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Vers la multiplication

Dans mon collège, nous avons cette année accueilli un élève, en sixième, qui ne sait pas lire. Appelons-le Sorenn. En arrivant, Sorenn ne connaissait pas son alphabet, ni le code qui permet de déchiffrer, même pas dans son principe. En mathématiques, il sait additionner, mentalement pour des nombres pas trop désagréables, et soustraire s’il peut le réaliser sur les doigts. Il ne connaît pas le sens de la multiplication.

Un mystère, c’est comment il a ou arriver en sixième dans ces conditions : pas de dossier de quoi que ce soit, pas de notif MDPH, un dossier scolaire vide de toue particularité alors qu’il a toujours été scolarisé. Juste des évaluations, calamiteuses, et des mentions de bonne volonté.

Je travaille avec Sorenn deux heures par semaines depuis le mois de novembre. Parfois, c’est difficile : il a une histoire de vie douloureuse et n’est pas toujours en mesure de s’assoir ou de réfléchir à des concepts. Je le comprends, mais je veux et je dois lui apprendre des choses. Alors je m’adapte : j’essaie de l’emmener le plus loin possible, et quand vraiment c’est contreproductif ou qu’il risque de souffrir, je contourne la difficulté. Nous jouons à la bataille navale pour travailler le repérage et la logique élémentaire, nous allons chercher des formes géométrique dans le collège, dans la cour, pour les nommer, les décrire, les dessiner à main lever puis de façon instrumentée en revenant en classe, nous mesurons la hauteur au-dessus de mon tableau pour déterminer si un affichage peut ou pas y rentrer, etc. C’est un défi permanent, mais je suis seule avec lui, ce qui me permet cette adaptation. C’est passionnant.

Pendant plusieurs semaines, Sorenn a appris avec moi à prononcer les lettres de l’alphabet. En capitales, en cursive. En script, c’est encore difficile mais on progresse. Sorenn arrive à lire des mots entiers, tant qu’il n’y a pas de ou, de eu, de in et leurs variantes. Il parvient à copier des phrases simples et courtes. Il sait à présent comparer des nombres entiers, jusqu’au million, même avec des zéros mal placés, et à résoudre des problèmes additifs. Il réalise des figures et verbalise de façon structurée le programme de construction. Il a progressé d’une façon fantastique, grâce à de supers outils sur lesquels je me suis reposée. Mais voilà, le script coince sévèrement et le stresse terriblement. Quand il commence à se lever et à tourner façon lion en cage, je sais qu’il y a péril. Je parviens parfois à le récupérer sur la même tâche, parfois pas.

Comme il fatigue de cet apprentissage de la lecture et de l’écriture, aujourd’hui j’avais piqué une ressource qu’utilise mon mari pour lui faire comprendre la multiplication : sur l’école de Crevette, il a trouvé ces fiches :

Ces fiches m’ont plu : il y en a plusieurs, et même un effectif assez important, ce qui permet de travailler le sens, d’expliquer les enjeux, et ensuite d’automatiser et de laisser en autonomie de façon graduelle. Ensuite, elles commencent par travailler la commutativité de la multiplication, ce qui est à mon sens absolument fondamental et pas du tout évident. Ce matin, en une heure, nous avons travaillé sur trois fiches de chaque exemple ci-dessus. J’avais bricolé des outils supplémentaires (des fiches pour représenter en faisant appel à la commutativité, de différentes façons), sorti du matériel, nous avons rangé, dérangé, organisé, organisé autrement.

Au final, Sorenn a compris des choses. J’ai l’impression qu’il a vraiment progressé sur le sens de la multiplication, mais cela reste à vérifier, évidemment. Nous avons aussi beaucoup travaillé les symboles d’opération, la façon de les exprimer (Sorenn disait au départ « plus » ou « fois » de façon indifférenciée devant + ou x), ainsi que le signe « = ». C’était passionnant, et épuisant. Je suis ressortie épuisée. Bon après j’ai récupéré, mais sur le coup, j’avais les neurones en cacahuète. En tout cas, il est passé d’une représentation imagée à la représentation symbolique, ce qui est un indicateur favorable.

J’ai hâte d’être à demain pour retrouver Sorenn.

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1,1.5

– La piscine elle mesure 1,1cm de long, sur la photo.

