que « en écriture décimale, π a une infinité de décimales ». Et là, mieux vaut préciser dans la foulée que ce n’est pas un nombre décimal, mais qu’il a une écriture décimale, impossible à retranscrire en entier cependant « pour de vrai ».

π, il a des chiffres qui se répètent ?

Dans l’écriture décimale d’une fraction, il y a une période :

Dans l’écriture décimale de π, il n’y a pas de période. Pour autant, forcément on retrouve plusieurs fois chaque chiffre, voire certaines successions de chiffres, mais sans régularité. π ne peut pas s’écrire sous forme de fraction, et oui, on en es sûrs parce qu’on l’a démontré. C’est un nombre irrationnel : il ne peut pas s’écrire sous forme d’écriture fractionnaire avec des entiers au numérateur et au dénominateur.

π, c’est quoi son dernier chiffre ?

Il n’y en n’a pas, puisque son écriture décimale est infinie. Vraiment infinie. Elle ne s’arrête pas. Elle continue toujours.

T’as compris, là ? 🙂

Mais π il est pas précis, alors ?

Si. Trace un cercle au tableau de diamètre 1 mètre, et paf, sa longueur (donc son périmètre) est égal à π mètres. π est la notation qui désigne ce nombre, « le nombre du cercle » comme m’ont dit des élèves. C’est un nombre précis, mais qu’on ne peut pas écrire en écriture décimale finie. Ah, je l’ai déjà dit ? 😉

π, on l’a inventé ou on l’a découvert ?

Non mais je vous assure, quel plaisir d’entendre cette question… Je l’ai retournée à la classe : qu’en pensez-vous ? Après discussion, les élèves se sont mis d’accord : on l’a découvert, il existe sans nous. On peut l’ignorer, mais le périmètre d’un cercle est toujours égal à π fois son diamètre.

Mais finalement, ça sert à rien toutes ces décimales, non ?

Là encore, j’ai laissé les élèves exprimer leurs points de vue. Finalement, leur conclusion est qu’au quotidien, non, ça ne sert à rien : approximer π à 3 est la plupart du temps suffisant. En cas de nécessité d’une grande précision, on peut toujours utiliser des décimales, mais 10 000 c’est excessif. Mais les élèves ont aussi dit que d’un autre côté, c’est bien de savoir qu’on est capable de connaître un grand nombre de décimales, parce que c’est « de la culture » et « un défi ».

Le mur de π

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Graduer

L’inconvénient de la chaleur, c’est qu’on dort mal. L’avantage, c’est que ça donne du temps pour réfléchir (enfin bon, faudrait pas que ça dure trop, car sinon je vais moins bien réfléchir d’ici peu). En tout cas, cette nuit, j’ai réfléchi à quelques productions des CP hier sur la réalisation du plan. Je vous rappelle le nôtre, de plan, à Marion et moi :

Etape 1 : on se déplace dans un parcours en vraie grandeur, en vélo/trottinette, avec pour objectifs de mobiliser gauche et droite, d’appliquer les consignes de sécurité routière (roule à droite, marque le stop en regardant bien des deux côtés avant de t’engager, ne recule pas en plein milieu de la route, etc.), et de commencer de mémoriser le plan du parcours, en actes.

Etape 2 : on reconstruit le parcours, on se reballade dedans en véhicule, et on en fait un plan à main levée, en se promenant dedans.

Etape 3 : il s’agit d’enrichir le plan de mesures. Alors zou c’est parti, on mesure en ce qu’on veut, du moment que cela constitue un étalon.

Etape 4 : à partir du plan à main levé enrichi de mesures, tous ensemble on reconstitue une version complète et les enfants font un nouveau plan, en 2D et demie : sur feuille, mais avec des objets qui représentent l’étalon, pour aider à articuler les différentes représentations et s’engager vers la modélisation des échelles en particulier.

Etape 5 : chaque enfant réalise un plan papier à l’échelle.

Hier, nous avons, avec Marion et Laura, accompagné l’étape 5. C’est drôle, parce qu’on a pas mal galéré sur cette séquence, entre coups de vent et dissipation des loulous. Mais là, ils ont hyper bien travaillé et réussi à faire chacun leur plan, sauf un enfant qui n’a pas toutes ses mesures à l’échelle, mais seulement une partie. C’est toujours intéressant de se rappeler que même si une séquence frotte, grippe, ça vaut le coup d’aller au bout, parce qu’ils apprennent de façon non linéaire et parfois difficile à observer, ces jeunes gens, mais ils apprennent.

