Laura a recensé les résultats des réponses acceptables (car trois bulletins n’avaient pas de mention de nom et un formulait deux propositions) pour l’estimation de bonbons. Je vais ajouter un point à étudier avec les élèves la semaine prochaine : la moyenne élaguée. Je pense que je vais aussi leur montrer l’existence de l’écart-type, pour leur expliquer en gros comment il est déterminé et ce qu’il signifie.
Voici les indicateurs moyenne (première ligne) et écart-type (deuxième ligne) :
données en entier
Sans min et sans max
En élagant 5+5 valeurs
184
162
145
258
124
61
C’est intéressant, car les données extrêmes sont tellement éloignées de la moyenne qu’élaguer a des conséquences importantes.
Je pourrais aussi évoquer la médiane : même pour les niveaux pour lesquels ce n’est pas au programme, je trouve ça intéressant. Sans faire de chapitre dessus, on peut l’évoquer et agrandir nos horizons :
médiane
128,5
128,5
128,5
Et se pose la question de la nature de ces nombres, qui paraissent décimaux (mais le sont-ils ?) alors que les données sont toutes entières.
Bon, en fait du coup j’ai réfléchi à une petite trace dans le cahier de leçons :
Je verrai ce que les élèves font de tout ceci. Mais je me dis qu’une trace écrite à partir de ce petit événement les marquera peut-être mieux qu’une trace théorique décontextualisée.
Ces deux dernières semaines, j’ai proposé de nouveau un exercice d’estimation. L’année prochaine, je voudrais en proposer un par mois. La mission des élèves qui souhaitent participer est simple : combien ce vase contient-il de bonbons ?
Après deux semaines de concours (avec proposition unique pour chaque participant), nous avons aujourd’hui délivré la réponse : il y en avait 245. Ce n’est pas une approximation : Laura et moi avons vraiment dénombré les bonbons à l’unité près.
Ce qui est intéressant, c’est de suivre les démarches des élèves : il y a ceux qui y vont tout à fait à l’arrache et vous annoncent 70 ou 2300, il y a ceux qui commencent à compter et fatiguent alors y vont à la louche, il y a ceux qui calculent le volume de bonbons en mesurant le diamètre et la hauteur, estiment le volume d’un bonbon (pas facile, car pas le droit de bouger le vase et pas de bonbon à dispo) et en déduisent une bonne approximation, il y a ceux qui comptent le nombre de bonbons de l’étage du dessus et le nombre d’étages (en général c’est plutôt bien aussi), ceux qui « calculent les tranches verticales et multiplient », quoi que cela veuille dire précisément. Et il y a la démarche de Quentin, que je garde pour la fin, tant elle est pépitesque.
Bon, résultat des courses, nous avons 2 premiers (un élève à -1 et une collègue à +1), 5 deuxièmes (quatre à +5, un à -5) et un troisième (237). Tous vont gagner des bonbons du vase. Et nous allons recommencer, avec Laura, mais avec un autre type d’objet. Nous avons pas mal d’idées pour faire grimper le degré de difficulté au fur et à mesure… Nous allons bien travailler l’estimation lr’année prochaine, davantage dans une idée de progression que dans l’événementiel seul.
Là, la semaine prochaine, nous confronterons les démarches pour faire débattre les élèves sur leur validité, leur efficacité, leur simplicité. Je vais m’appuyer sur les productions écrites que certains élèves m’ont apportées :
Et pour finir, comme promis, la démarche de Quentin, tellement bien mise en forme, en plus… Une démarche expérimentale, une démarche théorique… Quentin est allé acheter des bonbons identiques, d’ailleurs, pour trouver une solution à sa façon. Lui qui écrivait si peu ses démarches, je suis tellement contente de lire sa production !!! D’ailleurs, il ne le sait pas encore (sauf s’il lit le blog, mais je l’ignore), mais il a beau ne pas être dans le top 3 des résultats, il va avoir aussi ses bonbons, pour la plus belle exposition de démarches que j’ai reçues :
C’est un vrai ou faux avec justification. Il aborde :
L’image d’un nombre par une fonction, dans lequel il s’agit de ne pas confondre f(-1)=2 avec f(2)=-1 ;
Un développement par double distributivité, sans difficulté de signe excessive (il y a un unique signe -) ;
Les puissances (il faut calculer 2^n pour n=5) et les nombres premiers (on s’interroge sur la primalité de 33, ça va, ce n’est pas trop méchant) ;
Les fréquences, avec le fait que la somme des fréquences vaut 1, et les fractions (là encore, ça va : on additionne des fractions de même dénominateur) ;
De la trigonométrie, sans dessin. C’est la tangente qu’il faut invoquer ;
Une application de l’égalité de Pythagore, sans dessin, dans laquelle il faut calculer la longueur d’une diagonale de rectangle connaissant la longueur et la largeur du rectangle. Il faut naturellement passer par la racine carrée et donner une valeur approchée.
