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La règle des signes

Voilà un thème qui ne m’avait jamais laissée satisfaite : la règle des signes en quatrième. Mais ça, c’était avant. Cette année, j’étais fermement résolue à aborder la règle des signes d’une façon qui parle à l’intelligence. Alors en fait, les années précédentes aussi, hein : je ne cherche jamais à m’adresser à autre chose en classe. Mais arrivée devant le moment fatidique, je faisais de la soupe. Pas de la bonne soupe. Soit elle manquait de sel, soit elle était trop légère, soit je renversais la soupière au moment de servir.

J’ai parlé de mon approche de cette année ici, déjà.

Cet été, j’ai bien réfléchi : pourquoi ? Pourquoi cela me résiste-t-il ? J’ai identifié plusieurs points de blocages ou des obstacles :

  • Les élèves s’accrochent à des moyens mnémotechniques que leurs familles leur ont parfois déjà donné et ne cherchent pas à COMPRENDRE pourquoi « moins par moins ça fait plus ». Réagir en fournissant une réponse techniquement juste leur suffit, et pas à moi. Mais pour remédier à cela, il faut déconstruire. Pas facile du tout ;
  • Pour faire les choses bien, il faut avoir suivi un itinéraire progressif et précisément jalonné. Je pense que je n’avais pas eu la rigueur de le baliser de façon claire, et que la deuxième période était trop précoce par rapport à ce que j’avais traité déjà. Sauf que je veux aborder la règle des signes en deuxième période. Ca bloque trop de choses sinon ;
  • J’ai accumulé des frustrations sur ce thème et rendre les élèves exécuteurs est facile ; la balance entre les deux faisait sans doute que je choisissait la facilité, parce que parfois, on n’a pas de place pour la complexité, pour des tas de raisons différentes.

Une fois que j’ai su que j’allais avoir des classes de quatrième cette année, je me suis donné de l’énergie. J’ai pensé à Laura, aussi, AED en prépro dans ma classe : il y a deux ans elle a dû voir quelque chose de peu convaincant. Moi qui la pousse à toujours être plus pointue, et qui la vois l’être avec tellement de talent, je ne pouvais pas me résoudre à ne pas chercher à expliquer vraiment la règle des signes.

Bon en fait, ça a été comme sur des roulettes. J’avais tellement lu ce document de l’IREM et ceux de l’Ifé (ici, )

La métaphore (le « repérage sur la droite graduée ») qui consiste à utiliser cette grandeur fonctionne cependant à peu près bien auprès d’un nombre significatif d’élèves pour ce qui concerne l’addition. Elle se complexifie pour la soustraction et se constitue en obstacle pour la multiplication des relatifs. En effet, la grandeur « déplacement » ainsi construite est une grandeur de dimension 1, et le produit devrait être associé à une grandeur de dimension 2.

file:///Users/claireauger/Downloads/PER-nombres-relatifs-5eme%20(1).pdf

J’ai donc modifié ma programmation en quatrième, pour travailler en première période :

  • Le rôle de la lettre dans le calcul
  • Le sens du signe =
  • Les réductions d’expression littérales
  • la distributivité
  • Les nombres relatifs : les comparaisons, l’addition, la soustraction, l’opposé

J’ai veillé à continuer, comme en cinquième, à aborder les nombres relatifs comme des nombres, et non comme des « graduations » : pas de thermomètre, pas de sous-sol numéroté, rien que des nombres. J’ai beaucoup parlé de représentation de nombres, aussi. J’ai assumé explicitement l’abstraction pour montrer aux élèves que ce que je voudrais leur transmettre, ce sont des outils de pensée, pas seulement (pas vraiment ?) des contenus, et donc certainement pas des formules magiques, trucs ou astuces pour avoir une bonne note sans peine.

Tout ça, j’ai l’impression de le faire tout le temps. Mais là il fallait que j’aille plus loin pour que le sens de ma démarche soit lisible pour les élèves : je devais le faire de façon articulée, tendue vers un objectif. Cela m’a demandé beaucoup de concentration et de préparation, parce que je suis plutôt du genre intuitive et spontanée. Et puis je change souvent de direction.

Cette semaine, nous y sommes arrivés, à cette fameuse règle des signes. La réactivation s’est super bien passée : bah oui, multiplier ne rend pas forcément un nombre plus grand, il suffit de voir quand on multiplie pas 0,5 ; l’opposé était là aussi. L’addition itérée de négatifs est bien posée : les élèves ont été capables de me parler spontanément de distances à zéro, d’écart à zéro, alors que je n’ai pas focalisé là-dessus, mais juste reformulé pour que le plus grand nombre d’élèves ait ce qui lui parle le mieux. En tout cas, les réactions des élèves pendant la réactivation étaient rassurantes.

