Cette semaine, nous avons explicitement travaillé sur l’exercice de la démonstration en sixième. C’est une mini-séquence que j’adore, vraiment. Je vois que les élèves se transforment et j’adore ça.

Voici le plan de mes trois séances :

Séance 1

Étape 1

Je commence par expliquer à mes élèves l’évolution des attendus dans leur parcours, et mes objectifs : globalement, nous évoquons la catégorisation de Catherine Houdement, avec la géométrie naturelle (géométrie 1), la géométrie axiomatique naturelle (géométrie II) et la géométrie axiomatique formaliste (géométrie III). J’explique à mes élèves que le collège va leur apprendre à quitter « c’est un carré parce que ça se voit » pour « c’est un carré car (propriétés diverses, adaptées et minimales) », et exiger d’eux qu’ils parviennent à intégrer cette modification fondamentale de raisonnement. Je leur explique aussi qu’en maths on ne croit pas ce qu’on voit. En maths, on est convaincu parce qu’on comprend. Enfin, je leur explique que nous allons nous engager cette année dans cette transformation, tranquillement, pour qu’ils puissent la vivre naturellement. Et je leur annonce que « ça ne va pas être facile, il va falloir réfléchir dur ». Rien de mieux pour avoir l’attention de tous… 🙂

Étape 2

Je présente le premier document aux élèves : trois propriétés, d’abord, que nous lisons ensemble et reformulons. Qu’est-ce que ça veut dire tout ça, une troisième quoi, comment le dire autrement, est-ce que c’est vrai, tout ce qui est écrit là ? Et nous représentons dans la classe, physiquement, avec des cordes, les grandes règles, etc., pour être sûrs que tout le monde a bien compris.

Étape 3

Deuxième document : un tableau. Il vient du site Pyromaths (niveau sixième, section propriétés sur les droites). Pendant toute cette étape et la suivante, les élèves n’ont pas les documents papier devant eux. Ils doivent juste écouter. Nous remplissons ensemble la première ligne, et ensuite les élèves passent au tableau (ceux qui le souhaitent) pour remplir le reste. Chacun pose ses questions, nous débattons : comment noter les droites, que coder, quel codage indique quoi, ça veut dire qui déjà perpendiculaire, l’orientation du schéma est-elle importante, quels indices me permettent de choisir telle ou telle propriété, etc. Il s’agit de représenter en langage mathématique et en schéma à main levée les « données », de choisir la « bonne » propriété et d’identifier la conclusion. À ce niveau, je choisis un tableau comme celui qui illustre cette section, avec des droites nommées (d1), (d2), (d3). Nous cherchons comment identifier la propriété à utiliser, ce qui nous amène naturellement à discuter de ce qui relève de la colonne « donnée » et de la colonne « conclusion ».

Étape 4

Je termine la présentation de l’exercice avec trois remarques importantes :

• Mon objectif principal est d’identifier ce dont on est sûr, parce que les données ou la figure nous fournissent ces informations, et ce qui relève de la démonstration, mais qui, pour exister, nécessite une justification donnée par la propriété.
• Deuxième remarque : je ne veux pas des représentations faites avec des outils de construction. Je veux du dessin à main levée, car là ce qui compte, ce sont les codages. Ma figure peut être de travers, si elle porte les bons codages, je dois pouvoir raisonner dessus. C’est hyper important, ça : les objets mathématiques existent dans ma tête, mais ne sont que représentés, forcément imparfaitement, sur ma feuille. Je le dis aux élèves de cette façon.
• Les données, en maths, on les appelle aussi les hypothèses. Et le mot hypothèse est dangereux, car il ne signifie pas la même chose en SVT par exemple, qu’en mathématiques. En SVT je formule une hypothèse, dont je ne suis pas sûr, et je cherche à la valider ou à l’invalider. Pas ici. Je suis sûr de mes hypothèses : c’est ma matière de réflexion, les données de l’énoncé.
• Le codage utilisé dans l’exercice pour les parallèles (elles sont représentées en gras) n’est pas universel, et seulement valable pour cet exercice, avec moi.

Étape 5

J’efface tout et hop, je distribue les documents aux élèves. Ils doivent remplir les colonnes, en utilisant le document de propriétés pour les découper et les coller au bon endroit : comme il y a 5 tableaux, ça fait 15 propriétés et mon but n’est pas de faire de cette séance un exercice de copie.

Je laisse les élèves chercher et s’entraider, je donne un coup de main ou je rassure ceux qui en ont besoin, et assez rapidement je les interromps pour évoquer avec eux une nouvelle difficulté : et quand il y a des lettres tout partout ???

Naturellement, les élèves notent les droites comme avant : par exemple, ils placent (FG) à côté d’une ligne droite, comme ils plaçaient (d1). Quand je les interpelle sur ce sujet, certains me disent que ça ne va pas, que les lettres représentent des points. Alors nous en parlons : pourquoi, dans (FG), F et G sont-ils des points et pourquoi n’avions-nous pas le problème dans (d1) ?

Alors les élèves placent des points, en faisant deux erreurs : leurs points se baladent on ne sait où (ils ne pensent pas, dans un premier temps, à placer une marque sur la droite concernée pour fixer la place du point) et ils dessinent des schémas dans lesquels il y a plusieurs points F, plusieurs points P. Nous en discutons et nous rectifions tout cela.

Pour la fois suivante, les élèves ont à remplir les tableaux.

Séance 2

Cette séance n’est pas complète : nous la complétons par autre chose, type entraînement de la course aux nombres ou questions flash. Elle prend environ 45 minutes.

Étape 1

Nous réactivons : quel fallait-il faire pour aujourd’hui ? Quels étaient mes objectifs ? Quelles difficultés les élèves ont-ils rencontrées ?

Étape 2

Ensuite, séquence foire d’empoigne : quatre élèves sur cinq ont envie d’aller au tableau. Ils pensent avoir bien compris, ils comprennent qu’ils sont en train d’apprendre quelque chose d’important.

Nous prenons le temps de tout compléter, de tout discuter, et tous les points de vigilance de la séance précédente sont réévoqués : certains élèves ne les ont pas entendus, pas compris, ou c’était trop tôt pour eux à ce moment-là. Toutes les questions sont renvoyées aux élèves, et la séance est bien vivante et interactive.

Étape 3

Qui veut cinq autres tableaux, en exercice facultatif, pour le plaisir, pour progresser encore, pour consolider s’il y a un doute ?

Beaucoup d’élèves sont volontaires. Si ce n’est pas le cas, il y a un souci. En principe, ils aiment cette séquence autant que moi…

Séance 3

Cette séance commence par la trace écrite, élaborée conjointement par les élèves et moi. J’ai laissé mon cahier de classe à une élève, mais je vous mettrai la trace en photo la semaine prochaine.

Enfin, la séquence s’achève sur une évaluation rapide : les élèves ont deux tableaux à remplir. Et lors de la prochaine évaluation bilan, ils en auront encore, mais cette fois sans avoir trois lignes qui correspondent chacune à une propriété différente. Une même propriété pourra servir plusieurs fois, ou pas du tout.

Voilà. Je veux bien les avis, les critiques et tout !