Catégorie : Chez les chercheurs

A l'attaque !·A quoi ça sert les maths ?·Apprendre·Chez les chercheurs·Je suis fan·Si si c'est drôle

Les maths au service des canapés

clairelommeLaisser un commentaire

Un article sur Slate relaie une vidéo de Numberphile :

Capture d_écran 2017-08-14 à 19.47.25

Ce qui est rigolo, c’est que pas mal de matheux de talent se sont penchés sur le « sofa’s problem ». Capture d’écran 2017-08-14 à 20.03.50.png

La question est simple : comment faire passer un canapé dans un couloir qui tourne à angle droit ? N’importe qui ayant déménagé et/ou des amis qui ont la bougeotte s’est confronté au problème. En général s’y ajoute le fait que le couloir, en plus de tourner, est en escalier et que le point d’arrivée est situé au dernier étage. Mais bon, c’est une autre histoire. Le résultat, c’est que chacun se pose la question au moment ou il est coincé dans l’escalier, à moitié écrasé contre une paroi, retenant son bout de canapé par une main tremblante et prévenant ses camarades que bientôt ils vont le recevoir sur la tête. Il faut donc s’interroger en amont.

Mais au lieu de se demander comment faire passer n’importe quel canapé dans n’importe quel couloir, ce qui est une vaine question, la vidéo propose un cheminement sur la forme optimale d’un canapé : à quoi doit ressembler un canapé pour passer un méchant virage et être d’aire maximale ? Ahana, en voilà une question importante, non mais sans blague.

Capture d’écran 2017-08-14 à 20.01.52.png

Malheureusement, c’est un problème non résolu. On dispose d’une conjecture, mais pas de preuve. Le chercheur de la vidéo explique son cheminement, et c’est intéressant. En particulier, il se demande ce qui se passerait avec une contrainte supplémentaire, une « variante naturelle du problème initial ». Et hop, il se trifouille les neurones. Il propose une conjecture de candidat idéal, un truc qui ne ressemble à aucun canapé que j’ai pou croiser. Et pourtant, justement, ce mois-ci je suis allée à la chasse au canapé.

Capture d’écran 2017-08-14 à 20.11.24.png

En tout cas, j’adore les matheux.

Apprendre·Chez les chercheurs·Culture mathématique·Expo de maths·histoire des maths·Je suis fan·Lire·Maths et société

Langage et mathématiques

clairelommeLaisser un commentaire

Sur Images des mathématiques, site du CNRS, vous pourrez lire le feuilleton de l’été, intitulé mathématiques et langage. Des articles courts, accessibles et intéressants le composent. Cette série de textes a été écrite par des scientifiques d’horizons divers à l’occasion du Forum Mathématiques vivantes en mars 2017). On y parle enseignement des maths, recherche, informatique, linguistique, histoire ou philosophie. Mon préféré est ici,mais le mieux est de tous les lire !

Quelques extraits :

Depuis la fin du XVIe, les textes mathématiques passent d’une écriture en langue commune à une écriture de plus en plus symbolique et les mathématiques actuelles ne se parlent pas mais s’écrivent. Preuve en est le combat des mathématicien-ne-s dans les universités ou laboratoires de recherche pour disposer de tableaux, en l’absence desquels ils sont incapables de communiquer ! Cette écriture mathématique est extrêmement synthétique mais elle permet d’énoncer les résultats et de présenter les démonstrations à la fois sur un volume de pages écrites qui reste raisonnable et avec la précision nécessaire à une démarche totalement formalisée. On écrira par exemple :

Capture d_écran 2017-08-10 à 18.12.59

au lieu de « la racine carrée de l’inverse du carré de tout nombre réel non nul est égale à l’inverse de la valeur absolue de ce nombre ». Les mathématicien-ne-s du monde entier comprendront le premier énoncé et seul-e-s les francophones comprendront le deuxième. Nous avons donc là un langage universel.

