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Qui qui qui qu’a plus d’copies, qui qui qui quiiiiii

(À lire sur la musique délicieuse et subtile des snorkies…)

Je suis dans le train, entre les cours que je terminais à 17h en Normandie et le bureau de l’APMEP à Paris, et j’ai corrigé mes deux paquets de copies ! Bon, ils étaient courts, ok. Mais quand même, je suis bien contente. D’autant que presque toutes et tous mes élèves ont compris les techniques de calcul que j’évaluais, ce qui va faciliter aide à ceux et celles pour qui ce n’est pas encore le cas !

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% et camembert

Je reviens sur une question de cet exercice, que j’ai commenté dans l’article précédent : la question c.

C’est frappant comme ce que représente un pourcentage échappe à beaucoup d’élèves. Les réponses que j’ai obtenues pour cette question étaient toutes exprimées en grammes, au départ. Plusieurs élèves avaient répondu 24g, parce que c’est « le bout de la droite ». D’autres avaient répondu « ça dépend, parce qu’il y a plusieurs points sur la courbe », d’autres « on ne peut pas savoir parce que la droite (comprenez l’axe des ordonnées) va pas jusqu’à 100 ». Bien peu d’élèves avaient pensé à calculer l’image de 100.

Ceux qui l’ont fait sont passés par

  • l’image de 40 divisée par 10 et multipliée par 25,
  • l’image de 40 plus l’image de 40 plus la moitié de l’image de 40,
  • l’image de 80 multipliée par 10 et divisée par 8,
  • l’image de 160 plus l’image de 40 divisée par 2,
  • un élève ou deux ont eu l’idée de placer 100g sur l’axe des abscisses et de lire l’image, seulement.

Pourquoi si peu d’élèves ont-ils eu cette dernière idée, pourtant efficace ? A cause du « calculer » de la consigne. Ce « calculer » a fait que beaucoup de leurs camarades ont jugé cette démarche incorrecte. Pas dans l’idée, mais dans l’adéquation avec ce que la consigne attendait. J’ai trouvé le débat intéressant : « calculer » induit un calcul, certes. Mais dans tous les cas on s’appuie sur des lectures graphiques (les images de 40, de 80, etc.) et on peut considérer que place 100 à mi-chemin de la graduation 80 et de la graduation 10 est aussi le fruit d’un calcul. De plus, le fait de passer des grammes aux pourcentages est aussi une compétence liées aux nombres, même si’l y a là aussi du modéliser et du représenter. Alors moi, cela ne me choque pas.

Et vous, qu’en pensez-vous ?

https://eduscol.education.fr/document/17227/download
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La proportionnalité en quatrième, sans pralines roses dedans

Alors en fait, il y aura des pralines roses, mais pas tout de suite.

Comme je l’ai écrit dans le post précédent, je n’avais pas le même découpage de séances avec mon autre quatrième, et si je m’engageais dans les pralines, je coupais l’activité en deux. Cela m’ennuyait. Alors j’ai improvisé et je me demande si ce n’est pas mieux, au final : nous avons travaillé sur les acquis de 5e sur la simplification l’addition, la soustraction de fractions, et aussi sur la nature des nombres (1,8=18/10, 3=3/1, tout ça). Puis j’ai donné des exercices pour la séance suivante, en précisant que la première question de l’exo du manuel (le Transmaths) paraîtrait peut-être difficile, mais qu’il fallait au moins proposer des réponses aux autres questions. De retour en classe, nous avons corrigé tout cela. Les calculs de fractions m’ont semblé avoir bien roulé (nous en avions détaillé quatre ensemble en classe, les élèves avaient à résoudre les quatre suivants, et vont en avoir à traiter régulièrement pour bien ancrer les procédures). Pour l’exercice du camembert, voici ce que la première question a donné :

La question qui m’intéressait le plus était la première : la deuxième est une lecture graphique assez naturelle, la troisième est très chouette car elle fait le lien avec les % mais ce n’était pas mon urgence (même si elle a été très productive au final), et la dernière était intéressante du point de vue du « calculer » (a-t-on le droit de calculer à partir de données récoltées par lecture graphique, épineuse question sur laquelle je reviendrai).

