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Que cache la dyscalculie ?

Dans le cadre du séminaire national de l’APMEP aujourd’hui, Marie-Line Gardes, de la Haute École Pédagogique du Canton de Vaud (Lausanne, Suisse), nous présente ce matin une intervention intitulée : que cache la dyscalculie ? Nous étions impatients : être prof de maths et ne jamais avoir eu de proposition de formation sur la dyscalculie, ce qui est le cas d’une majorité d’entre nous, est tout de même une anomalie.

La meilleur façon de faire de la recherche, tous ensemble, c’est de se lancer, de mettre les mains dans le cambouis, et allez on y va.

Marie-Line Gardes

Entre 3% et 7% de personnes sont dyscalculiques. La dyscalculie place l’individu en situation de handicap dans la vie de tous les jours ; mais la frontière est mince entre ce qu’on appelle difficulté et trouble des apprentissages.

Difficulté ou trouble ?

Voici des traces d’une élève de CE2, qui devait recopier « rituel du matin » écrit au tableau :

On relève 8 orthographes différentes tout au long de l’année. Le fait que toute l’année il y ait instabilité est caractéristique du trouble. Un diagnostique a été posé pour cette élève : la dysorthographie.

Une difficulté est provisoire et contextuelle, issue de l’analyse des interprétations des erreurs, et implique un processus de remédiation ou ce différenciation locale de la part de l’enseignant. Les origines peuvent être multiples.

Le trouble est durable, avéré, en général connu a priori, diagnostiqué dans plusieurs contextes différents par des professionnels, entrave la vie de tous les jours. L’origine est neuro-développementale, relève de compensations importantes et peut correspondre à une situation de handicap.

Loty et Mazeau (2020)

Les enfants porteurs de troubles dys progressent, mais moins vite : l’écart aux attendus s’accroît au fil du temps. Parmi les élèves qui ont des difficultés, ceux qui ont des troubles d’apprentissage ont des difficultés sévères, persistantes, mais aussi variées, même si elles correspondent à un même diagnostique.

Du côté des sciences cognitives

Sur ce graphique, on voit l’effectif de recherches mondiales sur la dyslexie (en haut) et la dyscalculie (en bas)…

La dyscalculie est un trouble neurodéveloppemental, qui se traduit par des difficultés importantes en mathématiques, qui ne sont pas dues à un retard intellectuel, ni un déficit sensoriel. Elle est souvent associée à la dyslexie et au trouble de l’attention, ce qui rend plus difficile le diagnostic. Ses causes sont encore assez méconnues. Les premiers travaux ont mis à jour les difficultés quant au nombre, d’où le mot « dyscalculie », mais elle affecte aussi le raisonnement, par exemple.

Le diagnostique s’appuie sur le DSM-5, avec quatre critères :

  • L’individu présente une difficulté à apprendre et à utiliser les aptitudes académiques, qui ont persisté depuis au moins 6 mois en dépit d’interventions ciblées. C’est très important, car on ne peut pas faire un diagnostique à un temps t isolé. C’est aussi pour cela que le diagnostique peut être long à établir ;
  • Le niveau de l’individu est en-dessous de celui attendu pour son âge et interfère significativement avec les performances académiques ou les occupations ;
  • Les difficultés commencent durant les années d’école mais peuvent n’être manifestes que dès lors que les demandes excèdent les capacités limitées de l’individu ;
  • La difficulté n’est pas mieux expliquée par une déficience intellectuelle, ou une acuité auditive ou visuelle non corrigée, d’autres troubles neurologiques ou mentaux, ou une adversité psycho-sociale (comme l’anxiété mathématique)

La plupart des tests sont très chers, non accessibles aux chercheurs.

Dans les tests en psychologie, certaines tâches didactiques ne sont pas proposées, comme la mémoire de la position dans le nombre.

