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Le compas maudit

J’ai fait travailler mes élèves sur la couverture de ce livre, cette semaine, simplement en leur demandant ce qu’ils en pensent.

Nous avons consacré 5 minutes, peut-être un tout petit peu plus, à cette analyse et verbalisation. Voilà ce que j’ai relevé dans différentes classes, de 6e et de 5e :

  • Ils ont voulu faire croire qu’ils ont tracé le cercle mais c’est pas vrai ;
  • Le compas il a deux bouts sur des points du cercle ;
  • Un des piques du compas devrait être au centre ;
  • Le compas est mal placé ;
  • La pointe devrait partir du centre ;
  • Il faut mettre la pointe au milieu avec la mine sur le cercle, pas les deux en même temps sur le cercle.
  • Le compas il a deux pointes il peut pas tracer ;
  • Le compas il a deux mines.

Tout cela nous a permis de réactiver « centre », « mine », « pointe », et de verbaliser la manipulation du compas : « je place la pointe sur le centre du cercle et avec la mine je trace le cercle. Tous les points que je représente sont équidistants du centre. »

  • Ils ont voulu fait un effet d’optique, le cercle il est aplati ;
  • Ca fait un ovale mais c’est pas grave, en perspective un cercle ça fait aplati ;
  • Le rond il est pas rond mais c’est pas grave, c’est parce qu’on regarde du dessus.

Nous avons reparlé perspective, rapidement car cela ne posait pas trop de problème.

  • Le diamètre il est plus grand que l’écartement du compas, c’est pas normal.

Sur cette dernière remarque, nous avons mesuré. Et surprise : l’écartement du compas correspond au diamètre du cercle. Pour le vérifier il a fallu discuter de quoi et où mesurer, car la représentation de ce cercle n’est pas un cercle, revoir rapidement rayon et diamètre.

Efficace, tout ça.

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Sorenn, jour 2 de la multiplication

Aujourd’hui, après ses exploits de la journée précédente, Sorenn est arrivé en courant. Je l’ai entendu du début du couloir. Il a sautillé jusqu’aux fiches que je lui avais préparées, et puis s’est arrêté : hier, il n’avait pas déjeuné et avait faim, alors je lui avais donné mes clémentines. Aujourd’hui, il m’avait ramené des madeleines, pour « faire que c’est un échange ». Puis il a attaqué ses fiches et a tout réussi d’un coup. Il ne fait plus de dessins des objets mais des petits points : sa conceptualisation avance.

Nous avons commencé à apprendre les tables et continué de lire en cursive. Et puis Sorenn était cuit, après 40 minutes de travail intense (il y met du coeur, croyez-moi !). Alors nous avons pris ses fiches et nous sommes allés montrer tout cela au principal adjoint, qui l’a félicité et a soigneusement observé ses fiches.

Il y a des moments comme ça qui touchent et qui marquent, pour les uns et pour les autres.

La semaine prochaine, on entame les tables et on continue d’apprendre la lecture en cursives et l’écriture, par la copie avec le bouquin de Sylvie Cèbe.

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Vers la multiplication

Dans mon collège, nous avons cette année accueilli un élève, en sixième, qui ne sait pas lire. Appelons-le Sorenn. En arrivant, Sorenn ne connaissait pas son alphabet, ni le code qui permet de déchiffrer, même pas dans son principe. En mathématiques, il sait additionner, mentalement pour des nombres pas trop désagréables, et soustraire s’il peut le réaliser sur les doigts. Il ne connaît pas le sens de la multiplication.

Un mystère, c’est comment il a ou arriver en sixième dans ces conditions : pas de dossier de quoi que ce soit, pas de notif MDPH, un dossier scolaire vide de toue particularité alors qu’il a toujours été scolarisé. Juste des évaluations, calamiteuses, et des mentions de bonne volonté.

