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La magie des maths

Il existe des ouvrages de mathémagie, comme ceux de Dominique Souder. Ils sont dans ma classe, et je les exploiterai à fond dès le rentrée. Mais aujourd’hui, en parallèle des 5 minutes de Lebesgue, j’ai découvert les tours de mathémagie proposés par l’université de Laval.

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C’est vraiment très bien fait. Pour chaque tour, l’enseignant dispose d’une vidéo, d’une fiche de déroulé, avec des propositions de scénarios selon le temps dont il dispose, des prolongements, la solution. C’est très efficace.

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Voilà encore un contenu bien riche à explorer… Combien encore de pépites que j’ignore ???

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MA-GNI-FI-QUE.

Au collège Léonard de Vinci, à Bois-Guillaume, tout près de chez moi, des élèves de cinquième et leurs professeurs de mathématiques ont réalisé une production absolument magnifique :

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Au départ du projet, « un professeur de mathématiques qui voit une œuvre sur une route de vacances pour laquelle il a un coup de cœur », œuvre d’Angelo Duarte, Ouverture au monde, exposée à Lausanne, au bord du lac Léman. Et hop, deux super collègues, Marc Masson et Éric Elter, ont mis leurs élèves de cinquième sur le coup. Ni collage, ni vissage, tout est démontable et remontable. Mathieu Blossier, professeur de maths au lycée Le Corbusier à Rouen, a prêté main forte pour la partie 3D, à coup de GeoGebra et d’une imprimante 3D pour créer les 48 connecteurs des 1244 tubes.

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Bravo !!!

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Insanus calculus

Mon amie Laurence est très productive, et elle aime autant rendre service que faire progresser les élèves. Du coup, même si elle est prof de SVT, elle cogite, écoute les besoins et mitonne des outils mathématiques (entre autres). Par exemple, elle m’a fabriqué des parallélogrammes articulés, un géométrix qui me permet d’illustrer super bien les rotations, et le translator pour illustrer les translations. Ici, il y a un article qui montre les deux derniers outils, si cela vous dit.

Et là, nous sommes allés dîner ensemble et paf, Laurence m’a donné sa dernière production : un jeu de calcul, Insanus Calculus. Tout beau, en couleur, plastifié, dans des petites boîtes et tout. Trop chouette.

Alors voilà. Il y a des cartes orange, vertes et bleues. Les oranges sont les cartes objectif. Chacun en pioche une en début de partie. Les cartes vertes sont les cartes symboles opératoires, et les bleues sont les cartes nombres et pouvoirs. À chaque tour on pioche une verte et une bleue.

Moi, j’avais 71. Le fils de Laurence a décidé qu’il fallait des nombres premiers supérieurs à 23, comme cartes objectifs. Pourquoi pas en effet ? En en discutant, nous nous sommes dit que des cartes-nombres plus petits seraient bien pour pouvoir utiliser davantage des symboles divisions. Mais il ne faut pas des cartes qui résultent des tables d’addition. Nous visons donc des nombres premiers encore, ou des nombres du type 22, car les cartes bleues vont de 1 à 10.

À son tour, le joueur actif pioche donc ses deux cartes et en pose deux, également une bleue et une verte. Il peut poser des cartes pièges sur des cartes adverses, qui transforment les opérations trait l’une en l’autre, ou les opérations point l’une en l’autre (à l’allemande : Strichrechnungen + et –, et Punktrechnungen, · et :). Il y a aussi des cartes qui obligent à poser des cartes nombres de valeur inférieure à 5, et les antidotes associés.

Et donc on combine le fait d’atteindre son résultat et le fait d’enquiquiner ses camarades. Le principe est proche du mille bornes, apparemment (je n’ai jamais joué au mille-bornes…).

Hier, ça a bien marché. Les parties sont courtes et on peut utiliser la nature des cartes comme variable didactique : enlever les divisions, alléger les pièges par exemple.