– Non, moi je trouve 1,2cm.

– Bah on va prendre la moitié, non ?

– Ah ouais. Mais c’est quoi la moitié ?

– Bah 1,1.5 !

– Ah ouais.

– Madaaaaaame, ma calculatrice elle est pas bien, elle a une virgule mais pas de point ! Je peux pas taper 1,1.5 !

Deux groupes, de classes différentes, ont eu cette idée. Va falloir bosser le décimal.

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Avant, il y avait la réthorique, pour bourrer le mou.

Maintenant, il y a plus simple : le recours au mensonge, éhonté, évident, grossier.

Vincent Parbelle m’a signalé ce tweet de Damien Pelé, tout à fait magnifique… Je vais montrer ça à mes élèves, pour la peine.

Question aux auteurs de ce diagramme, au Figaro, au choix :

  • Ne pensez-vous pas qu’une remise à niveau en mathématiques élémentaire s’impose ? Car 47<53, même en pourcentages, si, si. La barre bleue devrait être plus courte que la blanche, voyez-vous. En mesurant, on s’aperçoit qu’il ne s’agit même pas d’une inversion.
  • Si vous saviez ça, mais que vous avez voulu mentir, pourquoi ne pas pipeauter les résultats obtenus, directement ? Vous seriez malhonnêtes, mais cela ne se verrait pas.
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Fin de séquence sur les fractions, et badaboum

En sixième, nous avons étudié les fractions, depuis quelque temps : qu’est-ce qu’une fraction, le lien avec le partage, la division, le fait que :

C’était très important, car c’est ce qui m’a permis de présenter la fraction comme nombre. Ensuite, nous avons longuement travaillé le repérage, au travers d’exercices variés. Pour cela, il a fallu que les élèves comprennent vraiment que :

etc.

Et qu’ils comprennent le sens du dénominateur, celui du numérateur. J’ai passé beaucoup de temps sur tout cela, car j’avais des élèves qui n’avaient pas du tout su tout su tout compris la fraction, et comme les fractions m’emmènent cers les fractions décimales pour aborder au final l’écriture décimale, je dois faire attention. C’est un moment-clef dans ma progression.

Nous avons aussi travaillé les différentes écritures d’un même nombre, dont les écritures fractionnaires. Cela nous a emmenés dans la proportionnalité. J’ai été très vigilante à ma façon de m’exprimer : j’ai dû veiller aux raccourcis qui font dire « tu multiplies ta fraction par quoi par quoi ? », pour toujours prendre le temps : « Tu multiplies quoi par quoi ? D’accord, tu multiplies le dénominateur par 3. Et donc tu fais quoi d’autre, pour écrire un nombre égal au premier ? Bien, on a multiplié le numérateur ET le dénominateur par le MEME nombre, cela garantit deux écritures différentes d’un MEME nombre ». Sinon, les élèves vont vite à penser qu’en multipliant le dénominateur ou (exclusif) le numérateur par un nombre non nul, on obtient un nombre égal dont l’écriture nous arrange. Hé bin non. En fait, on multiplie par 1, mais écrit autrement. D’où la proportionnalité, pendant qu’on y était, et paf la raclette, pour enfoncer le clou.

Nous avons travaillé, après cela, et en même temps un peu aussi, les comparaisons : une fois que les élèves savent repérer sur un axe, on peut les amener à conceptualiser sans représentation écrite. Nous avons utilisé à fond Maths mentales pour automatiser. Jusque là, tout allait bien. Il a fallu faire des détours, laisser des élèves partir vers l’infini et au-delà (merci les brochures de l’APMEP…) pendant que je m’appliquait à ramener ceux qui ramaient un peu, voire beaucoup, mais au final j’étais satisfaite.

Il me restait à développer des automatismes de ce type (ce qui est noté en vert) :

Nous avons passé du temps là-dessus. J’ai formulé, reformulé, les élèves ont proposé d’autres façons d’écrire 5/3 (comme 2-4/3 par exemple). J’ai fait le lien avec le quai pour aller à Poudlard :

Pour certains élèves, j’ai dû revenir à la représentation en disques, pour d’autres j’ai dû poser des divisions ; cela m’indiquait qu’une partie des élèves avait certes automatisé comment transformer une fraction, mais n’avaient pas construit une compréhension solide par ailleurs : les élèves qui ont besoin de représentation sont plutôt restés sur la communication type attendus de CM1 et les élèves qui ont besoin de la division sont sur les attendus de CM2.

