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Préparation de Jonzac…

Bonne nouvelle : trouver de l’essence vers Jonzac semble possible; Ma mission, et elle est déjà acceptée, est d’avoir un réservoir bien rempli pour vendredi après-midi à la sortie des cours. Bien.

Mon atelier est prêt :

Et est-ce que nous avons passé un bout de temps cet après-midi à préparer la publicité de la brochure 5, en famille-amis ? Mmmmmh, possible. Je commence doucement. Mais j’ai des idées pour les années suivantes…

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Jeux Ecollège 5

La brochure jeux école-collège 5, ou écollège 5, va être mise en vente dès ce weekend. J’ai pu la compulser ce matin et elle est

Formidable

Extra

J’ai hâte de l’utiliser avec mes élèves !

Voici à qui nous devons cette petite merveille :

Le sommaire :

Alors bon, après lecture, je vais tout tester, et tout me semble simple à déployer. J’ai évidemment particulièrement hâte de tester le Curvhexa, moi qui suis une fan absolue du Curvica, mais tout m’allèche les neurones et j’imagine déjà mes élèves sur les quatre autres activités : je sais qu’elles vont leur plaire… Voyez plutôt :

Je vous rappelle ceci, car c’est TRES TRES TRES IMPORTANT :

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Balade mathématique parisienne

Ce matin, direction le local APMEP à Paris. J’en ai profité pour faire une petite balade mathématique :

Certaines photos nécessitent d’être agrandies, en partie, pour que des détails soient plus facilement identifiables. Voici des propositions de questions, à différents niveaux. Elles sont prévues pour être posées à l’oral, modulées par les enseignants, en donnant le moins possible d’indications aux élèves, mais en s’autorisant les coups de pouce si nécessaire, après les avoir laissés débattre, se tromper, chercher des informations complémentaires ici ou là. De haut en bas et de gauche à droite :

  1. Quelle fraction de la partie vitrée blanche représente la surface de chaque vitre ?
  2. Quelle est la hauteur approximative de cet immeuble ?
  3. Combien y a-t-il de petits carreaux sur cette façade ? Comment le calculer ?
  4. Idem, mais abordable pour des plus jeunes ;
  5. Y a-t-il symétrie ? (Prolongement : comment compléter pour qu’il y ait symétrie ?)
  6. Reproduis ce logo ; écris un programme de construction pour le construire ;
  7. Quelles formes vois-tu sur cette vitrine / Combien y a-t-il de disques sur cette vitrine ? / Peux-tu ranger les disques du plus petit au plus grand (en expliquant ce que cela signifie) ?
  8. Sur cet affichage que signifie « 28-34 rue du Château des rentiers » ? / Combien trouve-t-on de portes à cette adresse ?
  9. Quelles formes reconnais-tu sur ce mur ?

Voici des photos retaillées qui me semblent utiles, et je remets la photo complète de la vitrine (mais en cliquant sur chaque photo ci-dessus, nous pouvez l’enregistrer dans son intégralité) :

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Quelques paradoxes du monde de l’aléatoire

Nous voici à la fin de notre participation aux journées mathématiques de la Belgique francophone. Nous aurons appris, rencontré, réfléchi, découvert… Mais avant de reprendre le chemin de notre (plus très) verte Normandie, dernière intervention : « Quelques paradoxes de l’aléatoire », par Davy Paindaveine.

Abraham Wald est un mathématicien d’origine hongroise qui a commencé en géométrie et est devenu statisticien à Columbia. Pendant la Seconde guerre mondiale, il a rejoint un groupe de statistiques consulté par l’armée américaine, qui voulait savoir où il fallait renforcer le fuselage des avions qui revenaient. La légende dit que Wald aurait préconisé de renforcer les avions là où ceux qui revenaient n’avaient pas d’impacts : ceux qui n’étaient pas revenus pouvaient avoir justement été touchés ailleurs.

C’est ce qu’on appelle un biais de sélection présent par construction. Mais il y a des biais de sélection inconscients, aussi, comme dans le livre Good to great, qui enseigne comment réussir une start-up. Pour cela l’auteur examine 11 entreprises qui ont superperformé. C’est un biais de sélection que de se restreindre aux vainqueurs : les caractéristiques de ces entreprises étaient peut-être aussi présentes chez les autres entreprises. Et puis il y a des biais de sélection moins inconscients : Didier Raoult n’a pas toujours eu recours à un groupe de contrôle pour valider un traitement, et a même choisi de façon spécifique la composition du groupe test.

