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A la fin, on avait faim.

Le lundi, une semaine sur deux, j’ai trois heures la même classe de sixième. Il faut donc aménager les activités, car cela fait beaucoup. Mais mes sixièmes tiennent le choc, mieux que les quatrième qui sont dans le même cas l’autre semaine sur deux. En tout cas, j’avais prévu cet après-midi, pour leur dernière heure, de travailler une tâche complexe.

D’où ma première question : c’est quoi pour vous une tâche complexe ?

Réponse, unanime : « c’est quand vous demandez quelque chose qui fait qu’on doit faire des étapes, mais les étapes elles ne sont pas dites par la consigne. Ça veut pas dire que c’est dur, juste il faut pas attendre que ce soit direct et on doit inventer. »

Bon ok, c’est parti alors. J’ai projeté le site de Domino pizza. Nous avons choisi une pizza, et au boulot.

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Les élèves ont voulu savoir comment je savais la taille des pizzas. Je leur ai expliqué que j’avais apporté mon mètre de couture au monsieur de chez Domino Pizza la dernière fois que j’y suis allée, et qu’il avait mesuré gentiment. Ça les a bien amusés.

Ensuite, les élèves ont cherché à comprendre comment la différence de prix était calculée, entre médium et large. Ça a été vite : en changeant la taille des pizzas sur le site, on constate immédiatement que quel que soit le prix de la médium, la pizza large coûte 3€ de plus. Réaction d’un élève : ah bah oui, logique : c’est proportionnel ! Un assez long débat s’en est suivi : proportionnel par rapport à quoi ? C’est ça, le modèle de la proportionnalité ? Faudrait pas plutôt multiplier ? Non, des fois on ajoute quand c’est proportionnel ! Mais on ajoute quoi déjà ?

Au final, les élèves sont allés chercher dans leurs cahiers de leçon et ont solutionné tout seuls la question. J’ai eu peur, tout de même, face à cette réaction de « +3 partout c’est proportionnel ». Mais j’ai bien fait de les laisser se débrouiller : c’est plus efficace lorsqu’ils s’autocorrigent. Ensuite nous avons bien repris tous ensemble, pour être sûrs que la réponse soit explicite et univoque.

Les élèves m’ont alors déplié le problème beaucoup plus vite que prévu.

  1. La moitié du groupe a eu la même idée : lier le prix et le diamètre de la pizza. C’est donc parti pour les calculs. Ils ont mis en relation 28cm et 10€ et ont trouvé le prix d’1cm de pizza, et la « longueur de diamètre » obtenue pour 1€, parce que pour certains une des versions parlait davantage que l’autre. Puis ils ont procédé de la même façon pour la pizza large. Conclusion : la pizza médium vaut plus le coup. Moi, j’ai laissé faire. Ça faisait travailler la proportionnalité, les valeurs approchées, le choix des opérations, les ordres de grandeur… C’était très bien, comme début.
  2. Ce résultat a contrarié leur intuition : c’est bizarre, d’habitude, plus on achète, moins c’est cher. Un élève a eu l’illumination : mais non, on s’est trompés, il faut comparer les volumes, parce que c’est ça qu’on mange, on mange pas des longueurs ! »
  3. Un nouveau débat s’est engagé : comment va-t-on calculer ça ? On sait calculer le volume d’un pavé droit, mais ce n’est pas un pavé droit, une pizza… Un élève a spontanément proposé la méthode de calcul du volume d’un cylindre (« pour le pavé on monte un rectangle en hauteur, pour un cylindre on monte un disque en hauteur, facile »), mais beaucoup d’élèves n’étaient pas rassurés de s’engager là-dedans : on n’a pas appris ça encore.
  4. Une élève a suggéré : mais enfin pourquoi on se complique ? Les deux pizzas ont la même épaisseur (hein madame, elles ont la même épaisseur, les pizzas, même dans des tailles différentes ?) donc on n’a qu’à comparer les aires ! Consensus et hop, c’est parti. Les calculs sont allés très vite : le principe était le même que lors de leur premier essai. Conclusion : la pizza large vaut plus le coup. Satisfaction générale. Nous avons calculé combien coûterait une pizza de la taille de la large au prix de la médium, et ça fait une différence conséquente, déjà.
  5. Je questionne, histoire d’être sûre : qu’est-ce qui donne le droit de comparer les aires alors que vous avez éliminé la comparaison des diamètres ? J’ai ma réponse : dans les aires il y a rayon×rayon, et le rayon c’est pas le même, alors que dans le volume il y aura l’épaisseur, mais elle c’est la même entre les deux pizzas.