Cet exercice balaie ainsi de très nombreuses notions du programme, de façon procédurale. Si des élèves n’ont pas vu telle ou telle notion, cela ne leur nuira pas trop.
L’exercice 2
Cet exercice est une extraction d’information, entre consigne rédigée et courbe.
Il y est question de proportionnalité, car il faut mesurer un petit bout de segment et le rapporter à la longueur de référence. On doit ensuite déterminer des longueurs, des durées, sans difficulté particulière si ce n’est une certaine incertitude à la lecture de la courbe. La question 4 aborde la pente ou le coefficient directeur. Enfin, la dernière question amène à calculer une vitesse en km/h, connaissant la distance et le temps en minutes.
Cet exercice est classique, accessible : j’essaierais bien avec mes 5e, qui ont tout sauf le coefficient directeur.
L’exercice 3
Voici des transformations, avec des rotations et des symétries axiale et centrale. L’exercice est sympa, mais ne demande aucune justification. Je comprends, car parfois elles peuvent être difficiles à exprimer pour des élèves, mais du coup je trouve qu’on tombe vraiment dans une approche perceptive des transformations. Certes, il faut avoir compris qu’une symétrie axiale est une réflexion, qu’une rotation ça tourne dans un sens donné et q’une symétrie centrale c’est un demi-tour, mais bon, ça me fait un peu mal aux transformations. Et d’un autre côté, avec les deux années perturbées que nous venons de vivre, il est incertain que tous les élèves, particulièrement ceux qui sont passés en demi-jauge un long moment, ait pu tout étudier. Là, même sans avoir appris les rotations, ça se tente, cet exercice. Et comme les symétries sont aux programmes de 6e et de 5e…
L’exercice 4
Aaaaah, je l’aime bien, cet exercice. C’est de la logique, parfum programmation, mais sans scratch. Il faut réfléchir un petit peu, c’est sympa. Aucune connaissance n’est nécessaire, mais les élèves qui ont programmé seront plus à l’aise.
L’exercice 5
Un peu comme l’exercice 2, voici un grand classique : nous qui venons de traiter le problème Dudu du cabanon en 6e, il est très semblable, avec en plus la colle et l’information du rouleau supplémentaire pour les découpes. Il faut jongler avec différentes grandeurs et mesures, avoir compris le sens de la division et on finit sur une réduction de 8%.
Conclusion
Je ne suis pas une grande fan du DNB. Je n’ai pas d’attachement à cette épreuve. Ne pas l’obtenir est signe d’un niveau très faible ou d’une difficulté particulière (pour les allophones ou certains BEP), mais il y a 20 ans j’enseignais à des élèves qui ne l’avaient pas obtenu, en lycée, et nous les amenions au bac. Alors bon, je n’ai pas d’exigence particulière, dans la mesure où cette épreuve n’a pour moi que peu de sens. On peut trouver que c’est utile pour se familiariser aux examens en général, d’accord, peut-être.
Pour ces raisons et parce que les deux dernières années ont été franchement spéciales, épuisantes, en pointillés, déstabilisantes pour les élèves aussi, je ne suis pas choquée du petit niveau nécessaire pour s’en sortir. A part la question de trigo et celle sur les fonctions, tout passe pour des 4e, et plusieurs exercices ou questions pourraient même être proposés plus tôt.
Mais il y a pas mal de choses, dans ce sujet. Des tas de notions, de l’extraction de données, beaucoup de proportionnalité, beaucoup de grandeurs et mesures. Certes, pas de proba, dommage. Pas non plus d’agrandissements-réductions, mais c’est souvent un thème abordé en troisième, donc pour cette année, danger… je regrette le peu d’expression nécessaire, et en même temps un sujet de ce type garantit davantage l’équité entre territoires scolaires. Rien n’est simple.
