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Le point de vue de Luc Trouche, juin 2021

Luc Trouche, Professeur émérite, Institut français de l’éducation, Ecole normale supérieure de Lyon, a publié un éditorial, à la demande de Edwige Godlewski, présidente de la CFEM. Il porte sur le congrès ICME-14 à Shanghai et s’intitule :

Pour l’enseignement des mathématiques, une collaboration internationale toujours plus nécessaire

Luc Trouche a participé au comité de programme d’ICME-14, manifestement très marqué par la pandémie, comme on peut l’imaginer. Son éditorial donne bien envie, ce qui tombe bien. J’ai hâte de découvrir d’autres regards sur l’enseignement des mathématiques.

J’en profite pour remercier Edwige Godlewski : grâce à sa patience et sa ténacité j’ai fini par m’inscrire.

Bon allez, j’ai une année scolaire à finir, pour pouvoir m’engager dans de nouveaux projets et de belles découvertes…

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Elagage et bonbecs

Laura a recensé les résultats des réponses acceptables (car trois bulletins n’avaient pas de mention de nom et un formulait deux propositions) pour l’estimation de bonbons. Je vais ajouter un point à étudier avec les élèves la semaine prochaine : la moyenne élaguée. Je pense que je vais aussi leur montrer l’existence de l’écart-type, pour leur expliquer en gros comment il est déterminé et ce qu’il signifie.

Voici les indicateurs moyenne (première ligne) et écart-type (deuxième ligne) :

données en entierSans min et sans maxEn élagant 5+5 valeurs
184162145
25812461

C’est intéressant, car les données extrêmes sont tellement éloignées de la moyenne qu’élaguer a des conséquences importantes.

Je pourrais aussi évoquer la médiane : même pour les niveaux pour lesquels ce n’est pas au programme, je trouve ça intéressant. Sans faire de chapitre dessus, on peut l’évoquer et agrandir nos horizons :

médiane128,5128,5128,5

Et se pose la question de la nature de ces nombres, qui paraissent décimaux (mais le sont-ils ?) alors que les données sont toutes entières.

Bon, en fait du coup j’ai réfléchi à une petite trace dans le cahier de leçons :

Je verrai ce que les élèves font de tout ceci. Mais je me dis qu’une trace écrite à partir de ce petit événement les marquera peut-être mieux qu’une trace théorique décontextualisée.

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Des perspectives

A la gare de Rouen, il y a une petite expo de DB. J’ai ainsi découvert John « Derf » Backderf, un auteur américain. D’abord journaliste, il s’est tourné vers le roman graphique après avoir publié pendant 24 ans un strip, The City. Il a été récompensé à l’international par de nombreux prix.

L’image ci-dessous est issue de Kent State, quatre morts dans l’Ohio, aux éditions Cà et là. Derf Backderf « fait oeuvre d’historien avec le récit documentaire poignant et sans concession de la violente répression d’une manifestation contre la guerre du Vietnam le 4 mai 1970 sur un campus de la petite ville de Kent dans l’Ohio. Quatre étudiants, âgés de 19 à 20 ans, furent tués par la Garde nationale au cours de cette tragique journée« , explique la panneau d’informations, en gare.

Cette image est incroyablement riche mathématiquement : il y a beaucoup à décrire et analyser : une multitude de formes géométriques, la perspective (triangle-cône-disque de lumière, par exemple), le parallélisme, la proportionnalité (agrandissements-réductions des THOP-THOP), grandeurs et mesures… C’est assez extraordinaire, une telle richesse en une image.

Je la mets de côté. Il y a quelque chose à faire avec elle, voire avec l’ouvrage, qu’il faudrait que je me procure.

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EnigMaths : wouaaaaaw

𝖗𝖆𝖘𝖙𝖆𝖒𝖆𝖙𝖍𝖊𝖚𝖝 taïkonaute a signalé par un « Wouaaaaaw » parfaitement adapté ce tweet d’EnigMaths :

En effet, c’est absolument magnifique :

EnigMaths est une mine. L’image provient de la catégorie Art, mais il y a tant d’autres catégories à explorer que j’en ai pour des jours, chouette !!! Il est fort, Paulo Ferro.

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Tu veux 245 bonbecs ?

Ces deux dernières semaines, j’ai proposé de nouveau un exercice d’estimation. L’année prochaine, je voudrais en proposer un par mois. La mission des élèves qui souhaitent participer est simple : combien ce vase contient-il de bonbons ?

Après deux semaines de concours (avec proposition unique pour chaque participant), nous avons aujourd’hui délivré la réponse : il y en avait 245. Ce n’est pas une approximation : Laura et moi avons vraiment dénombré les bonbons à l’unité près.