Finalement, annoncer que la première question pourrait poser problème semble avoir plutôt libéré les réponses : la quasi-totalité des élèves avait formulé une proposition. Beaucoup étaient fausses, mais appuyée sur une démarche juste : les élèves ont souvent écrit que puisque 40+80=120, on pouvait tester si l’addition correspondante est vraie pour la matière grasse. Et là, soit ils ont mal lu les valeurs, soit ils ont loupé leur addition. Je suppose que parvenir à cette procédure avait mobilisé leurs ressources, car c’est surprenant autant d’erreurs de base. D’autres sont passés par la linéarité multiplicative, 40×2 et 40×3. Du coup, j’avais mon objectif de linéarité atteint, avec cet exercice.

Mais plusieurs élèves avaient fait appel aux rapports, comme dans le premier « ou » du tableau. Et là, youpi, nous avons pu faire le lien explicitement entre fractions et proportionnalité. Ca, c’est chouette, j’étais très contente et cela prépare le produit en croix justifié.

Personne n’a eu l’idée de la droite passant par l’origine du repère, ce qui est normal : personne ne le savait et le changement de registre vers le graphique n’avait jamais été traité avec ces quatrièmes tout neufs. Je les ai guidés, en expliquant que c’est la forme de la courbe qui donne une justification, et l’alignement est venu rapidement, comme symptôme de régularité qui semblait coller avec la proportionnalité, pour les élèves. La nécessité de l’alignement AVEC l’origine n’est pas venue tout de suite, alors j’ai tracé une droite qui coupait l’axe des ordonnées ailleurs, et les élèves ont réagi tout de suite : « Ah bah non, c’est pas possible, sinon quand on n’a pas de camembert il ya quand même de la matière grasse ! » Bien, trace écrite dans la foulée et zou.

La fois prochaine, nous pralinerons. Je me demande si le traitement de l’activité va être très différent, du fait de l’exercice du camembert.

J’aime bien pouvoir comparer l’effet d’une programmation ou d’une autre. C’est intéressant et cela m’amuse.

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La proportionnalité en quatrième, avec des pralines roses dedans

En quatrième, nous travaillons la proportionnalité et les fractions, à partir d’une recette de marmitons. Mes objectifs sont :

  1. Réactiver la linéarité additive, la linéarité multiplicative, bien les asseoir avant d’arriver au produit en croix ;
  2. Institutionnaliser les propriétés des représentations graphiques d’une situation de proportionnalité ;
  3. Montrer qu’une large panel d’outils permet d’être efficace et de se ménager pour résoudre des situations ;
  4. Faire le lien entre proportionnalité et fractions ;
  5. Réactiver la simplification de fractions ;
  6. Revenir sur « prendre une fraction de », et plus spécifiquement « prendre une fraction d’une fraction », pour arriver en douceur et avec du sens au produit de fractions ;
  7. Réfléchir à la modélisation et à sa transposition dans des cas concrets.

Je n’ai pas suivi le même déroulé dans mes deux quatrièmes, pour une question de temps : dans l’une, j’ai commencé par l’activité cookies aux pralines roses, qui a d’ailleurs bien pris, et nous avons poursuivi en l’exploitant. Du point de vue de mes objectifs, après une heure d’étude, nous en sommes là (je conserve la même numérotation) :

