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Les ratios, ça passe mieux avec du crumble !

Hier, nous avons mitonné de très bons crumbles, avec ma fille, pour les dix-neuf ans d’un de nos garçons. Nous avons utilisé un moule rectangulaire de 30cm sur 27cm pour le crumble pommes-poires et un moule circulaire de 26cm de diamètre pour le crumble pommes-cannelle.

Ma fille a fabriqué la partie crumble proprement dite, pendant que je préparais la préparation de fruits. Au moment de recouvrir les fruits, elle s’est demandé comment répartir sa préparation pour avoir deux crumbles qui aient autant de croûte l’un que l’autre.

Autrement dit : quel est le ratio de crumble pour chacun des moules ?

C’est sympa, parce que ça tombe assez bien sur le plan du calcul. Et ça a bien illustré la notion de ratio pour ma fille, qui ne l’avait pas encore rencontrée.

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J’aurais bien mis une photo de nos crumbles, mais on a tout mangé… C’était bon, miam !

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Des maths au secours des pigeons du beau-frère d’une copine

Une collègue-copine m’a envoyé une question : voici un mode d’emploi pour réaliser un produit. Admettons que nous voulions l’utiliserez traitement préventif.

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Pour réaliser 250mL de produit, quelle quantité d’APTOL utiliseriez-vous ?

Pour ma part, je propose ceci : 1L=100cL, donc 4% à 8% d’Aptol indique que dans un litre d’eau je mets 4cL à 8 cL d’Aptol. Puisque je veux réaliser 250mL=25cL de solution (en gros : je ne m’embête pas avec les quelques cL que j’ajoute, et je suppose que je n’ai pas le matériel pour mesurer des mL), je vais verser 1cL à 2cL d’Aptol.

Ou alors, si vraiment je veux m’embêter, je vais verser 9,6mL d’Atoll et 240,4mL d’eau, pour la version 4%.

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Il aurait été plus pertinent de tout faire en cL…

Qu’en pensez-vous ? Le propriétaire des pigeons, qui a l’expérience, lui, n’est pas d’accord…

En tout cas j’ai bien aimé ce problème, et pour le résoudre j’ai eu naturellement recours au ratio. Ca, c’est chouette, ça signifie que je l’ai intégré comme outil.

En plus, le résoudre m’a amusée et mes neurones ont suivi. Ouf…

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Tic tac dzoing

Ce matin, question à mes élèves de sixième :

Je me suis rendu compte que l’horloge de ma voiture n’était pas à l’heure. Je me souviens de l’avoir mise à l’heure il y a trois mois, et aujourd’hui elle avançait de trois minutes.

Ma question est : combien l’horloge de ma voiture prend-elle d’avance chaque jour ?

Consignes :

  • Pour simplifier nous considérerons que les mois comportent 30 jours.
  • Sur la petite feuille de brouillon, vous m’indiquerez votre démarche, même partielle, sous la forme qui vous semble la plus efficace : dessin, phrases explicatives, calculs, etc.
  • Même si vous ne trouvez pas la réponse, essayez au moins d’avancer vers une réponse, de traduire la consigne différemment.
  • Je vous laisse quelques minutes.

Alors bon, je trouvais l’exercice intéressant. C’est une situation réelle, et lorsque a fille et moi nous en sommes aperçues, de ce déréglée de l’horloge, our avons aussitôt cherché à calculer le décalage quotidien, ce qui ne nous a pas posé de difficulté mentalement. Je pensais donc qu’après cinq mois à travailler la proportionnalité dans chaque séquence, après quatre problèmes ouverts clairement consacrés aux calculs de durées, mes élèves réussiraient à me produire des démarches qui partiraient dans une bonne direction.

Raté, sévèrement raté par rapport à mes prévisions.