Une fois ceci. fait, re-boum, automatisation avec Maths mentales, avec un diaporama proposant des questions de ce type (sur Maths mentales, on peut aussi demander des fiches d’exercices) :

Une grande majorité des élèves a tout réussi, ou presque, en ayant recours parfois à plusieurs écritures différentes. Mais 5 élèves n’ont réussi aucune question. Ce sont les élèves qui ne connaissent pas leurs tables, ce qui évidemment est paralysant dans un tel exercice. Je leur ai donné des tables, mais cela ne les aide pas tant que cela : ces élèves ont compris le sens de la multiplication « seulement » en lien avec des situations problèmes, mais pas ses propriétés conceptuelles comme la réversibilité avec la division ou la commutativité, ni je pense en fait le lien avec l’addition itérée. Ne pas savoir ses tables n’est pas une difficulté superficielle qui peut se compenser en les « réapprenant » : lorsqu’elles ne sont pas mémorisées en 6e, c’est souvent le signe d’une construction bancale bien plus globale. On retient ses tables d’autant mieux qu’on a construit le sens de la multiplication de façon complète. Une compréhension partielle, c’est très très insuffisant.

Alors bon, ces 5 élèves se trouvent devant un obstacle de taille.

Et bim, moi aussi.

Sur le coup, je me suis dit zut, comment vais-je faire pour les aider ? Le plan, c’est que le diapo en temps limité qui pose des questions du type ci-dessus va être proposé à la classe en évaluation ; si je procède ainsi pour ces 5 élèves, je les mène au découragement, car ils seront en échec complet ou presque complet. Mais je veux continuer d’avancer, car je sais que le temps, les réactivations, les questions mobilisant les fractions dans d’autres contextes leur permettront de progresser. Et je ne peux pas non plus reporter l’évaluation pour les autres élèves, qui sont prêts. J’ai passé l’âge du tout, tout de suite. Je suis à l’âge du tout, d’ici à la fin de l’année (si possible, en faisant tous de notre mieux ; et sinon on se contentera d’avoir fait un maximum de progrès. C’est déjà super). Cela dit, je ne peux pas non plus leur envoyer comme message : « bon, vous n’avez pas compris, je le sais, vous savez que je le sais, et je vais quand même vous évaluer et vous ne réussirez pas ». Je dois utiliser cette évaluation pour leur donner des moyens d’apprendre, de comprendre, de progresser.

Après réflexion, je pense leur proposer d’être évalués différemment, en en tenant compte dans la validation de leur niveau de compétences. Grâce à MiCetF, j’ai préparé une feuille d’appui, que j’ai plastifiée, pour que ces élèves puissent représenter en la réutilisant. Je leur donnerai seulement 5 ou 6 questions, aussi, au lieu de 10 ou 15 pour leurs camarades. Le plan, c’est qu’ils comprennent le principe pour ensuite (au fil du temps) chercher à se détacher de la feuille d’appui, en faisant le lien avec la multiplication. En général, un élève, c’est ce qu’il cherche : à savoir, à être autonome. Je leur fais donc confiance.

En parallèle, je vais réfléchir à des exercices, des situations, des activités qui me permettent de réinvoquer le sens de la multiplication (et surtout ses propriétés conceptuelles) tout en apprenant de nouveaux savoirs en même temps, et aussi proposer des ateliers différenciés de calcul mental, pour redonner une autre chance, autrement, d’apprendre les tables.

Et il sera toujours temps de leur reproposer la même évaluation que leurs camarades lorsqu’ils auront progressé.

Je ne sais pas si je suis satisfaite. Je le saurai quand j’aurai essayé, si je constate des progrès.

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Translation-fusion-projection : addition !

Un article de Culture Maths paru récemment s’intitule :

Cet article est absolument extra. Merci aux collègues qui m’ont amenée à le lire. Et vivement la suite, puisque c’est le premier d’une série…

L’idée annoncée en chapeau est de mettre à notre disposition des réflexions qui nous aident « à construire chez l’enfant un univers mathématique qui donne du sens à l’addition et à la soustraction en les enracinant à l’aide de concepts de géométrie et de logique élémentaires ». Voilà qui est fort alléchant, et la bonne nouvelle c’est que l’article tient tout à fait ses promesses.