J’ai utilisé pile poil les exemples du document de l’IREM cité plus haut, avec une recherche individuelle courte puis un débat collectif. Nous avons bien avancé. Pour se convaincre sans addition itérée que 4,2x(-8) donne un résultat négatif, je suis passé directement par la deuxième démonstration proposée, celle qui passe par 4,2x(0-8). Ca a été impec. Quand il s’est agi de travailler sur (-5)x(-3), les élèves ont pu le faire tout seuls. Nous avons discuté de la pertinence de ce que nous écrivions : pourquoi passer par là ? Pourquoi ce 0 dans la parenthèse ? Est-ce que « plus simple ça peut pas suffire » ? Puis nous avons eu une conversation sur l’abstraction, dont je parlerai plus tard.

Deux jours plus tard, nous avons posé la trace écrite, et les élèves ont su la refaire en autonomie pour la majorité. Ils ont aussi su m’expliquer pourquoi je trouve ça bien d’enseigner de cette façon la règle des signes. Evidemment, comme je leur ai dit que je trouvais peu pertinente par rapport au sens la comptine des ennemis de mes ennemis (sans compter que le concept d’ennemi m’est étranger, et que si j’en avais, je ne vois pas pourquoi les ennemis de mes ennemis seraient mes amis, franchement), les élèves me taquinent pas mal avec ça… Tssss. Ca change de décaler la virgule, déjà.

Je pense que j’ai fait passer un message, en plus de la règle des signes : un message quant à l’abstraction, à la valeur de la démonstration, à l’intérêt de généraliser, d’argumenter. La règle des signes est acquises par la quasi totalité des élèves sur la première évaluation flash, mais ça, c’est peut-être bien comme d’habitude. C’est sur des cas plus complexes que je saurai si cette entrée a rendu plus robustes mes élèves.

Mais cela me soulage d’avoir réussi à aller au bout de ce que je voulais faire. Là, c’est bien fait à mon sens. En même temps en me relisant je trouve ça d’un élémentaire assez ébouriffant, et je me demande pourquoi j’ai rencontré de telles difficultés. En même temps, cela ne me gêne pas du tout, intellectuellement. C’est même intéressant de voir comme on peut patiner sur tel ou tel sujet. Peut-être n’avais-je pas assez tricoté ma progression et ma programmation, et les élèves ne pouvaient pas suivre naturellement. j’ai vraiment besoin que les étapes viennent d’eux le plus possible, mais pour cela il faut que tout s’articule, qu’ils aient compris, intériorisé, mémoriser.

Ce que c’est complexe, ce boulot !

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Des tables dans la rue

Delphine Julie m’a envoyé ces photos prises au détour d’une balade, à Courbevoie :

Sympa, de trouver des maths au sol ! Ces tables de multiplication peuvent être matière à bien des jeux, mais aussi à de multiples observations mathématiques… Et c’est plus sympa qu’un bête trottoir…

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1/3, qu’est-ce que c’est ?

C’est un nombre, tel que

D’ailleurs, quand le copain de monsieur le ministre des solidarités souffle, c’est ça qu’il dit, c’est bien. Et donc en effet, 1/3 et 3, ce n’est pas pareil, non non non. En fait, 3 c’est 9 fois plus que 1/3. Mais on va peut-être attendre pour expliquer cela à monsieur le ministre des solidarités, parce que c’est clairement prématuré.

Et puis sinon, quand on a une éval, avant c’est mieux de réviser.

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Le grand oral de Bruno

Hé bin c’est pas gagné. Merci Yvan, j’ai bien ri !

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Tu peux attendre un douzième d’heure s’il te plaît ?

J’essaie, en début de sixième, après avoir fait découvrir des numérations égyptienne, mésopotamienne, romaine, grecque, maya, chinoise, shadok, etc., de faire le lien avec les calculs de durées. Nous expliquons pourquoi soustraire avec compensation est risqué, car le report de la retenue ne fonctionne pas de la même façon, nous réfléchissons au rôle de la virgule (3,5h c’est quoi? 3h05min ? 3h50min? aucun des deux ?) et nous en arrivons à parler de dixièmes : un dixième d’heure, c’est 6 minutes. C’est très pratique de savoir ça. Mais en général c’est long à installer. Les élèves comprennent sur le coup, de façon superficielle, et il faut y revenir encore et encore dans l’année pour ancrer ce savoir, pour qu’il soit attaché à une vraie compréhension.