Mise à jour de 21h : j’ai loupé l’absence de résolution d’équations… Un gros morceau en creux, quand même.
Les sujets de cette année ont dû être bien délicats à élaborer.
Cette semaine est exposée la première de Regards de Géomètres en Normandie, à l’Université des Sciences de Rouen, à Saint-Etienne du Rouvray. Voilà un magnifique travail, réalisé par quatre classes, porté par leurs enseignants, les intervenants et organisateurs de Regards de Géomètre, et tout particulièrement Nadine Amosse, qui a porté tout le projet académique !
Pour ma part, j’étais référente avec Nadine au départ, mais je n’ai pas réussi à tenir la distance : cette année de restructuration professionnelle pour moi (puisque j’ai cessé mes activités de formation mais que je me suis engagée dans de nouveaux projets) a aussi été celle des choix et des rééquilibrages. Et puis il y a des choses que je ne sais visiblement pas faire, en particulier côté organisation et logistique. Mais j’espère pouvoir continuer de collaborer autrement avec Maths en Scène et Regards de géomètre.
J’avais une angoisse : allais-je avoir le temps de faire comprendre l’égalité de Thalès à mes élèves de quatrième ? Mon pari, c’était d’attendre la toute fin de l’année, une fois vus les réactivations sur les angles (correspondants), les triangles semblables, les agrandissements-réductions, les égalités de fractions et le produit en croix. Je m’étais dit : cocotte, si tu as bien travaillé, ça doit couler de source.
La semaine dernière, nous avons fait une séance en salle info, dont une partie consistait, de façon très classique, à construire une configuration de Thalès emboîtée et à observer l’égalité des rapports.
Au terme d’une séance assez épique, les élèves avaient, dans leur très grande majorité, formulé un lien logique de « les droites sont parallèles » vers « les rapports sont toujours égaux entre eux ».
Là, j’ai demandé de me restituer la configuration dans laquelle nous nous étions placés. Les élèves ont su : deux droites sécantes, deux droites parallèles entre elles sécantes aux deux premières. Que voyez-vous ? Ai-je demandé. Dans l’ordre, j’ai obtenu :
des lignes qui se coupent ;
des triangles dont un par-dessus l’autre ;
un truc moche (sci) ;
un triangle et un parallélogramme ;
non, un triangle et un trapèze ;
des points alignés d’un côté et des points alignés de l’autre.
J’étais contente des différentes visions mobilisées, d’autant que certains élèves sont capables de mobiliser plusieurs visions. J’ai annoncé que nous allions nous pencher sur les deux triangles, PAF et POC. Que peut-on dire de PAF et POC ? Très vite, des élèves m’ont parlé d’agrandissements-réductions. Mais pourquoi ? Ai-je demandé ? Comment le savez-vous ? Et là, bonheur : ils ont été plusieurs à répondre « parce qu’ils sont comment on dit, déjà… Semblables. » Ouhlala, j’étais contente que le mot et le sens de « semblable » remonte : nous craignons toujours que les élèves oublient au fur et à mesure ce que nous leur apprenons. Mais pourquoi sont-ils semblables, ai-je réinterrogé ? Fastoche : « les angles de PAF et les angles de POC, ils ont la même mesure parce qu’il y en a un qui est dans les deux triangles et les autres c’est des angles correspondants mais avec les parallèles ils sont égaux ».
Là, je me suis dit qu’on allait avancer beaucoup plus loin que prévu.
Nous avons reformulé, et j’ai demandé : mais pourquoi je vous amène là ? C’est quoi mon but ? Rebelote, plusieurs élèves concluent : « bah si ils sont semblables les longueurs sont proportionnelles et donc il y a un nombre qui multiplie les côtés de POC pour trouver ceux de PAF ». Puis un ange passe, et « Aaaaaaah, c’est pour ça que quand on divise ceux qui vont ensemble ça fait le même nombre, c’est le coefficient d’agrandissement-réduction-truc-muche ! »
Nous avons ensuite exemplifié et reformulé. Puis nous avons commencé à voir à quoi ça va servir tout ça, avec quelques cas concrets et des exemples d’exercices de DNB. Pour finir, un exercice a été réussi… Par TOUS les élèves !!! Wouhouuuuuu !!!
