Aujourd’hui, en sixième, nous avons cherché à définir les polygones. Cela fait bien longtemps que mes élèves ont entendu le mot polygone, et travaillé à partir de cet objet mathématique. Ils le connaissent, dans le sens où ils se le représentent mentalement. Pour autant, ont-ils modélisé ? Pas tous, manifestement ; au début de mon questionnement, tous étaient encore sur une description du polygone reliée à leur perception et à la manipulation.

Lorsque j’ai demandé : « Bon, alors, qui peut me dire ce que c’est qu’un polygone ? », j’ai eu pour réponses : « C’est une forme. » et « C’est un quadrilatère ».

« Une forme, c’est trop peu précis pour moi : si je dessine une espèce de patate, comme ça, est-ce que c’est un polygone ? » Consensus dans la classe, non non non ce n’est pas un polygone. « Et un quadrilatère, ça ne me va pas non plus, pourquoi ? », et l’élève a elle-même corrigé : « Parce qu’il y a d’autres polygones que les quadrilatères ». Bien.

« Alors », ai-je demandé, « c’est quoi un polygone ? » Là, mes élèves ont réfléchi. J’aime bien ça, quand ils réfléchissent et que ça s’entend, que ça se voit. Je ne m’attendais pas à ce qu’ensuite nous allions aussi loin. Trois élèves ont proposé une réponse :

• « C’est un dessin droit. »
• « Non, c’est pas assez précis vous allez dire. C’est un dessin droit qu’on ferme. »
• « Non, ça va pas, encore, parce que droit, ça peut faire une droite. C’est un dessin qu’on ferme et qu’on trace avec une règle ».

Nous sommes donc partis de ça :

Un polygone est un dessin qu’on ferme et qu’on trace avec une règle.

Je retranscris ce que j’ai dit à ces élèves. j’aurais pu faire bien mieux… Mais bon, c’est mon enregistrement. En rouge, c’est moi :

« Je voudrais retravailler cette phrase, parce que ce n’est pas une définition. Ce n’est pas une définition, parce que le mot « dessin » n’est pas un mot de définition mathématique. Mais pour définir un objet mathématique, ça ne va pas. C’est ma première objection. »

Un élève a levé la main tout de suite :

« Une figure ? »

« Ah oui, une figure c’est mieux. Vous en pensez quoi, tous ? Est-ce que c’est pareil, dessin et figure ? »

« Bah un peu, mais dessin c’est plutôt… en arts plastiques ou en SVT, et figure c’est qu’en maths ».

« Oui, c’est vrai. Pourtant, des dessins, on en fait aussi en mathématiques. Ca, par exemple, pour l’exercice de tout à l’heure, c’est un dessin : nous l’avons dessiné, tracé. Une figure, non. Vous devinez pourquoi ? »

(silence, long)

« Parce qu’une figure on l’imagine dans la tête, comme l’autre jour les segments et tout ? »

« Exactement. Mais c’est super important : une figure existe même si elle n’est pas représentée par un dessin ! »

« Aaaah oui, comme dans l’autre exercice, là, la droite qu’était pas tracée on a mis faux et on s’est trompés parce que elle tait pas tracée mais elle existait quand même ! »

« Voilà. »

Nous reformulons, pour que je sois sûre qu’un maximum d’élève a compris. Je précise aussi que dans les écrits scolaires, les deux mots sont parfois employés indifféremment, a tort, mais ce n’est pas grave du moment qu’on a compris, nous.

« Alors elle devient quoi, la définition ? »

« Un polygone est une figure qu’on ferme et qu’on trace à la règle. Ah bah non ça va pas, on peut plus la tracer si elle est dans notre tête. »

« Hé bin non, tu as raison. Vous êtes d’accord avec ce qua dit D. ? »

« Alors on pourrait dire : un polygone est une figure qu’on ferme avec des traits. »

« Des traits ? Dis donc on n’a pas appris à être plus… mathématiques, nous ? »

« Des segments ! »

« OK. Alors on écrit quoi ? »

« Un  polygone c’est une figure qu’on ferme et formée de segments. »

« Bon. Pas mal. « Qu’on ferme », ça me plaît moyen parce que ça renvoie encore à votre action de tracer, à votre mouvement. »

« Oh là là madame vous être exigeante. C’est bien comme ça. »

« Non mais y a qu’à mettre fermée, comme ça paf on a fermé mais on dit pas qui c’est qui ferme. Elle est fermée, la figure, c’est tout. »

« Booooon, je crois qu’on y est. Qui résume ? »

« Un polygone est une figure fermée formée de segments. »

« Madame, fermée formée, c »est moche. »

« Ah. On écrit quoi alors, pour faire plaisir à E. ? »

Nous avons écrit ceci dans le cahier :

Un polygone est une figure fermée constituée de segments.

J’ai trouvé cette séance très intéressante, même si cela a été long de façon impromptue : nous sommes partis d’une représentation perceptive, presque haptique, avec l’idée de mouvement, pour arriver à une institutionnalisation, à une recherche de modélisation. La verbalisation des élèves était une forme de représentation, qui au final a donné une verbalisation qui indique que la modélisation est achevé (pour ceux qui ont compris durablement, et je sais que cela ne concerne pas tous les élèves de cette classe. Mais j’y reviendrai, et chacun navigue à son rythme. Touts ont entendu les échanges, ont perçus la nature de la question, et c’est déjà bien en sixième).

Nous sommes ensuite revenus sur ce qui permet de qualifier une phrase de « définition ». Nous continuerons, au fil de l’année.