Cette année, lorsque j’en suis arrivée là, un élève s’est illuminé. Il trouvait ça tellement pratique, et ça rendait pour lui les fractions « hyper utiles ». Il a écrit ceci dans sa copie d’évaluation :

C’est imparfait, comme explication, mais je comprends qu’il a compris et en plus il utilise la fraction à bon escient.

Je suis joie.

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Ecrire les opérations

En cinquième, nous sommes en fin de séquence qui contenait (entre autre) les priorités opératoires. Aujourd’hui, nous avons travaillé la façon dénoncer un calcul. Par exemple, je dis aux élèves « la somme de 4 et du produit de 6 par 2 », et ils doivent écrire « 4+6×2 », ou bien si le leur dis « le produit de 4 par la somme de 6 et 2 » ils écrivent (en principe) « 4x(6+2) ». Ils sont plutôt bien compris du point de vue des priorités, mais je suis perplexe : plusieurs d’entre eux écrivent systématiquement des calculs de cette façon :

J’avoue ne pas trip savoir comment interpréter cela : ces élèves pensent-ils application à un nombre de départ ? Ou bien écrivent-ils « juste » dans l’ordre de ce qu’ils entendent, sans se préoccuper de savoir qi la phrase calculatoire a du sens en tant que telle ? Je pense qu’en entendant « le produit de 7 par la somme de 1 et 3 », ils se débarrassent du produit par 7 et ensuite isolent la somme de 1 et 3 en indiquant les parenthèses parce qu’ils la conçoivent comme une sorte d’entité, mais sans relier les deux. Je vais en discuter avec eux.

Bon, sinon, j’ai bien aimé ça : nous parlons le même langage je crois…

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La règle qui pointe le bout de ses signes

Bientôt, nous allons aborder la règle des signes, en quatrième. J’ai veillé à bien suivre dès l’année dernière, avec mes élèves de cinquième, les étapes exposées dans cet article de 2008 du groupe didactique des mathématiques de l’Irem d’Aquitaine, dont les auteur(e)s sont A. Berté, C.Desnavres, J.Chagneau, J.Lafourcade, L.Conquer, M.C.Mauratille, C.Sageaux et D.Roumilhac. Pour réactiver tout ça en quatrième, même chose. Il faut dire que c’est simple maintenant que j’ai automatisé cette approche. Exit les thermomètres, les étages et compagnie, bienvenue abstraction, nous t’attendions.

Aujourd’hui j’ai bien relu l’article, pour la deuxième fois en une semaine, pour être sûre que je le maîtrise comme il faut. Je travaille la factorisation cette semaine, et avant les vacances hop, nous devrions arriver à la règle des signes. En même temps je pense avoir toujours essayé de procéder ainsi, et d’un autre côté je sentais que je devais être plus rigoureuse, dans le déroulé et dans la présentation, le choix des exemples, etc. Alors cette année, je fais de la jolie dentelle.

Et ensuite je reviendrai vous raconter.

https://publimath.univ-irem.fr/numerisation/WR/IWR08016/IWR08016.pdf
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Au hasard de l’algèbre

La phase de découverte : la collaboration

Un collègue, Jérôme Urvois, m’a envoyé des fiches de calcul littéral. J’avais stocké ces fiches, depuis un moment. Ce weekend, j’ai décidé de ranger le bureau de mon ordinateur, et je suis tombée dessus. Un bonheur.

Il s’agit de fiches d’exercices abordant plusieurs thèmes. L’un d’eux est le calcul littéral et les priorités de calcul. L’élève se munit d’un dé, et il le lance pour déterminer, à chaque question, la valeur de chaque lettre, puisque ces lettres représentent des nombres. Il substitue la valeur du dé à la lettre, et zou, il calcule. Cela va d’expressions du style a + b x c à d’autres comme a x a x a + 3 x a. La fiche s’intitule « priorités de calcul – un peu de hasard ».

La phase d’acceptation : le coup de cœur

Dès la première lecture, j’adore le principe. Personne n’aura la même fiche de calcul, c’est rigolo. Les élèves aiment le hasard (lorsqu’il n’est pas menaçant), ils aiment lancer des dés. Et ce principe de lancer de dé est une excellente idée : ils vont avancer dans la compréhension du rôle de la lettre : j’obtiens 6, je remplace par 6, mais si j’avais obtenu 2 j’aurais remplacé par 2… Le calcul est le même dans sa mécanique, mais pas dans son résultat, car il dépend des valeurs attribuées. Cependant, c’est toujours la somme d’un nombre et du produit de deux autres, dans le cas du premier exemple, pour moi, pour ma voisine, pour l’élève qui propose sa correction.