Comme il était encore tôt et que je n’avais pas prévu que la résolution de la question aille si vite, j’ai demandé ceci : sachant que la pizza est contenue dans une boîte en forme de pavé droit, qu’elle touche les bords, et que la face de la boîte sur laquelle elle est posée est un carré, quel pourcentage de la boîte est gâché ? Nous avons pu retravailler les différentes écritures d’un nombre, le sens du %, les ordres de grandeur encore.

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Ils ont trouvé aussi. Ils sont forts, quand même, je trouve. Et autonomes. Le tout avec la pêche et le sourire.

Un élève a proposé : mais pourquoi ils ne font pas des boîtes à base circulaires ? Nous avons proposé des réponses : une boîte livrée « tout à plat », c’est plus pratique si c’est un pavé droit une fois repliée. Le patron du cylindre est plus délicat à réaliser, et plus fragile concrètement. Alors un autre élève a trouvé la solution : madame, faut faire des pizzas carrées.

Tollé général, mimiques dégoûtées à l’idée de manger une pizza carrée. Moi, je trouvais ça bien, comme idée. Mais un élève a proposé un argument plus convaincant que la routine : pour faire des parts égales, et que tout le monde ait autant de croûte (ça a l’air super important, les histoires de croûte), un disque c’est mieux !

Ok.

 

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Madame, c’est grave bien

Aujourd’hui, en sixième, nous avons fait une séance grave bien, à en croire Mathieu. Il s’agit de deux heures consacrées au volume. Nous avons déjà étudié les solides, et dans les grandeurs les périmètres et plus tard les aires, avec une réflexion assez approfondie sur les unités d’aires. J’ai beaucoup fait écrire des phrases du type « ABCD a une aire de 15cm², car 3cm×5cm=15cm² », en demandant à chaque fois aux élèves d’expliquer pourquoi « cm² ». J’ai été plus insistante que jamais, sur ce point : « c’est au carré car on est en deux dimensions », « c’est carré parce qu’on multiplie des cm par des cm », me répondent en général les élèves. Auparavant nous avions beaucoup travaillé sur Escher et les perspectives, pour jouer avec les dimensions. Là, entre jours fériés et CAPES qui approchent, j’espérais aller vite. Mais pour que j’aille vite, il faut que les élèves comprennent. Je me refuse à aller vite sans eux. Hé bien l’essai est transformé : en deux heures ils ont été tout à fait compétents pour résoudre les exercices que j’avais prévus. Je suis très contente.

Nous avons donc commencé par construire une suite de pailles d’un mètre. Je l’ai bien montrée aux élèves pour qu’ils visualisent, en associant ce mètre à la règle du tableau, à un grand pas d’adulte.

Ensuite, j’ai demandé aux élèves comment me faire une idée de ce qu’est un mètre carré. D’abord, certains m’ont dit qu’il faudrait multiplier les pailles dans ma main par une autre enfilade de cinq pailles, mais qu’ils ne voyaient pas comment faire. Cela a donné l’idée aussitôt à d’autres : c’est mètre carré en référence au carré, construisez un carré de côté 1m madame. Alors j’ai construit un carré d’un mètre de côté. À nouveau, nous l’avons exhibé à toute la classe, pour que chacun « comprenne » bien 1m² et se conserve cette représentation mentale bien au chaud. Pour favoriser cette appropriation, je demande toujours aux élèves si cela leur semble plus grand ou plus petit qu’ils ne se l’imaginaient, 1m². Très souvent c’est plus grand que ce qu’ils pensaient.

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Et ensuite, comment visualiser 1m³ ? Là, ça a été vite : « il faut ajouter une dimension », « il faut construire un cube de 1m de côté », « il faut monter le carré sur 1m », « il faut faire des tranches de surface qu’on empile », etc. Un peu de reformulation, et zou.

Ensuite, série de questions : pourquoi « 1m³ », reprise du vocabulaire associé (sommets, faces, arêtes, et si je regarde dans ma tête une face, sommets, côtés ; et puis si je regarde les côtés du carré, segments, extrémités), trouvez-vous ça grand ou petit, tout ça.