J’aimerais bien que Laurence me fasse plus de cartes nombres, pour les cas où j’allège justement les pièges. Je voudrais aussi des cartes-objectif plus petites, et aussi des parenthèses. Ce serait super car je pourrais faire bosser les priorités. Ou pas, si je les exclus du jeu. C’est ça qui est super : selon le choix de nature de cartes, on s’adapte à l’objectif pédagogique. Nous allons aussi réfléchir à l’introduction d’autres nombres, comme une version fractions.

Il paraît qu’on a les amis qu’on mérite… C’est flatteur… 🙂

 

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Richesse mondiale, l’activité

J’ai écrit ici tout à l’heure que mon mari avait eu une interrogation sur une représentation graphique. C’est un de mes jeux préféré, mitonner une activité en utilisant ce type de support. En plus, ici, il est bien fait, ce qui change agréablement.

Les objectifs principaux en terme d’apprentissage sont, pour moi :

  • Reconnaître et manipuler la proportionnalité
  • Prélever des informations, proposer une stratégie et être capable de la présenter.

Mais en fait il y a beaucoup d’autres points d’étude dans cette activité, comme on le verra en fin d’article.

Voici le début de l’activité :

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Le plan est de donner des supports de taille différentes aux élèves. J’en ai préparé trois, pour que leurs résultats (et peut-être leurs conclusions) soient affectés par les mesures (nous pourrons parler importance de la précision, et aussi marge d’erreur et valeurs approchées), mais aussi pour leur montrer que ce qui est proportionnel (ou pas) le reste au travers d’agrandissements-réductions. Cela me permettrait de revenir sur le sens des agrandissements-réductions, justement, ou de les faire découvrir en sixième si ce n’est pas déjà fait.

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En deuxième partie, j’ai un prolongement éventuel, au cas où les échanges n’auraient pas été assez loin :

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Je pourrais évaluer tout ça (je ne parle évidemment pas d’évaluation sommative), sans que chaque élève ne soit concerné par toute la liste, puisque cela dépend de la démarche choisie :

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La répartition de la richesse mondiale en 2018 v1

La répartition de la richesse mondiale en 2018 v2

La répartition de la richesse mondiale en 2018 v3

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Richesse mondiale et aire de rectangles

Mon mari a publié un article sur son blog, qui présente une iconographie de la répartition de la richesse mondiale dans le monde. Lorsque je lui en ai parlé (forcément, j’ai trouvé cette représentation frappante !), il m’a dit avoir des doutes sur son exactitude.

D’une, voilà une question que je ne pouvais décemment pas ignorer.

De deux, ça me fait une bonne base d’exercice, en fin de sixième ou en cycle 4.

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J’ai choisi le tableur pour effectuer mes vérifications : d’une part, a-t-on bien 54%-46%, et d’autre part l’aire des rectangles est-elle bien proportionnelle aux valeurs indiquées ?

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Hé bien oui : même si le pseudo coefficient de proportionnalité est dans l’intervalle 360-375, ce n’est pas grand chose, comme le montre le calcul d’écart à la moyenne :

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Et d’ailleurs, si j’avais calculé le coefficient de proportionnalité éventuel réciproque, la question ne se serait sans doute pas posée pour des élèves :

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Bon zou, j’ai une petite heure devant moi pour mettre tout cela en forme pour mes élèves.

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Conditions nécessaires, conditions suffisantes, au collège aussi.

Il y a quelques années, j’avais fait réaliser à mes élèves de quatrième une boîte à outils du parallélogramme. Comme j’avais eu beaucoup de ces élèves en troisième, ils avaient complété leur boîte à outils l’année suivante. Je n’ai plus de classes de troisièmes depuis un bout de temps, mais j’ai quand même des occasions de faire travailler des troisièmes (ils ont perm et j’ai du temps, ils révisent pour le DNB, ils viennent au club maths), et quelques élèves ont eu envie d’aller plus loin. Or cette année, j’ai pris différemment conscience de la difficulté de comprendre conditions nécessaires et conditions suffisantes (et équivalence, forcément), et aussi de l’importance cruciale de ces concepts.  Je crois qu’on peut, et sans doute qu’il faut, les travailler de façon précoce. Je sais qu’en parler explicitement et hors-sol au collège serait inadapté ; mais le travail réalisé des années auparavant m’est revenu en mémoire, et j’ai fait travailler quelques élèves de troisième dessus.