La phase d’adoption : des questions…

Donc, j’adopte. Je pousse les activités prévues dans ma programmation hebdomadaire, certaines propulsées à la semaine suivante (ou pas, on verra si on en a besoin), et voilà.

Oui mais il y a des questions à se poser : est-ce que je conserve tout de la version originale ? Je donne quoi comme dés ? Est-ce que j’en ai assez dans la classe ? Comment on corrige ? On en sort quoi comme trace écrite ? Et si on réactivait les probas ? Il n’y a pas des élèves qui vont botter en touche et choisir les nombres qui les arrangent ?

La phase d’appropriation : je mets à ma sauce

D’abord, j’enlève des questions. C’est difficile, car toutes sont pertinentes et visent un objectif, mais je voudrais que tout tienne sur un format A4. Alors je réduis la police de caractère et les marges, et je taille dans les questions qui toutes avaient leur charme. Je me donne des priorités : outre l’utilisation de la lettre, son sens, je veux travailler les priorités de calcul, le sens des opérations (a x a et a x 2, pas même combat), les notations (« a au carré » nous voilà).

Une fois ceci fait, il y a la question cruciale : le matériel. J’ai pas mal de dés à 6 face dans la classe, sans doute assez pour que chacun(e) en dispose d’un. Mais j’ai des dés à 4 faces pour les élèves en difficulté de calcul mental, et des dés à 8, 10, 12, 20 faces aussi… Vive la différenciation ! Mais il faudra relancer plusieurs fois pour chaque question, puisque chaque élève ne disposera que d’un seul dé. Cela va générer du bruit. Il faut que je pense à caler cette séance à un moment où j’ai la pêche. Si le bruit incessant de 27 dés m’agace, je ne serai pas efficace. Ce sera donc une activité volante, qui se posera où elle en a envie dans la semaine.

Comment corrige-t-on ? Mmmh, je n’ai clairement pas envie de corriger 27 copies de 21 calculs tous différents. Que puis-je faire d’utile et de pratique en même temps ? Hé bien pour une fois, nous allons utiliser la calculatrice : chaque élève se corrigera ou corrigera un€ camarade à l’aide de la calculatrice : l’année dernière, à force de ne jamais la faire utiliser, je me suis aperçue (en juin, oups) que mes élèves ne savaient ni où se trouve la touche « au carré », ni comment employer les parenthèses. C’est l’occasion, zou. Chacun(e) saura combien de calculs étaient justes, et je pourrai intervenir avec les élèves en difficulté.

La trace écrite maintenant. Une petite trace sur l’usage de la calculatrice, la trace écrite sur les priorités s’enrichira des puissances, une trace écrite sur la notation « au carré », et puis une sur le rôle de la lettre et sur le sens du signe « = »… Bien. Les élèves devraient y penser par eux-mêmes et être en mesure de les construire avec moi.

Mais j’ai envie de travailler les probabilités, aussi. Je ferais bien dresser un tableau d’effectif pour étudier les lancers. Ça fait beaucoup de nombres, et les moins rapides pourront se contenter de recenser quelques calculs seulement, mais j’aimerais que nous réfléchissions sur la distribution aléatoire des résultats. Peut-être pourrons-nous mettre à jour des manipulations peu honnêtes d’élèves, qui sait ? Et si je glissais des dés truqués dans l’histoire… Et puis nous pourrions évoquer la moyenne, aussi. Oh oui, chouette : la moyenne sur un dé 6 c’est 3,5, or le dé 6 ne présente pas de face à nombre décimal… Que vont penser de cela mes élèves ? Oui, nous réactiverons la moyenne, c’est bien, ça.

Bon, j’ai répondu à toutes mes questions. Enfin, celles qui se présentent là. Les autres viendront en situation, et je serai bien obligée d’y répondre aussi.

La phase de finalisation : à nous la bonne tambouille !

Tout est prêt. L’activité est en forme, son déploiement est cadré, les dés sont dans la classe, mes objectifs sont définis, les traces écrites anticipées (dans leur contenu global seulement). J’aime beaucoup lorsque les idées tombent en cascade ainsi. Jérôme m’a permis d’enrichir mon répertoire d’activités, je vais pouvoir expérimenter quelque chose de nouveau et en mesurer les effets, je me suis amusée et je tiens une activité qui, je crois, va être riche en apprentissages, et gaie.

Et je ne devrais pas tarder à vous faire un bilan.

Merci Jérôme !