Une meilleure caractérisation de la dyscalculie nécessiterait de tester plusieurs compétences mathématiques et leur évolution dans le temps, pour écarter l’anxiété en mathématiques comme principale source de difficulté, de vérifier la présence de comorbidité et d’évaluer les capacités cognitives générales

Schwarz et Prado, 2018

Du côté du raisonnement, on a proposé à des enfants des histoires dont on est le héros, avec de propositions et des choix à effectuer. Parfois le choix à faire devait s’appuyer sur un raisonnement transitif (type A>B et B>C donc A>C), parfois il devait s’appuyer sur la mémoire. Les élèves dyscalculiques réussissent moins bien à inférer dans des propositions avec du raisonnement transitif. Dans la région du sillon intra-pariétal, qui est importante dans tous les traitement mathématiques, une zone qui s’active particulièrement chez les neuro-typiques est moindre chez les enfants dyscalculiques.

Une étude met en évidence que la prévalence de la dyscalculie est de 60% chez les vrais jumeaux et 40% les faux jumeaux. Les antécédents familiaux constituent un obstacle majeur.

Du côté de la recherche en éducation

Beaucoup de recherches portent sur les difficultés ordinaires en mathématiques, et peu sur les troubles des apprentissages. La demande est croissante de la part des enseignants. Ces recherches pourraient apporter des contributions spécifiques, en particulier pour développer des situations (des interventions) en classe, pour prévenir ou remédier, basées sur une identification précise des difficultés. Les psychologues n’ont pas de formation spécifiques en mathématiques et ne vont donc pas avoir cette approche cognitive précise : chaque regard est important et il faudrait les croiser pour mieux comprendre.

En anglais, on dit « mathematical learning disabilities », mais dans l’ensemble le mot difficulty arrive en premier à l’international, puis dyscalculia, disability et enfin disorder. Il y a donc différentes terminologies. Certains pays s’intéressent aux difficultés plutôt qu’aux troubles, aux performances ou aux compétences, au diagnostique, à l’activité et aux raisonnement mathématique, à la remédiation ou à l’étayage : ça part un peu dans tous les sens selon où on se trouve dans le Monde.

Comment définir quels pourraient être les élèves considérés comme ayant des troubles ou des difficultés d’apprentissage en mathématiques ? Voici la proposition présentée par Marie-Line :

A partir de douze revues dans le domaine Math education et 449 articles, une analyse des mots-clefs et du résumé ont permis d’exclure des publications, 19 articles ont été conservés, dont 2 méta-analyses.

La majorité des participants aux études ont entre 7 et 12 ans : c’est l’âge où on découvre et où se pose de plus en plus de questions sur les difficultés rencontrées par l’enfant.

16 des 17 articles portent sur des compétences arithmétiques (nombres, calculs, fractions, des problèmes). En revanche il y a une absence de recherche sur les autres domaines.

Les recherches s’intéressent très peu à la classe, en milieu écologique » : elles s’intéressent surtout aux interventions.Peu d’études s’intéressent à l’intersection de l’identification et de l’intervention, pour construire une action face à une situation.

Identification des difficultés

Les psychologues ne se posent pas la question de l’enseignant.

La dyscalculie cause des difficultés avec les notions de quantité et de cardinalité, avec la mémorisation des faits numériques et la maîtrise des opérations, pour comprendre le système de numération décimale de position, dans la compréhension des nombres rationnels (la compréhension des fractions est un défi pour le dyscalculiques).

Là où il y a des étoiles, on remarque une différence significative entre les dyscalculiques et les non dyscalculiques, chez des adultes :

On retrouve aussi des instabilités dans les réponses des adultes.

Les difficultés des dyscalculiques ne sont pas spécifiques, mais classiques du début des apprentissages. Les difficultés sont plus spécifiques sur le raisonnement. Mais ces difficultés sont persistantes, résistantes.

Des difficultés aux interventions

Il faut adapter : le milieu va me permettre de m’adapter. L’élève placé dans l’environnement va bénéficier d’adaptations du milieu. Le milieu est évolutif et désigne tout ce que l’enseignant propose à ses élèves pour apprendre, avec le milieu allié (qui aide mais ne permet pas forcément d’apprendre, comme le vélo avec les petites roues) et le milieu antagoniste (qui permet d’apprendre mais pose des problèmes : on enlève les petites roues), avec lesquels il faut trouver un équilibre. Le milieu produit des rétroactions, et en appui sur ces rétroactions, l’élève va pouvoir apprendre. L’enseignant va ajuster ses choix didactiques au contexte d’enseignement, aux connaissances des élèves et à leurs difficultés.