Ce qui est intéressant, c’est de suivre les démarches des élèves : il y a ceux qui y vont tout à fait à l’arrache et vous annoncent 70 ou 2300, il y a ceux qui commencent à compter et fatiguent alors y vont à la louche, il y a ceux qui calculent le volume de bonbons en mesurant le diamètre et la hauteur, estiment le volume d’un bonbon (pas facile, car pas le droit de bouger le vase et pas de bonbon à dispo) et en déduisent une bonne approximation, il y a ceux qui comptent le nombre de bonbons de l’étage du dessus et le nombre d’étages (en général c’est plutôt bien aussi), ceux qui « calculent les tranches verticales et multiplient », quoi que cela veuille dire précisément. Et il y a la démarche de Quentin, que je garde pour la fin, tant elle est pépitesque.

Bon, résultat des courses, nous avons 2 premiers (un élève à -1 et une collègue à +1), 5 deuxièmes (quatre à +5, un à -5) et un troisième (237). Tous vont gagner des bonbons du vase. Et nous allons recommencer, avec Laura, mais avec un autre type d’objet. Nous avons pas mal d’idées pour faire grimper le degré de difficulté au fur et à mesure… Nous allons bien travailler l’estimation lr’année prochaine, davantage dans une idée de progression que dans l’événementiel seul.

Là, la semaine prochaine, nous confronterons les démarches pour faire débattre les élèves sur leur validité, leur efficacité, leur simplicité. Je vais m’appuyer sur les productions écrites que certains élèves m’ont apportées :

Et pour finir, comme promis, la démarche de Quentin, tellement bien mise en forme, en plus… Une démarche expérimentale, une démarche théorique… Quentin est allé acheter des bonbons identiques, d’ailleurs, pour trouver une solution à sa façon. Lui qui écrivait si peu ses démarches, je suis tellement contente de lire sa production !!! D’ailleurs, il ne le sait pas encore (sauf s’il lit le blog, mais je l’ignore), mais il a beau ne pas être dans le top 3 des résultats, il va avoir aussi ses bonbons, pour la plus belle exposition de démarches que j’ai reçues :

Rholala, ce que c’est chouette !

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Regards de géomètre normands : bravo !!!

Cette semaine est exposée la première de Regards de Géomètres en Normandie, à l’Université des Sciences de Rouen, à Saint-Etienne du Rouvray. Voilà un magnifique travail, réalisé par quatre classes, porté par leurs enseignants, les intervenants et organisateurs de Regards de Géomètre, et tout particulièrement Nadine Amosse, qui a porté tout le projet académique !

Pour ma part, j’étais référente avec Nadine au départ, mais je n’ai pas réussi à tenir la distance : cette année de restructuration professionnelle pour moi (puisque j’ai cessé mes activités de formation mais que je me suis engagée dans de nouveaux projets) a aussi été celle des choix et des rééquilibrages. Et puis il y a des choses que je ne sais visiblement pas faire, en particulier côté organisation et logistique. Mais j’espère pouvoir continuer de collaborer autrement avec Maths en Scène et Regards de géomètre.

En tout cas, bravo Nadine, et merci !

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Le zoo des symétries

Sonia Marichal a enrichi son zoo d’animaux symétriques, et c’est vraiment un très beau travail, et extra de le partager. Ce gros gros boulot est accessible sur son site (AlgoRythmes, mathématiques vivantes), mais aussi à partir de Twitter. Sonia partage aussi les fichiers GeoGebra, sur son site.

Il y a des moitiés d’animaux, à compléter selon qu’on préfère compléter la moitié de gauche ou celle de droite, plutôt pour le cycle 3 de l’école, et des versions « déstructurées » plus difficiles, plutôt pour le cycle 3 du collège. Et on a aussi accès au dessin complet. Regardez un peu si c’est beau :

Pour ceux qui rencontreraient des difficultés de téléchargement du pdf sur le site de Sonia, ça marche en cliquant sur le pdf en image en bas de son article.

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Un nombre, il peut faire autrement qu’être relatif ?

Dans la catégorie question intéressante, en voilà une pas mal, posée aujourd’hui par un élève de quatrième. Je venais de dire : attention à l’ordre dans les négatifs, il est inversé. Par exemple, -4< -3 alors que 4 > 3. J’en profite : comment appelle-t-on ces nombres au fait ? Un élève me répond : un entier relatif, il est positif ou négatif. Et là, un autre élève lève la main et me dit : « mais madame, pourquoi on précise relatif finalement ? Un nombre, il peut faire autrement qu’être relatif ? »

Alors nous avons redéfini les entiers relatifs, et là les élèves en connaissent des tas qui n’en font pas partie, comme -2,6 ou 5/3. Mais ce n’était pas la question de fond de l’élève qui avait posé sa question : ce qu’il voulait savoir, c’est s’il existe des nombres dont on ne peut pas dire qu’ils sont positifs ou négatifs. J’ai interrogé mon élève : « tu crois que c’est possible ? » Il m’a répondu oui, parce qu’il y a des tas de choses qu’on n’imaginait même pas et maintenant on a compris, alors peut-être.