Je travaille avec Sorenn deux heures par semaines depuis le mois de novembre. Parfois, c’est difficile : il a une histoire de vie douloureuse et n’est pas toujours en mesure de s’assoir ou de réfléchir à des concepts. Je le comprends, mais je veux et je dois lui apprendre des choses. Alors je m’adapte : j’essaie de l’emmener le plus loin possible, et quand vraiment c’est contreproductif ou qu’il risque de souffrir, je contourne la difficulté. Nous jouons à la bataille navale pour travailler le repérage et la logique élémentaire, nous allons chercher des formes géométrique dans le collège, dans la cour, pour les nommer, les décrire, les dessiner à main lever puis de façon instrumentée en revenant en classe, nous mesurons la hauteur au-dessus de mon tableau pour déterminer si un affichage peut ou pas y rentrer, etc. C’est un défi permanent, mais je suis seule avec lui, ce qui me permet cette adaptation. C’est passionnant.

Pendant plusieurs semaines, Sorenn a appris avec moi à prononcer les lettres de l’alphabet. En capitales, en cursive. En script, c’est encore difficile mais on progresse. Sorenn arrive à lire des mots entiers, tant qu’il n’y a pas de ou, de eu, de in et leurs variantes. Il parvient à copier des phrases simples et courtes. Il sait à présent comparer des nombres entiers, jusqu’au million, même avec des zéros mal placés, et à résoudre des problèmes additifs. Il réalise des figures et verbalise de façon structurée le programme de construction. Il a progressé d’une façon fantastique, grâce à de supers outils sur lesquels je me suis reposée. Mais voilà, le script coince sévèrement et le stresse terriblement. Quand il commence à se lever et à tourner façon lion en cage, je sais qu’il y a péril. Je parviens parfois à le récupérer sur la même tâche, parfois pas.

Comme il fatigue de cet apprentissage de la lecture et de l’écriture, aujourd’hui j’avais piqué une ressource qu’utilise mon mari pour lui faire comprendre la multiplication : sur l’école de Crevette, il a trouvé ces fiches :

Ces fiches m’ont plu : il y en a plusieurs, et même un effectif assez important, ce qui permet de travailler le sens, d’expliquer les enjeux, et ensuite d’automatiser et de laisser en autonomie de façon graduelle. Ensuite, elles commencent par travailler la commutativité de la multiplication, ce qui est à mon sens absolument fondamental et pas du tout évident. Ce matin, en une heure, nous avons travaillé sur trois fiches de chaque exemple ci-dessus. J’avais bricolé des outils supplémentaires (des fiches pour représenter en faisant appel à la commutativité, de différentes façons), sorti du matériel, nous avons rangé, dérangé, organisé, organisé autrement.

Au final, Sorenn a compris des choses. J’ai l’impression qu’il a vraiment progressé sur le sens de la multiplication, mais cela reste à vérifier, évidemment. Nous avons aussi beaucoup travaillé les symboles d’opération, la façon de les exprimer (Sorenn disait au départ « plus » ou « fois » de façon indifférenciée devant + ou x), ainsi que le signe « = ». C’était passionnant, et épuisant. Je suis ressortie épuisée. Bon après j’ai récupéré, mais sur le coup, j’avais les neurones en cacahuète. En tout cas, il est passé d’une représentation imagée à la représentation symbolique, ce qui est un indicateur favorable.

J’ai hâte d’être à demain pour retrouver Sorenn.

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Toujours plus à l’ouest

Un élève ouvre on cahier en début de cours. Il semble perplexe, je le vois. Il relève la tête et lève la main :

– Madaaaaame, ya quelqu’un il a écrit des trucs que je comprends pas dans mon cahier de maths !

– Ah, c’est bizarre, non ? Fais voir.

– N., c’est ton cahier d’anglais. C’est toi qui a écrit tout ça. En cours d’anglais.

– Ah ouais.

(sourire penaud)

– J’ai dû confondre mes cahiers à cause de la couleur.

– Il est rouge aussi, ton cahier de maths ?

– Non, il est vert.

Note : je suis fan de Tryphon, ce n’est pas moqueur.

Bon moi, à la fin de l’heure, comme nous avions beaucoup découpé, j’ai clamé bien fort, doigt en l’air et ton sévère : « Et attention, hein, les papier, par terre ! » Il ne manquait que « Je ne veux pas en voir un seul dans la poubelle ! » et c’était parfait.

Moi aussi je tryphonne.

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1,1.5

– La piscine elle mesure 1,1cm de long, sur la photo.

– Non, moi je trouve 1,2cm.

– Bah on va prendre la moitié, non ?

– Ah ouais. Mais c’est quoi la moitié ?

– Bah 1,1.5 !