Du point de vue de l’évaluation, voilà ce que cela donnait a priori :

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  • S’engager dans une démarche correspond au fait de me laisser des traces d’appropriation de la consigne ;
  • Reconnaître et exploiter une situation de proportionnalité va à qui passe de trois mois à un mois, d’un mois à une durée différente ;
  • représenter une grandeur dans diverses unités valide le passage des mois aux jours et/ou des minutes aux secondes ;
  • Calculer dans une situation de proportionnalité est relatif au résultat recherché ;
  • Expliquer, argumenter est une validation de la qualité de la trace en terme de communication. Cela peut être fouillés ou crado, à la rigueur, mais il faut que l’élève me donne la possibilité de le suivre dans sa démarche.

Voici les bilans collectifs (j’ai deux classes de sixième) :

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Mes deux classes ont des profils différents, et on le voit bien. Du point de vue de l’engagement, je vois un progrès : les élèves se lancent plus facilement, ont plus confiance. Ça, c’est bien. Les élèves ont aussi bien compris quel type d’exercice j’attendais d’eux et m’ont livré leurs réflexions. J’ai une tonne de traces exploitables, c’est chouette.

Il semble aussi que nous ayons réglé les soucis du type 0,3min=3s, erreur qu’a commise un seul élève, qui à mon avis va être énervé quand il va s’en apercevoir.

En revanche, je suis très étonné du faire nombre d’élèves qui ont su aller au bout de la démarche et m’ont fourni une réponse juste. Je suis même médusée. Une grande partie d’entre eux manifeste qu’ils perçoivent la proportionnalité, mais multiplient ou divisent ce qui leur tombe sous la main, même si cela n’a pas de sens.

Nous allons en reparler vendredi et lundi en classe, et je vais aussi publier dans la semaine des propositions d’analyses de productions, histoire de réfléchir et d’avoir vos avis.

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« Math is not just for thinking. It’s also about action »

C’est à lire dans cette interview de Cédric Villani dans Forbes. Il y explique entre autres son optimisme pour l’avenir (c’est bien le seul, vu que tout le monde annonce que 2019 va être une catastrophe) : il semble voir dans la montagne de problèmes contemporains une montagne de solutions potentielles.

J’aime bien cette idée, qui me semble relever d’une pensée chevillée à l’esprit du matheux. Parce que les maths, ça sert avant tout à résoudre les problèmes.

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Un air de mathématiques

Un article du Figaro d’hier (dans lequel on apprend aussi que monsieur Aziz Jellab a été promu chevalier de la Légion d’honneur, bravo monsieur !) s’intitule :

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L’article est une interview d’Emmanuel Prélat, directeur de la Fondation des sciences mathématiques de Paris (Sorbonne-Université). Il répond à des questions assez terribles, comme « comment définir les mathématiques ? », ou « les mathématiques sont-elles un outil pour décrire le monde? ». Extraits :

« Les mathématiques (…) sont comme l’air que l’on respire : on ne se rend pas compte de leur présence, mais lorsqu’on en manque, on étouffe !« 

« Les mathématiques ont sans doute été un peu trop utilisées comme un instrument de sélection, et cela a conduit les uns à les détester, les autres à les aduler… Mais c’est vrai qu’elles sont un instrument de sélection assez objectif. Et elles sont un outil très solide pour structurer l’esprit et former les gens, y compris les non-scientifiques ! Une fois admis quelques axiomes, elles demandent un raisonnement purement déductif : les mathématiques vous apprennent une logique et un esprit critique.« 

J’avoue être très dérangée par ce dernier extrait. Le « un peu trop » et le « assez objectif » me gênent, ainsi que « les non-scientifiques ». J’ai bien conscience qu’il faudrait laisser monsieur Prélat développer son propos, qui a sans doute été amputé. Mais quand est-on scientifique, quand est-on non-scientifique ? Suis-je scientifique ? Pas sûr du tout… Et suis-je « littéraire » ? À supposer que cela ait un sens, j’espère bien ! Mais peut-être est-ce moi qui projette mes dadas sur les paroles rapportées dans le Figaro.

Je me demande quel était l’objectif de la rédaction du Figaro : aller demander à un mathématicien si les mathématiques sont un outil pour décrire le monde, c’est tout de même saugrenu.

