A l'attaque !·Apprendre·Chez les chercheurs·Evaluer·Formation·Je suis fan

Etre en tension pour avancer

Pour approfondir mes connaissances et mes ressources sur l’accompagnement desRéférents Mathématiques de Circonscription, dans le cadre d’un dispositif de formation national, j’ai visionné récemment une conférence de Michel Vial, formateur à l’École de Métier de l’Accompagnement (Philippe Péaud nous a recommandé cette conférence, et je l’en remercie vivement !).

Je conseille vivement cette conférence, très intéressante, claire et accessible. Une parole de monsieur Vial me suit depuis que je l’ai entendue :

Être en tension, c’est être en dynamique. Au lieu d’y voir un défaut, il faut y voir une ressource.

Capture d’écran 2019-03-19 à 09.58.24.png

Apprendre·Chez les chercheurs·Compétences·Ici et ailleurs·L'éducnat

Le référentiel de compétences des enseignants australiens

Franck Ramus, du CNRS et de l’ENS, nous a présenté aujourd’hui, lors des Assises de la formation continue, les travaux du groupe de travail du comité scientifique de l’Éducation Nationale sur la formation des enseignants. En particulier, il nous a présenté une réflexion sur le référentiel de compétence des personnels enseignants.

Selon lui, le référentiel de compétences est listé plus qu’organisé ou hiérarchisé. Il y a une absence de progressivité aussi au niveau de détail. Trop de compétences sont visibles au premier niveau et il est peu mémorisable (et méconnu de la plupart des enseignants par ailleurs).

Franck Ramus nous a présenté le référentiel australien. Et je dois dire qu’il semble très bien fait : il est très clair et lisible.

Chaque compétence est explicitée par niveau de maîtrise : la première colonne est celle d’un enseignant en formation, la dernière est celle d’un enseignant formateur. Cela permet d’affirmer le principe de formation continue au long de la vie, et de progression professionnelle.

Le référentiel est ici, ou en téléchargement là : QCT_AustProfStandards[1]

Capture d’écran 2019-03-15 à 12.19.54Capture d’écran 2019-03-15 à 12.20.04Capture d’écran 2019-03-15 à 12.20.10Capture d’écran 2019-03-15 à 12.20.16Capture d’écran 2019-03-15 à 12.20.22Capture d’écran 2019-03-15 à 12.20.28Capture d’écran 2019-03-15 à 12.20.34Capture d’écran 2019-03-15 à 12.20.39Capture d’écran 2019-03-15 à 12.20.44Capture d’écran 2019-03-15 à 12.20.55Capture d’écran 2019-03-15 à 12.21.00Capture d’écran 2019-03-15 à 12.21.08Capture d’écran 2019-03-15 à 12.21.14

 

A quoi ça sert les maths ?·Apprendre·Chez les chercheurs·Culture mathématique·Expo de maths·Je suis fan·Maths et arts·Maths et musique·Maths pour tous

Maths et papillons

Le Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem (CNRS, Université de Rouen Normandie) propose des compléments à cette affiche dont j’avais déjà parlé ici et qui fait beaucoup réagir mes élèves, d’ailleurs :

PosterLesMathsCaSertARien.png

Sur leur site, nous pouvons maintenant trouver la même affiche, mais interactive, avec neuf des verbes reliés à des contenus :

Voilà une très chouette initiative, que je vais montrer à mes élèves en classe !

Actualité·Apprendre·Chez les chercheurs·Maths pour tous

Finalement, Maya n’est peut-être pas si nouille

Dans le Temps, le Monde, sur SciencePost, les abeilles sont très en vogue du côté des mathématiques. Une étude récente publiée le 6 février dans la revue Science Advances les remet sur le devant de la scène.