La fois prochaine, je voudrais continuer de développer la mise en forme, avec l’émergence des hypothèses indispensables, institutionnaliser et entrevoir contraposée et peut-être réciproque.
Mais je suis soulagée et vraiment satisfaite : je voulais donner de la cohérence, je crois que c’est réussi. Cela me conforte dans l’idée qu’une programmation ciselée, c’est fondamental.
Ca fait du bien, parce que dans l’année, je n’ai pas tout réussi, voyez-vous. Alors je me régale des victoires.
Dans la catégorie question intéressante, en voilà une pas mal, posée aujourd’hui par un élève de quatrième. Je venais de dire : attention à l’ordre dans les négatifs, il est inversé. Par exemple, -4< -3 alors que 4 > 3. J’en profite : comment appelle-t-on ces nombres au fait ? Un élève me répond : un entier relatif, il est positif ou négatif. Et là, un autre élève lève la main et me dit : « mais madame, pourquoi on précise relatif finalement ? Un nombre, il peut faire autrement qu’être relatif ? »
Alors nous avons redéfini les entiers relatifs, et là les élèves en connaissent des tas qui n’en font pas partie, comme -2,6 ou 5/3. Mais ce n’était pas la question de fond de l’élève qui avait posé sa question : ce qu’il voulait savoir, c’est s’il existe des nombres dont on ne peut pas dire qu’ils sont positifs ou négatifs. J’ai interrogé mon élève : « tu crois que c’est possible ? » Il m’a répondu oui, parce qu’il y a des tas de choses qu’on n’imaginait même pas et maintenant on a compris, alors peut-être.
Je n’ai pas pu résister : j’ai parlé des imaginaires (et des complexes). Il m’avait vraiment tendu la perche, je ne pouvais pas résister. Cela nous a permis de réactiver la règle des signes, et d’ouvrir une porte. Evidemment, nous n’y avons consacré que quelques minutes et c’était vraiment juste une évocation, mais j’ai beaucoup aimé que les élèves ne rejettent pas l’idée d’autres nombres, qui leur sont totalement inconnus.
Ils m’auront fait consommer de l’énergie, mes zozos de quatrième. Mais ils ont un beau potentiel de des acquis intéressants.
Aujourd’hui, nous avons institutionnalisé en 6e ce que nous avons appris dans l’année sur π. C’était l’occasion que les élèves expriment leurs représentations, que j’aborde dans l’ordre de proposition de ce matin :
π, c’est un chiffre infini ?
Bon alors non, π n’est pas un chiffre. C’est un nombre. C’est vraiment un nombre. Le fait qu’il soit désigné par une lettre grecque (le p grec de périmètre, après simplification de pi/delta pour exprimer le coefficient de proportionnalité entre périmètre et diamètre).
Côté « infini », c’est une belle illustration de verbalisation pas facile. Dire « π, il est infini » semble signifier qu’il a une « valeur infinie ». Or π a une valeur précise, comprise entre 3 et 4. On ne peut donc pas prétendre qu’il est « infini ». On peut dire que « en écriture décimale, π a une infinité de décimales ». Et là, mieux vaut préciser dans la foulée que ce n’est pas un nombre décimal, mais qu’il a une écriture décimale, impossible à retranscrire en entier cependant « pour de vrai ».
π, il a des chiffres qui se répètent ?
Dans l’écriture décimale d’une fraction, il y a une période :
Dans l’écriture décimale de π, il n’y a pas de période. Pour autant, forcément on retrouve plusieurs fois chaque chiffre, voire certaines successions de chiffres, mais sans régularité. π ne peut pas s’écrire sous forme de fraction, et oui, on en es sûrs parce qu’on l’a démontré. C’est un nombre irrationnel : il ne peut pas s’écrire sous forme d’écriture fractionnaire avec des entiers au numérateur et au dénominateur.
π, c’est quoi son dernier chiffre ?
Il n’y en n’a pas, puisque son écriture décimale est infinie. Vraiment infinie. Elle ne s’arrête pas. Elle continue toujours.
T’as compris, là ? 🙂
Mais π il est pas précis, alors ?
