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Représenter, modéliser

Grâce à des échanges avec des IEN et des RMC, j’ai pu réfléchir de nouveau au duo représenter-modéliser. C’est vraiment un serpent de mer, cette question, et pour cause. La différence est parfois difficile à dessiner entre ces deux compétences du référentiel de mathématiques, surtout au premier degré. C’est bien normal : tout est une question de contexte.

Représenter

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Source Eduscol

Par exemple, lorsque je veux parler de la quantité 3, je peux la représenter par une constellation, par 3, par des doigts, par 1+1+1, par 3/1, par 300%… Et si je veux représenter un pavé droit, je peux le dessiner, à main levée ou en respectant les codes, je peux le décrire (un solide dont toutes les faces sont des rectangles, par exemple).

Le document Eduscol développant la compétence « représenter » nous dit :

Le développement de la compétence « Représenter » au cycle 4 doit à la fois permettre à l’élève de progresser dans la vision du réel et dans l’appréhension des objets mathématiques abstraits. Comprendre ce qu’est un triangle, ce qu’est une fonction, ce qu’est une fraction, c’est savoir « représenter » ces objets, c’est-à-dire trouver un registre de représentation adéquat, mais aussi savoir varier les représentations et les registres de représentation. Un élève capable de convoquer dans un exercice mettant en jeu une fonction un graphique, un tableau de nombres, une écriture symbolique, est en train de s’approprier la notion de fonction. Dans cet exercice, on voit que la représentation est aussi pensée de manière dynamique, dans sa capacité à engendrer d’autres représentations, à l’intérieur d’un même registre ou dans un autre registre.

Autrement dit, représenter permet de progresser dans la modélisation, mais peut aussi permettre d’évaluer cette mobilisation, pour l’enseignant.

Modéliser

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Dans la description même de modéliser, il y a « décrire » : voilà notre dualité qui refait surface. Toutefois, modéliser recouvre quelque chose de bien différent : il y a l’idée d’un élément concret, extérieur aux mathématiques, que les mathématiques vont permettre de travailler, de transformer, de résoudre, en abstrayant ce concret, mais sans jamais l’oublier.

La modélisation de fait en trois temps : « la mise au point d’un modèle à partir du réel, le fonctionnement du modèle lui-même à l’intérieur des mathématiques, et la confrontation des résultats du modèle au réel ». On en a de magnifiques exemples avec la proportionnalité : il s’agit de reconnaître qu’un problème relève de la proportionnalité, de la traiter mathématiquement et au final de vérifier que la solution trouvée respecte les contraintes concrètes (par exemple, que la modification des quantités d’ingrédients n’amène pas à devoir utiliser un nombre non entier d’oeufs).

Modéliser n’est donc pas une exclusivité du collège. On modélise dès le cycle 1, mais avec des outils différents et des étapes moins développées, explicitées ou justifiées par l’enfant lui-même.

Un exemple

En écrivant tout ceci, je pense à mes sixièmes, hier. Je leur avais donné un exercice qui ressemblait à ça :

« Les points M, A, T, H et S sont alignés dans cet ordre. Complète les propositions suivantes avec le symbole « appartient » ou « n’appartient pas » : M … (HS) ; A … [MT] ; T … [HS), etc. »

Certains élèves ont résolu avec succès cet exercice sans passer par la représentation papier. Pour autant, ils ont représenté, mentalement. Mais cette représentation mentale plus ou moins naturelle pour eux, mais en tout cas réussie, montre qu’ils ont modélisé : ils ont compris la nature des objets mathématiques convoqués, des propriétés, des caractéristiques.

