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Le théorème de Pythalès

Huer, j’étais comme d’habitude le lidi dans ma classe : je ne la quitte ni à la récré ni le midi, car les élèves viennent lire et jouer. Un élève que je ne connais pas arrive, grand gaillard tout timide :

Madame, j’ai une question. Y a un truc j’ai pas compris en classe avec ma prof.

Oui, vas-y ?

C’est un théorème. Le théorème de Pythalès. J’y arrive pas.

Mmmh. Le théorème de Pythalès. Il parle de quoi, ce théorème ?

(Sur un ton vaguement méfiant) Bah de triangle…

Comme cet élève est en troisième, j’ai supposé qu’il s’agissait du théorème de Thalès. Nous avons commencé à le travailler, mais la tâche est d’ampleur. Il revient donc vendredi pour aller plus loin.

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Magnifique!

De retour du COPIL semaine des maths à Deauville, qu’est-ce que j’ai le plaisir de découvrir devant ma classe ? Les œuvres de mes élèves de 6e, à la façon d’Angela Johal.

D’ici quelques semaines nous pourrons nous pencher de nouveau sur ces œuvres pour calculer l’aire de chaque partie colorée.

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Papier crayon, l’IREM Paris Nord

Cette année je travaille beaucoup les figures de l’IREM Paris Nord. Je les trouve tellement top… Il y en a pour tous les niveaux, tous les besoins. Quand on ouvre chaque fichier, on n’a accès qu’aux fonctionnalités prévues par les auteurs. Ça aussi c’est extra : les élèves ne se perdent pas dans des choix multiples, et en même temps on les oblige à passer par là où on veut.

Ces outils clefs en mains, bien pensés et bien réalisés, je les utilise avec tous mes niveaux. Alors quand mon mari m’a demandé de revenir dans sa classe, j’avais envie d’essayer ça avec ses élèves d’Ulis. Nous étions dans de très bonnes conditions : peu d’élèves et nous étions trois adultes. J’ai adapté le niveau en proposant les figures de la première série.

J’avais plusieurs objectifs :

  • Développer l’inhibition. Les élèves de mon mari en manquent parfois. Ils veulent réussir tout de suite, sans obstacle. Or sur ce travail il fallait attendre les consignes, écouter la stratégie que je leur proposais, l’écouter vraiment pour être capable de la transférer, attendre que tout le monde soit au même point pour que je puisse donner la suite des instructions ;
  • Développer la déconstruction de figures : je voulais que les élèves repèrent des alignements pas évidents, par exemple. Je pensais que cet objectif allait être difficile ;
  • Faire comprendre l’importance de créer les points : sur Geogebra, que deux lignes se coupent ne donne pas existence au point d’intersection pour l’application ;
  • Transmettre qu’on a le droit de tracer des « trucs en plus », même sans les faire disparaître ensuite ;
  • Apprendre à utiliser GeoGebra, dont ces jeunes personnes ne sont pas familiers ;
  • Travailler des notions de géométrie : les lignes, des polygones, l’intersection.

Comme j’utilise ces ressources souvent avec les élèves, j’avais une idée des difficultés qui pouvaient se présenter. J’avais donc demandé à mon mari de préparer des reproductions d’écran en couleur. Les reproductions permettent de tracer « Papier-crayon » et la couleur permet aux élèves de mieux se repérer entre ce qui est à l’écran et ce qui est sur feuille.

Première étape : repérer la correspondance entre les points de l’amorce et le dessin à réaliser. Nous avons nommé les sommets du dessin, tous de la même façon pour pouvoir échanger en nous comprenant, et ensuite c’est allé tout seul. Les élèves ont vu les correspondances. Ce qui m’a bluffée, c’est qu’ils ont tout de suite vu les alignements nécessaires et que tracer des éléments n’apparaissant pas sur le dessin ne les a pas du tout gênés.