Davy Paindaveine est revenu, après cette introduction, aux événements aléatoires et aux probabilités, jusqu’à la loi des grands nombres. Il nous a rappelé que Leibniz avait écrit que la probabilité d’obtenir 11 et celle d’obtenir 12 par addition de deux lancers de dés équilibrés est la même, alors que celle d’obtenir 11 est 2/36 et celle d’obtenir 12 est 1/36, la moitié donc.

Premier paradoxe (l’échauffement)

Le résultat est assez surprenant, quand même.

Deuxième paradoxe (le troublant)

En fait, si j’ai un petit calcul je veux A, si j’ai un gros calcul je veux A, et si je ne sais pas je veux B.

Cet inversement s’explique par le fait que A a été testé plus souvent pour les gros calculs, qui sont plus difficiles à soigner. Mais A est plus efficace en réalité.

Un exemple pratique, sur le covid, avec des données réelles :

C’est vraiment un bon exemple à travailler en classe.

On voit bien que chez les plus de 50 ans la majorité des gens étudiés sont vaccinés, et chez les moins de 50 ans c’est une minorité.

Un autre exemple que nous a montré Davy Paindaveine concerne le taux de mortalité en Chine et en Italie, dans une même période, en 2020. Quelle que soit la tranche d’âge, le virus est moins mortel en Italie qu’en Chine. Et pourtant, si on regarde le total, la situation s’inverse : en Italie les cas confirmés concernaient la population très âgée, avec un risque de décès plus élevé.

Troisième paradoxe (le passage obligé)

C’est le paradoxe de Monty Hall, inspiré d’un vrai jeu télévisé. Trois portes cachent deux lots dont on ne veut pas, et un lot qu’on souhaite gagner. On doit choisir une porte. Si c’est la porte gagnante, on part avec, disons, une montagne de chocolat. Si c’est une porte perdante, on repart avec un truc berk. Mais le présentateur indique une autre porte, perdante, avant d’ouvrir la porte choisie par le candidat. La question est : a-t-on intérêt à changer de porte ?

Or si on ne change pas de porte, on gagne si et seulement si on avait choisi la bonne porte, soit avec une chance sur trois.

Si on change de porte, on gagne si et seulement si on avait choisi une mauvaise porte, soit avec deux chances sur trois.

C’est donc avantageux de changer de porte.

Une femme, Marilyn vos Savant, qui explique ceci dans un journal, se prend un flot de commentaires agressifs et honteux :

Paul Erdös lui-même ne pouvait pas croire que changer de porte pût changer quelque chose. Il ne pouvait pas le croire, même démonstration à l’appui. Ce qui finalement le convaincra et éteindra l’incendie aux Etats-Unis face à Marilyn vos Savant, c’est l’invitation à un millier d’écoles de mettre en oeuvre l’expérience. Et là, le débat est clos, pas par la démonstration mais par l’expérience. Non mais quelle horreur je vous jure.

Quatrième paradoxe (un dernier pour la route)

Cela fait référence à deux problèmes de mathematical games, par Martin Gartner.

Les hypothèses sont tacites : tout enfant est soit une fille, soit un garçon, la probabilité d’être garçon ou fille est 1/2 et les sexes des enfants sont indépendants. Aucune de ces hypothèses n’est vraie, d’ailleurs, mais bon, modélisons.

On peut transformer la situation :

Et là :

C’est rigolo, parce que les aires des F et G « horizontaux » ne sont pas égales, mais leurs probas si. Les probas ne sont plus appuyées sur les aires. Et on obtient une proba différente du cas précédent, alors que dans le cas précédent la fille avait aussi un prénom ; peut-être Valérie d’ailleurs.

Allez, concluons (attention, c’est super extra et ça dérange) : le poids du carré rose est le même que le poids des deux carrés verts réunis.

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Quelques belles courbes paramétrées

Michel Roelens, qui nous avait enchantées avec la topologie l’année dernière et aussi avec un magnifique tee-shirt, nous a présenté l’atelier « quelques belles courbes paramétrées ».

Après quelques rappels généraux sur les courbes paramétrées, nous sommes arrivés à des figures de Lissajous. Lissajous est un physicien du 19e siècle, qui a combiné deux vibrations harmoniques, avec des diapasons et des miroirs.

Et ensuite, nous sommes passés à l’action :

Ensuite, nous avons travaillé sur les oeufs. Pour rester dans le ton des blagues de Michel Roelens, c’était dur !

Nous nous sommes ensuite penchés sur la cissoïde de Dioclès. La duplication du cube est impossible à la règle et au compas, comme on l’a démontré au 19e siècle, mais on peut avec la cissoïde. Et notre itinéraire s’est achevé avec la Vache sui rit qui roule sans déraper, ou encore la cycloïde.