Adapter c’est proposer un même apprentissage sous différentes présentations et modalités, éventuellement avec des aides complémentaires.

Compenser, c’est contourner l’obstacle, s’affranchir d’une sous-tâche pour permettre l’accès à l’apprentissage-cible, pour maintenir les exigences.

Par exemple, donner un gabarit d’opérations posées c’est adapter, et sonner la calculatrice c’est compenser.

Il faut avoir des connaissances sur le trouble pour pouvoir aider les élèves concernés par ce trouble à progresser. Mais les analyses mathématiques et didactiques sont cruciales aussi.

Marie-Line nous a parlé d’un ouvrage récent et intéressant, mais qui n’est pas pour la classe :

Cette conférence de Marie-Line Gardes était elle aussi fantastique. Nous avons eu bien de la chance de participer à ce séminaire.

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Un cours de 6e (partie 1) : bah oui

Aujourd’hui, un peu de sémiotique en 6e : j’ai appris à mes élèves les symboles suivants :

Je trouve cela très important, car la différence entre les deux est mathématiquement importante. Les élèves vont croiser, en cycle 4, des inégalités strictes et des inégalités larges. Au moment où ils les croiseront, ce serait bien qu’ils aient pu modéliser leur sens en amont. Pour résoudre des problèmes mettant en jeu des inégalités, des inéquations, pour comprendre facilement au lycée les intervalles, il me semble que c’est plus confortable ainsi.

Et donc, j’écris dans le cahier de leçon :

Je demande : que peut bien valoir ce point d’interrogation ? Et ensuite, je me régale. Ils sont vraiment extraordinaires, ces loulous, et ils me renvoient que nous avons bien travaillé :

  • Ca peut être 3, du coup. C’est le premier, même.
  • 3 est en effet le plus petit nombre que je peux mettre à la place du point d’interrogation. Alors que dans ? < 3, je ne pouvais pas le proposer.
  • Ca peut être 4.
  • D’accord. (je note dans le cahier)
  • Ou 5.
  • Oui, mais ça ne m’amuse pas : 4 ou 5, c’est un peu le même exemple, pour moi.
  • Ah bah alors 19 030 000.
  • D’accord, c’est aussi un entier, mais c’est un grand nombre. (je note dans le cahier)
  • Ah je sais je sais : 6,5.
  • Ok, comment s’appelle un tel nombre ?
  • Un décimal !
  • Oui. Autre exemple ?
  • On ne connaît que les entiers et les décimaux, nous ?
  • Non, y a les fractions.
  • Ok. Une fraction supérieure à 3 ?
  • Heuuuuu…
  • 3/4 ?
  • C’est supérieur à 3, 3/4 ?
  • Non, c’est plus petit que l’unité.
  • Hé oui.
  • Alors 3+1/4 !
  • Oui, ça marche, ça. Ca donne quoi, sous la forme d’une seule fraction ?
  • 13/4 !
  • Bien. Une unité, c’est 4/4. Trois unité c’est 4/4+4/4+4/4, ou 3×4/4, donc 12/4. Avec 1/4 en plus, ça donne 13/4. C’est bien, mais je ne le note pas. Pourquoi ?
  • Parce que c’est aussi un décimal.
  • Oui, pourquoi ?
  • Chais pas. Les quarts c’est toujours des décimaux.
  • Pourquoi ?
  • Mmmmmh…
  • Parce que quand on coupe un entier en deux ça fait « ,5 » et du coup si on recoupe en deux ça fait « ,25 ».
  • Ou « ,75 ».
  • Ah oui, ou « ,75 ».
  • Bon alors je voudrais une fraction qui ne soit pas un nombre décimal.
  • Faut prendre des tiers ou des septièmes, qui se divisent pas bien.
  • Genre par exemple on pourrait prendre 16/3.
  • Ok, pourquoi ?
  • Parce que 15/3 c’est 5 alors 16/3 ça fait « 5,plein de 3 à l’infini » et ça marche.
  • On aurait pu prendre 10/3 alors.
  • Oui, aussi. (Je note dans le cahier) D’autres idées ?
  • On a des entiers, dont des grands nombres, des décimaux, des fractions, on s’arrête là ?
  • Aaaaaah moi moi moi !
  • Oui, G ?
  • π !
  • Bien ! Comment s’appelle un tel nombre ?
  • Bin π…
  • Oui, mais c’est un entier ?
  • Non.
  • Un décimal ?
  • Non.
  • Une fraction ?
  • Non.
  • C’est quoi alors cette drôle de bestiole ?
  • Un irrationnel !
  • Bravo !