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La fin de l’averse

Voici la dernière partie de ma séquence de quatrième, Y’r’pleut, adaptée (j’espère) pour bien fonctionner avec mes élèves de quatrième de cette année.

Nous aurons donc parlé risque, chance, peut-être déjà probabilité, et puis pourcentages. Nous en arrivons à la dernière partie, respiration après l’attaque des % : les probabilités.

Nous allons traiter l’activité suivante : par binôme, les élèves vont tracer des triangles. Pour cela, ils doivent d’abord tracer un segment de 7cm de long. Pour la longueur des deux autres cotés, je leur donne deux dés à jouer, qu’ils lacent et qui fournissent la longueur des autres côtés. Ils doivent en réaliser au moins trois, mais j’espère plus.

Lorsque tous les binômes ont obtenu au moins trois triangles, bilan : qu’avez-vous obtenu ? Avez-vous des remarques à faire ? On peut projeter ou afficher des triangles. Là, on discute, et on réactive l’inégalité triangulaire (et on colle la leçon si ce n’est pas déjà fait, mais je ne me souviens plus car j’ai oublié mon cahier témoin dans la classe).

Et puis on va plus loin : si on choisit deux nombres au hasard a et b, si on a plus de chances d’obtenir un triangle constructible ou non constructible ? Ensuite, on met en commun de façon graduelle, pour intégrer à notre étude de plus en plus de résultats. Il faudrait que les élèves réalisent un grand nombre de lancers. J’ai prévu le tableur qui va avec, qui me permettrait de parler des « SI » dans le tableur. j’en ai aussi une version complétée avec la fonction ALEA, que j’utiliserai ensuite pour travailler sur un encore plus grand nombre de propositions.

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Mais je compte surtout utiliser la version de mon collègue Claude Fey, qui a construit ce super outil :

Ainsi, les élèves visualiseront vraiment la situation en fonction du nombre de lancers. Pour les grands effectifs, je m’appuierai sur le tableur rempli avec ALEA.

La question qui devrait émerger est : est-ce qu’on a vraiment 58,6666667% de chances de pouvoir construire un triangle ? Un tableau à double entrée devrait nous y aider, et nous faire passer des fréquences aux probabilités.

Il faudra ensuite institutionnaliser les probabilités, mais nous construirons la leçon ensemble. Cela devrait contenir ce type d’éléments, en gros :

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Voilà, ma séquence est prête et claire dans ma tête.

Y a plus qu’à…

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Y’r’pleut des pourcentages

Je poursuis la description de ma séquence de quatrième : y’r’pleut.

Deuxième étape : scène de ménage

Nous allons visionner cette vidéo, qui vient de chez les Dudu. Elle va me permettre de retravailler sur les pourcentages, qui comme les choux, passent mieux s’ils sont planqués. En plus, nous allons revoir ce que signifie prendre une fraction de… et le produit de fractions, étudié en novembre.

Les élèves vont répondre sur leur cahier, de façon individuelle, puis discuter par îlot, puis nous allons confronter les différentes réponses. À mon avis, ce devrait être riche… Lorsque nous aurons expliqué le pourquoi des représentations mentales erronées, nous passerons à une trace écrite de ce genre :

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Je ne sais pas si nous compléterons tout, mais je ne pense pas. Cela dépendra de ce qui vient et de la fatigue de mes élèves à ce moment-là, car ce sera un lundi et ils en seront à leur troisième heure de maths en classe entière.

Dans la suite de la séquence, mais pas forcément tout de suite (j’attendrai d’avoir une heure en demi-classe), nous aborderons deux documents à questionner :

Celui-ci, sans doute sans les questions, mais seulement avec le document lui-même, qui nous permettra d’introduire la notion de ratio :

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et celui-ci, pour appuyer encore sur les augmentations et baisses en % :

Et puis nous traiterons des exercices, et là j’ai préparé un comment ça va :

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Les élèves qui iront plus vite pourront attaquer les crapauds :

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Je proposerai trois séries de questions flash, deux en diapo et une papier, dans les jours qui suivront.