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J’ai mal aux quadrilatères

Aujourd’hui, dans une de mes classes de sixième, un puzzle de Brousseau m’a donné prétexte à réfléchir collectivement aux quadrilatères particuliers et à ce qu’est une définition.

Les élèves ont bien retenu ce que je leur avais déjà dit : une définition doit être complète, intelligible et la plus courte possible. Ce minimalisme est parfois interprété comme une recherche d’efficacité, pour certains d’entre eux, et comme une fainéantise tout à fait bienvenue pour d’autres.

Nous avons défini le quadrilatère, le cerf-volant, le trapèze, le parallélogramme, le rectangle, le losange, le carré. Évidemment nous avons débattu ferme : faut-il préciser que le rectangle a deux mesures différentes (que sa longueur et sa largeur sont différentes) ? Faut-il dire que le losange n’a pas d’angle droit ? Mais alors, un carré, c’est tout en même temps ? Et le trapèze, on dit quoi ?

Bref, au final, les élèves ont choisi d’accepter sereinement que oui, le carré est un rectangle, par exemple, et ont même sélectionné pour définition : le carré est un rectangle régulier. Parce que c’est la plus courte et qu’ainsi ils espèrent ne pas « oublier » qu’un carré est aussi un rectangle, entre autre.

Et puis ce midi, au club maths, un élève m’appelle : il est en train de lire un livre qu’il a amené. « Madame, c’est bizarre ça non ? On dirait qu’ils disent qu’un rectangle ça peut pas être un carré. Ca complique pour comprendre. C’est vous qu’avez raison, hein ? »

Bonne remarque, bravo. Au moins, voilà un élève qui a compris ce que j’ai expliqué le matin. En revanche, mauvaise nouvelle : comment fait-on pour s’y retrouver, quand la littérature elle-même raconte des bêtises ? Parce que dire que le carré a des côtés opposés parallèles, ce n’est pas nécessaire dans une définition, mais ce n’est pas faux et d’ailleurs le livre ne prétend pas donner une définition ; il donne des informations. En revanche, dire que le rectangle possède « une paire de côtés plus longue que l’autre » (en plus c’est mal formulé : une paire de côtés plus longue que l’autre paire, c’est chargé d’implicite), que le trapèze ne peut avoir que deux côtés parallèles et pas de côtés égaux ou que les angles consécutifs du losange sont « inégaux », c’est faux.

C’est embêtant, et cela donne une idée de la culture générale mathématique.

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Ah non mais zut à la fin

Assez des emplois absurdes du signe =. C’est déjà hyper compliqué, le signe = et tous ses sens, on peut peut-être éviter d’en faire n’importe quoi.

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Alors je pourrais aller chez Domino, commander pour 28€ et ne payer au final que . Parce que 28 = 3x3x3+1 et si 2 = 3 ça donne 28 =  2x2x2+1 = 3×2+1 = 2×2+1 = 2×3-1 = 2×2-1 = 3 = 2. Et je pourrais faire encore mieux. Parce que si 2=3, alors 0=1. Et même avec un peu de mauvais foi, -1=0. Mais là c’est limite car des prix négatifs, ce n’est pas courant tout de même.

Remarquons aussi la non réflexivité de la relation d’égalité dans ce cas : 2=3, mais évidemment pas 3=2, sans quoi si vous commandes trois pizzas, on vous en chipe une. Sauf si on le considère pour le prix. Rholala il est compliqué ce signe =…

C’est vrai que ça ne fait pas cher les pizzas.

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Les maths en première, encore.

Aujourd’hui 26 novembre, Le Figaro a publié un nouvel article sur les maths en première. On y lit à nouveau qu’il existe de « vrais scientifiques ». Je crois qu’ils ont décidé de m’énerver. Moi qui étais bien meilleure en lettres dans le contexte scolaire, je me demande à quelle catégorie j’appartiens, puisqu’il semble qu’il faille catégoriser. Fausse scientifique, sans doute, car je refuse de renoncer à ma catégorisation « littéraire ». Ai-je le droit d’être mutliclassée ? Ou alors je ne suis ni scientifique, ni littéraire : je suis prof.

Pour autant, c’est bien que des médias tirent la sonnette alarme et relaient les propos (tenus depuis de longs mois déjà) de l’APMEP et de la SMF. Tout le monde peut se tromper, et si les maths de première ne sont pas adaptées, les décideurs portaient l’entendre et corriger le tir.