Ensuite, nous avons étudié l’inégalité :

Et là, les élèves m’ont fait écrire 3 ; 1 ; 0 ; 0,5 ; 1/3 ; et puis les élèves se sont lâchés : -3 ; -0,5 ; -1/3 et même -π parce qu’ils voulaient un irrationnel.

Quand j’ai demandé : « mais -π, c’est un nombre ? », j’ai eu droit à un simple : « bah oui. »

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Genaille et Lucas

Mon mari a trouvé un document élaboré par un collègue en 20029, qui explique le principe de fonctionnement de réglettes inventées en 1885 par Henri Genaille et Édouard Lucas. Alors bon, l’utilisation est limitée, puisque ces réglettes permettent d’obtenir le produit d’un entier par un nombre à un chiffre, mais j’ai trouvé ça très rigolo, et je ne connaissais pas.

http://bdemauge.free.fr/maths/genaille.pdf

Par exemple, 3 885 x 5 = 19 425, sur l’exemple ci-dessous. On place les chiffres de 3 885 verticalement, on regarde dans la ligne du 5, on choisit le premier nombre (en haut de cette ligne) dans la colonne de droite, et on se laisse guider par les triangles, comme s’il s’agissait de flèches.

http://bdemauge.free.fr/maths/genaille.pdf

Le collègue joint le matériel à photocopier.

J’ai bien envie d’utiliser ça l’année prochaine en début de 6e, pour faire réfléchir à la multiplication. Peut-être pourrais-je introduire les bâtons de Neper avant, puisque ces réglettes en constituent une sorte d’amélioration. J’ai trouvé une référence à un article de collègues de l’Université de Rouen (dont la regrettée Martine léonard) qui explique le principe, mais malheureusement je n’arrive pas à le télécharger. C’est dans un bulletin de l’APMEP(2010, p. 339-348). J’ai une chance de l’avoir dans ma classe, je verrai la semaine prochaine.

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0,4 est-il inférieur ou supérieur à 0,13 ?

Arnaud Boulay a trouvé cette infographie et l’a partagée. Attention, c’est violent dans le fond et dans la forme :

Aujourd’hui en France, page 8, édition du 26 mai 2022

Voilà ce qui arrive lorsqu’on retient que de deux nombres, le plus grand est celui qui possède le plus de chiffres. Ca, ça marche jusqu’en CE2 (et encore). Mais une fois que les décimaux arrivent, c’est caduque.

C’est pourquoi cette affirmation est un subterfuge délétère, et pas une règle. C’est faux et cela construit des représentations qui perdurent.

La question bonus, c’est pourquoi les journalistes n’ont-ils pas des logiciels qui construisent des graphiques corrects ? Pourquoi utilisent-ils des outils où ils font à la main, visiblement ?

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Kroa, cuvée 2022

Ce matin, nous avons travaillé sur l’activité Kroa, en 6e :

Cette activité fait travailler les mesures de longueur, d’aire et de volume, ainsi que la géométrie plane et spatiale.

J’avais déjà projeté un diapo avec des oeuvres de Vasarely, la semaine dernière, que nous avions commentées et décrite au filtre des mathématiques :

Nous en sommes donc arrivés aux Kroas :

Dans l’ordre, nous traitons Kroa MC (parce que les mesures sont entières), puis Kroa II (les mesures sont au dixième), et Kroa bleu (en inches, c’est plus complexe). En une heure, j’ai le temps de traiter Kroa MC bien à fond. Ce matin, les quatre groupes de sixième que j’ai eu avec moi ont aussi réglé le cas du Kroa II, en transférant la méthode, sans que les décimaux ne posent de problème. Ils ont juste posé des opérations ou calculé de tête de façon plus développée. La prochaine fois nous attaquerons Kroa bleu.

