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La poésie des motifs de retenue

Je mets un élève en retenue. Cela ne m’arrive pas souvent, alors je navigue difficilement dans les menus, puisque tout se fait par l’ENT, ce qui est par ailleurs bigrement pratique. Je dois choisir dans une liste dans une liste de motifs. En dehors de motifs classiques (le mien sera « agitation et prise de parole intempestive et répétée en classe », même si j’aurais pu indiquer « manque de respect aux autres, élèves et adultes », mais il faut bien choisir.

Je découvre donc un inventaire à la Prévert, parmi lequel :

  • A aspergé de peinture une camarade
  • Arrose autrui
  • Baisse le pantalon d’un élève en public
  • Chante en cours
  • Fait du yoyo en classe
  • Fait exploser un pétard
  • Fait les devoirs d’une autre discipline en classe
  • Jet d’un gobelet sur un camarade
  • Jette des boules puantes
  • Jette de l’eau
  • Joue avec un pointeur laser
  • Lance un stylo sur le toit
  • Joue à 1, 2, 3 soleil en classe
  • Joue à des jeux vidéo en cours

Et je me dis que décidément, ce métier n’est pas menacé par la routine…

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Rousseau, il a pas croisé ma mère…

Aujourd’hui, première lecture de Je suis Sophie Germain. Je lis aussi aux élèves la citation de Rousseau que j’avais prévue, pour qu’ils comprennent dans quel contexte était née Sophie Germain, et qu’ils mesurent la difficulté pour elle d’apprendre les mathématiques et de se faire reconnaitre comme mathématicienne :

« Ainsi toute l’éducation des femmes doit être relative aux hommes. Leur plaire, leur être utiles, se faire aimer et honorer d’eux, les élever jeunes, les soigner grands, les conseiller, les consoler, leur rendre la vie agréable et douce, voilà les devoirs des femmes dans tous les temps et ce qu’on doit leur apprendre dès leur enfance.  »

Et encore : « La recherche des vérités abstraites et spéculatives, des principes, des axiomes dans les sciences, tout ce qui tend à généraliser les idées n’est point du ressort des femmes. (…) Elles n’ont pas non plus assez de justesse et d’attention pour réussir aux sciences exactes.»

La réaction des élèves a été tout à fait sympathique : ils étaient médusés. Ils n’en croyaient pas leurs oreilles. L’un d’eux m’a dit : « Mais madame, il a pas dit ça pour de vrai quand même ? C’est pas possible … Bah Rousseau, ça se voit qu’il a jamais croisé ma mère…« 

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Mots et maux (2)

Même classe, même jour, même exercice que :

  • Ferid nous propose les nombres 51, 52 et 53 pour répondre à la question. Qu’en pensez-vous ?
  • C’est bon, ça marche.
  • Mais nous on a une autre solution madame !
  • Ah oui, allez-y.
  • 1, 52 et 103.
  • Qu’en pensez-vous, les autres ?
  • La somme ça fait 156 et c’est des entiers, mais ça va pas parce qu’ils sont pas consécutifs. Nous on avait fait l’erreur aussi au début.

Ils expliquent à leurs camarades, et les convainquent.

