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Compter ou dénombrer ? Dénombrer !

Je viens de lire trois fois de suite un ouvrage recommandé par une collègue pour m’aider à acquérir les connaissances nécessaire aux enseignements que je dois transmettre à l’ESPE l’année prochaine : Premiers pas vers les maths, les chemins de la réussite à l’école maternelle, de Rémi Brissiaud. Je l’ai lu trois fois parce que j’avais besoin de recul, de rentrer dans toutes ces nuances, d’absorber, de m’interroger.

Alors je vous livrerai, aujourd’hui et dans les jours à venir, mes notes de lecture. Aujourd’hui, compter et dénombrer : c’est pas pareil.

UnknownPour l’élève de petite section, s’approprier le système des premiers nombres (de un à quatre), c’est construire la signification de mots nouveaux, les « mots-nombres » : deux, trois, quatre. Il s’agit de passer de la comptine numérique, suite sonore du type « undeuxtrois », à la signification numérique de un, deux, trois, voire quatre.

A cet âge les enfants entendent des dizaines de nouveaux mots chaque jour, dont on le donne pas de définition verbale. Ils utilisent donc le contexte linguistique (les mots connus qui entourent le mot inconnu) et extra-linguistique (les éléments matériels, les gestes, etc.).

Avant trois ou quatre ans, le comptage ne permet en général pas à l’enfant de répondre à une question commençant par « combien de … ? ». L’enfant va souvent redire « un, deux, trois, quatre », de façon répétitive si on répète la question : il met en correspondance terme à terme les mots-nombres et les jetons de la collection qu’il doit compter, mais son comptage ne constitue pas un dénombrement ; il n’accède pas au nombre.

Le comptage désigne l’énumération des objets à l’aide de la comptine numérique. Le dénombrement va plus loin : il désigne toute procédure permettant d’accéder au nombre d’objets. Ainsi, dans le comptage, la notion de totalisation de tous les objets n’est pas forcément effective. Si elle l’est, on accède aussi au dénombrement.

Rochel Gelman, psychologue américaine (ses travaux datent des années 1980) préconisait le comptage-numérotage. Enseigner le comptage-numérotage amène à insister sur la correspondance : un mot, un élément. Cela conduit l’enfant à concevoir les éléments successivement pointés avec le doigt comme «  le un, le deux, le trois, le quatre, etc.  ». Les mots prononcés sont alors des sortes de numéros renvoyant chacun à un élément et un seul, et on peut donc parler d’un comptage-numérotage. Mais en assimilant aux mots-nombres des numéros, l’enfant peut ne pas acquérir l’idée du nombre total d’objets. Autrement dit, concevoir un nombre est différent d’en avoir une dénomination.

Pour bien saisir cette difficulté, prenons un exemple : si on appliquait le modèle du comptage à des énumérations telles que « pomme, poire, abricot », il faudrait comprendre que le mot « abricot » désigne non seulement le dernier fruit, mais aussi les précédents. Il y a là un problème de polysémie particulièrement difficile à surmonter pour un jeune enfant, d’autant que l’enfant rencontre des écritures chiffrées qui désignent des numéros : sur la télécommande, dans l’ascenseur, sur le calendrier, etc. En anglais de tels écueils sont moindres, de par la construction de la langue : on dit « le huitième jour d’avril » plutôt que « le huit avril », on distingue « one » et « a ». Une autre difficulté du comptage est que si l’on désigne quatre animaux différents, dont le dernier est un crocodile, l’enfant peut assimiler « quatre » à un crocodile et non pas à un nombre. Enfin, on peut avoir l’impression qu’un enfant sait dénombrer par comptage parce qu’il a crée comme règle que lorsqu’il compte, il répète le dernier mot prononcé. Un tel enfant sait comment compter, mais pas pourquoi.

Brissiaud préconise plutôt le comptage-dénombrement, qu’on enseigne en insistant sur la correspondance entre chaque mot et la pluralité des unités déjà considérées : «  un, et encore un, deux ; et encore un, trois ; et encore un, etc.  » Il s’agit de faire comprendre aux élèves que chaque nouveau mot prononcé donne le nombre résultant de l’ajout d’une nouvelle unité. On peut alors parler d’un comptage-dénombrement. On s’appuie sur l’idée de décomposition, comme (dans un genre un peu différent) lorsqu’on décrit quatre comme « un, un, un et encore un » ou « deux et encore deux » ou « trois et encore un », c’est le décrire sous forme d’une décomposition. Et parler les nombres à l’aide de décompositions permet d’éviter leur usage en tant que numéro.