Dans Le Temps, l’article annoncé qu’ « on les savait capables de compter jusqu’à 5 et même de manipuler le concept du zéro. Les abeilles ont aussi le sens du calcul : elles peuvent

images
Nooooooon, je vais avoir le générique dans la tête pour la semaine…

résoudre des additions et des soustractions élémentaires« . Je redemande ce que signifie dans cette affirmation « compter » et « manipuler le concept ». J’ai lu ailleurs que des chimpanzés, des singes rhésus, et un perroquet gris du Gabon nommé Alex étaient capables de manipuler le concept du zéro, au même niveau qu’un être humain de plus de quatre ans. Mais cela ne m’éclaire pas beaucoup, car sans description précise de la compétence testée, les raccourcis sont aisés. Je me souviens aussi avoir lu dans un magazine au CDI (que je vais aller retrouver, car j’ai oublié s’il s’agit de Sciences et Vie Junior ou d’un autre) que des chercheurs pensaient peu crédible que des animaux puissent envisager le zéro. D’ailleurs, un chimpanzé entraîné à divers exercices mathématiques était capable d’utiliser le symbole du zéro pour caractériser une image sans points. En revanche, il ne parvenait pas à ordonner une image avec des points et une image sans points. C’est sans doute cela, qui est considéré comme « manipuler le concept du zéro » : savoir ordonner deux objets, l’un entrant un certain nombre d’objets, et l’autre vierge. Ça, en effet, des abeilles ont réussi à le faire.

L’équipe menée par Scarlett Howard de l’Université de Melbourne, auteure de l’étude, a d’abord entraîné 14 abeilles, cent fois. Ces abeilles entraient dans une structure en Y « régulièrement utilisé pour évaluer les prises de décision en éthologie, les sciences du comportement animal« . Elles se trouvaient confrontées à des stimuli visuels (des tâches, par exemple), correspondant à des questions d’additions ou de soustractions (ajouter ou soustraire 1, avec des couleurs différentes selon qu’il s’agissait de l’une ou l’autre des deux opérations). Si les abeilles suivaient le chemin correspondant à l’affichage de la bonne réponse, elles trouvaient de l’eau sucrée, et sinon une solution amère.

F1.large.jpg

F2.medium.gifAu départ, le choix des abeilles montrait des décisions aléatoires, avec un taux de réussite d’environ 50%. Essai après essai, « elles ont fini par trouver la bonne réponse dans 80% des cas. Sans système de récompense afin d’éliminer tout biais lié à l’odorat, les avettes ont obtenu environ 70% de réponses correctes pour les additions, 65% pour les soustractions« .

Comme je ne connaissais pas le mot avette, je suis allée chercher sur le site de l’Académie Française :  « Avette est une forme régionale ou vieillie d’abeille. Ces deux noms sont issus de diminutifs de apis,le nom latin de cet insecte : avette est tiré de apitta et abeille de apicula. Si avette se lit encore chez Giono, ce nom fut surtout en vogue à la Renaissance. »

La question des chercheurs est de savoir si ces compétences sont innées ou acquises : les abeilles « ne sauraient pas calculer à l’état sauvage, mais l’apprendraient facilement grâce à leur importante plasticité cérébrale« pour certains, et pour d’autres elles pourraient, grâce à leurs talents numériques, « savoir, par exemple, que leur ruche est située après la cinquième maison, là où se dressent deux arbres.« 

Apprendre·Chez les chercheurs·Culture mathématique·histoire des maths·Lire

Controverse arithmétique

Il y a deux semaines, j’ai passé un après-midi avec Stella Baruk. J’avais un problème à lui soumettre, et je voulais son avis. Elle m’a très gentiment consacré du temps, et à cette occasion, elle a fait référence à la citation de Leopold Kroneckerun mathématicien et logicien allemand du 19e siècle :  « Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l’œuvre de l’Homme. » (c’est le point de départ d’un de ces ouvrages)

Selon Kronecker, qui se range plutôt, sur ce coup-là, côté pythagoriciens, « la recherche mathématique devait s’appuyer exclusivement sur les simples propriétés des nombres entiers » (ici). Weierstrass, Dedekind, Cantor (qui fut élève de Kronecker, et à qui Kronecker compliqua la vie, comme on peut le lire dans cet article) soutenaient des théories en opposition avec celle de Kronecker, et qui supplantèrent la sienne.