Si. Trace un cercle au tableau de diamètre 1 mètre, et paf, sa longueur (donc son périmètre) est égal à π mètres. π est la notation qui désigne ce nombre, « le nombre du cercle » comme m’ont dit des élèves. C’est un nombre précis, mais qu’on ne peut pas écrire en écriture décimale finie. Ah, je l’ai déjà dit ? 😉
π, on l’a inventé ou on l’a découvert ?
Non mais je vous assure, quel plaisir d’entendre cette question… Je l’ai retournée à la classe : qu’en pensez-vous ? Après discussion, les élèves se sont mis d’accord : on l’a découvert, il existe sans nous. On peut l’ignorer, mais le périmètre d’un cercle est toujours égal à π fois son diamètre.
Mais finalement, ça sert à rien toutes ces décimales, non ?
Là encore, j’ai laissé les élèves exprimer leurs points de vue. Finalement, leur conclusion est qu’au quotidien, non, ça ne sert à rien : approximer π à 3 est la plupart du temps suffisant. En cas de nécessité d’une grande précision, on peut toujours utiliser des décimales, mais 10 000 c’est excessif. Mais les élèves ont aussi dit que d’un autre côté, c’est bien de savoir qu’on est capable de connaître un grand nombre de décimales, parce que c’est « de la culture » et « un défi ».
L’inconvénient de la chaleur, c’est qu’on dort mal. L’avantage, c’est que ça donne du temps pour réfléchir (enfin bon, faudrait pas que ça dure trop, car sinon je vais moins bien réfléchir d’ici peu). En tout cas, cette nuit, j’ai réfléchi à quelques productions des CP hier sur la réalisation du plan. Je vous rappelle le nôtre, de plan, à Marion et moi :
Etape 1 : on se déplace dans un parcours en vraie grandeur, en vélo/trottinette, avec pour objectifs de mobiliser gauche et droite, d’appliquer les consignes de sécurité routière (roule à droite, marque le stop en regardant bien des deux côtés avant de t’engager, ne recule pas en plein milieu de la route, etc.), et de commencer de mémoriser le plan du parcours, en actes.
Etape 2 : on reconstruit le parcours, on se reballade dedans en véhicule, et on en fait un plan à main levée, en se promenant dedans.
Etape 3 : il s’agit d’enrichir le plan de mesures. Alors zou c’est parti, on mesure en ce qu’on veut, du moment que cela constitue un étalon.
Etape 4 : à partir du plan à main levé enrichi de mesures, tous ensemble on reconstitue une version complète et les enfants font un nouveau plan, en 2D et demie : sur feuille, mais avec des objets qui représentent l’étalon, pour aider à articuler les différentes représentations et s’engager vers la modélisation des échelles en particulier.
Etape 5 : chaque enfant réalise un plan papier à l’échelle.
Hier, nous avons, avec Marion et Laura, accompagné l’étape 5. C’est drôle, parce qu’on a pas mal galéré sur cette séquence, entre coups de vent et dissipation des loulous. Mais là, ils ont hyper bien travaillé et réussi à faire chacun leur plan, sauf un enfant qui n’a pas toutes ses mesures à l’échelle, mais seulement une partie. C’est toujours intéressant de se rappeler que même si une séquence frotte, grippe, ça vaut le coup d’aller au bout, parce qu’ils apprennent de façon non linéaire et parfois difficile à observer, ces jeunes gens, mais ils apprennent.
Une élève, A., a commencé par annoncer qu’elle traçait un trait « de 6 ». De 6 quoi, lui ai-je demandé ? Elle m’a regardée un peu inquiète et m’a lancé un timide « carreaux ? », peut-être parce que Marion l’avait bien fait répéter à tout le monde avant. Mais elle n’osait pas tracer son trait. Alors j’en ai tracé le début, pour lui rappeler comment on place la règle, comment on le tient, où on trace. J’ai demandé à A de continuer, et rien. A la question « tu vois ce que ça veut dire, 6 carreaux ? », A m’a répondu négativement. Alors j’ai repassé au crayon une longueur de carreau en bas de la feuille et je lui ai expliqué que ça, on allait appeler ça un carreau, et qu’on en reparlerai parce qu’il y avait des questions de ses camarades là-dessus. Et nous avons énuméré ensemble, en plaçant un petit repère à chaque nouvel entier prononcé. Ensuite, j’ai demandé à A si elle avait compris, elle m’a dit oui et elle a poursuivi :
A a placé très consciencieusement deux petites graduations après celles que nous avions portées ensemble. Elle a veillé à les placer au-dessous du segment, en énumérant à voix haute au même rythme que ce que nous avions fait. La seule question de validation qu’elle m’a posée est : « ils sont trop grands, les traits ? » Autrement dit, en croyant l’aider, j’ai privilégié une démarche procédurale vide de sens : A s’st concentrée sur les émanations verbales et visuelles de ma démarche : on « compte » lentement en traçant de petites marques au-dessous du segment. Mais elle n’a pas compris, et pour cause : au fond, je ne lui ai pas beaucoup expliqué. Je lui ai expliqué en lui donnant la référence du côté du carreau tracé en bas de sa feuille, c’est tout. Je n’ai au départ même pas fait le lien avec les carreaux du segment.