  1. La linéarité additive, la linéarité multiplicative, c’est fait : les élèves ont eu recours aux deux méthodes pour calculer, avec « Je divise par 30 puis je multiplie par 20 », « Je divise par 3 puis je multiplie par 2 », « Je multiplie par 2/3 » (bravo), « Je divise par 3 et je soustrais ce que j’ai trouvé aux quantités pour 30 ». Je voulais des procédures cariées, j’en ai eu ;
  2. Avec cette classe, nous n’avons pas encore abordé ce point ;
  3. Ca, c’est fait dans la foulée du point 1 ;
  4. Grâce à l’élève qui a eu l’idée de multiplier par 2/3 nous avons parlé fractions, mais je ne pense pas que les élèves ont compris les égalités de rapport. C’est quelque. chose que je dois amener différemment, sur cette activité ou à partir d’une autre, car j’ai bien senti que ça passait au-dessus de la tête de tout le monde, et que les élèves ne détectaient pas que j’avais un message à faire passer.Je n’ai pas forcé : j’entrerai par ailleurs ;
  5. Cet objectif est atteint : nous sommes passés par les fractions pour la plupart des ingrédients, et le 2/6 à simplifier en 1/3 n’a pas posé de problèmes, mais a permis une verbalisation de la simplification de fractions qui aurait pu servir le point 4, mais flop) ;
  6. C’était mon objectif principal et là c’est bon, par un long et méthodique travail de verbalisation et de reformulation : prendre un tiers de 1/2 sachet de farine, comment ça marche ? Nous sommes passés parle dessin, car très peu d’élèves avaient en tête que prendre un tiers d’un demi, ou même « couper en trois parties égales une moitié de quelque chose » donne des sixièmes. Une fois le dessin interprété par les élèves, ils ont remarqués que tiens, 6 comme 2×3. Nous n’avons rien institutionnalisé encore, car c’est bien trop tôt, mais ils ont fait le lien entre « prendre une fraction de » et la multiplication, et ont une ébauche de début de procédure sensée pour multiplier des fractions ;
  7. La question de la transposition a super bien tourné : dès le début les élèves m’ont dit « mais madame, quand on cuisine on s’en fiche d’être précis », ce que nous avons pu discuter, car tout est question de limite : oui, forcément, dans une certaine mesure, mais pas trop non plus si on vise la même recette que dans le modèle. Nous avons aussi discuté la question du sucre, car comme il y a plusieurs informations dans la même ligne, seule la première valeur numérique est adaptée. Les élèves ont eu du mal à parvenir à cette conjecture. Ils m’ont proposé des tas de réponses comme « parce que le sucre c’est bon », par exemple.

Suite au prochaine épisode ; dans la journée je vous raconte la proportionnalité en quatrième, mais sans pralines roses.

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La saison des clubs

Bon, la rentrée est derrière nous. J’ai pris mes marques, rencontré mes classes plusieurs fois, eu le temps d’évaluer. Et maintenant, les élèves à qui j’avais promis des clubs s’impatientent. Alors c’est parti :

  • Le lundi, c’est Rubiks. Nous sommes inscrits comme club Inter-rubik, la commande de rubiks cubes est partie et je les attends. Nous commencerons lundi prochain s’ils arrivent avant jeudi, et sinon la semaine suivante. J’ai mes animateurs, des élèves qui sont déjà de vrais champions, et 46 volontaires, là où j’en voudrais 55. Nous y sommes presque. Reste à constituer les deux groupes, car nous allons faire des sessions d’une demi-heure chacune chaque lundi midi ;
  • Le mardi, c’est programmation débranchée. Je viens de construire la progression avec ma fille : elle a présenté les ordinateurs à dominos en grand oral l’année dernière, et peut donc me guider de façon très solide. J’ai des choses à préparer, d’autant que nous commençons mardi prochain midi, mais ça va aller. Le début est très mathématique. Et puis après, nous apprendrons ensemble. Là, j’ai une douzaine d’élèves et n’en veux pas davantage ;
  • A partir de vendredi prochain, mais toutes les deux semaines cette année, les Mathmitons reprennent. Une quinzaine d’élèves viennent m’aider à fabriquer le matériel péda que j’ai envie de construire pendant l’année, s’occupent de la classe, la réaménagent lorsque nous avons des nouveautés, etc.
  • Le vendredi midi aussi, mais l’autre semaine, et donc aussi toutes les deux semaines, c’est Mathe auf Deutsch. Nous allons jouer et faire de la programmation, du GeoGebra, tout ça, mais en allemand. C’est donc pour vendredi de la semaine prochaine.

Une fois les clubs démarrés, tout sera en place.

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Les patrons des quatrièmes : c’est solide !

J’avais une heure, en groupe, en quatrième, pour élaborer des patrons de solides. C’était la demande de leur enseignant, qui a cette classe en grand groupe, et dont j’ai l’AP. Avec en plus un exercice incendie, nous nous sommes plutôt bien débrouillés je trouve !