Dans un article (Sur le concept de nombre en mathématiques, cours inédit de Léopold Kronecker à Berlin (1891), retranscrit et commenté par Jacqueline Boniface et Norbert Schappacher) présentant un cours de Kronecker, on lit : « Selon Kronecker, en effet, le concept de nombre est un concept purement arithmétique lié à l’idée de dénombrement et doit demeurer tel. L’élargissement du concept de nombre aux nombres négatifs, puis aux nombres fractionnaires, corrélatif de l’usage de la soustraction et de la division, conduirait nécessairement, selon Kronecker, à « une dévaluation de ce concept » à laquelle il s’oppose. Il propose une alternative à celle-ci à partir de la critique du manuel d’arithmétique de Hermann Schubert [1885]. Cette alternative évite les concepts de nombre négatif et de nombre fractionnaire par le moyen des indéterminées et des congruences.

Capture d’écran 2019-02-22 à 10.48.11.png
Un cours de Kronecker

Les concepts de nombre négatif et de nombre fractionnaire étant évités en tant que concepts fondamentaux de l’arithmétique, celui de nombre irrationnel le sera a fortiori. L’irrationalité est un concept géométrique et doit, selon Kronecker, rester dans le domaine géométrique. »

C’est tout de même assez fascinant, cette façon de voir les choses, surtout pour nous qui avons appris les mathématiques en abordant l’hypothèse du continu au lycée.

Toujours ici, on lit : « Le futur montrera que l’analyse de Weierstrass l’a emporté mais le doute de Kronecker, à la base du constructivisme  de Brouwer et Poincaré, engendra la réflexion sur la remise en cause de principes supposés évidents, comme celui du tiers exclu ou de l’axiome du choix. Au début du 20e siècle, la crise sur les fondements des mathématiques, générée par les paradoxes de la théorie des ensembles de Cantor, fut une dure mais salutaire bataille« . Revoilà l’axiome du choix…

Un article d’Images de mathématiques aborde aussi cette question, avec pour titre « Quelques remarques personnelles concernant la nature des mathématiques », par Jean-François Colonna : « peut-être la réponse est-elle que le mathématicien est à la fois créateur et explorateur : certaines structures, probablement parmi les plus élémentaires, existeraient indépendamment de nous (les nombres entiers ordinaux et cardinaux, par exemple [référence à la citation de Kronecker]), alors que d’autres seraient notre œuvre (un peu comme il existe dans l’Univers un certain nombre de molécules naturelles et que nos chimistes en ont créé de nouvelles à partir des éléments de base que sont les atomes).« 

A l'attaque !·Apprendre·Chez les chercheurs·Culture mathématique·Expo de maths·histoire des maths·Lire·Manuels scolaires·Maths ailleurs·Maths et société·Mes projets·Mots de maths

Lire, découvrir, apprendre : la démonstration comme prétexte

Ce matin, je me suis penchée sur le dossier démonstration de cultureMATH que j’ai vu apparaître plusieurs fois dans mes pérégrinations numériques ces jours-ci.

La question posée en introduction de ce dossier est : « Comment l’enseigner et comment amener les élèves en position de comprendre et de se convaincre de la nécessité de démontrer ?« 

Plusieurs ressources sont proposées, qui amènent le lecteur à naviguer dans la didactique, la pédagogie, l’histoire, l’épistémologie, la philosophie. Commençons par :

Les actes du colloque Inter-IREM Épistémologie et Histoire des mathématiques de 1989

Les communications sont regroupées en quatre axes :

Je n’ai pas tout lu, là, ce matin… Ma découverte du jour est, grâce à Rudolph Bkouche, GonsethFerdinand Gonseth. Mais j’ai aimé me promener dans les réflexions sur la vérité, sur axiome/postulat, sur la révolution des mathématiques non euclidiennes, j’ai aimé apprendre sur Arbogast, retrouver l’axiome du choix, qui avait totalement bouleversé mon année de licence…

Comme j’aimerais en savoir plus sur l’histoire des mathématiques !

Dans les jours qui viennent, je vous raconterai les deux autres ressources proposées.