  • Vous voyez comme les mots sont importants? Si je ne comprends pas la signification de chaque mot « entier », « somme », « successif » dans le champ des mathématiques, je risque de ne pas comprendre la question et de répondre à côté. C’est pour ça qu’il faut que vous demandiez, lorsque vous n’êtes pas sûrs, ou, encore mieux, que vous alliez vérifier dans mon ami dico. Alors on fait quoi, on garde ou pas la proposition 1, 52 et 103 ?
  • Non, on peut pas, ça va pas puisqu’ils sont pas successifs.
  • Ok. Quelqu’un a une autre idée ?
  • Oui, oui. Enfin non, mais on cherche et on va presque trouver !
  • Mais non madame, c’est pas possible, on a trouvé les seuls qui peuvent correspondre à la consigne !
  • Pourquoi ?
  • C’est logique, il n’y en a pas d’autres !
  • Vous êtes convaincus, tous ? P’têtre qu’il a raison… Ou p’têtre qu’il se trompe… Comment pourrais-tu convaincre tes camarades ? Ou te convaincre que tu te trompes ?
  • Je sais pas. … Aaaah si je sais, je fais le montrer avec du calcul littéraire. Je vais mettre un chiffre du genre « z » à la place du truc et je vais raccourcir le calcul comme on a appris et ensuite je vais solutionner le « z ».
  • Et comment tu vas faire le celui d’après de z ?
  • Celui d’après de z, c’est avec +1, puisqu’il est successif. C’est pour ça que j’ai pris z, sinon avec a bah ça aurait été b. Tu peux prendre que z.

Je n’ai même pas le temps de réfléchir à la façon dont je vais amener les élèves à reformuler cette jolie trouvaille, comment je vais leur faire comprendre que a ou z, c’est la même idée : ils se replongent tous dans leurs calculs. Je me demande ce qu’ils font. Je circule, j’observe. Ils ont tous écrit une modélisation correcte, une équation qui traduit la consigne. Certains butent sur la résolution, les autres leur expliquent que c’est une « opération à trou sans trou ».

Ils trouvent 51 pour le premier entier, et complètent par 52 et 53. Et me déclarent :

  • Il a raison, Antoine. Parce que quand on a écrit le problème avec une lettre, et qu’on a réduit et qu’on a résolu, ça donne ça et il n’y a rien d’autre que ça peut donner.
  • Ça fait une solution unique, madame.
  • Enfin unique mais c’est les trois nombres ensemble qui sont uniques, quoi.
  • Quand même madame, c’est cool le calcul littéral ! C’est genre fort, quoi !
  • Par contre Antoine il dit z, mais ça peut être a, ou x, ou n’importe quoi d’autre, parce que le truc qu’on met à la place pour imaginer il a pas d’importance.
  • Oui, moi j’ai fait un smiley. Ça marche aussi.
  • Ah oui, c’est vrai. b c’est pas le successeur de a dans les maths. C’est dans l’alphabet, que c’est vrai, chuis bête.

Ouahou. Je suis sortie épuisée, mais ouahou. Ils ont compris plein de choses, sans moi.

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Mots et maux (1)

Question, en quatrième :

Est-il possible de trouver trois entiers successifs dont la somme est égale à 156 ? Décris ta démarche pour justifier ta réponse.

Sur chaque table, je pose un enregistreur.

Groupe 1 :

L’un des élèves propose à l’autre de diviser 156 par 3. Son camarade lui fait remarquer qu’on pourrait d’abord vérifier que 156 est multiple de 3. l’autre lui répond « Tu veux dire est-ce que 156 est divisible par 3 ? ». Oui, il veut dire ça. Ils additionnent les chiffres qui composent 156, parce que « si ça ne marche pas, c’est pas la peine de se galérer ». 1+5+6=12, « zut, ça marche. Bon on pose ». Jusque là, je bois du petit lait : ils emploient les mots « multiple », « divisible », se parlent, travaillent vraiment ensemble, se souviennent du critère de divisibilité par 3, cherchent à optimiser leur démarche et planifient. Bonheur.

Ils posent, ils trouvent 52. Ils restent à contempler ce résultat, perplexes.

  • « Elle en veut trois, des entiers. On lui met quoi d’autre ? »
  • « Bah chais pas. Pourquoi elle en veut trois ? »
  • « Chais pas. On choisit quoi pour que ça fasse 156 ? »
  • « Ce que tu veux ».
  • « Comment on va savoir si ils sont successifs ? »
  • « Bah j’en sais rien. Ça dépend de la prof ».

Là, ils m’appellent.