L’éducabilité, c’est pour tout le monde. Mais s’entêter c’est bêta, surtout quand derrière une obstination de principe il y a de jeunes gens qui souffrent dans des apprentissages. Les apprentissages sont faits pour émanciper et rendre libre, pas pour souffrir. Heureusement, à la place des maths, il y a « humanités, littérature et philosophie. C’est sympathique et il n’y a que des filles » (sic).

Zenzenzen.

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Rémi Brissiaud vs Stanislas Dehaene

Dans les Cahiers Pédagogiques, Rémi Brissiaud a publié cette semaine un article intitulé :

Maths : les fondements scientifiques de l’évaluation s’effondrent.

Il me semble important de le lire, ne serait-ce que pour pouvoir suivre l’actualité et comprendre ce qui se joue. L’article complet est ici.Une deuxième partie, à venir, portera sur l’articulation entre connaissances scientifiques et pédagogiques.

  • « Les « nouvelles » évaluations CP-CE1 sont les premières à être qualifiées de « cognitives ». On comprend mal pourquoi une évaluation scolaire, dans sa forme classique, ne pourrait pas être également qualifiée ainsi. C’est pourquoi on soupçonne que l’emploi de l’adjectif « cognitif » renvoie à l’usage que ferait cette « nouvelle évaluation » de résultats issus des sciences cognitives. (…) Il y a ceux correspondant à une évaluation scolaire « classique » :(…) … et deux autres items qu’elle qualifie de « prédictifs », ce qui est évidemment plus précis que « cognitifs ». Ce sont ces derniers items qui font l’originalité de la nouvelle évaluation. »
  • Rémi Brissiaud développe ensuite son point de vue sur le « sens des nombres » annoncé par Stanislas Dehaene : « La capacité de distinguer deux collections dès que leurs tailles sont suffisamment différentes est une compétence de bas niveau qui est effectivement largement partagée dans le règne du vivant : un grand nombre d’organismes sont génétiquement équipés afin de distinguer précocement un gros tas de nourriture d’un petit tas. C’est pourquoi la plupart des chercheurs en sciences cognitives font le choix de s’exprimer différemment de Stanislas Dehaene : ils parlent d’un « sens inné des ordres de grandeurs » (le mot anglais utilisé est magnitude) alors que lui choisit de parler d’un « sens inné des nombres » ou encore d’un « système inné de nombres approximatifs ». (…) Comme la notion de nombre naît de la comparaison des quantités, elle présuppose donc cette notion : il n’y a pas de conception possible des nombres sans celle préalable des quantités ! Or les quantités sont définies à une unité près et, donc, pour accéder aux nombres il faut procéder à une analyse des collections unité par unité. (…) Présentons un résultat qui invalide l’idée que les bébés disposeraient d’un « sens inné des nombres ». Les nourrissons de moins de trois jours différencient une collection de 10 points et une autre de 30 points, mais ils différencient aussi une collection de 25 points et une autre de 75 points… En fait, ils différencient de grandes collections qui sont dans un rapport de 1 à 3 (dans cette comparaison visuelle, c’est le rapport qui importe !). En revanche, des bébés bien plus âgés ne font pas la différence entre une collection de 2 et une de 6, c’est-à-dire de petites collections qui, elles aussi, sont dans un rapport de 1 à 3. Ce résultat est totalement contre-intuitif : les nourrissons réussissent avec de grandes collections ce que des bébés plus âgés échouent avec de petites collections ! Ceci plaide en faveur de l’hypothèse que le traitement inné des collections ne porte pas sur des quantités analysées unité par unité, mais sur des ordres de grandeur. »
  • « Lorsqu’un chercheur reproche à Stanislas Dehaene sa façon de s’exprimer, il rétorque que pour qualifier les compétences innées des bébés, il n’utilise pas le mot « nombre » isolément parce qu’il lui accole le mot « approximatif ». Cependant, l’usage de l’expression « nombre approximatif » est surprenant parce que le propre du nombre est d’être défini exactement : 4 n’est ni 3, ni 5 ! (…) Ainsi, l’usage de l’expression « nombres approximatifs » pour qualifier les compétences innées des bébés crée une double confusion : un traitement non numérique, la comparaison des ordres de grandeur, est qualifié de numérique et un futur traitement numérique de haut niveau est désigné de la même manière qu’un traitement non numérique inné. En s’exprimant ainsi, Stanislas Dehaene ne rend pas service à l’école et aux enseignants. »
  • La recherche « conduit à étudier le rôle de trois variables : 1°) Le sens inné des ordres de grandeur. Pour l’évaluer, ils utilisent une épreuve de comparaison de collections de points. Les auteurs de la recherche disent explicitement que cette partie de leur travail est un test de la théorie exposée par Stanislas Dehaene dans son ouvrage The Number Sensé2°) Le résultat à l’épreuve de comparaison que l’on trouve dans l’évaluation CP-CE1. 3°) Le résultat à un test d’intelligence non verbale, les matrices de Raven. Leur conclusion est sans appel : le sens inné des ordres de grandeur n’explique en rien les performances à l’épreuve dite de la ligne numérique. En revanche, les deux autres variables contribuent à la réussite de manières importantes et proches. »
  • « L’interprétation donnée par Stanislas Dehaene de la réussite à l’épreuve dite de « la ligne numérique » est donc erronée ce qui, évidemment, laisse mal augurer des remédiations proposées aux élèves qui échoueraient.« 
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Maths et anxiété