Nous avons ensuite abordé les unités de volume et leurs correspondances avec les unités de capacité. C’est allé assez vite, car les élèves étaient vraiment prêts et ont transposé ce qu’ils avaient compris sur les unités de longueur et d’aire. Nous avons passé un moment, comme régulièrement, sur la polysémie du mot solide (nom commun/adjectif, maths/SPC). Sur les conversions, nous avons parlé tableau : un tableau est-il indispensable ? (Non !) Écrit-on les virgules dans un tableau de conversions ? (Non!!!) Et les élèves m’ont expliqué pourquoi naturellement, impec). Pourquoi est-ce délicat de faire se correspondre unités de volumes et unités de capacité ? Pourquoi a-t-on le droit de le faire, mais quels sont les points de vigilance ? (Jongler entre unités simples et unités composées demande d’avoir bien conceptualisé…)

Une élève m’a demandé comment on écrirait la conversion de 500km³ en mm³. Nous l’avons fait, mais elle m’a alors dit : « il doit y avoir un autre moyen, non, pour écrire ça ? C’est trop long pour obliger de faire ça en maths ». Et d’autres : « ah bah oui, et les gens qui font de l’astronomie, genre ! » Magnifique ! J’ai donc évoqué la notation scientifique, et une autre élève m’a dit « mais moi un jour j’ai vu pareil, mais avec des moins. Je me demande ce que ça voulait dire ». Irrésistible… Je n’ai pas pu faire autrement que d’aborder de loin une réponse à sa question.

Nous avons traité ensuite plusieurs exercices avec une belle efficacité, avec un rythme qui m’a plu : tout le monde était bien dedans, à « qui veut aller au tableau », j’avais beaucoup plus de volontaires que de réservés.

Enfin, nous avons travaillé la trace écrite pour conserver une belle institutionnalisation.

J’ai aimé cette double séance, car j’ai atteint mes objectifs, non pas en emmenant les élèves, mais en les suivant. J’ai eu l’impression de récolter là ce que j’avais patiemment semé toute l’année, et cela m’a satisfaite. Et puis des élèves m’ont fait de belles sorties, de nature variable : « c’est trop grave bien madame », dit sur le ton du garçon qui vient de comprendre quelque chose d’important, « mais en fait madame j’y pense là d’un coup, les surfaces ça n’existe pas vraiment, en fait on parle toujours de choses en 3D, c’est juste dans notre tête ? », « en fait madame, c’est hyper logique que les unités de volume aillent de mille en mille, c’est parce qu’elles vont de 10×10×10 en 10×10×10 ! », « 1m³ c’est super grand, on pourrait mettre dix Gaspard dedans ! », etc.

Comme vraiment ils avaient super bien bossé, ces loulous, et qu’il me restait 5 minutes, je leur ai projeté le grand zoom, histoire de leur laisser un petit souvenir de la notation scientifique pour dans deux ans, et surtout histoire de leur parler un peu d’univers, sujet qui les passionne.

Et après ça, ça a sonné. Ils ont râlé, mais ont couru vers la cantine. Parce que quand même, il y a des priorités, entre les frites et l’univers.

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Le graphiqueu est-il honnêteu, tralalalalalaèteu…

Sur la chaîne YouTube de Defekator, une vidéo présente des points de vigilance à propos des statistiques. C’est vraiment bien fait, avec des propositions de correction en plus de l’explication de l’erreur. En classe nous avons étudié plusieurs de ces représentations pendant l’année, ce qui rendra la vidéo accessible à mes élèves.

La vidéo dure une peine demie-heure, mais elle vaut la peine.

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Sens, sourire et bouts de ficelle

Aujourd’hui, formation interdegré, moment de partage, avec mon collègue formateur, avec les collègues venus nous écouter… L’interdegré, c’est bien une réalité, et le schmilblick avance, avec le sourire et des neurones en action, pour nos élèves.

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Felice Varini

Il a quelques jours, j’ai écrit un article sur les anamorphoses de David Zinn. Un lecteur m’a envoyé deux références d’autres artistes qui pratiquent l’anamorphose, dont Felice Varini. Felice Varini est un artiste suisse qui a réalisé une anamorphose au musée des Beaux-Arts de Rouen, en plus. Sur son site, on découvre ses anamorphoses selon le point de vue idéal, mais aussi « hors point de vue », ce qui est vraiment intéressant et un appui solide pour faire comprendre à nos élèves ce qu’est une anamorphose :

« Cercle et ondes de cercle pour le trapèze » Montrouge 201

Hors point de vue :

Allez, pour le plaisir, une autre (parmi un choix incroyable de productions !) :

"neuf couronnes tangentes par les pôles" Zurich 2014

Hors point de vue à nouveau :

C’est vraiment extraordinaire. Je me demande si monsieur Varini utilise des maths directement, ou s’il procède par intuition, par expérience.