– Ah ouais.

– Madaaaaaame, ma calculatrice elle est pas bien, elle a une virgule mais pas de point ! Je peux pas taper 1,1.5 !

Deux groupes, de classes différentes, ont eu cette idée. Va falloir bosser le décimal.

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Retour aux sources, avec de la proportionnalité

Aujourd’hui en sixième, nous avons travaillé sur une photographie aérienne de Dieppe. Je propose cette activité tous les ans car elle me permet d’aborder les échelles d’une façon que je trouve efficace.

L’activité dans son entier est décrite assez précisément ici, avec la séance de l’année dernière. Le plan, en gros, c’est : voilà une photo sans aucune information indiquée pour déterminer des longueurs. Je voudrais savoir combien je parcours si je me promène sur la promenade le long de la mer, de la rotonde au début de la jetée. Comment faire ?

Cette année, j’ai eu quelques nouveautés :

  • De mon côté, j’ai été beaucoup moins guidante. Conséquence : nous avons moins avancé, en ne nous engageant pratiquement pas sur une modélisation des échelles. Avantage : je trouve que les élèves ont été davantage en activité mathématique ;
  • Les élèves ont trouvé très très vite l’idée de la piscine comme repère objectif de longueur. Evidemment, cela a facilité la suite ;
  • La liberté d’initiative des élèves m’a semblé très bonne du côté des manipulations : des élèves ont utilisé un gabarit (une bande de papier pliée à la mesure de la longueur de la piscine, une petite gomme), de la ficelle, des règles souples (choisies à dessein, pas par hasard), beaucoup ont procédé par reports successifs ;
  • Les élèves ont aussi été très libres côté démarches : certains ont mesuré la piscine et cherché « combien de longueurs de piscines il y a dans la promenade », en prenant la longueur de la piscine comme unité. Mais d’autres ont trouvé que reporter 1,2 ou diviser par 1,2 était trop pénible ou difficile (1,2cm était la longueur de la piscine pour beaucoup) et ont utilisé leurs compétences sur la proportionnalité : un groupe s’est dit que puisque 1,2cm représente 50m, alors 6cm représente 300m ; un autre groupe est allé de 12cm en 12cm. Dans les deux cas, ils ont dû ruser un peu pour la fin de la promenade, en revenant à l’unité ou à de plus petits multiples de la longueur de la piscine. Certains élèves ont fait explicitement référence à la linéarité additive. J’étais très contente de les voir effectuer ce transfert dans un contexte différent de ce qui en avait porté l’étude ;
  • La restitution a été plus dynamique aussi : chacun a voulu expliquer sa démarche et tous se sont écoutés (c’est une VICTOIRE !!!), et même les élèves qui s’étaient trompés et le savaient ont exposé volontairement leur méthode, en écoutant les camarades qui leur expliquaient l’origine de leurs erreurs.

Comme un groupe était allé très vite, je l’ai envoyé mesurer la longueur du couloir (dont je savais qu’il dépassait à peine 50m), pour pouvoir donner une référence de longueur aux élèves et développer leur capacité d’estimation des longueurs. Après cette restitution, Google Earth nous adonné la longueur recherchée.

Sans doute parce que les élèves ont travaillé à fond et de manière autonome, j’ai pu mieux veiller aux erreurs, je trouve. J’ai relevé deux grandes typologies d’erreurs :

  • Le choix de l’opération : « la promenade « fait » 24 piscines. Dois-je calculer 24×50 ou 24:50 pour connaître la longueur de la promenade ? » Ou encore : « La promenade fait 29cm. La piscine fait 1,2cm. Dois-je multiplier ou diviser ? » Nous avons pourtant beaucoup travaillé le sens des opérations, mais il y a encore des élèves pour quoi ce n’est pas clair. Nous allons reformuler tout ceci demain ;
  • Le sens des unités, l’homogénéité des calculs : « la promenade fait 29cm. La piscine fait 50m. Ca a du sens, madame, si je fais 29×50 ou 29:50 ? » Judicieuse question, qu’en penses-tu ?

En revanche, le sens même de la proportionnalité me semble en consolidation.