Les élèves ont été attentifs et volontaires, voire enthousiastes. Et compétents, qu’ils soient en 6e ou en 3e. Une élève a réalisé trois dessins correctement et rapidement, de plus en plus autonome. Tous ont reproduit la stratégie que je leur avais proposée : 1-on nomme les points, 2-on cherche les alignements, 3-on vérifie si on sait où on va, 4-on y va. C’était très très chouette.

Je me rends compte que je surestime leurs difficultés parfois. Je pensais que le fait de faire des maths en même temps qu’ils apprendraient à se servir d’une application ferait beaucoup. Hé bien non. Et maintenant, mon mari a vu, ils savent comment ça marche, et tout est accessible en ligne pour poursuivre. Avec comme objectif de se passer du dessin papier, à moyen terme.

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Modéliser, maille par maille

En quatrième, nous avons travaillé sur les puissances : ce qu’est un nombre élevé à la puissance quelque chose, comment on calcule, comment agit la règle des signes sur les puissances. Et puis les élèves ont posé des questions, qui nous ont amenés à parler explicitement des propriétés des puissances. Nous avons raisonné sur les exemples, mais la tentation était trop forte de passer au littéral. Alors en expliquant pourquoi c’était plus efficace, j’ai fait venir des élèves ces quatre règles :

Nous nous sommes entraînés sur des exercices de Pyromaths, nous avons réexplicité les formules, catégorisé les questions des exercices par type de formule, et puis à un moment donné il était temps dévaluer tout cela. J’ai proposé cette petite évaluation, qui a pris autour de dix minutes pur la classe (mais moins de cinq minutes pour pas mal d’élèves) :

Ce matin, j’ai corrigé deux classes de quatrième. C’est vraiment intéressant : sur les deux classes, j’ai lu très peu copies d’élèves qui n’ont pas compris la partie application numérique (ils savent appliquer une règle, mais pas plus). Beaucoup d’élèves ont été capables de restituer les formules, mais seuls cinq ont placé des parenthèses autour de xy dans la dernière. Deux élèves n’ont pas réussi à relier les formules aux questions précédentes, même quand ils ne savaient pas répondre à la partie numérique ou à la partie littérale. Deux élèves ont réussi à restituer les formules, mais sans lien avec la partie numérique, non traitée.

Ce que cela m’apprend, c’est que le lien numérique-littéral n’est pas encore assez fort : des élèves répondent bien à la partie numérique et donnent des expressions littérales fausses (éventuellement toutes identiques d’ailleurs). La réciproque est plus rare mais existe, ce qui est étonnant je trouve. En revanche, ce que pratiquement tout le monde a réussi, c’est à associer l’expression littérale aux expressions numériques. Et c’est déjà ça, c’est un pas important vers la modélisation.

Je vais poursuivre ce travail pour donner du sens au littéral, privilégier le sens out en développant les automatismes et la mémorisation. Je trouve très important de savoir faire sur le numérique, mais aussi d’être capable de donner un modèle. Suis-je dans les clous du programme ? Sans doute pas :

Et en même temps, si : je suis bien partie du sens des opérations, d’exemples numériques, et ensuite les élèves ont modélisé littéralement. Ces formules ne figurent certes pas au programme, mais le programme est une base qui peut être dépassée. Je garde en tête, en évaluant, les objectifs curriculaires. Mais on va plus loin : je crois que c’est ce que je dois faire, dans ce cas. Pas pour les savoirs sur les puissances elles-mêmes, mais pour travailler le sens de la multiplication et ce qu’est la modélisation, ainsi que son intérêt.

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Impasses ou nécessaires détours ?