  • « Madaaaaaaaaame ! On met quoi comme nombres successifs ? »
  • « Comment ça vous mettez quoi ? Vous en êtes où là ? »
  • « Bah on a trouvé 52 parce qu’on a divisé par 3, et donc on en a un successif, mais les autres on voit pas comment dire c’est quoi. »
  • « 52 c’est un nombre successif ? »
  • « Oui, forcément, on a divisé. il est bon, lui, on est sûrs ».
  • « Mais bon c’est vous qui le trouvez successif, nous bof ».
  • « Ça veut dire quoi, pour vous, que 52 est successif ? »
  • « Vous le trouvez bien, c’est un bon nombre. »
  • « Un bon nombre ? Pourquoi c’est un bon nombre ? »
  • « Bah c’est vous, hein, nous franchement, on le trouve pas super, enfin pas plus qu’un autre »
  • « Ok. Que signifie successif ? »
  • « Qui a du  succès ! »

Jamais on ne m’avait proposé ça. Mais cette année, c’est la deuxième fois. C’est quand même bizarre.

A mon injonction d’aller chercher mon ami dico, mes deux élèves ont râlé, ronchonné, renâclé… Et puis ils ont compris :

  • Aaah, d’accord, par exemple 52 et 52,1 c’est des entiers successifs !

Ca a pris un peu de temps, forcément : il a fallu réactiver ce qu’est un nombre entier, et réfléchir à l’idée de successeur dans l’ensemble des décimaux, quand même.

Mais c’était super intéressant.

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Soustraction et différence

Sur les deux dernières semaines d’école, j’ai eu la chance de participer à une séance d’introduction sur la différence, en CP, par la méthode ACE, dans trois classes différentes. C’est chouette, parce que cela m’a permis d’en voir différentes versions. Dans les trois cas, on était dans l’introduction, mais pas forcément exactement au même stade. Il s’agit de l’unité 8,  intitulée « découvrir la différence comme écart ».

cp-unite8

Dans la ressource ACE accessible ici (et le document est là, juste au-dessus de ce paragraphe), l’introduction annonce qu’il va s’agir de « dire la différence et l’écrire », puis progressivement la représenter (avec les trains et les schémas lignes-trains) pour aboutir à une symbolisation de la représentation, puis la modélisation de la soustraction avec l’utilisation du signe « – ». « Il existe ainsi une progressivité, au sein du module, dans l’appropriation de la différence/soustraction ».

Un des objectifs est de poser la différence « sans aucunement mobiliser des situations prototypiques de la soustraction (retrait, enlever, etc.), mais en se centrant sur la comparaison des quantités. En effet, puisque les élèves disposent de deux collections, il n’est pas nécessaire d’user des termes « retrait » et « enlever » qui apparaissent lorsque la recherche de la différence/soustraction se réalise sur la collection la plus grande (on part alors de la plus grande collection et on « enlève » pour montrer ce qui « reste »). Ici, les élèves sont en présence de deux collections et la différence est matérialisée par ce qui est « en trop » ou « en moins » (…) Le professeur portera une attention particulière au vocabulaire employé par lui-même et par les élèves notamment en insistant sur le fait que ni la différence (en tant que résultat d’une soustraction), ni la soustraction elle-même ne doivent être assimilées à un retrait. Le professeur n’usera donc pas des termes « enlever », « retirer », etc. Il utilisera systématiquement des procédures de « formulations synonymes » en disant et en faisant dire aux élèves, par exemple : « la différence entre 7 et 4 est 3, ou la différence entre 7 et 4 c’est 3», « 7 est plus grand que 4 de 3 », « 7 c’est 3 de plus que 4 », « 4 c’est 3 de moins que 7 », « 4 est plus petit que 7 de 3 ». »

Les enseignants dans les classes desquels je suis allée avaient bien conscience de ce que j’ai reproduit ci-dessus. Ils sentaient aussi a priori que cela allait être difficile, de faire passer la notion de différence pour des raisons différentes : un des enseignants avait le sentiment de ne pas avoir bien compris la séquence, dans ses tenants et ses aboutissants, un autre savait ses élèves agités à ce moment-là, et le troisième pensait que les acquis précédents n’étaient pas suffisamment solides pour construire par-dessus. Et en effet, nous avons galéré, dans chaque cas. Dans les trois classes dans lesquelles je me suis rendue, j’ai vu trois façons différentes d’aborder la séquence. Dans les trois classes, les enseignants m’ont proposé de participer, et c’était passionnant. Je les remercie, d’ailleurs, au passage, d’être tous si constructifs, ouverts et accueillants.