Bertrand Jouve

Dans le premier {point de vue}, les mathématiques ne seraient qu’un jeu qui manipule des mots en respectant une grammaire rigide. Hilbert, au début du vingtième siècle, affirmait qu’on pouvait changer les mots « point, droite, plan » et les remplacer par « table, chaise, verre de bière » et que les théorèmes selon lesquels « par deux tables passe une chaise » et que « l’intersection de deux verres de bière est une chaise » seraient tout à fait justifiés. D’ailleurs, sans aller jusque là, la géométrie moderne utilise des objets appelés « immeubles, appartements et chambres » qui ont des propriétés étranges, telles par exemple que « par deux chambres passe au moins un appartement ».

Étienne Ghys

L’image des mathématiques comme une merveilleuse construction humaine ne me paraît pas diminuer leur importance et leur valeur, au contraire.

Jean-Pierre Kahane

 

Apprendre·Chez les chercheurs·Enseignement·Evaluer·Formation·hommage·Pour mes étudiants·Question de grand·Tous ensemble !

Antibi dans ma classe

clairelomme2 commentaires

Une collègue m’a interrogée sur mon rapport à la méthode Antibi, après que j’ai émis des réserves. Je lui ai répondu et voici ma réponse. j’aimerais bien des avis de ceux d’entre vous qui ont testé la méthode en classe sur une durée significative.

Lorsque j’ai découvert la méthode Antibi, j’ai été séduite. J’ai lu pas mal, écouté et assisté à des conférences, et je me suis lancée. À l’époque j’enseignais dans un ECLAIR, et j’avais beaucoup d’élèves en grande difficulté, souvent passifs en début d’année devant les évaluations. Je me disais que peut-être cela les motiverait.
En fait, j’ai pu remarquer plusieurs choses :

  • L’évaluation par contrat de confiance fonctionne difficilement, en tout cas pas naturellement pour moi, sur des tâches complexes et des problèmes ouverts ;
  • Le fait de savoir qu’ils allaient être interrogés sur des tâches réalisées en classe ne les amenait pas (du tout) à apprendre lesdites tâches par cœur. Tant mieux, ce n’était pas le but. Mais ils n’étaient pas plus intéressés par les séances de classe (flûte) ;
  • Une partie des élèves en difficultés ne voyait pas du tout le rapport avec ce qui avait été travaillé en classe (zut) ;
  • Une autre partie (et non des moindres) de mes élèves avait trouvé le principe chouette au départ, car sécurisant, explicite, prévisible, mais assez rapidement ils n’ont plus apprécié, et me l’ont dit : ils trouvaient que c’était moins motivant pour eux. En effet, je fonctionne beaucoup à la motivation par le challenge, par le dépassement de soi, quel que soit le niveau de départ. Or là on ne se dépasse pas dans une partie de l’évaluation, et beaucoup d’élèves, y compris en difficulté, ont eu l’impression de s’ennuyer, et, pire, de ne pas progresser comme ils l’auraient pu.

Cependant, il faut aussi relativiser. D’abord, ce n’est parce que ces élèves avaient une telle impression qu’elle était vraie. Ensuite, moi-même, j’ai une espèce de frénésie de ce qui pétille, qui sautille, qui surprend. Et j’enseigne ainsi. Je crois que la méthode Antibi n’est juste pas faite pour mon enseignement : au fond, avant même de la mettre en œuvre je ressentais le principe comme répétitif, avec une connotation négative. En tant qu’élève, je n’aurais pas aimé, je crois. Cela n’en fait pas une mauvaise méthode, c’est évident, et je suis bien persuadée de son efficacité lorsqu’elle est mise en place par des collègues qui savent le faire bien. Ce n’est pas mon cas.