Pfou, c’était dense et cet atelier arrive au bout de trois jours de maths. Mais notre intervenant, Michel Roelens, est vraiment top. L’avoir en cours doit être une véritable chance.

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Débat en secondaire inférieur en Belgique

 « Secondaire inférieur », ça a un côté Mézozoïque, je trouve. Le secondaire inférieur correspond en gros à notre collège. Ibrahim Kallouch et Jamal Jalil Mezraui, en collaboration avec Habib Ben Aicha, nous ont présenté une intervention : « S’exprimer, argumenter et convaincre en mathématiques à tout âge ».

Nos trois collègues voient dans le débat la possibilité de sortir de l’automatisation systématique et de vivre le cours de maths autrement que comme le lieu où on applique des règles et c’est tout. Ils souhaitent que les élèves construisent ainsi leurs apprentissages.

Premier débat :

Une collègue a proposé d’élever le plus petit nombre à la puissance le plus grand, mais on n’a en fait le droit qu’aux quatre opérations +, -, x et :. Tout dépend des nombres : si on a un 0 et un positif c’est l’addition, un 0 et un négatif c’est la soustraction, si on a un nombre compris entre 0 et 1 et un supérieur à 1 c’est la division, etc. Nous nous sommes mis d’accord sur le fait que le résultat le plus grand est positif. Et nous nous sommes posé une autre question : quelle est la limite au-delà de laquelle une autre opération prime sur la division ? Avec 0,5 et 0,5 l’addition et la division donnent le même résultat. Mais avec 0,9 et 0,9 c’est l’addition car 0,9:0,9=1, 0,9×0,9=0,81 mais 0,9+0,9=1,8.

C’était rigolo, de débattre entre nous, car nous n’étions pas d’accord au départ. Par exemple, pour certains collègues l’idée que le résultat maximal soit forcément positif bloquait. Et en fait pour une question qui semble simple, on a une réponse complexe. C’est bien pour cette raison que c’est une bonne question, à faire vivre différemment selon les niveaux de classe :

Par Thérèse Gilbert

Deuxième débat :

Le truc ici, c’est que B n’est pas sur le segment d’extrémités E et F.

Troisième débat

Pour nos collègues belges, le débat sert le décret mission, un décret institutionnel :

Nous avons débattu du débat de façon très intéressante, sans être forcément d’accord. En particulier à quoi sert le débat en maths : à entendre la voix de toutes et tous, ou à développer des compétences de communication y compris sans verbaliser ? A mon avis, en écoutant des camarades débattre, on accroît de toute façon ses compétences de communication, sans que cela passe obligatoirement par la verbalisation. Une autre question du coup, c’est : qu’est-ce que communiquer ? Ça résonne dur avec le grand oral, où on peut présenter du contenu solide sans parler et se ramasser un 5, alors qu’en présentant quelque chose de moins robuste mais avec des capacités verbales qui renvoient de l’aisance, on obtient une bonne note. Le débat en maths doit à mon avis rester contré sur les maths, et non avoir pour seul objectif le développement de la prosodie, même si c’est un objectif important de façon périphérique. Débattre doit mener à argumenter, si possible verbalement, ou à l’écrit ou mentalement sinon, et pas juste à faire entendre sa voix pour la forme.

Un débat, ça doit être du contenu, pas juste de la forme.

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Polyminos

Fin de journée en Belgique : nous sommes allées voir l’atelier Polyminos de Christine Oudin. J’ai fait une ovation à notre digne représentante du groupe jeux de l’APMEP, bien sûr.

Première question : combien y a-t-il de pentaminos ? Nous en avons trouvé 12, tous ensemble. Pourquoi ? Avec deux carrés, il n’y a que le domino. Avec trois carrés, on a deux possibilités : les trois carrés côte à côté ou un angle droit. Et avec quatre carrés ? On repart des triominos :

En raisonnant de la même façon avec les pentaminos, on retrouve bien les 12 possibilités.

https://apmeplorraine.fr/IMG/pdf/pv133_carre_geomag_penta_tetra.pdf

Il y a 35 hexaminos, 108 heptaminos, 369 octominos…

Avec l’ensemble des pièces du pentamino, il y a des possibilités d’assemblage en forme de rectangles : des façons de constituer des rectangles de 3×20, de 4×15, de 5×12 ou de 6×10. Nous avons essayé d’obtenir des solutions, puis d’obtenir des solutions à partir de tableaux qui indiquent le nombre de côtés adjacents entre les différentes pièces.

