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En chiffres, les cocos !

J’ai fait passer à mes élèves un test, une mini course aux nombres élaborée avec des collègues de Fécamp, avec lesquels nous mettons au point un dispositif de remédiation dès l’entrée en sixième, dans le domaine « nombres et calculs ».

Demain, je vous parlerai d’une des questions, qui a appelé un nombre de réponses différentes assez impressionnant. Mais avant d’éteindre mon ordi, un clin d’oeil à trois zozos : malgré la question posée invariablement dans chaque de mes trois classes :

Madaaaame, quand vous dites d’écrire en chiffres, vous voulez dire qu’on écrit avec des lettres ?

à laquelle j’ai répondu… non (surprenant non ?), ils ont réussi à répondre ça :

C’est d’autant plus agaçant, tout de même, que les deux productions du bas montrent une interprétation correcte de « 13 dizaines », sans pouvoir être valorisées en principe. Et, comme me l’a fait remarquer ma fille, celui du haut réussit à recopier la consigne, mais avec deux fautes d’orthographe en plus.

Groupmf.

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Il est temps d’apprendre ses leçons

Mes chers élèves,

Je vous écris ce petit article, rien que pour vous, pour vous rappeler que mercredi 3 mars (soit dans une semaine et un jour), nous serez interrogés sur cinq questions de leçon : des questions sur les pages du cahier concernant l’arithmétique (les critères de divisibilité et les nombres premiers) et des questions sur les polygones particuliers (carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, etc.).

Je vous rappelle également que si vous ne savez pas votre leçon, vous allez passer du temps avec moi, le lundi et le vendredi, de 16h à 17h, jusqu’à ce que vous connaissez les notions sans lesquelles vous allez être en difficulté. Vous pouvez appeler ça une punition si vous voulez, ou des heures de retenue, mais c’est bien plus constructif que ça en fait. Je vais vous réapprendre à apprendre, s’il le faut.

Ainsi, soyez raisonnables, éteignez cette console, posez ce ballon, garez ce vélo et lâchez ce téléphone, au moins dix minutes chaque jour d’ici à lundi, pour apprendre.

C’est beau, vous savez, d’apprendre. Parce qu’après, on sait. Et savoir, c’est vraiment chouette. Ca rend plus grand, plus libre. Et ça permet de rentrer plus tôt chez soi le lundi et le vendredi.

Unknown

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Bilan : ma programmation en sixième

Bon. Nous n’avons pas chômé, avec mes loulous de sixième, mais j’ai l’impression d’avoir encore des tonnes de choses à faire. Et l’année est bien avancée. En plus nous avons des projets qu’il faut travailler aussi. Alors là, il faut que je fasse le point. Ca me chatouille trop le cerveau.

Les attendus de fin de cycle, d’abord.

Capture d’écran 2020-02-21 à 11.06.47Capture d’écran 2020-02-21 à 11.07.13Capture d’écran 2020-02-21 à 11.07.32Capture d’écran 2020-02-21 à 11.07.43Capture d’écran 2020-02-21 à 11.11.20Capture d’écran 2020-02-21 à 11.07.51Capture d’écran 2020-02-21 à 11.08.00Capture d’écran 2020-02-21 à 11.08.08Capture d’écran 2020-02-21 à 11.08.25Capture d’écran 2020-02-21 à 11.08.57Capture d’écran 2020-02-21 à 11.09.14Capture d’écran 2020-02-21 à 11.09.44Capture d’écran 2020-02-21 à 11.10.32

C’est un peu ingrat, comme bilan, car certains concepts tiennent en une ligne et ont demandé des heures de travail : tout le travail autour de la proportionnalité, autour de la fraction.

Mais bon, ce qui me reste n’est pas si volumineux, parce qu’à part le cercle et le disque, nous avons déjà tout réactivé :

  • les décimaux, qui sont largement entamés en fait. Dans ma programmation, les pourcentages vont avec ;
  • Aires, puis volumes, qui arrivent juste après et ont été préparés ;
  • Le cas du cercle et du disque, un peu à part ;
  • La symétrie axiale, avec surtout la médiatrice ;
  • Une activité sur les échelles, avec une belle photo aérienne de Dieppe.

Si je quantifie ce dont j’ai idéalement encore besoin, il me faut :

  • 14 heures pour décimaux-pourcentages-échelles ;
  • 9 heures pour les aires et les volumes ;
  • 4 heures pour cercle et disque ;
  • 6 heures pour la symétrie axiale .

