Nous voici à la fin de notre participation aux journées mathématiques de la Belgique francophone. Nous aurons appris, rencontré, réfléchi, découvert… Mais avant de reprendre le chemin de notre (plus très) verte Normandie, dernière intervention : « Quelques paradoxes de l’aléatoire », par Davy Paindaveine.
Abraham Wald est un mathématicien d’origine hongroise qui a commencé en géométrie et est devenu statisticien à Columbia. Pendant la Seconde guerre mondiale, il a rejoint un groupe de statistiques consulté par l’armée américaine, qui voulait savoir où il fallait renforcer le fuselage des avions qui revenaient. La légende dit que Wald aurait préconisé de renforcer les avions là où ceux qui revenaient n’avaient pas d’impacts : ceux qui n’étaient pas revenus pouvaient avoir justement été touchés ailleurs.
C’est ce qu’on appelle un biais de sélection présent par construction. Mais il y a des biais de sélection inconscients, aussi, comme dans le livre Good to great, qui enseigne comment réussir une start-up. Pour cela l’auteur examine 11 entreprises qui ont superperformé. C’est un biais de sélection que de se restreindre aux vainqueurs : les caractéristiques de ces entreprises étaient peut-être aussi présentes chez les autres entreprises. Et puis il y a des biais de sélection moins inconscients : Didier Raoult n’a pas toujours eu recours à un groupe de contrôle pour valider un traitement, et a même choisi de façon spécifique la composition du groupe test.
Davy Paindaveine est revenu, après cette introduction, aux événements aléatoires et aux probabilités, jusqu’à la loi des grands nombres. Il nous a rappelé que Leibniz avait écrit que la probabilité d’obtenir 11 et celle d’obtenir 12 par addition de deux lancers de dés équilibrés est la même, alors que celle d’obtenir 11 est 2/36 et celle d’obtenir 12 est 1/36, la moitié donc.
Premier paradoxe (l’échauffement)
Le résultat est assez surprenant, quand même.
Deuxième paradoxe (le troublant)
En fait, si j’ai un petit calcul je veux A, si j’ai un gros calcul je veux A, et si je ne sais pas je veux B.
Cet inversement s’explique par le fait que A a été testé plus souvent pour les gros calculs, qui sont plus difficiles à soigner. Mais A est plus efficace en réalité.
Un exemple pratique, sur le covid, avec des données réelles :
C’est vraiment un bon exemple à travailler en classe.
On voit bien que chez les plus de 50 ans la majorité des gens étudiés sont vaccinés, et chez les moins de 50 ans c’est une minorité.
Un autre exemple que nous a montré Davy Paindaveine concerne le taux de mortalité en Chine et en Italie, dans une même période, en 2020. Quelle que soit la tranche d’âge, le virus est moins mortel en Italie qu’en Chine. Et pourtant, si on regarde le total, la situation s’inverse : en Italie les cas confirmés concernaient la population très âgée, avec un risque de décès plus élevé.
Troisième paradoxe (le passage obligé)
C’est le paradoxe de Monty Hall, inspiré d’un vrai jeu télévisé. Trois portes cachent deux lots dont on ne veut pas, et un lot qu’on souhaite gagner. On doit choisir une porte. Si c’est la porte gagnante, on part avec, disons, une montagne de chocolat. Si c’est une porte perdante, on repart avec un truc berk. Mais le présentateur indique une autre porte, perdante, avant d’ouvrir la porte choisie par le candidat. La question est : a-t-on intérêt à changer de porte ?
Or si on ne change pas de porte, on gagne si et seulement si on avait choisi la bonne porte, soit avec une chance sur trois.
Si on change de porte, on gagne si et seulement si on avait choisi une mauvaise porte, soit avec deux chances sur trois.
C’est donc avantageux de changer de porte.
Une femme, Marilyn vos Savant, qui explique ceci dans un journal, se prend un flot de commentaires agressifs et honteux :
Paul Erdös lui-même ne pouvait pas croire que changer de porte pût changer quelque chose. Il ne pouvait pas le croire, même démonstration à l’appui. Ce qui finalement le convaincra et éteindra l’incendie aux Etats-Unis face à Marilyn vos Savant, c’est l’invitation à un millier d’écoles de mettre en oeuvre l’expérience. Et là, le débat est clos, pas par la démonstration mais par l’expérience. Non mais quelle horreur je vous jure.
Quatrième paradoxe (un dernier pour la route)
Cela fait référence à deux problèmes de mathematical games, par Martin Gartner.
Les hypothèses sont tacites : tout enfant est soit une fille, soit un garçon, la probabilité d’être garçon ou fille est 1/2 et les sexes des enfants sont indépendants. Aucune de ces hypothèses n’est vraie, d’ailleurs, mais bon, modélisons.
On peut transformer la situation :
Et là :
C’est rigolo, parce que les aires des F et G « horizontaux » ne sont pas égales, mais leurs probas si. Les probas ne sont plus appuyées sur les aires. Et on obtient une proba différente du cas précédent, alors que dans le cas précédent la fille avait aussi un prénom ; peut-être Valérie d’ailleurs.
Allez, concluons (attention, c’est super extra et ça dérange) : le poids du carré rose est le même que le poids des deux carrés verts réunis.
Pierre Carrée 
Pour le quatrième paradoxe, dès lors que la deuxième phrase commence par « L’un d’entre eux… », la probabilité que l’autre enfant soit une fille vaut 1/2 (dans le cadre du modèle bien entendu).
Pour faire apparaitre le paradoxe, il ne faut pas qu’on puisse distinguer l’un et l’autre enfant. Cela est possible avec une phrase du type « Il a au moins une fille » (éventuellement née un lundi), ce qui ne spécifie pas l’enfant, en cherchant la probabilité qu’il ait un garçon (ou deux filles).
Je suis donc d’accord avec les conclusions de la dernière diapositive (sauf la dernière avec le gynécologue) mais pas avec la diapo qui contient la phrase en rouge « L’un d’entre eux est une fille née un lundi ».
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Excellent comme toujours au plaisir d’aller à Jonzac et ensuite à Rennes+
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