Brissiaud identifie trois conditions (non indépendantes) pour dénombrer :

  1. Créer mentalement les unités : l’enfant doit savoir ce qu’est le « un » lorsqu’on lui demande de dénombrer. Par exemple, si il doit dénombrer des animaux, va-t-il prendre le ver de terre (qui est tout petit) en compte ? Ou bien le dragon (qui n’existe pas) ?
  2. Enumérer les unités : il s’agit de ne pas répéter ni d’oublier des unités. C’est plus ou moins facile selon la disposition des entités à dénombrer.
  3. Totaliser les unités

Entre 1970 et 1986 (période piagétienne de l’école maternelle), on pensait que les enfants ne pouvaient pas profiter d’apprentissages numériques avant six ou sept ans. La conséquence fut radicale : l’enseignement du comptage disparut totalement de l’école maternelle.

Suite aux travaux de Rochel Gelman, on a assisté, à partir de 1986, à une réhabilitation soudaine de la pédagogie du comptage-numérotage dès la petite section.

Or, une recherche de la Depp a comparé les performances en calcul des élèves de CM2 en 1987, 1999 et 2007. Elles baissent beaucoup entre 1987 et 1999 et stagnent ensuite. Les élèves de 1987 calculaient très bien au CM2 sans rien avoir appris à l’école maternelle ; ils calculaient bien mieux que ceux d’aujourd’hui qui apprennent le comptage-numérotage dès la petite section.

La conclusion de Brissiaud est la suivante: mieux vaut ne rien enseigner à l’école maternelle qu’enseigner précocement le comptage-numérotage.

Demain, je vous parlerai du subitizing.

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Nous sommes cernés par les grandeurs, brrrr !

Je viens de suivre une conférence intitulée « Grandeurs et géométrie », de Matthieu Gaud, de l’iIREM de Poitiers, spécialiste en la matière, avec des publications tellement riches que je n’ai pas assez de temps pour tout exploiter d’ici à la retraite. Matthieu Gaud nous a expliqué en quoi travailler les grandeurs permettait d’aborder à peu près toute la géométrie. Et alors que sa conférence s’achève, je vais faire un petit tour sur mes sites préférés, et je tombe sur un des exercices du sujet d’Amérique du Nord du DNB de cette année :

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Et sur une perle sur le site des Dudu :

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Décidément, c’est vrai, il y a des grandeurs partout. D’ailleurs, combien vais-je mettre de temps pour rentrer de Poitiers ce soir, combien cela va-t-il coûter da péage et à quelle heure faudra-t-il mettre le réveil pour aller aider notre ami S. à déménager dans son nouvel appartement de 70 mètres carrés ?

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Des p’tits poèmes pour faire (aussi) des maths

La vidéo suivante provient de « Incl@ssables mathématiques », et elle est vraiment très sympa. Elle propose de réfléchir à l’oeuvre de Raymond Queneau (membre de l’OuLiPo) en mobilisant les arbres de dénombrement, les calculs de puissances et éventuellement la notation scientifique, et aussi les conversions d’unités. Il y a de quoi faire… Une idée d’activité pour l’année prochaine ?

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Maîtriser la langue française est utile pour réussir à l’école dans toutes les disciplines. Même en maths. Si, si.

Une étude du CNRS (ici, une description en français) menée auprès d’étudiants en économie et gestion montre que progresser dans le domaine du lire-écrire-parler (la maîtrise de la langue) permet de progresser dans toutes les disciplines, y compris les mathématiques. On n’avait pas attendu cette étude pour en être convaincu cela dit.

Un des auteurs, Yannick L’Horty, écrit : « Cette étude est le fruit d’un investissement de longue haleine. Nous avons travaillé trois ans pour mener à bien cette expérimentation et collecter les données, avant de pouvoir effectuer l’ensemble des traitements statistiques. Au final, nous avons été surpris par le caractère très univoque des résultats qui indiquent sans ambiguïté que les étudiants de licence sont pénalisés par leur manque de maîtrise de la langue française. Ce constat est nouveau et il n’a pas encore été considéré dans les actions publiques de prévention du décrochage à l’université ». Il ajoute : « Mieux maîtriser la langue française facilite la compréhension des énoncés des exercices de maths et permet aux étudiants de rédiger des réponses mieux structurées ».

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Le projet a impliqué  la plate-forme en ligne du Projet Voltaire (plateforme payante, malheureusement), pour améliorer les compétences orthographiques et grammaticales.

Cette étude présente un intérêt supplémentaire : c’est la première fois que ce genre de question est étudiée dans l’enseignement supérieur, ce qui semble confirmer un mouvement de fond mal réparti mais véritablement existant à l’université.

En maths, la réforme a permis d’affirmer avec plus de force encore l’importance du lire-écrire-parler en mathématiques, en même temps pour l’exercice des mathématiques lui-même et pour développer les compétences de littératie de façon plus globale, et par les mathématiques. En particulier, ce document (sur Eduscol) est vraiment intéressant.

