Aujourd’hui, nous avons institutionnalisé en 6e ce que nous avons appris dans l’année sur π. C’était l’occasion que les élèves expriment leurs représentations, que j’aborde dans l’ordre de proposition de ce matin :

π, c’est un chiffre infini ?

Bon alors non, π n’est pas un chiffre. C’est un nombre. C’est vraiment un nombre. Le fait qu’il soit désigné par une lettre grecque (le p grec de périmètre, après simplification de pi/delta pour exprimer le coefficient de proportionnalité entre périmètre et diamètre).

Côté « infini », c’est une belle illustration de verbalisation pas facile. Dire « π, il est infini » semble signifier qu’il a une « valeur infinie ». Or π a une valeur précise, comprise entre 3 et 4. On ne peut donc pas prétendre qu’il est « infini ». On peut dire que « en écriture décimale, π a une infinité de décimales ». Et là, mieux vaut préciser dans la foulée que ce n’est pas un nombre décimal, mais qu’il a une écriture décimale, impossible à retranscrire en entier cependant « pour de vrai ».

π, il a des chiffres qui se répètent ?

Dans l’écriture décimale d’une fraction, il y a une période :

Dans l’écriture décimale de π, il n’y a pas de période. Pour autant, forcément on retrouve plusieurs fois chaque chiffre, voire certaines successions de chiffres, mais sans régularité. π ne peut pas s’écrire sous forme de fraction, et oui, on en es sûrs parce qu’on l’a démontré. C’est un nombre irrationnel : il ne peut pas s’écrire sous forme d’écriture fractionnaire avec des entiers au numérateur et au dénominateur.

π, c’est quoi son dernier chiffre ?

Il n’y en n’a pas, puisque son écriture décimale est infinie. Vraiment infinie. Elle ne s’arrête pas. Elle continue toujours.

T’as compris, là ? 🙂

Mais π il est pas précis, alors ?

Si. Trace un cercle au tableau de diamètre 1 mètre, et paf, sa longueur (donc son périmètre) est égal à π mètres. π est la notation qui désigne ce nombre, « le nombre du cercle » comme m’ont dit des élèves. C’est un nombre précis, mais qu’on ne peut pas écrire en écriture décimale finie. Ah, je l’ai déjà dit ? 😉

π, on l’a inventé ou on l’a découvert ?

Non mais je vous assure, quel plaisir d’entendre cette question… Je l’ai retournée à la classe : qu’en pensez-vous ? Après discussion, les élèves se sont mis d’accord : on l’a découvert, il existe sans nous. On peut l’ignorer, mais le périmètre d’un cercle est toujours égal à π fois son diamètre.

Mais finalement, ça sert à rien toutes ces décimales, non ?

Là encore, j’ai laissé les élèves exprimer leurs points de vue. Finalement, leur conclusion est qu’au quotidien, non, ça ne sert à rien : approximer π à 3 est la plupart du temps suffisant. En cas de nécessité d’une grande précision, on peut toujours utiliser des décimales, mais 10 000 c’est excessif. Mais les élèves ont aussi dit que d’un autre côté, c’est bien de savoir qu’on est capable de connaître un grand nombre de décimales, parce que c’est « de la culture » et « un défi ».