Ce que j’aime cette activité… Elle est vraiment efficace dans la consolidation des savoirs et des compétences, de la démarche de recherche, de la verbalisation et de l’autonomie, et j’entendrais presque les mouettes… J’ai toujours un regard pour mon école élémentaire, si près de la mer, et je repense à monsieur Gioux, fantastique enseignant, qui nous emmenait sur la plage dès qu’il en avait l’occasion, même pour une récré si nous avions bien travaillé. Et croyez-moi, nous nous appliquions encore plus ! Autre époque…

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Fin de séquence sur les fractions, et badaboum

En sixième, nous avons étudié les fractions, depuis quelque temps : qu’est-ce qu’une fraction, le lien avec le partage, la division, le fait que :

C’était très important, car c’est ce qui m’a permis de présenter la fraction comme nombre. Ensuite, nous avons longuement travaillé le repérage, au travers d’exercices variés. Pour cela, il a fallu que les élèves comprennent vraiment que :

etc.

Et qu’ils comprennent le sens du dénominateur, celui du numérateur. J’ai passé beaucoup de temps sur tout cela, car j’avais des élèves qui n’avaient pas du tout su tout su tout compris la fraction, et comme les fractions m’emmènent cers les fractions décimales pour aborder au final l’écriture décimale, je dois faire attention. C’est un moment-clef dans ma progression.

Nous avons aussi travaillé les différentes écritures d’un même nombre, dont les écritures fractionnaires. Cela nous a emmenés dans la proportionnalité. J’ai été très vigilante à ma façon de m’exprimer : j’ai dû veiller aux raccourcis qui font dire « tu multiplies ta fraction par quoi par quoi ? », pour toujours prendre le temps : « Tu multiplies quoi par quoi ? D’accord, tu multiplies le dénominateur par 3. Et donc tu fais quoi d’autre, pour écrire un nombre égal au premier ? Bien, on a multiplié le numérateur ET le dénominateur par le MEME nombre, cela garantit deux écritures différentes d’un MEME nombre ». Sinon, les élèves vont vite à penser qu’en multipliant le dénominateur ou (exclusif) le numérateur par un nombre non nul, on obtient un nombre égal dont l’écriture nous arrange. Hé bin non. En fait, on multiplie par 1, mais écrit autrement. D’où la proportionnalité, pendant qu’on y était, et paf la raclette, pour enfoncer le clou.

Nous avons travaillé, après cela, et en même temps un peu aussi, les comparaisons : une fois que les élèves savent repérer sur un axe, on peut les amener à conceptualiser sans représentation écrite. Nous avons utilisé à fond Maths mentales pour automatiser. Jusque là, tout allait bien. Il a fallu faire des détours, laisser des élèves partir vers l’infini et au-delà (merci les brochures de l’APMEP…) pendant que je m’appliquait à ramener ceux qui ramaient un peu, voire beaucoup, mais au final j’étais satisfaite.

Il me restait à développer des automatismes de ce type (ce qui est noté en vert) :

Nous avons passé du temps là-dessus. J’ai formulé, reformulé, les élèves ont proposé d’autres façons d’écrire 5/3 (comme 2-4/3 par exemple). J’ai fait le lien avec le quai pour aller à Poudlard :

Pour certains élèves, j’ai dû revenir à la représentation en disques, pour d’autres j’ai dû poser des divisions ; cela m’indiquait qu’une partie des élèves avait certes automatisé comment transformer une fraction, mais n’avaient pas construit une compréhension solide par ailleurs : les élèves qui ont besoin de représentation sont plutôt restés sur la communication type attendus de CM1 et les élèves qui ont besoin de la division sont sur les attendus de CM2.

Une fois ceci. fait, re-boum, automatisation avec Maths mentales, avec un diaporama proposant des questions de ce type (sur Maths mentales, on peut aussi demander des fiches d’exercices) :

Une grande majorité des élèves a tout réussi, ou presque, en ayant recours parfois à plusieurs écritures différentes. Mais 5 élèves n’ont réussi aucune question. Ce sont les élèves qui ne connaissent pas leurs tables, ce qui évidemment est paralysant dans un tel exercice. Je leur ai donné des tables, mais cela ne les aide pas tant que cela : ces élèves ont compris le sens de la multiplication « seulement » en lien avec des situations problèmes, mais pas ses propriétés conceptuelles comme la réversibilité avec la division ou la commutativité, ni je pense en fait le lien avec l’addition itérée. Ne pas savoir ses tables n’est pas une difficulté superficielle qui peut se compenser en les « réapprenant » : lorsqu’elles ne sont pas mémorisées en 6e, c’est souvent le signe d’une construction bancale bien plus globale. On retient ses tables d’autant mieux qu’on a construit le sens de la multiplication de façon complète. Une compréhension partielle, c’est très très insuffisant.