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AED en prépro : de stagiaire à enseignante

Cette année, Laura est dans ma classe pour la troisième année consécutive. Elle est AED en pré-professionnalisation et est aujourd’hui en M1. Elle est rigoureuse, réflexive, attentive, curieuse, motivée. Top, quoi.

Vendredi, je suis allée au séminaire sur les travaux de Rémi Brissiaud. Laura m’a proposé de prendre mes classes. Elle a fait cours, et ça s’est passé impec. Elle a géré des évaluations ; elle a fait bien plus que surveiller ces évaluations : elle a donné des coups de pouce relancé, explicité, organisé les différentes versions à donner aux uns ou aux autres. Nous avions construit ensemble les évaluations et entamé de définir le référentiel de chacune d’elles.

Et puis le weekend. Un weekend pendant lequel je commence à voir un quotidien plus paisible se profiler, après trois semaines très denses pour conjonction de rentrée et d’événements perso. Sauf que j’ai quatre paquets de copies qui vont se pointer.

Hé bien non. Laura a tout corrigé, et elle a terminé de définir le référentiel qui manquait. Toute seule. Il est parfait. Elle n’a pas eu besoin de me demander l’autorisation, et cela me rend fière : elle est sûre d’elle et sûre de la confiance que je lui donne.

Maintenant, je n’ai plus une stagiaire avec moi. J’ai une collègue qui partage mes classes. Cela me rend heureuse, d’avoir contribué modestement à cette éclosion expresse.

Donc je résume : les cours se sont poursuivis, les évals ont eu lieu, elles sont corrigées, et ma semaine prend une allure encore différente.

Merci Laura !

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Décomposer en produit de facteurs premiers un nombre premier

Une collègue m’a envoyé une question d’élève :

Si on considère : « Tout nombre entier positif strictement supérieur à 1 admet une décomposition unique (à l’ordre des facteurs près) en un produit de facteurs premiers », qu’en est-il des nombres premiers ? 
Lorsqu’on parle de produit, doit-il y avoir au moins deux facteurs (si oui, la formulation de la propriété pose donc souci pour les nombres premiers)?
Peut-on considérer que, comme ils sont premiers, ils sont « leur propre décomposition »? 

C’est vrai que cela pose question, à cause du pluriel : produit de facteurS premierS. Wikipedia, Gérard Villemin et d’autres encore répondent ceci :

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_produit_de_facteurs_premiers
http://villemin.gerard.free.fr/ThNbCo01/ThFoDemo.htm

Mais techniquement, quand j’écris 5=5, ce n’est pas un produit de facteurS premierS. Et je ne peux pas écrire 5=5×1 pour illustrer la propriété puisque 1 n’est plus premier, et que si on considérait qu’il l’est, la décomposition ne serait pas unique, comme un article d’Images des maths l’évoque :

http://images.math.cnrs.fr/Pourquoi-le-premier-nombre-n-est-pas-un-nombre-premier.html

Mais de ce fait, c’est tentant de chercher une formulation différente. Mais bon, c’est quand même une institution, ce théorème… J’ai cherché dans plusieurs manuels (dans l’ordre, le Maths Monde, le Livre scolaire, et le Sesamaths dont la définition pose souci à cause du 0 et du 1) :

Hé bien la question reste ouverte. Je suppose qu’en effet on considère qu’un nombre premier est sa propre décomposition, mais quand même c’est un peu embêtant pour les élèves, cette histoire. Ma preuve : la question vient d’un élève.

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2 photos, 8 objectifs, 15 minutes

Ce matin, nous avons étudié ces photos de M@ths en vie avec mes élèves de sixième. J’avais divers objectifs :

  • Parler proportionnalité
  • Revoir les conversions d’unités de masse
  • Parler décimaux
  • Calculer mentalement (x10, :10, estimation)
  • Expliciter ce que signifie un prix « au kilo »
  • Eveiller l’attention à son environnement
  • Commencer de voir des maths partout
  • Arrêter de voir des complots dans tous les coins

Bon, ça a très bien fonctionné. Les élèves ont observé, silencieusement. Quelques mains se sont levées, puis plus, plus et encore plus. Alors, ai-je demandé, qu’en pensez-vous ? Première réponse :

C’est n’importe quoi maîtresse : ils disent des figues et c’est des pommes.