Une élève, A., a commencé par annoncer qu’elle traçait un trait « de 6 ». De 6 quoi, lui ai-je demandé ? Elle m’a regardée un peu inquiète et m’a lancé un timide « carreaux ? », peut-être parce que Marion l’avait bien fait répéter à tout le monde avant. Mais elle n’osait pas tracer son trait. Alors j’en ai tracé le début, pour lui rappeler comment on place la règle, comment on le tient, où on trace. J’ai demandé à A de continuer, et rien. A la question « tu vois ce que ça veut dire, 6 carreaux ? », A m’a répondu négativement. Alors j’ai repassé au crayon une longueur de carreau en bas de la feuille et je lui ai expliqué que ça, on allait appeler ça un carreau, et qu’on en reparlerai parce qu’il y avait des questions de ses camarades là-dessus. Et nous avons énuméré ensemble, en plaçant un petit repère à chaque nouvel entier prononcé. Ensuite, j’ai demandé à A si elle avait compris, elle m’a dit oui et elle a poursuivi :

A a placé très consciencieusement deux petites graduations après celles que nous avions portées ensemble. Elle a veillé à les placer au-dessous du segment, en énumérant à voix haute au même rythme que ce que nous avions fait. La seule question de validation qu’elle m’a posée est : « ils sont trop grands, les traits ? » Autrement dit, en croyant l’aider, j’ai privilégié une démarche procédurale vide de sens : A s’st concentrée sur les émanations verbales et visuelles de ma démarche : on « compte » lentement en traçant de petites marques au-dessous du segment. Mais elle n’a pas compris, et pour cause : au fond, je ne lui ai pas beaucoup expliqué. Je lui ai expliqué en lui donnant la référence du côté du carreau tracé en bas de sa feuille, c’est tout. Je n’ai au départ même pas fait le lien avec les carreaux du segment.

Alors j’ai repris : nous avons tracé plusieurs côtés de carreaux, puis des plus longs, en associant la mesure à chaque fois. Nous avons observé les lignes, plus ou moins épaisses (ce qui troublait beaucoup A) et insisté sur le fait qu’il y en avait des horizontales et des verticales, en le reformulant. Nous avons mesuré des tas de choses en carreaux parmi ce qui composait la trousse d’A. Et ensuite, elle a regardé son segment, a gommé et a tracé des deux rectangles 4-5 et 4-6 d’un coup d’un seul.

Avec le recul, ça semble évident : je n’ai pas apporté au départ une véritable aide à A. J’ai essayé (inconsciemment j’espère) de la mettre en réussite apparente. Et je n’ai fait que perdre du temps que j’aurais pu consacrer à d’autres. Mais c’est difficile d’analyser en temps réel tout ce que nous faisons et ce que font les enfants. Avoir la rigueur de prendre le temps pour en gagner et pour aller au fond des choses, c’est une bataille.

Mais une bataille qui en vaut la peine.

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Albert en CP, le retour

Aaaaaah, Albert ! Une séance facile à déployer, qui permet aux élèves de définir le rectangle, et d’approcher l’angle droit avec notre belle machine à angles droits ou à coins qui piquent, selon les préférences des enseignants.

Malgré la chaleur, les enfants ont bien travaillé ! La semaine prochaine, on continue avec l’équerre (sans hypoténuse évidemment) et Mondrian.

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Bon plan

Ce matin, suite de notre séquence tut-tut : il s’agissait de passer d’un plan de notre parcours matérialisé avec des objets à un plan « vraiment papier », et à l’échelle s’il vous plaît.

D’abord, Marion Michel, ma collègue de CP à Maromme, a réactivé ce que nous avions étudié la dernière fois. Les élèves ont reparlé de chaque étape. Ils ont vraiment insisté sur la fait qu’ils avaient « mesuré les lignes » ; cela semblait vraiment important pour eux. Ils sont revenus sur les différents étalons, mais sans le mot étalon, qu’ils avaient oublié. Nous l’avons donc fait remonter à la surface et défini, puis fait vivre avec des exemples.

Marion a ensuite parlé d’échelle, y compris explicitement. Nous avons donc pas mal travaillé la proportionnalité, plus implicitement, mais Marion a fait répéter que « un petit objet représente un grand pas » à chacun, jusqu’à être sûre que tous les élèves ont compris. J’ai admiré sa détermination à s’assurer que chacun était bien embarqué pour la suite.

Ce que nous avons travaillé le plus, je pense, c’est la proportionnalité et la représentation. Sur ce qu’est représenter, et multi-représenter, nous sommes allés loin, tous ensemble : du parcours physique au plan en 2,5D au plan en 2D, le tout avec l’échelle, les élèves ont progressé pour passer de l’un à l’autre. J’ai vu le regard d’Izak, par exemple, alors que je lui demandait comment réussir à terminer sa tâche, passer d’un plan pour chercher une information « de forme » à l’autre pour trouver l’information de mesure correspondante, puis revenir au premier plan pour valider sa trouvaille, et il a finalement réussi. Magnifique.

Prochaine étape, à ne surtout pas zapper : analyser les productions des élèves, car j’ai vu des démarches très très variées ce matin. En particulier, certains élèves n’arrivent pas à comprendre le concept de carreau, utilisé finalement ici sous forme de côté du carreau. Et puis les méthodologies de construction ont été vraiment diverses et très révélatrices des démarches mentales.