On commence avec l’addition : l’addition-translation, l’addition-fusion. Cela fait écho avec ce que je travaille en 5e en ce moment : l’addition de relatifs. Certains élèves pratiquent mentalement l’addition-translation, du type « (-5)+(-8), je me place à -5 sur la droite numérique et je me « déplace » de 5 unités « vers la gauche » ». D’autres préfèrent « j’ai 5 marqueurs-unités négatifs, j’en ajoute 8, toujours négatifs, et ça m’en fait 13 négatifs, donc -13 ». Pour des calculs du type -5+8, on retrouve les mêmes types de représentations mentales, avec une annulation à la Dudu des marqueurs positifs et négatifs deux à deux, tant qu’on peut. Et la fusion est représentée avec le boulier, au travers d’une analyse claire et complète, qui amène à l’addition-projection, super chouette.

Et ensuite, on passe à la soustraction, avec des approches similaires.

Passionnant, cet article, et tellement accessible ! J’aime particulièrement le lien explicite avec les propriétés conceptuelles comme la commutativité de l’addition, la réversibilité addition-soustraction, mais aussi cette façon de multi-représenter. C’est une pépite pour la formation.

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La proportionnalité du fromage (à raclette)

Aujourd’hui, nous avons travaillé sur l’activité de Elle à table sur la raclette, dont j’ai parlé ici. Je suis très contente de ce que les élèves de ma deuxième classe de 5e en ont fait ; la première classe était plongée dans un profond sommeil et ça a été poussif en revanche. Demain je recommence avec ma troisième classe de 5e.

Au final, après analyse, nous avons laissé une trace de leçon sur la proportionnalité, co construite : les élèves semblaient mûrs pour cela. Ca donne ça, par exemple (avec des variations selon la classe) :

Ce qui m’a plu, c’est que mon objectif était d’insister sur la linéarité additive, et que c’est ce que plusieurs élèves m’ont tout de suite cité. Pour 2 personnes et 4 personnes, multiplier par 2 et encore par 2 a été un réflexe (légitime), mais pour 6 personnes, quelques élèves ont proposé de multiplier les quantités pour 1 personne par 6, davantage ont proposé de multiplier les quantités pour 2 personnes par 3, mais finalement beaucoup s’orientaient spontanément vers additionner les quantités pour 2 personnes et 4 personnes. C’est important pour moi : je veux faire comprendre la proportionnalité, mais j’ai conscience que les élèves ne peuvent pas accéder avant la 3e à une véritable modélisation, faute de fonctions linéaires. D’un autre côté, je veux aussi déconstruire les représentations fausses du type (si t’ajoutes 3 d’un côté, t’ajoute 3 de l’autre ». Quant au produit en croix, je le réserve pour la classe de 4e, une fois que les fractions auront été suffisamment travaillées pour que chacun ait assimilé les égalités de fraction et, par conséquent, l’égalité des produits.

Ce qui m’a vraiment plu aussi, c’est que les élèves ont cherché à expliquer rationnellement la raison de l’apparent chaos des quantités d’ingrédients. Aucun « c’est pour nous tromper », « c’est pour qu’on rate notre raclette », rien de rien. Franchement, on progresse. Nous avons commencé par le fromage, et au vu des valeurs, les élèves ont fait des propositions (il en manque ; j’en ai oublié une que j’ai trouvée chouette) :

  • Plus on est nombreux, plus on mange parce qu’on voit les autres manger
  • Plus on est nombreux, plus le repas dure longtemps et du coup on mange plus
  • Plus on est nombreux, plus il y a de chances qu’il y ait des gens qui mangent beaucoup (?)
  • Plus on est nombreux, plus on a envie de fromage…

Ensuite, nous avons étudié la charcuterie, et là, paf, c’est proportionnel. Voilà qui a surpris les élèves : en fait, la personne qui a écrit ces quantités connaît la proportionnalité… Alors pourquoi cette personne a-t-elle loupé la proportionnalité du fromage ? Selon mes élèves, deux explications sont possibles : soit plusieurs personnes se sont séparé les ingrédients, soit ce sont des quantités issues de recettes différentes et reconstituées. Reste à savoir pourquoi elles ne sont quand même pas proportionnelles, alors. Un élève a suggéré que le fromage est moins cher que la charcuterie, et que c’est peut-être pour cette raison qu’on fait serré sur la charcuterie. Il a le sens des réalités, cet élèves !

