Cet après-midi, dans la classe de mon mari coordo Ulis, nous avons poursuivi le travail amorcé sur les aires et les périmètres, avec l’excellente activité « Plier des rectangles ». Malheureusement, j’ignore qui sont les auteurs de cette activité : un collègue me l’a transmise, avec son analyse, et je l’utilise depuis.
En Ulis, j’ai donc apporté mes rectangles découpés, de 20cm sur 12cm. En classe ordinaire, j’utilise du papier blanc. Là, j’avais décidé d’utiliser sur papier à petits carreaux, car je savais que les élèves ne savaient pas calculer l’aire d’un rectangle, et je voulais m’appuyer sur les petits carreaux pour dénombrer les cm2.
D’abord, j’ai demandé ce qu’est la forme de mes papiers. J’ai d’abord entendu « triangle », alors nous avons parlé de triangles et de quadrilatères. Ensuite, sur la proposition de rectangle, j’ai demandé pourquoi et j’ai tout de suite obtenu qu’il a 4 angles droits. J’ai demandé quelles autres propriétés possède le rectangle : les côtés égaux sont venus rapidement. En revanche, pour le parallélisme des côtés opposés, il a fallu ramer.Quand j’ai évoqué les diagonales j’ai bien senti que le succès était très mitigé.
Ensuite j’ai donné la consigne : plier le rectangle, de façon à toujours former des rectangles superposables (donc pas en diagonale), trois fois de suite. Nous avons obtenu plusieurs rectangles différents. Nous avons expliqué pourquoi « tout le monde a bon », bien que les résultats soient différents. Un élève en particulier était très gêné par cette idée : en même temps cet élève était paralysé à l’idée d’ « avoir faux », et en même temps qu’en maths il peut y avoir plusieurs solutions le dérangeait.
Etape suivante : mesurer la longueur et la largeur du rectangle obtenu, à la règle. Pas facile, en fait ! Après plusieurs essais et des corrections méthodologiques sur le geste de mesurage ou la lecture de la longueur, nous avons obtenu trois possibilités : 6 cm sur 5 cm, 10 cm sur 3 cm et 20 cm sur 1,5 cm. Cette dernière possibilité a été remise en cause, et il a fallu convaincre.
Bon et alors, le périmètre de chaque type de rectangle obtenu ? Les élèves se souvenaient de ce qu’est le périmètre. Ca a été plutôt bien :
Nous en sommes arrivés à l’aire. Là, j’ai demandé que les élèves comptent le nombre de carrés formés de 4 petits carreaux. J’ai expliqué plus tard pourquoi : ces carrés ont un côté de 1 cm, or le cm était mon unité de référence pour le périmètre. Cela m’a permis d’introduire le « centimètre carré, avec sa notation. Les élèves ont trouvé 30 cm2.
Que les aires soient les mêmes ne surprenait finalement pas les élèves : « c’est normal, on a plié le même rectangle autant de fois ! » Mais alors pourquoi les périmètres sont-ils différents, ai-je interrogé ? « Parce qu’on n’a pas plié pareil. Autant de fois, mais pas pareil », m’a répondu une élève.
Dernière étape : faire arriver les élèves à institutionnaliser la formule de l’aire. Il restait peu de temps, je ne suis donc pas passée par le nombre de cases d’un tableau en fonction de son nombre de lignes et de colonnes. Nous avons interrogé les élèves sur le lien opératoire possible. Ils ont fait des essais, et ont trouvé que c’est la multiplication de la longueur par la largeur qui donne l’aire :
Mon mari est alors revenu sur le périmètre : comment écrire une formule générale qui donne le périmètre ? C’était intéressant de voir les élèves résister à l’introduction de mots ou de lettres dans les calculs. Ils proposaient une méthode en phrases explicatives, ou bien des exemples successifs, mais passer par une méthode générale, c’est difficile !
J’ai beaucoup aimé cette séance : il fallait réussir à conserver l’attention de ces élèves, qui ont bien travaillé malgré une tendance permanente à l’évaporation pour certains. Et j’ai aimé aussi que leur enseignant intervienne pour recentrer mes questions : je pense qu’elles sont trop vagues parfois, que j’essaie de faire construire alors que lui, il sait qu’il faut être plus précis, induire davantage. Il parvient à les reformuler sans donner la réponse, mais en sécurisant davantage ses élèves.
En tout cas, plier des rectangles, ça fait faire des maths !
Pierre Carrée 
2 réflexions au sujet de « Plier des rectangles en Ulis »