Tout ceci se retrouve dans Jeux 7, de l’excellente association nommée APMEP.

Il existe des variations pour le cycle 1, d’autres pour le cycle 2. Un jeu s’intitule le Katamino, aussi. Le site Pentoma propose un logiciel qui permet de faire toutes les constructions qu’on veut. D’ailleurs il en existe une version en allemand, ce qui pourrait me permettre de belles séances en atelier Mathe auf Deutsch.

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Zone interdite en Belgique

Deuxième partie de matinée : Isabelle Bellanger et Laure Ninove nous ont proposé Drapeaux en zone interdite, ce qui nous a amenés à se pencher sur les distances inaccessibles.

Nous sommes passés à l’action :

Nous avons joliment galéré…

Nous étions six groupes. Nous avons trouvé 780cm (nous nous sommes trompées de 11cm seulement), et les autres groupes 802cm, 1180cm, 837cm, 750cm et 776cm. Des collègues ont utilisé le parallélogramme et j’ai trouvé leur méthode top. Aucun groupe n’a eu recours à la même méthode.

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Françoise Delpérée, artiste mathématique

Dans le hall d’accueil des journées mathématiques, nous avons découvert des œuvres de Françoise Delpérée. Voici des exemples de reproductions de ses œuvres :

Françoise Delpérée peint à l’acrylique, à l’aquarelle, des solides de tous les formats, des solides de Platon, d’Archimède ou de Catalan, de Kepler-Poinsot. Ils se rapportent à un ou deux polyèdres, et sont associés à des fiches qui précisent leur nom, quelques- unes de leurs propriétés et les opérations utilisées pour leur construction. Les fiches sont ici :

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CroArt, un projet mathématique collaboratif

Dernier atelier de la journée, avant d’aller se promener sur la Meuse : CroArt, un projet mathématique collaboratif encore en cours, par Bruno Teheux et Hugo Parlier, de l’université du Luxembourg. Maintenant, le projet s’appelle ReShape, basé à Esch-sur-Alzette.

ReShape est une idée que Bruno Teheux a eu il y a longtemps, lorsqu’il visité New York et ressenti l’équilibre qui émane de certaines œuvres abstraites :

Bruno Teheux et son équipe sont partis collecter des dessins à partir d’objets mathématiques, dans différents endroits, réalisés par les personnes croisées là-bas. Au moins 15 000 dessins ont été déjà collectés. Trois activités étaient proposées : dessiner des courbes, assembler des formes données ou faire du pixel art.

Un des pans du projet est de faire un lien avec The Sound ou Data, avec une « sonification » des œuvres avec un concert à la clef.

Nous avons joué :

Comment obtenir plus de deux couleurs ? Nous avons dû réfléchir et ma fille a réussi rapidement. La couleur d’une région dépend du nombre de fois où la courbe tourne autour de la région, mais avec une orientation fixée.

Derrière tout cela, il y a des maths : un théorème de coloriage, par exemple, selon lequel les régions délimitées par une courbe fermée peuvent être coloriées avec deux couleurs sans que deux régions contigües aient la même couleur. Ce théorème est un cas particulier du théorème des quatre couleurs, conjecturé vers 1850 et prouvé en 1976, numériquement (1 200 heures de calcul par ordinateur). En 2005, des chercheurs ont formalisé la preuve et utilisé un assistant de preuve. Aujourd’hui, on sait donc que c’est vrai, mais aucun humain n’est capable de maîtriser la preuve complètement.

Que faire de toutes ces œuvres ? Les collègues de l’atelier ont proposé de les superposer, de les juxtaposer aléatoirement ou en catégorisant, de les découper pour recoller. Si on veut les montrer dans un certain ordre, quels choix faire ? Par complexité (le nombre de retours selon l’axe des abscisses, le nombre de points d’intersection, la longueur…), par similarité, en en calculant des moyennes ? Par similarité, on peut avoir recours à la distance de Hausdorff pour rassembler des courbes qui sont presque les mêmes, ou une « distance canine », ou distance de Fréchet, plus fine : un maître promène son chien en laisse. Le maître a sa trajectoire, le chien aussi. Chacun a une vitesse variable. On suppose que ni le maître ni le chien ne font demi-tour. Selon les vitesses, la laisse aura une taille différente. La distante de Fréchet est la longueur la plus petite possible de la laisse.

Sur la fonctionnalité Shapes, Bruno Teheux nous a fait réfléchir aux choix effectués par les personnes qui ont joué avec l’application, et l’influence de la consigne.

Cet atelier était tout à fait passionnant, clair et motivant. J’ai vraiment adoré.