Capture d’écran 2017-08-10 à 10.03.36.png

Cela dit, j’en ai conservé des pratiques pédagogiques, qui sont des conséquences directes de mes essais :

  • J’ai pris conscience de la « constante macabre ». Je trouve cette prise de conscience fondamentale pour tout enseignant ;
  • Je propose des évaluations par contrat de confiance à certains élèves sur une partie de l’année. Ils n’ont pas le même sujet que les autres, tout le monde le sait, mais tout le monde sait aussi que c’est pour les faire progresser. Je ne vois pas l’intérêt de proposer à un élève une évaluation qu’il n’a pas la possibilité de réaliser. Et ça justement c’est résolu par Antibi. Comme je ne mets pas de notes, il n’y a pas de frein exécutif : un élève qui réussira un exercice qui reprend ce que nous avons fait en classe n’aura pas vert-vert, par exemple, mais juste vert, ce qui correspond au niveau attendu pour valider les LSU. L’élève et ses parents savent que c’est une rampe de lancement : après une période donnée je passe à une évaluation « mixte », pour finir par lui proposer du « comme tout le monde », à un niveau donné (puisque de toute façon je ne propose pas le même niveau d’évaluation à l’ensemble des élèves). Ça, ça fonctionne vraiment bien ;
  • Parfois (une à deux fois dans l’année) je propose une évaluation Antibi. Souvent, c’est aux moments creux, comme avant Noël, où les gamins sont épuisés. Ou alors lorsqu’ils sont assommés d’évaluations parce que le conseil arrive. Comme mes dates sont prévues depuis longtemps (une évaluation par mois), je ne peux pas forcément déplacer. Ou bien encore je leur propose cela si nous avons travaillé sur un thème ardu pour eux. Par exemple cette année j’ai procédé ainsi en 5ème pour l’initiation à la démonstration. Et plus tard les élèves ont été évalués sur leur capacité à transposer les méthodes dans des situations plus inédites ;
  • Sans doute aussi est-ce Antibi qui m’a permis tôt dans ma carrière de systématiser les bilans pré-évaluations, à un moment où il était moins question d’enseignement explicite : les élèves savent sur quels savoirs et quelles compétences ils vont être testés, nous co-construisons la plupart du temps ces bilans et les élèves s’auto-évaluent.

Autrement dit, comme souvent, j’ai pris ce qui me correspond et ce que je sais mettre en oeuvre. Ce qui est certain, c’est que découvrir la méthode Antibi m’a fait évoluer de façon vraiment importante, et que des nombreuses années plus tard j’ai intégré ces évolutions de façon définitives à mon enseignement et à ma philosophie de l’enseignement. D’ailleurs à l’ESPE je fais découvrir du mieux que je peux les apports d’Antibi, et je pense que cela devrait être largement diffusé. Libre ensuite à chacun de se faire son opinion, de s’approprier ou pas tel ou tel aspect, mais au moins c’est une base riche pour réfléchir et tout le monde a quelque chose à en apprendre.

Enfin, mes essais et mes lectures m’ont permis de découvrir à l’époque comme les oppositions entre enseignants, pédagogues, didacticiens, pouvaient être violentes et même révoltantes. Et ça, ça m’a permis de me protéger plus tard, en tant que formatrice pour la réforme du collège, par exemple. C’est toujours mieux de savoir à quoi on peut s’attendre et jusqu’où les gens peuvent aller. On fait mieux face et on reste en équilibre, tranquillement.

Activité rigolote·Apprendre·Au collège·Chez les chercheurs·Chez les collègues·Culture mathématique·En classe·Formation·histoire des maths·Je suis fan·Maths et arts·Maths pour tous·Non classé·Sixième

L’IREM le Limoges, Léonardo et mes 6èmes

clairelommeLaisser un commentaire

Lors du séminaire sur le cycle 3 à Poitiers en juin, j’ai suivi un (super) atelier de l’IREM de Limoges, animé par Marc MOYON (Université de Limoges), Chantal Fourest (Collège d’Arsonval – Brive) et David Somdecoste (École Louis Pons – Brive).