Nous avons terminé avec les pommes de terre. Perplexité des élèves : selon le nombre de convives, le nombre de pommes de terre par personne varie de façon non monotone. Non seulement ce n’est pas proportionnel, mais un coup on en a plus par personne, un coup on en a moins. C’est vrai que c’est curieux. Les élèves se sont aussi interrogés sur le fait de compter en pommes de terre, sur la masse réelle moyenne d’une pomme de terre, tout ça.

Et un élève a demandé : « mais madame alors, si on est plus de 8 on est embêtés pour suivre cette recette ! » Et c’est vrai : si par exemple on est 18, on peut se dire ok, je prends les quantités pour 8, je les double et je rajoute les quantités pour 2. Mais on applique un modèle de proportionnalité sur des données qui ne la respectent pas.

C’était bien. Nous avons en tout consacré 35 à 40 minutes à cette activité hors programmation, mais j’ai gagné du temps pour la suite puisque la première partie de la leçon est posée et que la réactivation est vraiment satisfaisante de la part de mes élèves.

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2 022 à la loupe

Le fil Twitter AnecdotesMaths a énoncé des propriétés de 2 022 :

Par ailleurs, 2 022 est un nombre abondant, car la somme de ses diviseurs est supérieure à 2 fois ce nombre, ou si vous préférez la somme de ses diviseurs propres est supérieure à 2 022 :

1 + 2 + 3 + 6 + 337 + 674 + 1 011 = 2 034 > 2 022

En 2 022, nous aurons une date palindromique jj/mm/aaaa, le 22 février. D’autres formats en proposent d’autres.

Enfin, plusieurs élèves, dans leurs voeux, m’ont envoyé des 2 022 avec symétrie du chiffre des dizaines, ce qui dessine un coeur (merci !) :

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L’amitié, le fromage et les patates.

Claire Piolti-Lamorthe (coucou Claire !) a relayé des indications de proportions pour préparer une raclette, trouvée dans Elle à table. C’est très chouette :

Revoilà un chouette support, que j’utiliserai sans aucun doute en classe, peut-être bien la semaine prochaine : je pense qu’il faut l’exploiter en hiver, et en sixième nous avons pas mal parlé proportionnalité, ce qui en fait un support pile-poil adapté. Et en cinquième, c’est une occasion de réactiver, sachant que là, je n’ai pas encore beaucoup parlé proportionnalité, justement.

Outre des conversions courantes mais qui valent le coup d’être rappelées, ce que je trouve chouette c’est que les calculs sont très simples : il y a tout un tas de doubles, et pour 6 personnes la linéarité additive est très efficace. Cela me permettra de rappeler linéarité additive et linéarité multiplicative, ce qui est une véritable fixette chez moi, et que mes élèves ne maîtrisent pas tous. Je le constate en particulier dans les entraînement de la course aux nombres.

La conclusion, c’est qu’être nombreux donne envie de fromage, mais pas de charcuterie. Et de patates, ça dépend. Si ça se trouve, c’est une grande leçon philosophique que voilà.

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Combien de chamallows ?

Début décembre, j’ai lancé le défi d’estimation de la période : combien y a-t-il de chamallows dans ce vase ?

Aujourd’hui, c’était la remise des récompenses : les élèves qui ont donné la réponse exacte recevaient des chamallows, et ceux qui n’ont pas donné la réponse exacte mais n’en sont pas éloignés de plus de 2 chamallows recevaient un peu moins de chamallows, mais une quantité qui les a quand même réjouis. Ca a généré 16 gagnants, dont 3 grands gagnants.

J’ai reçu 147 réponses, dont 6 bulletins nuls car sans nom. Les réponses sont allées de 90 chamallows à 1560 chamallows, avec une moyenne de 242 et une médiane à 205. Il y a finalement eu très peu de réponses vraiment loin. J’avais choisi ces chamallows à dessein : leur forme cylindrique régulière permettait de remplir régulièrement le vase.

En période 3, ça va se compliquer…