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La maîtrise de la langue en maths y est abordée sous trois aspects :

  • La langue du mathématicien comme objet d’étude
  • La langue comme moyen d’apprentissage (l’utilisation du brouillon, l’usage en classe du débat, etc.)

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  • La langue comme outil d’enseignement

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Les mathématiques y sont aussi affirmées comme une discipline qui se parle, qui ne s’exprime pas seulement par l’écrit :

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Et le document souligne l’importance pour l’enseignant d’être vigilant sur ses pratiques langagières : il est très important d’avoir soi-même une expression correcte, complète, des formulations variées, un langage adapté au moment de l’apprentissage. Et si possible, une orthographe qui tienne la route. Et là, en tant que formatrice à l’ESPE, je dois avouer que ces talents sont inégalement acquis chez nos jeunes profs, et que c’est embêtant.

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Il faut donc que nous, enseignants de mathématiques, pensions notre enseignement pour faire progresser nos élèves dans toutes leurs capacités de communication, pour les maths mais surtout par les maths pour toutes les disciplines. Et de même, les enseignants de discipline éloignées des maths pourraient utiliser notre matière pour proposer des supports (culturels, compréhensibles par tous, sans exigence de pré-requis mathématiques, qui servent leur propre propos disciplinaire) et ainsi contribuer à une culture commune qui n’exclurait pas les mathématiques.

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Projet jeu : la commande est passée

Sur cette fin d’année, nous allons réaliser en sixième un jeu de maths, un jeu de société. Le principe en sera assez classique, et j’espère que mes élèves vont élaborer un contenu de qualité, mais je leur fais confiance pour cela. En tout cas hier ils avaient l’air très très très motivés pour notre dernier projet de l’année.

Je leur ai exposé l’objectif et je leur ai expliqué quelle marge de choix ils avaient. Ils ont réfléchi aux règles du jeu, et nous avons déjà une base, à laquelle sont venues se greffer des idées secondaires que nous exploiterons dans un deuxième temps :

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Ensuite, nous avons exploré le site que mon mari m’avait indiqué (tout pour le jeu), et les élèves ont discuté, parfois débattu des choix à effectuer. Ces choix influent parfois directement sur les règles du jeu, alors c’était important. Au final ils m’ont dressé ma lite de courses :

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Plusieurs élèves sont venus me dire avant de partir en weekend que surtout, surtout, je ne devais pas oublier de passer commande. Rassurez-vous jeunes gens, c’est fait et je n’ai rien oublié. Il me reste à aller acheter des feutres pour écrire sur les cartes.

Sur cette première séance, nous avons travaillé plusieurs compétences qui se rattachent aux objectifs de l’enseignement des maths : chercher, raisonner, communiquer, mais aussi calculer (pour comparer l’aire des plateaux, circulaires ou rectangulaires et de formats différents, et pour déterminer la taille nécessaire de la boîte de rangement).

J’espère que nous allons garder ce souffle et réussir à terminer avant la fin de l’année !

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34 et 69, c’est presque pareil

Mon mari cherchait ce matin une carte de l’abstention au scrutin d’hier pour la commenter sur son blog. Il me l’a signalée, car quelque chose l’avait frappé, et en effet c’est frappant.

Regardez bien cette carte :

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Qu’est-ce qui choque, de prime abord ? On regarde les zones foncées, car elles sont celles qui correspondent à un fort taux d’abstention.

Or la légende indique ceci :

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On comprend donc que la couleur orange indique un taux d’abstention de près de 100%.

Si on raisonne de façon logique mais basique, comme il y a cinq nuances de couleurs, on en déduit qu’à chaque nouvelle nuance on ajoute 20%. Et donc le orange doit signifier entre 80% et 100%.

Bigre, on vote peu dans les territoires français ultramarins et en Corse !

Alors utilisons la souris pour nous déplacer sur la carte :

Il apparaît ainsi que l’on est orange foncé pour des taux très variés, mais qui n’avoisinent nulle part 80%, encore moins 100%. En fait, à partir d’un peu plus de 30%, paf, orange. Qu’on considère 34% ou 69%, c’est la même couleur qui figure le taux.

Il y a donc un problème.

J’ai alors essayé de trouver à quoi correspondent ces couleurs.

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Couleur la plus claire, n°1
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Couleur n°2
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Couleur n°3
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Couleur n°4
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Et la n°5, le orange.

Ce qui coince est donc surtout le « 100 ». Peut-être l’échelle est-elle proportionnelle sinon. mais comme rien n’apparaît quand on promène la souris dessus, peut-être pas.

C’est un bel exemple d’erreur qui peut transformer les représentations des lecteurs, en tout cas…