Alors j’ai repris : nous avons tracé plusieurs côtés de carreaux, puis des plus longs, en associant la mesure à chaque fois. Nous avons observé les lignes, plus ou moins épaisses (ce qui troublait beaucoup A) et insisté sur le fait qu’il y en avait des horizontales et des verticales, en le reformulant. Nous avons mesuré des tas de choses en carreaux parmi ce qui composait la trousse d’A. Et ensuite, elle a regardé son segment, a gommé et a tracé des deux rectangles 4-5 et 4-6 d’un coup d’un seul.
Avec le recul, ça semble évident : je n’ai pas apporté au départ une véritable aide à A. J’ai essayé (inconsciemment j’espère) de la mettre en réussite apparente. Et je n’ai fait que perdre du temps que j’aurais pu consacrer à d’autres. Mais c’est difficile d’analyser en temps réel tout ce que nous faisons et ce que font les enfants. Avoir la rigueur de prendre le temps pour en gagner et pour aller au fond des choses, c’est une bataille.
Aaaaaah, Albert ! Une séance facile à déployer, qui permet aux élèves de définir le rectangle, et d’approcher l’angle droit avec notre belle machine à angles droits ou à coins qui piquent, selon les préférences des enseignants.
Malgré la chaleur, les enfants ont bien travaillé ! La semaine prochaine, on continue avec l’équerre (sans hypoténuse évidemment) et Mondrian.
Ce matin, suite de notre séquence tut-tut : il s’agissait de passer d’un plan de notre parcours matérialisé avec des objets à un plan « vraiment papier », et à l’échelle s’il vous plaît.
D’abord, Marion Michel, ma collègue de CP à Maromme, a réactivé ce que nous avions étudié la dernière fois. Les élèves ont reparlé de chaque étape. Ils ont vraiment insisté sur la fait qu’ils avaient « mesuré les lignes » ; cela semblait vraiment important pour eux. Ils sont revenus sur les différents étalons, mais sans le mot étalon, qu’ils avaient oublié. Nous l’avons donc fait remonter à la surface et défini, puis fait vivre avec des exemples.
Marion a ensuite parlé d’échelle, y compris explicitement. Nous avons donc pas mal travaillé la proportionnalité, plus implicitement, mais Marion a fait répéter que « un petit objet représente un grand pas » à chacun, jusqu’à être sûre que tous les élèves ont compris. J’ai admiré sa détermination à s’assurer que chacun était bien embarqué pour la suite.
Ce que nous avons travaillé le plus, je pense, c’est la proportionnalité et la représentation. Sur ce qu’est représenter, et multi-représenter, nous sommes allés loin, tous ensemble : du parcours physique au plan en 2,5D au plan en 2D, le tout avec l’échelle, les élèves ont progressé pour passer de l’un à l’autre. J’ai vu le regard d’Izak, par exemple, alors que je lui demandait comment réussir à terminer sa tâche, passer d’un plan pour chercher une information « de forme » à l’autre pour trouver l’information de mesure correspondante, puis revenir au premier plan pour valider sa trouvaille, et il a finalement réussi. Magnifique.
Prochaine étape, à ne surtout pas zapper : analyser les productions des élèves, car j’ai vu des démarches très très variées ce matin. En particulier, certains élèves n’arrivent pas à comprendre le concept de carreau, utilisé finalement ici sous forme de côté du carreau. Et puis les méthodologies de construction ont été vraiment diverses et très révélatrices des démarches mentales.