D’autres élèves n’ont pas non plus représenté, mais n’ont pas su répondre seuls ou se sont trompés. Eux, ils n’ont pas modélisé, car ils n’ont pas eu l’idée de représenter. Ils ne savaient pas comment imaginer ou « donner à voir » ces objets. En revanche, sur mon incitation, ils ont représenté. Pour la plupart d’entre eux, il a ensuite fallu s’aider du doigt pour répondre en suivant « la ligne » : [HS), c’est quoi ? Un élève m’a répondu en pointant avec son doigt et en le déplaçant au fil de son explication :  » [HS) c’est je pars de H et je vais par-là et quand je croise S je ne m’arrête pas et je dessine encore un bout du trait, et donc j’ai pas croisé T donc je mets appartient pas ». Explication très intéressante : cet élève sait représenter sur incitation, donc sait représenter tout court, mais n’a pas modélisé la demi-droite : pour lui elle a un sens (il faut reconnaitre que le mot origine ne simplifie pas le problème), et il est obligé de matérialiser un mouvement pour répondre.

En revanche, il a modélisé l’appartenance et sait la représenter.

Un autre exemple ?

Dans les échanges avec mes collègues, l’une d’elle nous a proposé de réfléchir à cette vidéo :

La présentatrice nous explique, globalement, que les élèves de quatrième vont choisir une méthode de calcul littéral et de résolution d’équation là où les élèves de CM2 modéliseront. Alors là, déjà, non : les élèves de quatrième modélisent aussi, en passant par le calcul littéral, et de façon plus experte mathématiquement. Cela ne signifie pas que leur méthode soit la plus efficace ou la plus rapide, et d’ailleurs je pense que beaucoup d’élèves de quatrième dessineraient comme dans la vidéo. On peut d’ailleurs toujours prétendre que c’est se compliquer la vie que de modéliser par la résolution d’équation, mais c’est tout de même un moyen de s’assurer de l’unicité de la solution.

Ensuite, c’est vrai que les élèves de CM2 modélisent par la méthode proposée : lorsqu’ils « décident de prendre un rectangle qu’ils diviseront en cinq parties égales », en même temps qu’ils représentent, ils modélisent, en particulier grâce à ce « cinq parties ÉGALES ». Ensuite, lorsqu’ils hachurent, ils représentent, mais rien ne prouve que la fraction ait été modélisée correctement dans l’intégralité du concept : hachurer deux parties parmi cinq, on peut le faire sans avoir compris la fraction. Si le découpage en cinq parties égales est initié par l’enseignant, il n’y a pas forcément preuve de modélisation.

Là où on n’est plus dans la modélisation, mais clairement dans la représentation, c’est à la fin de la vidéo : « on se rend bien compte qu’ici, cette part-là représente deux fois douze, vingt-quatre oeufs », et ainsi de suite. Ça, c’est de l’observation directe, mais il n’y a pas de preuve ni d’explicitation. Le terme de modélisation n’est donc pas, à mon sens, adapté à cet exemple.

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De la robotique à l’école

Aujourd’hui, c’est journée marathon : trois visites en écoles et une réunion de travail. Et pour commencer, je suis allée à la rencontre d’un enseignant tout à fait extraordinaire, monsieur Ledys, qui exerce dans la banlieue du Havre, dans une école en préfabriqués depuis plus de quatre ans, avec des enfants dont beaucoup sont issus de milieux défavorisés.

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Mais monsieur Ledys et son équipe ne sont pas du genre à se lamenter. Ils constatent objectivement, et ils agissent. Comme le raconte le blog de l’école, ils ont décidé de faire apprendre autrement : au travers de projets interdisciplinaires, d’une envergure impressionnante, avec une entrée particulière pour la robotique.

Le projet robot, cela fait quelques années que monsieur Ledys le mène. Il met ses élèves au travail de façon collaborative, en veillant à ce que chacun trouve sa place et acquière connaissances et compétences, et obtient des résultats époustouflants. Les élèves dépassent ce qu’ils percevaient d’eux-mêmes, s’ouvrent au monde, donnent du sens à leurs apprentissages. Tout est relié : le robot réalisé donne lieu à un film, dont le scénario, les décors, le générique sont conçus par les élèves. Ils écrivent, ils s’auto-évaluent et se corrigent. Ils travaillent dans un même projet la techno, les maths, la production d’écrit, les arts visuels, la prise de parole, l’histoire. Par exemple, le premier mécanisme d’élévation du robot était un système à crémaillère. Mais techniquement, cela posait problème. Alors les enfants se sont inspirés des ponts-levis, vus en histoire, pour modifier le système.