Alors bon, ces 5 élèves se trouvent devant un obstacle de taille.

Et bim, moi aussi.

Sur le coup, je me suis dit zut, comment vais-je faire pour les aider ? Le plan, c’est que le diapo en temps limité qui pose des questions du type ci-dessus va être proposé à la classe en évaluation ; si je procède ainsi pour ces 5 élèves, je les mène au découragement, car ils seront en échec complet ou presque complet. Mais je veux continuer d’avancer, car je sais que le temps, les réactivations, les questions mobilisant les fractions dans d’autres contextes leur permettront de progresser. Et je ne peux pas non plus reporter l’évaluation pour les autres élèves, qui sont prêts. J’ai passé l’âge du tout, tout de suite. Je suis à l’âge du tout, d’ici à la fin de l’année (si possible, en faisant tous de notre mieux ; et sinon on se contentera d’avoir fait un maximum de progrès. C’est déjà super). Cela dit, je ne peux pas non plus leur envoyer comme message : « bon, vous n’avez pas compris, je le sais, vous savez que je le sais, et je vais quand même vous évaluer et vous ne réussirez pas ». Je dois utiliser cette évaluation pour leur donner des moyens d’apprendre, de comprendre, de progresser.

Après réflexion, je pense leur proposer d’être évalués différemment, en en tenant compte dans la validation de leur niveau de compétences. Grâce à MiCetF, j’ai préparé une feuille d’appui, que j’ai plastifiée, pour que ces élèves puissent représenter en la réutilisant. Je leur donnerai seulement 5 ou 6 questions, aussi, au lieu de 10 ou 15 pour leurs camarades. Le plan, c’est qu’ils comprennent le principe pour ensuite (au fil du temps) chercher à se détacher de la feuille d’appui, en faisant le lien avec la multiplication. En général, un élève, c’est ce qu’il cherche : à savoir, à être autonome. Je leur fais donc confiance.

En parallèle, je vais réfléchir à des exercices, des situations, des activités qui me permettent de réinvoquer le sens de la multiplication (et surtout ses propriétés conceptuelles) tout en apprenant de nouveaux savoirs en même temps, et aussi proposer des ateliers différenciés de calcul mental, pour redonner une autre chance, autrement, d’apprendre les tables.

Et il sera toujours temps de leur reproposer la même évaluation que leurs camarades lorsqu’ils auront progressé.

Je ne sais pas si je suis satisfaite. Je le saurai quand j’aurai essayé, si je constate des progrès.

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L’équerre interactive

Bon, alors j’ai oublié ma clef usb à la maison, avec tous mes supports dessus, mon ordi a planté joliment en classe, j’ai été privée de connexion internet ensuite, puis ma caméra s’est figée et s’est entêtée après cinq redémarrages. On a perdu un bon bout de temps, mais grâce à la patience de mes élèves et à ma ténacité, tout est reparti. Et, pendant mon heure libre, j’ai enfin réussi à installer l’équerre interactive.

Ouuuuuuf, ça c’est bien.

Cette équerre interactive est un vieux matériel que j’avais utilisé mais que je n’arrivais plus à remettre en route avec mon ordi actuel. Une équerre interactive est un moyen très pratique de rendre son tableau interactif. L’inconvénient dont je me souvenais était, pour mon cas, que ce n’est pas toujours précis. Mais en fait je n’ai aucun problème de précision à présent, peut-être parce que le logiciel a changé. C’est super utile, en particulier en ce moment où j’ai des élèves en distanciel en même temps que des élèves en présentiel : je peux continuer d’envoyer au tableau des élèves et que les élèves à distance voient et conservent ce qui a été écrit. Cela permet aussi d’utiliser GeoGebra au tableau, et que les élèves manipulent, le stylo remplaçant la souris, et de tout enregistrer facilement, en décomposant étape par étape au besoin?