Cet atelier m’a permis de mettre en pratique une activité dès mon retour, avec mes élèves de sixième, et je l’ai intégré à ma séquence n°2 de sixième pour l’année prochaine. J’ai reçu des questions sur cette activité, alors je vous présente ce que j’en ai fait, grâce aux collègues qui sont à l’origine de l’idée. L’atelier avait trois objectifs principaux : proposer de nouveaux supports d’enseignement pour le cycle 3 en intégrant une perspective historique, proposer des pistes de liaison entre l’école et le collège pour l’enseignement de la géométrie et réfléchir autour de l’introduction d’une perspective historique dans une progression annuelle d’un enseignant de mathématiques. Le descriptif de l’ailier est ici.

Les trois collègues qui ont présenté cet atelier sont enthousiastes, simples et concrets. Trois qualités vraiment agréables et motivantes. Je me permets d’indiquer le lien qui présente leurs travaux là, car je l’avais dans mes notes mais je suis parvenue sur la page par moi-même de trois façons différentes, ce qui m’assure que ces contenus sont en libre accès. Allez-y : les documents sont top, téléchargeables, et, cerise sur le gâteau, les deux enseignants (de CM2 et de 6ème) ont mis en ligne des productions d’élèves.

Pour ma part, voici ce que j’ai fait avec mes sixièmes et que je compte réitérer, car la séance avait très bien fonctionné : j’ai commencé par distribuer aux élèves la fiche que j’ai mise en ligne dans l’article sur la séquence n°2 de sixième, et qui est très très très inspirée de celle des collègues de l’atelier. Nous avons un peu parlé de Léonard de Vinci, et j’ai projeté quelques-unes de ses oeuvres.

Ensuite, j’ai proposé aux élèves la même image déclenchante que les collègues vus en atelier :

doc_declenchant_1 Les élèves devaient reproduire la partie supérieure de la figure. je les ai laissés travailler, et nous avons ensuite comparé les productions pour essayer de dégager des critères de validation et d’invalidation.

Une fois ces critères définis, chacun s’est remis à l’ouvrage, en recommençant sa figure ou en aidant son camarade à la réaliser « correctement », de sorte que chacun dispose d’une figure « juste ».

Après cette étape, j’ai demandé aux élèves de rédiger, en binôme ou en îlot, un programme de construction. Comme nous avions déjà beaucoup travaillé avec ma collègue de l’ESPE sur les programmes de construction, avec des coûts associés aux instruments, les élèves sont tout de suite partis sur des réflexions assez expertes, de mon point de vue.

La fin de la séquence (une séance de deux heures d’affilée) a été différenciée, car les élèves progressent à des vitesses très différentes les uns des autres dans les constructions comme dans les travaux d’écriture. Au final, tous ont fait la construction d’une autre figure, celle-ci :

figure_a_reproduire_1

Plusieurs groupes ont eu le temps d’écrire le programme de construction, et quatre groupes se sont lancés dans le même travail avec d’autres figures, choisies sur le grand format qui en regroupait des tas.

Au final, voici les plus-values que j’ai pu identifier à la suite de cette séance :

  • l’aspect historique a en même temps enrichi culturellement les élèves et les a motivés
  • c’est un très très bon contenu pour faire manipuler en géométrie
  • le travail d’écriture et d’algorithmie du programme de construction est passé plus facilement que d’habitude, mais peut-être était-ce parce que c’était la fin de l’année et que nous avions pas mal travaillé sur ces compétences au fil de l’eau.

La séance suivante, les élèves m’ont réclamé de continuer. Même des élèves qui ronchonnent lorsqu’il s’agit de construire des figures étaient partants. Mais j’avais prévu autre chose, d’autant que cette activité était tout à fait imprévue… Cependant je suis contente de l’avoir essayée rapidement, car ainsi je l’ai intégrée directement à mes pratiques, alors que sinon je risquais de l’oublier dans mes nombreuses pages de notes de découvertes de l’année…