Dans une des classes, nous avons travaillé à partir de la bataille des nombres/trains : les enfants piochaient des étiquettes dans une enveloppe et devaient comparer. Il fallait d’abord les écrire sur l’ardoise et indiquer entre les deux l’un des symboles >, < ou =. Ensuite, pour les plus à l’aise, il s’agissait de savoir de combien son nombre était plus grand ou plus petit. Quelques élèves ont d’eux-mêmes écrit la soustraction, mais la plupart n’ont pas réussi à déterminer la différence et ont proposé des résultats qui semblaient relever du hasard. Comme les enfants n’avaient pas eu de récré à cause de la pluie, ils se concentraient difficilement. Nous n’avons pas eu l’impression de réussir à les mettre tous en activité de façon efficace, même si de belles remarques ont été formulées. Nous avons donc recentré sur les comparaisons et donné la parole aux deux élèves qui réussissaient à déterminer la différence, pour qu’ils expliquent à leurs camarades. Nous verrons ce qui sera passé dans les jours à venir.

Dans une autre classe, l’enseignant est parti sur le schéma ligne, et est revenu aux trains, car les enfants ne voyaient pas où nous voulions en venir. Là, il m’est apparu clairement que c’est le vocabulaire qui coinçait : l’enseignant s’interdisait toute une catégorie de mots, car il avait à cœur de respecter ce qu’il avait lu dans les documents ressources. Mais ne pas dire « on enlève », « on retire », « moins », « soustraction », posait un problème : l’enseignant se sentait contraint dans son langage et craignait d’employer des mots qu’il employait les années précédentes en introduisant la soustraction. Du coup, il était bridé dans son expression, dans la forme mais aussi dans le fond. Il ne disposait plus de moyens naturels pour lui d’exprimer la différence. De leur côté, les enfants avaient bien du mal à comprendre et exprimer eux-mêmes « de moins », « de plus ». Nous avons décidé de passer par une visualisation du train avec des cubes collés au tableau, avec des jeux de couleurs. Il m’a semblé que nous avions réussi au final à faire comprendre le mot « différence », mais l’enseignant n’était pas de cet avis : selon lui, c’est nous qui avions fait le travail en représentant la différence d’une couleur différente, et les enfants n’ont fait que dénombrer les cubes de cette couleur. Avec le recul, je pense que c’est l’enseignant qui a raison. Mais nous pédalions tellement dans la semoule, les enfants étaient perplexes et il n’y avait pas de dynamique d’apprentissage, alors nous cherchions des solutions pour rattraper notre séance.

Dans la dernière classe, l’enseignant pensait dès le départ que ses élèves n’avaient pas consolidé suffisamment les décompositions, et s’est adapté a priori. Nous avons retravaillé les décompositions et les comparaisons. Les enfants ont construit des tours de cubes et l’enseignant leur a demandé si leurs tours étaient « identiques ou différentes », et quelle était leur différence le cas échéant. Alors là, ça a été très très intéressant : le mot « identique », qui appartient au langage courant, n’a pas du tout projeté les enfants dans le cadre des mathématiques. Leurs tours étaient toutes différentes, même lorsqu’elles étaient constituées d’autant de cubes : elles n’avaient pas le même enchaînement de couleur, un cube était « plus tourné » que dans l’autre tour, voire « il y a un cube là il est mordu et sur l’autre non », alors que les deux tours comportaient quatre cubes tous rouges. Il ne faut sans doute pas entrer par là dans la notion de différence mathématique. Nous nous sommes dit que si nous avions demandé aux enfants si leurs tours étaient « égales », nous aurons sans doute obtenu davantage de réponses « conformes ». Mais pour autant, peut-on dire de tours qu’elles sont égales ? En fait on induit chez les enfants qu’on se fiche de la tour, et que ce qui compte est le nombre de cubes qui la composent, mais du coup c’est un peu de la « manipulation ». D’un autre côté, il faut bien choisir une entrée qui nous emmène là où nous voulons aller…