Sur le site Contact de l’Université de Laval, un article interroge : « Qui a peur des mathématiques ?« . Il y est question d’anxiété mathématique, concept qui est évoqué de façon assez récente. J’en avais parlé ici.

« Ce trouble bien réel (…) se manifeste surtout au début du secondaire, avec les premiers cours d’algèbre, mais peut se développer tôt au primaire, dès l’âge de 6 ans. «L’anxiété mathématique apparaît lorsque l’élève est déstabilisé par un nouveau concept sans lien apparent avec les apprentissages antérieurs, indique Bernard R. Hodgson, professeur au Département de mathématiques et de statistique. Par exemple, quand on introduit les fractions ou encore les “lettres” comme a, b, x et y en algèbre.»« 

« L’anxiété mathématique vient en quelque sorte mettre hors d’usage la partie du cerveau nécessaire pour réaliser une opération mathématique. La science tente encore de comprendre ce qui se passe, mais il semblerait que le stress, en monopolisant une partie de l’attention et de l’énergie du cerveau, diminue l’efficacité de certaines facultés comme la mémoire, la pensée critique et la capacité de résolution de problèmes.« 

« «Tous les gens normalement constitués sont capables de faire des mathématiques, soutient cependant Jean-Marie De Koninck, professeur émérite du Département de mathématiques et de statistique. Tous les enfants ont une affinité naturelle pour les nombres et les formes. Ils apprennent même à compter avant d’écrire. Malheureusement, certains perdent cette capacité à cause de préjugés et d’influences négatives extérieures.» Les mathématiques sont en effet associées à plusieurs stéréotypes: les maths sont complexes et difficiles à maîtriser, les garçons sont meilleurs que les filles. » «C’est faux, s’insurge Bernard R. Hodgson. (…) La réussite en mathématiques ne dépend pas tant de l’intelligence que de la discipline et du travail. Tous les grands mathématiciens expliquent leur succès par leur travail acharn黫 

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Dans la suite de l’article, l’auteur explique que le fait que les mathématiques soient une discipline obligatoire pour tous les niveaux d’enseignement (question d’actualité chez nous…), élitiste (ici elle va le devenir encore plus sans doute, puisque certains élèves feront peu de maths) et verticale (les nouveaux apprentissages s’appuient sur les apprentissages antérieurs, le plus souvent) sont des causes de difficultés. Il cite aussi le manque de lisibilité de l’utilité des mathématiques, le fait d’enseigner les techniques plus que le sens. 

Conclusion : « il faut rendre les mathématiques plus humaines, plus sympathiques« . Pour ma part, je pense qu’il faut s’employer à montrer à quel point les mathématiques sont humaines, utiles, et les enseigner de façon vivante, chargées d’histoire et prometteuses pour l’avenir. Elles deviendront « sympathiques », naturellement.

Et même, peut-être, les élèves auront envie d’en faire, même quand ce n’est pas obligatoire. Et même, peut-être, des adultes auront envie de les enseigner.