Chez les chercheurs·Education·Si si c'est drôle

Moucher Toto avec classe

clairelommeLaisser un commentaire

En préparant mes contenus de séances pour les stagiaires de maths dans l’année à venir, je me suis penchée sur le thème de la discipline. C’est compliqué, parce que ni le climat scolaire, ni la discipline, ni l’autorité ne font l’objet de définitions vraiment consensuelles. C’est normal d’ailleurs, car ce sont des notions multifactorielles (ah, toc, un mot à la mode !) et complexes. En tout cas, je suis tombée sur un texte de 1882. Jean Gaillard écrivait, pour l’article « Discipline scolaire » du Dictionnaire de pédagogie et d’instruction primaire, dirigé par Ferdinand Buisson :

« L’élève le plus emporté et qui paraît le plus intraitable est toujours démonté et vaincu par le calme du maître. Éclairons ce point par un exemple. Un désordre grave s’est produit dans la classe, une punition a été jugée nécessaire, le maître l’a infligée. Ce qui peut arriver de plus grave alors, c’est une sorte de révolte de la part de l’élève qui est l’objet de cette répression ; cette révolte se traduit par un geste malséant, par un mot peu convenable, mettons les choses au pire, par une parole injurieuse. L’enfant agit évidemment sous l’empire d’un sentiment violent, son imagination s’exalte, d’autant plus qu’il sent auprès de lui des témoins de la lutte qui s’engage et que, parmi eux, il s’en trouve un certain nombre peut-être prêts à l’admirer.

Si le maître engage la lutte avec l’enfant, le voilà dans la nécessité très grave ou de céder, ce qui compromet son autorité, ou d’employer la force, ce qui compromet sa dignité. L’instituteur, maître de lui-même, songe d’abord qu’il est homme et qu’un homme ne saurait être insulté par un enfant. Il se contente donc de sourire au spectacle de cet être faible qui commet l’erreur de se croire un moment le plus fort ; il apaise d’un simple geste l’émotion qui s’était manifestée dans la classe. Il évite de parler au coupable et, s’il a une observation courte à faire, c’est aux autres qu’il l’adresse, c’est sous le ridicule et presque d’un seul mot qu’il abat cette grande colère. Le petit rebelle était préparé pour le combat, son épée a frappé dans l’eau, il est désarmé il est vaincu et tout honteux de son escapade. Dans une heure, le maître peut l’appeler et lui tenir le langage de la raison. Il pourra l’écouter, il demandera pardon, il acceptera la punition. Le maître qui, par sa tenue, par ses gestes, par ses éclats de voix désordonnés, par ses colères constantes, vraies ou feintes, par des menaces exagérées qu’il lui est impossible de mettre à exécution, apparaît ridicule se retrouve complètement perdu aux yeux de ses élèves. Il ne les dominera jamais, il ne les disciplinera pas. Arrivât-il à les battre, il ne les empêchera pas de se moquer de lui. »

 

Je vais lire ce texte à mes stagiaires, car en même temps il contient tout et il contient aussi de grosses bêtises. Mais c’est intéressant, en tout cas, et puis un peu rigolo. En le lisant, j’imaginais :

Comment cela, Toto, tu n’as pas fait tes devoirs ? Hé bien tu feras les exercices 23 et 45 page 314 pour demain, que tu me présenteras en plus de la correction complète des exercices qui étaient à faire aujoud’hui.

Pardon ? Qu’ouïe-je ? Toto ne viendrait-il pas de me qualifier de $£%*$€§# ? Alors là mes enfants, laissez-moi vous dire que je trouve cela tout à fait malséant, même si je comprends que c’est la révolte qui est à l’origine de cette injure. D’ailleurs son injure ne me touche paaaaaaas du tout. J’en fais fi, même. Si nous avions un conseil à donner à Toto, ce serait de se calmer, de dominer le sentiment violent qui l’anime, de faire taire son imagination exaltée. Et vous autres regardez vos exercices au lieu de toiser votre camarade qui n’est pas un héros, mais juste une andouille un enfant en colère.