Autrement dit, il me fait 31 heures d’enseignements, plus 6 heures de rallyes, 6 heures de projet.

Ca fait 43 heures.

Bien. Maintenant je compte ce qui me reste avec mes classes. J’ouvre Pronote. Je compte. Semaine après semaine. Je passe les jours fériés, les jours où je serai convoquée pour des formations académiques, nationales, pour être jury de CAPES, et deux sorties.

Et là, voilà :

  • 43 heures en sixième 1 ;
  • 44 heures en sixième 2 ;
  • 42 heures en sixième 4.

Wouhou. Pile. Mais comme j’ai prévu large dans mes besoins, je pense que ça le fait.

Et ça c’est avec 6 heures de projet, ce qui est plutôt pas mal.

Bon, il ne fait rien relâcher, mais on tient le bon bout. Je peux rester sereine.

Biiiiiiiieeeen. Je vais faire des frites, tiens.

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Nos histoires de palindromes

Le 2 février dernier, nous étions les 02/02/2020, ce qui, écrit en succession directe de chiffres, constitue un joli palindrome : 02022020.

J’avais sauté sur l’occasion et proposé ceci à mes élèves de sixième :

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Je leur ai proposé le 3 février (le lundi), et je voulais le corriger avec eux le vendredi. Et puis, une chose en entraînant une autre, nous n’avons pas eu le temps. Mais aujourd’hui, mes trois classes m’ont réclamé de revenir sur cette histoire de palindromes, et c’était manifestement pressant. Alors nous avons débattu. Plusieurs choses m’ont frappée :

  • Alors que cette tâche était facultative, non évaluée, sans rendu spécifique, énormément d’élèves avaient cherché. Ils avaient leurs petites notes, leurs traces de recherche dans le cahier d’exos ou de brouillon, c’était très chouette ;
  • Beaucoup avaient mobilisé papa ou maman, comme je le leur avais suggéré ;
  • Ils avaient réfléchir de manière très organisée, j’en suis restée baba. Je vais même attribuer le Graal du degré de compétence, le carré bleu, à plusieurs élèves qui ment scotchée ;
  • Nous avons travaillé activement sur cette tâche, et été vraiment en activité mathématique. Heureusement que je n’ai pas loupé cette belle occasion !

Alors, que m’ont-ils dit ? Citations d’élèves :

  1. « Un palindrome, c’est une idée de symétrie, et on peut tracer un axe pour voir le milieu. Mais c’est pas de la vraie symétrie, parce que les chiffres ils sont pas dessinés à l’envers. C’est une symétrie pour montrer voir ce qu’on va entendre de pareil. » Je vous avoue que j’adore leurs formulations.
  2. « En 2 020, il ne peut y avoir qu’un palindrome, parce que quand à droite du trait droit (ndlr : l’axe de symétrie) on écrit une année, on n’a pas le choix de ce qu’on écrit à gauche. Donc ça fait un seul palindrome par an, et encore, on n’est pas sûr qu’il soit bon ».
  3. « Il n’y a pas un palindrome tous les ans, parce que les deux derniers chiffres de l’année donnent le numéro du jour à l’envers. Mais du coup ça fait des chiffres des unités d’année avec 1, 2, 3 sauf en février parce qu’il y a que 28 ou 29 jours, et sinon ça peut pas« . Ouhaou, bravo.
  4. « 2 021 ça marche, avec 12022021. 2 022 aussi il y aura un palindrome, le 22 février. Et 2 023 déjà ça marche plus parce que 32 jours dans un mois ça existe pas« .
  5. « Donc la réponse à vot’ question c’est le palindrome de 2 021, et ensuite celui de 2 022, mais après il faut attendre forcément 2 030 parce que les unités au-dessus de 3 pour l’année c’est pas possible. »
  6. « Mais 2 030 ça marche avec le 03/02/2 030. Et ce qui est drôle madame, c’est que comme on a passé dix ans, ça fait passer un jour par rapport au nôtre, de palindrome. Ça veut dire que le 4 février 2 040 ça marchera aussi« .
  7. « Et moi j’ai trouvé autre chose : sur les années qui commencent par « deux mille », ce sera forcément soit en février, soit en décembre, les années de palindromes, parce que le mois doit se finir par un 2.« 

Non mais franchement, c’est pas le bonheur, ça ? Des élèves motivés, avec tous des choses à dire, qui jouent avec les chiffres. Pas un seul pour me prendre pour une gentille hurluberlue, avec mes années palindromiques.