Cette semaine, Laura, AED dans ma classe, m’ remplacée alors que j’étais en formation. Elle a proposé un problème Dudu à une classe de quatrième. Et un élève m’a parlé de sa démarche, en club (celle-ci). C’était intéressant, car il m’a dit : « On a trouvé, mais on a perdu un peu de temps, parce qu’on a commencé par faire des trucs pas utiles, qui servaient à rien. » Comme je lui répondais que ça ne servait pas forcément à rien, que parfois on a besoin de réfléchir en faisant des détours pour ensuite revenir à son objectif, qu’on appréhende mieux, mon élève a réfléchi et m’a dit « Oui, en fait c’était pas que ça servait à rien. On a compris des trucs et on avait une estimation, on voyait mieux où on allait. Mais on aurait pu s’en passer ». Non, en fait, sans doute pas. Une pensée qui se construit, c’est très joliment complexe.

Ma fille était là pour animer l’atelier Calculatrice en dominos, et la réflexion de mon élève lui a évoqué cette parole de Terry Pratchett :

Why do you go away? So that you can come back. So that you can see the place you came from with new eyes and extra colors. And the people there see you differently, too. Coming back to where you started is not the same as never leaving.

Pourquoi partir ? Pour pouvoir revenir. Pour que pouvoir voir là d’où on vient avec de nouveaux yeux et des couleurs en plus. Et que les gens là-bas nous voient différemment, aussi. Revenir au point de départ n’est pas comme ne jamais partir.

Terry Pratchett, A Hat Full of Sky

Ca m’a plu.

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Mathématiques au Wakanda

Hier, je suis allée voir Amsterdam (le film, hein ; j’avais cours, hier. Je n’avais pas le temps d’aller dans la ville éponyme). C’était vraiment très bien. Aujourd’hui, je suis allée voir Black Panther. Bon, voilà. Mais quand même, c’est un film dans lequel une des combattantes, en danger mais pas démontée pour un sou, dit cette phrase énigmatique (qui s’adresse à son IA, semble-t-il) :

Trouve mes équations différentielles !

Ah c’est pas tous les jours, ça. A quoi ça sert les maths ? Et même, plus ébouriffant encore, à quoi ça sert le calcul différentiel ? A survivre, hahaaaaa.

Nan mais toc, voilà.

Je suis un chouillat perplexe, mais en même temps devant un danger mortel, on dit parfois des choses étranges.

Riri Williams, fan d’équa diff.

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Le jour où on a sorti les dominos

Hé bien ce jour est arrivé : nous avons travaillé les bases de numération, la passage de la base 10 à d’autres bases et réciproquement, la logique, avec les portes logiques, et voilà, aujourd’hui il s’agissait de synthétiser puis de se lancer : comment construire une porte and, or ou xor en dominos ?

Nous en sommes à peu près là :

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La faute à qui ?

Dans un article du Monde, je viens de lire ceci :

Il (le ministre de l’éducation nationale) ajoute toutefois que cette baisse du niveau « est globale », et qu’« il ne faut pas simplement rejeter la responsabilité sur le niveau précédent ». « Chaque niveau doit assumer ses missions en la matière, et nous devons agir de manière coordonnée jusqu’à l’enseignement supérieur ».

Article du Monde du 13/11/22

Bien, nous sommes d’accord. Les enseignants de tous les niveaux travaillent sérieusement, et autant que les autres. C’est vrai aussi que nous devons toutes et tous réfléchir à ce que nous pouvons améliorer et unir nos forces. Maintenant, monsieur le ministre pourrait aussi interroger la façon dont on considère (voire traite) les maths dans notre société. Cela s’est aggravé ces dernières années, mais c’est tout un rapport aux savoirs en général et à la discipline en particulier qui est à interroger, y compris en dehors du milieu éducatif. La peur des maths (et donc le dégoût, naturellement lié et parfois salvateur) est à lier à l’élitisme, et donc à tout notre système éducatif pré et post bac, à la représentation de l’évaluation dans notre pays. Et puis il y ale rôle du gouvernement.

Les mathématiques ne doivent pas être un outil de sélection, mais un outil de développement personnel et collectif, un outil d’émancipation, de bonheur et de culture.

On n’y est pas, mais il y a des réparations possibles, tous ensemble.