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Institutionnalisation du calcul littéral en 5e

Cette semaine, nous avons institutionnalisé le calcul littéral dans mes deux classes de 5e. J’aurais voulu le faire plus tôt, mais avec les fermetures d’établissement et de classes, ça a été compliqué. J’étais anxieuse : je tisse avec soin le calcul littéral depuis octobre, mais suspense, les élèves seraient-ils mûrs ? Vu ce qui nous reste devant nous, il valait mieux… Mais mes deux classes m’ont apporté une belle récompense : non seulement ils ont été attentifs et impliqués, mais ils ont participé d’une façon qui m’a montré qu’ils étaient en effet bien bien mûrs :

  • (prof) Mais là, on a 3x2+2x. On ne peut rien en faire ?
  • Bin non.
  • (prof) On ne peut pas les additionner ?
  • Non, on ne peut pas.
  • (prof qui croit ramer) Mais pourquoi ?
  • Si x ça valait genre 5cm, x2 ça serait une aire. On peut pas additionner des longueurs et des aires.
  • (prof, très très contente) …
  • Bah juste vous nous l’avez dit plein de fois, madame.
  • Oui, c’est vous qui nous l’avez appris.
  • (prof, très très très contente) …

En fait, j’ai des élèves qui m’écoutent, retiennent et sont capables de restituer des semaines plus tard.

Non, ce n’est pas si évident…

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Bagarres

Aujourd’hui, séance prévue en mode warrior avec mes élèves de 4e, dont une partie est vraiment très désagréable et toujours sur le fil du point de vue attitude et insolence. Il s’agissait d’une introduction au théorème de Thalès, sur Geogebra, puis une autre sur l’antiparallélogramme.

Pendant la séance, Laura (AED en prépro dans ma classe) est frappée par des remarques qu’elle entend : « C’est nul », « Ca sert à rien de toute façon », etc. Certains élèves travaillent assez peu, ou mal. A la sortie, elle m’en parle, et on débriefe :

  • Je savais que la séance serait difficile : des élèves ont eu leurs affectations ou leurs refus en prépa-pro, il y a des tensions très fortes entre certains élèves, en deux jours 21h de colles ont été distribuées par mes collègues dans cette classe (si, si, 21), il est 17h, on est en salle info, on va faire de la géométrie, dont une activité de découverte et une autre de démonstration, c’est la première fois qu’ils doivent se connecter sur le nouvel environnement numérique et définir un nouveau mot de passe (ce qui ne va pas manquer de dysfonctionner, car les élèves ne lisent pas les consignes et cliquent, bien souvent). Sans surprise, tout ça a joué ;
  • J’ai quand même choisi de procéder ainsi, parce que je dois leur apporter des savoirs et des connaissances, pas faire de la garderie gratte-ton-cours-et-ne-réfléchis-pas. Pourtant, j’avoue que l’option m’a tentée. Mais je préfère la bagarre à l’abandon, sauf gros coup de fatigue et alors c’est me préserver qui devient l’urgence ;
  • En faisant le point, quatre élèves ont vraiment mal travaillé. Les autres ont su reformuler le théorème à la fin de l’activité, et une petite moitié de la classe s’est engagée de façon significative dans l’activité de l’antiparallélogramme. Ce n’est donc pas si mal, même si en effet l’ambiance était désagréable et certains élèves désobligeants.

Conclusion (une parmi d’autres, sans doute, mais ce soir c’est celle-là que j’ai envie d’écrire, pour tous les collègues qui croient qu’ils n’assurent pas et que les autres font mieux) : même après 25 ans de métier, même reconnu comme un professionnel compétent, on n’arrive pas toujours à mettre tout le monde au travail, et on reste confronté à des comportements désagréables, voire perturbateurs. C’est normal. La question à se poser, c’est : les élèves aptes ou prêts à apprendre ont-ils progressé ? Ont-ils acquis des savoirs ? Et une autre, c’est : les agités ont-ils empêché la séance, ou l’ont-ils perturbée de sorte que les apprentissages ont été moindres ?

Si les réponses sont oui, oui, non, tout va bien. Alors oui, on ressort claqué, dégoûté, heurté ou découragé, mais ça va revenir, la pêche. Et si les réponses ne sont pas celles-là, hé bien ça arrive, et il faut prendre du recul puis chercher des solutions. Elles existent. En en parlant entre nous, en analysant lucidement la situation, on adapte et on progresse. Ce n’est pas forcément immédiat, mais on y arrive.

Parce qu’enseigner, c’est avec des groupes de jeunes gens, et, comme nos enfants, ils décident de leur attitude. Nous sommes chefs d’orchestre, pas dictateurs (la dictature cadre mal avec le fait d’apprendre). Nos gestes professionnels sont favorisants pour garantir des apprentissages sereins et efficaces, mais parfois ça marche plus ou moins bien.

C’est une des dimensions passionnantes du métier, aussi. Pas la plus facile, en revanche. Et avoir de l’expérience est un appui : on est plus à même de relativiser et d’analyser, par analogies, par oppositions.

Autrement dit, enseigner c’est parfois de la bagarre, contre des attitudes, mais surtout contre soi-même, avec nos préconçus et nos projections.