Ou alors ça ne se voyait pas du tout.

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Quand arithmétique, proportionnalité, numération et calcul convergent et que les élèves s’en rendent compte

Mes copies sont corrigées, mes cours prêts, le dernier entraînement de la course aux nombres de la période est imprimé, je n’ai plus de mails en souffrance, j’ai préparé les cinq formations de la semaine ; je peux donc vous raconter les fractions et les Legos, cette année en sixième.

En 2018, j’avais publié cet article, et en 2019 celui-ci, avec tous les documents. Cette année, j’ai aménagé l’activité et les élèves mont aussi emmenée un peu ailleurs.

Le but de cette activité est de permettre aux élèves de changer leur façon d’envisager les fractions (j’en parle ici, d’ailleurs), pour passer de la représentation mentale en « parts » à celle de nombre. Mon objectifs procédural est que les élèves soient capables d’écrire (en comprenant pourquoi) des égalités du type :

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Première partie

Pour cela, je commence par travailler les représentations du nombre que connaissent les élèves. C’est la première partie de l’activité. Soit je manipule en projetant avec ma caméra de bureau, soit les élèves manipulent. J’ai fait l’un et l’autre cette année, selon les classes.

Capture d’écran 2020-02-09 à 18.41.09

Lors de cette étape, je veux absolument amener les élèves à écrire en fractions décimales, et plus spécifiquement en centièmes, pour passer aux pourcentages. C’est l’occasion pour eux d’une découverte : un nombre exprimé en pourcentage, c’est un nombre de centièmes (remarquez la grande complexité de cette phrase, malgré son apparente simplicité, avec le mot « nombre » utilisé dans deux sens différents).

Ensuite, toujours dans la première partie de l’activité, nous trouvons des avantages et des inconvénients à chaque écriture. J’écris ce que me disent les élèves. Cette année, par exemple :

  • les écritures décimales c’est pratique pour calculer mais pour comparer c’est compliqué ;
  • les fractions c’est difficile à comprendre mais c’est utile pour les tiers et tout ce qui ne tombe pas juste ;
  • les écritures en toutes lettres : on comprend tout mais on ne peut pas poser les opérations ;
  • les pourcentages : c’est facile de se représenter pour comparer mais on n’a pas compris comment faire des calculs avec pour trouver des prix.

Avec ces propositions, j’ai un fil rouge : je vais y faire référence au fil de la séquence et y revenir en institutionnalisant à la fin.

Deuxième partie

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Dans cette deuxième partie, nous abordons le vif du sujet.

D’abord, nous explicitons longuement l’idée d’unité, et, en visualisant des regroupements de picots, nous écrivons par exemple :

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Ce n’est pas du tout évident, pour les élèves. Pour eux, 1 est égal à 6/1, ou à 6/0 (brrrrr), ou à 1/6, mais il faut faire le lien avec les briques : on numérote les picots et on a 6/6, en verbalisant 6 picots parmi 6, puis on fait des paquets de deux picots et on comprend que ça donne 3/3, etc. Mine de rien, cette petite étape est longue et doit être soignée, car des représentations nouvelles s’installent ainsi.

Puis nous manipulons : comment relier les deux briques, autrement que par « la plus petite, elle est plus petite » ? Les élèves mettent « bout à bout » plusieurs petites briques et dépassent l’unité. Que faire ? « Il faut une autre unité » émerge naturellement. Et on continue. A un moment donné, paf, ça « tombe pile ».

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C’est là que cette année, les élèveront un peu varié par rapport à l’habitude, et je crois bien que c’est grâce aux rituels d’entrée de classe. Ils m’ont dit « ah oui, c’est normal, parce que trois fois huit picots et huit fois trois picots, c’est pareil ». Bien (cela m’adonné l’occasion de reparler de la commutativité et de sa « normalité » ou non). Et sur l’exemple 1 de la deuxième partie, j’ai eu : « on peut mettre 6 briques bleues et quatre briques orange, parce que les deux ça fait 24 » et « on peut aussi mettre 3 briques bleues et 2 briques orange, parce que c’est des histoires de multiples », et des élèves ont ajouté « oui, c’est proportionnel, en fait ». Cela nous a amenés à répondre à une question que je n’avais pas posé : une élève d’est exclamé « Mais du coup qui qu’il arrive on pourra faire pile. Ca veut dire qu’on peut toujours faire ça. Au pire, ce sera long, mais comme on cherche un multiple aux deux nombres, on va forcément trouver ».