Côté maths, l’invention et la réalisation du robot mobilisent la proportionnalité (avec une idée tout à fait géniale d’engrenages, vite vite il me faut des engrenages !), la géométrie plane et spatiale, le calcul mental.

C’est fabuleux de voir ce que des collègues sont capables de mettre en place, avec efficacité et modestie. Je suis admirative.

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La verbalisation en mathématiques

Pour des collègues RMC de notre académie, mon collègue Nourdin Temagoult, RMA (référent mathématique académique, comme moi) a réfléchi à un document sur la verbalisation en mathématiques. C’était la commande : que dire autour de la verbalisation et comment la faire vivre en classe ?

Nourdin a réfléchi et élaboré une première version, et m’a mise sur le coup. Nous avons travaillé très dur, et, neuf version plus tard, voici notre document. Je vous le soumets pour avoir des avis, et pour qu’il ne vive pas qu’en Normandie.

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Verbaliser en math prop9

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Les très grands nombres

Cette année, quelques élèves de mes classes de sixième sont en grande difficulté pour lire, comprendre, écrire, comparer les nombres au-delà de 100 000. J’avais envie de leur proposer des jeux, pour les moments d’autonomie, ou pour la maison, qui les fassent progresser. J’en ai parlé à mon binôme RMA (référent mathématique académique), Nourdin, parce que je sais qu’il a des tonnes de ressources dans sa musette. Et paf, il m’a envoyé des ressources. Je me les suis appropriées, en modifiant les nombres pour servir mes objectifs. Avec son accord, je partage. Certaines idées initiales viennent d’Ermel.

  • Le jeu de bataille des très grands nombres :

Le jeu contient 60 cartes : 15 cartes avec des nombres en chiffres, 15 cartes avec des nombres en lettres, 15 cartes avec des nombres décomposés (décomposition additive), 15 cartes avec des nombres décomposés (décomposition multiplicative).

Il s’agit de gagner le plus de cartes possible.

Les cartes sont distribuées aléatoirement à tous les joueurs. Les joueurs posent la première carte de leur paquet. Les nombres sont comparés à partir de leur représentation, et celui qui a découvert la valeur la plus forte remporte l’ensemble des cartes. En cas d’égalité, il y a « bataille » : les joueurs concernés posent une nouvelle carte sur la première. Le gagnant remporte l’ensemble.

  • La lecture infernale :

C’est une idée très rigolote, que j’aime beaucoup. Soit avec des cartes (type Montessori), soit directement au tableau, on fait lire aux élèves des nombres, en écrivant de plus en plus de chiffres à chaque étape.

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  • Les grilles de nombres

Là, cette fiche va rejoindre mes travaux facultatifs :

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Les documents complets, en particulier avec les cartes :

Très grands nombre version à partager

Très grands nombre version à partager

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Un padlet sur l’oral dans toutes les disciplines

Martine Amable, CAREP à Créteil, a publié un padlet sur le thème de l’oral en éducation prioritaire. Voici encore une pépite, qui d’ailleurs dépasse largement le contexte de l’éducation prioritaire.

Le padlet est organisé en rubriques :

  • des généralité,
  • une section sur l’oral et les inégalités,
  • le prescrit du cycle 1 au lycée
  • l’oral au cycle 1
  • l’oral au cycle 2
  • l’oral au cycle 3
  • l’oral au cycle 4 et des liens vers le lycée.

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Parmi ce qui m’a plu le plus, l’article de Bautier et Goigoux sur la secondarisation (parce qu’il m’est paru tellement clair), le document d’Eduscol « Questions actuelles pour la didactique de l’oral » (que je ne connaissais pas),  les onze dilemmes de Perrenoud. Mais je n’ai pas encore tout exploré : en particulier dans la catégorie généralités, il y a tant de ressources que je n’ai encore jamais croisées !

C’est vraiment extra, ces ressources mises à disposition par tous ces collègues, formateurs et chercheurs.