Mon but était de réactiver les connaissances relatives au parallélogramme, et d’en profiter pour faire réfléchir à « ce qui me permet d’être sûr que la figure est un parallélogramme », c’est-à-dire « ce qui suffit », et « ce qui est forcément vrai dans un parallélogramme », ou, selon les schémas mentaux de prédilection des élèves, « ce qui est un ingrédient indispensable pour espérer avoir un parallélogramme », autrement dit « ce qui est nécessaire ».

Attention, ceci concerne les quadrilatères non croisés. (merci Benjamin)

J’ai demandé aux élèves de fabriquer des petits cartons :

  • En jaune, deux « est », un « a » et un « un parallélogramme »
  • En rose, des propriétés qui permettent d’écrire un parallélogramme-est/a-ROSE (des conditions nécessaires)
  • Plus difficile, en vert, des propriétés qui permettent d’écrire VERT-est-un parallélogramme (des conditions suffisantes)

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Cela me permet déjà de faire un point assez efficace sur les connaissances des élèves : après une recherche individuelle, certains pensent aux angles et d’autres pas, certains parlent aire, d’autres transformations. Je peux aussi avoir une idée du rapport de l’élève à la recherche : beaucoup d’élèves inventent des propriétés non « scolaires », mais vraies. D’autres préfèrent farfouiller dans leur cahier, et n’osent pas s’aventurer plus loin.

Ensuite, nous formons des phrases, comme sur les photos ci-dessus. Presque toujours les élèves veulent trouver des noms aux deux catégories. Nous tombons rapidement d’accord sur « condition nécessaire ». C’est plus compliqué pour « condition suffisante ». Ils ne sont jamais trop sûrs qu’une condition suffisante soit suffisante et on envie de céder à l’appel de la longue liste de propriétés (qui est souvent suffisante, par ailleurs. Hyper suffisante, même).

Et là, il se passe toujours un truc magique : les élèves s’aperçoivent qu’il y a une catégorie de propriétés qu’on peut mettre en rose ou en vert. Parfois ils le réalisent en cours de route, mais plus souvent ils s’en rendent compte en mettant en commun, parce que pour certains une propriété est rose et que la même est verte pour le camarade. À force de débattre pour se mettre d’accord, l’idée qu’ils ont peut-être tous les deux raison finit par germer.

Alors on en cause. Que cela signifie-t-il ? Que des propriétés peuvent être en même temps nécessaires et suffisantes. Assez naturellement les élèves reformulent : ça veut dire que c’est comme une définition, ça veut dire qu’avec on est sûr mais il n’y a rien de trop, ça veut dire que c’est synonyme de parallélogramme. Nous voilà à l’équivalence.

Alors, tous ensemble, nous réfléchissons à quelles sont ces super-propriétés parmi toutes celles réalisées. Et nous les changeons de couleur : elles sont bleues.

J’aime beaucoup cette activité, car elle me permet d’aller vraiment loin, et elle amène les élèves à comprendre. Elle demande un peu de temps. Je pense revenir sur ce travail en club maths, l’année prochaine.

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Les jeux dans ma classe

Avant de dresser une liste plus précise, voici les photos de l’ensemble des jeux qui sont, aujourd’hui, rangés dans ma classe. Possible qu’il en reste chez moi à ramener, mais l’essentiel est là :

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Les loups-garous ne sont pas un jeu de maths, mais figurent dans ma ludothèque pour être pr^étés aux élèves qui ont beaucoup d’heures de permanence.