J’imagine une classe entière d’enfants médusés. Bon, ça ne marcherait pas deux fois, mais rien que pour voir leur tête…

Cela dit, le conseil de détachement est pertinent. Ce qui ne l’est pas du tout, c’est la façon de considérer l’enfant. Autres temps, autres moeurs… Qu’en sera-t-il en 2150 ?

Apprendre·Chez les chercheurs·Formation·Pour mes étudiants

Le subitizing selon Brissiaud

clairelommeLaisser un commentaire

Signe que ce sont les vacances : j’avais annoncé « demain, je vous parlerai du subitzing », et paf, nous sommes trois jours plus tard. Le temps, en vacances, ne s’écoule pas de la même façon. Mais le voici, le subitizing de Brissiaud, passé par le filtre de ma lecture de son ouvrage « Premiers pas vers les maths », aux éditions Retz. Le subitizing est défini assez diversement selon les chercheurs et les théories. Je ne présente ici que le sienne, et ce que j’en ai compris.

Le subitizing joue un rôle crucial dans l’accès à l’idée de totalisation et de nombre, quel que soit le chemin vers le nombre.

Le radical « subit » signifie, en anglais, « instantané ». Le subitizing, c’est la capacité d’énumération mentale immédiate des unités jusqu’à 3. L’être humain est capable de prendre en considération simultanément (en termes d’attention) deux ou trois unités, mais pas plus. Il le fait de manière automatique, sans s’en rendre compte. Au-delà, au moins deux focalisations sont nécessaires. De ce fait, l’enfant construit assez facilement le système des trois premiers nombres.

Mais le subitizing correspond seulement à une énumération automatique. Les pédagogues disent fréquemment que les enfants auraient la capacité de « voir » les 3 premiers nombres, alors que les 3 premiers nombres n’offrent évidemment pas les mêmes possibilités de traitement perceptivo-cognitif qu’un objet ou une couleur qui, eux, Unknownse « voient » effectivement. En premier lieu, concernant le nombre, l’emploi du verbe « voir » ne convient pas ; mieux vaut parler de « concevoir » et, mieux encore, de « conceptualiser ». Mais un travail cognitif s’impose, qui est bien plus élaboré que lorsqu’il s’agit de « voir » une chaise, un chat, ou la couleur jaune : le subitizing ne conduit pas l’enfant à concevoir les trois premiers nombres. Il ne s’agit pas d’une reconnaissance perceptive des trois premiers nombres : énumération et totalisation ne se confondent pas. Pourtant, c’est une erreur souvent exprimée. Penser le subitizing comme la possibilité de voir ou de reconnaître perceptivement les nombres jusqu’à trois pourrait laisser croire qu’il suffit d’enseigner les bons mots-nombres à ce qu’ils « voient » pour accéder aux trois premiers nombres. C’est bien plus complexe : le subitizing donne une impression d’acquis là où l’idée de trois comme « un, un et encore un » n’est pas encore assimilée. Il ne dispense pas de passer par les décompositions pour installer une compréhension réelle et durable, et accéder à l’idée de totalisation. Sinon, on reste sur une énumération.

Une étude (Fischer et Bocéréan, 2004) a porté sur des enfants de trois à cinq ans. À une partie d’entre eux on avait appris le comptage jusqu’à cinq, en petite section. Aux autres on n’avait pas appris le comptage. Devant la tâche qui consiste à répondre à la question « Combien y a-t-il d’objets » devant une collection de trois objets, les enfants non compteurs ont montré de meilleures performances : ils ont pu profiter du subitizing, alors que les enfants compteurs en étaient toujours à comprendre la question « combien… » comme une demande de numérotage.

Ainsi, Rémi Brissiaud préconise de ne pas enseigner le comptage à l’école maternelle. L’existence du subitizing a pour conséquence de permettre aux enfants de faciliter la construction du système des trois premiers nombres, en concevant le nombre 3 comme résultant de diverses façons de totaliser ses unités. Le départ pris pour comprendre le nombre n’est pas du tout le même que dans le cas d’un enfant seulement impliqué dans le rituel gestuel et verbal du comptage.