Dès le départ, j’ai demandé aux élèves pourquoi à leur avis le 50x50x50cm me gêne, et ils ont tout de suite su me dire « parce qu’il n’y a pas cm partout, du coup les deux premiers ça pourrait être en patates ». En effet, la patate est mon unité de référence. Ils ont tous eu le réflexe de calculer (en passant par 5x5x5 et explicitant qu’ils multiplient ensuite par 1 000, impec), pour finalement me dire « ah oui mais en fait on fait quoi, là, ça veut dire quoi, ce 125 000 cm3 ? Nous avons réfléchi et un élève a parlé de « boîte de rangement cubique ». J’ai adopté cette formulation.

Ensuite, nous avons réfléchi encore. Des élèves m’ont proposé, pour savoir combien mesure l’arête d’un cube composant le Kroa, de poser la règle de tableau sur l’image projetée, et de « mettre la photo. à l’échelle en réduisant » sur l’ordinateur pour mesurer ensuite. C’était ingénieux et astucieux, mais cela permettait pas d’être précis, vu la position du solide : il y a toujours une question de profondeur qui fausse la mesure. Mais on aurait pu avoir une idée d’ordre de grandeur.

Grâce à la visualiseuse et à des dés, nous avons décomposé et recomposé le solide. Laura en a aussi fabriqué une version en papier, qui m’a permis de synthétiser :

Le problème a été résolu assez facilement au final.

Il ne nous reste qu’à résoudre Kroa bleu la prochaine fois, avec le passage aux inches. Je voudrais montrer aux élèves qu’on peut utiliser des « inches au cube », pour donner du sens à « au cube. J’espère qu’ils seront en mesure de mobiliser à nouveau les étapes de résolution, mais je pense que ce sera le cas.

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Shikaku, entre autres

Nathalie, une collègue avec qui j’échange numériquement m’a fait découvrir educmat, un site plein plein de très chouettes ressources. J’ai attaqué par les jeux de carrelage que Nathalie m’avait conseillés :

J’en ai préparé à imprimer pour mes élèves, car je suis déjà accro. On peut aussi jouer en ligne. La règle de base est toute simple : on doit compléter la grille en plaçant des rectangles, qui contiennent un et un seul nombre, qui détermine l’aire en carreaux de ce rectangle.

Je vous laisse, j’y retourne. Je n’ai pas fini le niveau expert.

Et ensuite j’explorerai le reste de ce site qui m’a l’air tout à fait formidable !

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Et ça, c’est pour mes 5e

Décidément, cette semaine c’est facile pour trouver mes « tiens, je suis tombée là-dessus et je me suis demandé… » de la semaine :

Nous venons d’étudier la notation scientifique ; alors, en mètre par exemple, ça fait combien ? Et en km ?

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Beast academy puzzle, pour faire des maths

Cette série de bouquins, que m’a faits découvrir Stéphane Robert, est vraiment top :

Aujourd’hui, avec un élève d’Ulis, nous avons travaillé sur deux types de fiches, et c’est vraiment intéressant du point de vue des apprentissages.

Sur celles-ci, il faut placer les nombres successifs de sorte qu’ils soient adjacents. Cela oblige à anticiper, ce que mon élève avait du mal à faire au départ. Finalement il a continué en réfléchissant fort et il a anticipé comme un chef.

Sur celles-ci, on travaille le sens du signe « = », que mon élève n’envisageait que dans un « sens » :

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Eloge de l’erreur ou provocation ?

J’ai vu passer plusieurs photos de bouteilles de vin à étiquette mathématique. Un tweet ce matin m’a fait réaliser qu’il y avait une erreur sur une des étiquettes :

Alors je me suis demandé : peut-être y a-t-il une erreur volontairement sur toutes ? Hé bien oui :

Je ne bois pas de vin ; je ne sais pas la qualité de celui-ci. Mais je trouve ça rigolo. C’est l’occasion d’expliquer les raisons des algorithmes de calcul posé à table, de faire estimer, et tout et tout ! Mais sans boire trop…