Ah tiens, le principe de réalité qui me revient dans la figure. Je n’avais pas remarqué que la photo cadrait les fruits de l’autre côté de l’étiquetage. Bonne galère pour expliquer : pour moi qui fais les courses, c’est facile à accepter ; pas pour toutes et tous les élèves, manifestement.

Bon maintenant qu’on a réglé ce souci-là, qu’en pensez-vous ?

C’est quoi des figües ?

Ca, je m’y attendais. J’explique. D’une part, G-U-E se lit « gue », et il faudrait un tréma pour que cela se lise « gu », parce que la valeur du G et patati patata. D’autre part, une figue, c’est un fruit comme-ci, comme-ça, repatati, repatata.

Bon, et vous z’auriez pas envie qu’on parle maths les loulous ? Siiiiiiii, c’est parti comme sur des roulettes. Certains élèves ont appris que les fruits et légumes se vendent (dans ce cas) de sorte que si j’en achète la moitié d’un kilogramme, je paie la moitié du prix d’un kilogramme, et ainsi de suite. Nous avons pu évoquer explicitement la proportionnalité, expliquer qu’acheter une fois 1kg ou 10 fois 100g devrait me coûter autant. Du point de vue conversions, ils étaient bien au point. Et pour diviser par 10, vas-y que je te décale la virgule, et j’ai pu faire mon show. Comme ça, c’est fait et je reste fidèle à ma légende.

Ensuite, j’ai fait remarquer la notation des prix aux élèves : je trouve ça super bizarre, le € qui cohabite avec la virgule, tous les deux comme un séparateur, avec cette pauvre petite virgule qui se balade. Cela renforce l’idée que le 9 et le 80 sont exprimés dans deux monnaies différentes sans lien entre elles, un peu, le €. Mais la virgule à cette place, par rapport au 80, c’est curieux. Je pense que pas mal de mes élèves vont regarder les prix, maintenant.

Pour finir, THE question : à votre avis, c’est une erreur ou c’est une arnaque ? Réponse générale : c’est une arnaque ! Bin moi, je ne crois pas. Je crois que les personnes qui ont mis à jour les étiquettes (on voit que des prix on été effacés sur certaines) ont mis à jour le prix central, mais parfois oublié de mettre à jour le prix aux 10g. Ou peut-être ces personnes ne savaient-elles pas comment le calculer, parce que les décimaux, hé bien ce n’est pas facile à manipuler.

Ai-je convaincu les férus de conspiration ? Je l’ignore. Mais je vais continuer de tricoter mes mailles d’esprit critique pour leur tenir chaud. J’ai toute l’année pour cela.

C’est tellement efficace, ce type d’exercice : on réfléchit, on verbalise, on débat, on réactive, on découvre, on modélise, et le tout dans le quotidien. Il ne s’agit pas non plus de ne faire que ça, mais ces deux photos sont un puissant outil pédagogique.

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L’engouement Turing Tumble

Aujourd’hui, j’ai fait ma première séance de Turing Tumble, avec les élèves de ma classe de sixième. Alors là, waouh, tendance wow-wow-woooow-on-se-calme. La séance s’est très bien passée, mais j’ai un peu dû flanquer tout le monde dehors, et heureusement que j’avais insisté sur les règles :

D’abord, j’ai présenté l’objet, expliqué le principe et ce que nous allions en faire. Nous l’avons examiné, devant, derrière, pour comprendre comment les billes se libèrent.

Selon les élèves, j’ai proposé mes missions ou des missions du livret. Mais je n’ai pas pu les amener tout de suite à écrire les algorithmes en langage naturel : c’était trop tôt, manifestement. Alors j’ai laissé ça pour demain, car j’ai la classe deux heures dans la journée. Je vais pouvoir utiliser l’émulateur du Turing, chouette !

Je vous raconterai demain, mais je suis très contente du départ que cela me permet de prendre : à écouter les élèves, j’ai entendu de vraies tentatives d’anticipation. Or c’est exactement cela que je recherchais : développer le raisonnement en programmation, faire verbaliser l’intuition et les tâtonnements.