Après la classe, nous sommes allées voir les collègues avec deux tours. Nous leur avons montré une tour bleu-rouge-bleu et une tour bleu-rouge-rouge. À la question « ces deux tours sont-elles identiques ? », toutes les enseignantes nous ont répondu non. À la question « ces deux tours sont-elles égales ? », elles nous ont répondu oui. Et ce, quel que soit l’ordre des questions. Le mot « égal », dans ce contexte, projette donc davantage vers le champ des maths (en tout cas, pour des adultes…).

Alors au bout du compte, que retenir de tout ceci ?

  • Le vocabulaire est autant un appui qu’une difficulté en maths. S’appuyer sur le langage courant peut être utile, à condition (à mon avis) d’aborder explicitement les différences (aaaaaaargh) et les spécificités des mots en maths. Je pense qu’il ne faut pas chercher à pousser les parallèles et au contraire formuler ce qui sinon va rester implicite et freiner ou empêcher les apprentissages.
  • C’est difficile de s’approprier une méthode, de comprendre a priori et du premier coup les ressorts didactiques, les choix effectués par des chercheurs qui ont dû y travailler en équipe et pendant un temps considérable. Ce n’est pas grave : faire changer des pratiques, c’est sur le temps long. Les enseignants que j’ai vus, et moi aussi puisque  je suis intervenue dans chacune de ces séances, ont eu conscience de ne pas atteindre leurs objectifs. Pour autant, nous n’avons pas non  plus construit de représentation fausse dans l’esprit des enfants. Simplement, il faut que nous y revenions, forts de nos expériences, que je vais pouvoir mutualiser. Avec un peu de chance je vais aussi obtenir des éclairages de la part d’experts d’ACE, qui sont toujours ouverts aux échanges. Je vais leur écrire, même, tiens.
  • Ce travail d’accompagnement, les binômes que nous formons avec les professeurs des écoles, c’est véritablement passionnant. Dans ma pratique en classe, mes observations, nos échanges, ce que je comprends, tout cela me transforme. Et j’espère que les collègues des écoles y trouvent aussi leur compte, mais je suis assez confiante, vu la quantité et la qualité de nos échanges.
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J’espère qu’ils sont fiers.

Aujourd’hui, j’allais dans les écoles, comme tous les jeudis-vendredis.

Ce matin j’ai vu mise en oeuvre la méthode Picbille en CE1 et c’était très très intéressant, comme toujours d’ailleurs. En plus, à chaque fois que je viens dans les classes, j’apprends en matière de gestion de groupe : nos collègues PE, qui n’ont pas de vie scolaire comme dans le second degré, qui s’adressent à des enfants plus jeunes, qui passent la journée entière avec les enfants, gèrent au quotidien des situations qui sans doute nous mettraient nous dans l’embarras.

Un des moments forts de la journée, ça a été le calcul mental : l’enseignant a repris la famille des quatre-vingts et des quatre-vingt-dix, et, à coup de « et encore deux », « et encore un », les enfants sont arrivés à 100. Et alors là, quel magnifique enthousiasme : déjà, à 99, les enfants se sont exclamés « 99 !!! C’est incroyable !!! ». Et arrivés à 100, ça a été « Ouaiiiiiiiis, 100!!! », « C’est la fête, on est à 100! », et les enfants en ont profité pour exprimer le nombre 100 sous plein de formes différentes : 80+10+10, 80+20, 90+10, 10+10+…+10, 10×10… J’espère que l’enseignant s’est senti fier : c’est bien lui qui a allumé ce feu, cette envie de faire des maths. C’était beau à voir.