Tout ceci m’a valu, dans deux classes sur trois, une prise conscience collective : « mais en fait madame, c’est pour ça qu’on a travaillé les multiples et les diviseurs, et la proportionnalité… On a besoin de tout pour comprendre ! » ; avec la question en effet secondaire : « vous l’avez fait exprès ? »

Ca, c’était une nouveauté et ces remarques-là ont illuminé ma semaine. (si, si. Je suis sans doute bon public, mais comme mon métier est de faire comprendre, quand ça marche sur des choses délicates, je me réjouis)

Nous avons institutionnalisé, ensuite. Je prendrai les cahiers en photo demain pour vous montrer.

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Cette année, les élèves ont ajouté la référence au nombre de picots : 3 x 4 picots = 2 x 6 picots.

Puis c’est le temps des exercices. Il me reste à les traiter avec une de mes trois classes : je vais enregistrer pour vous le montrer également.

Et il nous reste la troisième partie à traiter, mais en général c’est du gâteau. Nous n’y sommeras encore, car le course aux nombres m’a amenée sur du repérage et ça, ce n’est pas du gâteau du tout.

Ce que j’aime, dans cette séquence que j’ai mis six ans à stabiliser, c’est que les élèves comprennent et que cela se voit. Elle illustre bien le triptyque manipuler-verbaliser-abstraire, sans faire passer l’abstraire à la trappe : c’est bien son objectif.

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Des fractions et des nombres

Hier, avec deux de mes classes, nous avons débattu à partir de la question de la Course aux nombres qui m’avait intriguée (19 réponses différentes, 13 bonnes réponses sur 68) :

rien

Mes élèves ont décidément bien compris que ce qui m’intéresse est leur démarche mentale. Ils se sont appliqués à m’expliquer pourquoi ils trouvent 0,75 bien plus naturel que 3/4, pour commencer. Ils m’ont dit « on a appris les décimaux avant les fractions » (en principe, non), « on n’a appris à mettre des nombres sur des axes qu’avec des entiers et des décimaux » (en principe non), « les décimaux c’est plus simple, on n’a pas besoin de calculer : on fait 0,5 divisé par 2 et ensuite on ajoute 0,5 à ce qu’on a trouvé » (D’accord, mais c’est un calcul, et pas des plus directs). Mais au final, en creusant, eux et moi ensemble, nous sommes arrivés à ce qu’un élève déclare :

0,75 c’est mieux, c’est un nombre. 3/4 ce n’est pas un nombre, c’est un nombre de parts. Sur votre axe madame, c’est un nombre qu’il faut mettre, enfin moi j’ai compris ça.

Boum.

Cet élève a réussi à formuler le coeur du problème. Les autres étaient d’accord avec lui. Il est là, le noeud : mes élèves de sixième ne conçoivent pas la fraction comme nombre, mais comme des parts à hachurer dans un ensemble. Et encore, pas n’importe comment : beaucoup d’entre eux me soutiennent que 5/4, ça n’existe pas.

Autre enseignement : sur un axe on indique des nombres parce quand leur esprit, un axe est immatériel et on n’en fait pas des parts. En revanche les représentations en rectangle ou en disque les renvoient à des objets concrets, dont ils admettent qu’on les a représentés, et là ils veulent bien les partager.

Nous sommes donc en plein dans le triptyque manipuler-verbaliser-abstraire, mais sans l’abstraire. Les représentations (et donc la verbalisation) ont phagocyté la modélisation.

J’ai repris avec mes élèves l’activité Lego que nous avions traitée peu de temps auparavant. Je leur ai demandé ce que je voulais leur apprendre au travers de cette activité, et ils s’en souvenaient :

Vous vouliez qu’on comprenne que par exemple, sept fois cinq septièmes, ça fait cinq unités. Parce que cinq fois sept ou sept fois cinq c’est pareil, et avec les Legos on a vu que ça arrive pile pareil en alignant cinq briques unités ou sept briques qui sont cinq septième de la brique unité.

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J’ai fait reformuler, jusqu’à ce qu’un élève annonce :

Oui, 5/7, c’est le nombre qui donne 5 quand on le multiplie 7 fois.