Je n’ai pas pu résister : j’ai parlé des imaginaires (et des complexes). Il m’avait vraiment tendu la perche, je ne pouvais pas résister. Cela nous a permis de réactiver la règle des signes, et d’ouvrir une porte. Evidemment, nous n’y avons consacré que quelques minutes et c’était vraiment juste une évocation, mais j’ai beaucoup aimé que les élèves ne rejettent pas l’idée d’autres nombres, qui leur sont totalement inconnus.

Ils m’auront fait consommer de l’énergie, mes zozos de quatrième. Mais ils ont un beau potentiel de des acquis intéressants.

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π

Aujourd’hui, nous avons institutionnalisé en 6e ce que nous avons appris dans l’année sur π. C’était l’occasion que les élèves expriment leurs représentations, que j’aborde dans l’ordre de proposition de ce matin :

π, c’est un chiffre infini ?

Bon alors non, π n’est pas un chiffre. C’est un nombre. C’est vraiment un nombre. Le fait qu’il soit désigné par une lettre grecque (le p grec de périmètre, après simplification de pi/delta pour exprimer le coefficient de proportionnalité entre périmètre et diamètre).

Côté « infini », c’est une belle illustration de verbalisation pas facile. Dire « π, il est infini » semble signifier qu’il a une « valeur infinie ». Or π a une valeur précise, comprise entre 3 et 4. On ne peut donc pas prétendre qu’il est « infini ». On peut dire que « en écriture décimale, π a une infinité de décimales ». Et là, mieux vaut préciser dans la foulée que ce n’est pas un nombre décimal, mais qu’il a une écriture décimale, impossible à retranscrire en entier cependant « pour de vrai ».

π, il a des chiffres qui se répètent ?

Dans l’écriture décimale d’une fraction, il y a une période :

Dans l’écriture décimale de π, il n’y a pas de période. Pour autant, forcément on retrouve plusieurs fois chaque chiffre, voire certaines successions de chiffres, mais sans régularité. π ne peut pas s’écrire sous forme de fraction, et oui, on en es sûrs parce qu’on l’a démontré. C’est un nombre irrationnel : il ne peut pas s’écrire sous forme d’écriture fractionnaire avec des entiers au numérateur et au dénominateur.

π, c’est quoi son dernier chiffre ?

Il n’y en n’a pas, puisque son écriture décimale est infinie. Vraiment infinie. Elle ne s’arrête pas. Elle continue toujours.

T’as compris, là ? 🙂

Mais π il est pas précis, alors ?

Si. Trace un cercle au tableau de diamètre 1 mètre, et paf, sa longueur (donc son périmètre) est égal à π mètres. π est la notation qui désigne ce nombre, « le nombre du cercle » comme m’ont dit des élèves. C’est un nombre précis, mais qu’on ne peut pas écrire en écriture décimale finie. Ah, je l’ai déjà dit ? 😉

π, on l’a inventé ou on l’a découvert ?

Non mais je vous assure, quel plaisir d’entendre cette question… Je l’ai retournée à la classe : qu’en pensez-vous ? Après discussion, les élèves se sont mis d’accord : on l’a découvert, il existe sans nous. On peut l’ignorer, mais le périmètre d’un cercle est toujours égal à π fois son diamètre.

Mais finalement, ça sert à rien toutes ces décimales, non ?

Là encore, j’ai laissé les élèves exprimer leurs points de vue. Finalement, leur conclusion est qu’au quotidien, non, ça ne sert à rien : approximer π à 3 est la plupart du temps suffisant. En cas de nécessité d’une grande précision, on peut toujours utiliser des décimales, mais 10 000 c’est excessif. Mais les élèves ont aussi dit que d’un autre côté, c’est bien de savoir qu’on est capable de connaître un grand nombre de décimales, parce que c’est « de la culture » et « un défi ».

Le mur de π

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Albert en CP, le retour

Aaaaaah, Albert ! Une séance facile à déployer, qui permet aux élèves de définir le rectangle, et d’approcher l’angle droit avec notre belle machine à angles droits ou à coins qui piquent, selon les préférences des enseignants.

Malgré la chaleur, les enfants ont bien travaillé ! La semaine prochaine, on continue avec l’équerre (sans hypoténuse évidemment) et Mondrian.