Et cet après-midi , j’ai introduit et animé la séance, dans une autre école, grâce à la gentillesse de la collègue qui a bien voulu me laisser mener la mise en activité. Nous avions décidé de faire construire un jeu aux enfants, sur le modèle de celui que j’avais fait élaborer aux sixièmes. Aujourd’hui, il s’agissait de leur expliquer l’objectif, les règles du jeu, et de leur faire concevoir des questions.

J’ai donc expliqué tout ça aux enfants, et pour moi cela a été une expérience très forte : il m’a fallu me concentrer fort pour m’adresser à eux avec les bons mots. Ils ont été super attentifs, et moi je me sentais tellement trop grande, juchée sur mon mètre quatre-vingt, mes talons et l’estrade… Mais ça s’est bien passé, et ensuite ils ont bossé d’une façon qui nous a scotchées : ils ont réussi à se concentrer vraiment longtemps, à produire des tas de questions super, et tout le monde a travaillé dur, dans une ambiance très sympathique. Ils ont rédigé une centaine de questions, ce qui est plutôt pas mal !

Le bilan est vraiment de grande qualité, même si certaines productions ne pourront pas être retenues. Le plus frappant, c’est que ce qu’ils ont produit une majorité de problèmes, et que ces problèmes sont bien des problèmes et sont intéressants. J’espère que l’enseignante est fière : c’est sa pratique quotidienne de problèmes qui les a amenés à considérer ce type d’exercices avec autant de naturel et d’envie.

Et puis c’est rigolo, j’ai passé avec eux quatre ou cinq jeudis après-midi et ils me connaissent déjà bien…

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Un peu moins que 0,1 ?

J’ai posé à mes élèves cet exercice, en évaluation, en quatrième :

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C’est un extrait d’exercice de DNB. Mes élèves de quatrième ne réussissaient pas à lire courbes, à extraire correctement les informations. Nous avons donc retravaillé ces compétences et ils ont obtenu un bon score à cette évaluation (il y avait un second exercice), avec 72% de réussite, alors que d’habitude ils tournent autour de 50%.

Cependant, une question les a mis en échec de façon assez générale, avec 28% de réussite : la question 3. J’attendais 0,09s. J’ai obtenu :

  • 0,09s (5 réponses)
  • Un peu moins de 0,1s (3 réponses)
  • 0,9s (6 réponses)
  • 0,1s  (6 réponses)
  • 9s (1 réponse)
  • et quatre élèves étaient absents.

Du point de vue de la lecture de courbe, tous les élèves ont suivi une méthode juste. Mais excepté 5 élèves, ils ont été en difficulté pour exprimer « un petit peu moins de 0,1s » de façon numérique. C’est une illustration flagrante des déficits de compréhension de la construction du nombre chez nos élèves : mis devant la question « à quelle valeur correspond la graduation qui précède 0,1 sur cette représentation ? », la majorité bloque. Alors on bidouille en faisant apparaître un 9, parce qu’on sent ou qu’on a l’habitude qu’aux changements de rang il en soit ainsi, ou bien on choisit d’arrondir, ce qui d’ailleurs est un choix défendable si l’on a conscience de sa difficulté. C’est une façon de s’adapter qui est raisonnable.

Mais tout de même, c’est un constat assez stupéfiant, cette mauvaise construction du nombre réel.

Vendredi, on en parle. Le glisse-nombre va nous aider : je vais d’abord laisser les élèves s’exprimer, laisser ceux qui ont réussi expliquer aux autres, et puis nous passerons par des représentations variées du nombre 0,1 : 1 dixième, 10 centièmes, 1/10, 10/100… Car heureusement, en maths, il n’est jamais trop tard pour comprendre.