Ah. Le « nombre qui ». C’est donc bien un nombre… Silence dans l’assemblée, et hochements de tête entendus, avec un air de « ouiiii si vous voulez, mais bon ça n’engage que vous ». 🙂

Notez que je ne panique pas :

  • nous venons de réactiver les fractions,
  • en sixième les fractions sont présentées comme un nombre, et non plus seulement comme un nombre de parts ou une « écriture de division », et c’est un séisme intellectuel, que beaucoup d’adultes ne maîtrisent pas,
  • nous avons du temps pour consolider et réactiver tout cela.

Mais je trouve ces échanges très instructifs sur le plan didactique, et ils nous ont permis d’être explicites là où manifestement subsistait de l’implicite ou des représentations mentales plus proches des connaissances, voire des croyances, que des savoirs. En particulier, j’ai pensé à Stella Baruk, avec son nombre (qui est une idéalité) et son nombre-de. Mes élèves sont encore attachés, sur les fractions au moins, au nombre-de.

Je vous raconterai l’activité Legos et fractions de cette année aujourd’hui et demain. Elle a un peu évolué.

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Décimaux et fractions

Je continue d’entraîner mes élèves de sixième à la course aux nombres, et ils progressent  18,4 de moyenne aujourd’hui, avec 30 médailles sur 67 participants, voilà qui me remplit d’allégresse. Mais… Il y a un mais (et même plusieurs, ce qui est ben normal, mais en voici un de taille) : nous travaillons actuellement les fractions, et nous avons aujourd’hui, avec une de mes classes, commencé le repérage des fractions sur un axe gradué. j’ai comme dans l’idée que nous allons en faire davantage…

rien

À la question de compléter la flèche, voici les réponses. 19 réponses différentes, pour 67 élèves. Le moins qu’on puisse dire, c’est que mon métier n’est pas monotone.

Les réponses justes : 12 réponses « 0,75 » et 1 (une !!!!!!) réponse « 3/4 ». Soit un peu moins de 20% de réussite. Ok, nous allons travailler cet item spécifiquement.

Côté sans réponse, 14 élèves se sont abstenus.

Mais alors, quelles réponses fausses ?

Pour les élèves qui répondent de façon erronée, en écriture décimale, et entre 0 et 1, voilà :

Remarquons que deux élèves ont répondu « 0,   » sans aller plus loin, ce qui est déjà ça. Beaucoup de réponses sont uniques. Mais j’ai quatre réponses « 0,8 » d’élèves qui ont « compté de 2 en 2 en partant de la fin », deux réponses « 0,9 » d’élèves qui considèrent que puisque c’est la dernière graduation, c’est forcément 0,9, trois qui répondent « 0,6 » en « comptant de 2 en 2, mais du début ». Le 0,3 s’explique comme le 0,9, en partant de l’origine.

Deux élèves ont répondu 0,15 et un a répondu 0,45, ce que je trouve relativement mystérieux. Un autre a répondu 75. Fait-il référence à 75%, peut-être : nous travaillons aussi les pourcentages en ce moment.

Et puis plusieurs élèves ont fourni des réponses à l’entier. Les réponses 6, 8 et 9 se comprennent comme leurs équivalents 0,6 ; 0,8 ; 0,9 ; mais les élèves ont décidé de réfléchir sur des entiers et ne sont pas revenus ensuite aux dixièmes.

La réponse 7,5 a été apportée par 5 élèves. Là encore, je pense qu’il s’agit d’une erreur de concept : les élèves ont dû penser 75 centièmes et revenir à des dixièmes. J’ai aussi eu un « 4,5 ».

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C’est assez fascinant de constater comme les élèves, qui ont tous traversé deux années et demie de cycle 3, se représentent mal le nombre. Je l’ai constaté ce matin avec un rituel de lecture de nombres en écriture décimale, où il fallait me lire par exemple « 4,576 » ainsi : « 4 unités, 5 dixièmes, 7 centièmes, 6 millièmes ». Je pense qu’au moins un élève sur trois s’est trompé, soit entre dixième-dizaine, soit du point de vue de l’ordre, avec mes millièmes puis les dixièmes, ou les centièmes puis les millièmes puis les dixièmes.

Il faut vraiment que nous nous interrogions sur ce qu’ils comprennent de ce que nous leur disons en classe, de ce fait. Je crains que souvent ce soit entrevous un dialogue de sourds. Explicitons et reconstruisons, donc.

En attendant, vous allez en repérer, les loulous, des fractions sur des axes…