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Démontrer au collège ?

Des collègues échangeaient récemment sur Twitter au sujet de la démonstration au collège, absente des manuels qu’ils avaient sous les yeux. C’est vrai que dans certains manuels ce n’est pas fou. Dans d’autres, on trouve des tâches de démonstration, comme dans la Maths Monde cycle 4 (chez Didier) par exemple. Dans ce manuel, on trouve un grand nombre d’exercices du type « Prouver que … » à plusieurs étapes, « Emettre une conjecture puis prouver que cette conjecture est vraie », « Démontrer que… », etc. En revanche, je n’ai pas vu de démonstrations complexes (au sens de plusieurs étapes) dans la partie leçons. Cela dit, je ne suis pas sûre que ce soit pertinent de présenter des démonstrations dans les leçons des manuels : je crois que c’est vraiment à l’enseignant que revient de les amener, et ainsi il choisit celles qu’il souhaite. Dans le Sésamaths de cycle 4, la partie activités propose des guides pour démontrer, ce qui peut être pratique pour nous, pour avancer pas à pas dans les démonstrations.

Mais que faire de la démonstration en classe ? Pour ma part, après avoir enseigné pendant quinze ans au lycée, j’ai plutôt eu l’impression de pouvoir démontrer plus souvent au collège. Evidemment, rien de comparable aux démonstrations de spécialité ou d’expertes… Mais le collège est bien le lieu de l’apprentissage de la démonstration, comme le montrent clairement des ressources institutionnelles :

Source : https://eduscol.education.fr/document/17224/download

La formation au raisonnement et l’initiation à la démonstration sont des objectifs essentiels
du cycle 4. Le raisonnement, au cœur de l’activité mathématique, doit prendre appui sur des
situations variées (…).
Le programme du cycle 4 permet d’initier l’élève à différents types de raisonnement, le
raisonnement déductif, mais aussi le raisonnement par disjonction de cas ou par l’absurde.
La démonstration, forme d’argumentation propre aux mathématiques, vient compléter celles
développées dans d’autres disciplines et contribue fortement à la formation de la personne et
du citoyen (domaine 3 du socle). L’apprentissage de la démonstration doit se faire de
manière progressive, à travers la pratique (individuelle, collective, ou par groupes), mais
aussi par l’exemple. C’est pourquoi il est important que le cours de mathématiques ne se
limite pas à l’application de recettes et de règles, mais permette de mettre en place quelques
démonstrations accessibles aux élèves. De nombreux résultats figurant dans ce programme
peuvent être démontrés en classe, selon des modalités variées : certaines démonstrations
peuvent être élaborées et mises au point par les élèves eux-mêmes (de manière individuelle
ou collective), sous la conduite plus ou moins forte du professeur ; d’autres, inaccessibles à
la recherche des élèves, tireront leur profit des explications et des commentaires apportés
par le professeur. Certaines démonstrations possibles (aussi bien sur les nombres et le
calcul qu’en géométrie) sont identifiées dans le programme. Les enseignants ont la liberté de
choisir ceux des résultats qu’ils souhaitent démontrer ou faire démontrer, en fonction du
niveau et des besoins de leurs élèves. Enfin, il vaut mieux déclarer « admise » une propriété
non démontrée dans le cours (qui pourra d’ailleurs l’être ultérieurement), plutôt que de la
présenter comme une « règle ». Une propriété admise gagne à être explicitée, commentée,
illustrée.
En complément, dans le cadre du travail personnel soumis aux élèves, beaucoup
d’exercices et de problèmes peuvent servir de support à la démonstration. (…)

https://eduscol.education.fr/document/621/download

Les manuels ne sont pas des préconisations, mais des outils qui viennent simplifier notre enseignement. Les programmes le disent bien : nous sommes libres de nos choix en la matière. Alors démontrons ! Mais quand et comment ? Je vais essayer de réfléchir à mon accès à la démonstration en 6e-5e-4e, et je vais sans doute oublier des choses, mais bon.

En sixième (qui ne fait pas partie du cycle 4, mais on peut préparer le terrain), nous parlons de la valeurs des exemples et des contre-exemples, de généralités et de cas particuliers. Nous nous entraînons aussi sur une activité de Pyromaths qui permet de distinguer hypothèse (qu’est-ce qu’une hypothèse, il est nécessaire de l’expliciter en maths par rapport aux SVT par exemple) et conclusion, et surtout de comprendre que ce n’est pas parce que quelque chose semble être évident (les deux droites là elles sont parallèles, ça se voit) que c’est vrai, ou que l’on peut l’affirmer sans plus d’argument (nous cherchons donc à aller plus lion que le merveilleux argument « c’est forcé », et à invoquer des propriétés pertinentes). Le tableur, GeoGebra, Scratch nous sont d’une aide importante, car ces supports facilitent les conjectures et éventuellement d’exhiber un contre-exemple sans y passer des heures. Construire une preuve est ensuite plus facile, puisqu’on sait où on va.

En cinquième, je démontre en classe plusieurs propriétés de la leçon : la somme des angles d’un triangle, des critères de divisibilité, des propriétés dans les relatifs ou le parallélogramme, en lien avec les angles alternes-internes… Tout dépend des années, de mes envies, du temps que j’ai, des capacités à coopérer des élèves. Nous parlons à nouveau structure du raisonnement, hypothèses et conclusions, exemples et contre-exemples, mais aussi connecteurs logiques, négation d’une proposition, réciproque (avec les angles et le parallélisme, le parallélogramme, l’arithmétique). Les élèves démontrent aussi en classe, sur des fiches d’exercices à la carte selon un parcours qui s’adapte à leurs réussites et leurs difficultés. Ce n’est pas tout le temps non plus : on est engagés ensemble dans un apprentissage qui à mon sens doit revenir régulièrement, mais sans constituer la majorité des tâches. A vrai dire, rien ne constitue la majorité des tâches.

En quatrième, c’est vraiment pour moi la continuité de la cinquième, mais on s’est musclé(e)s. Nous démontrerons le théorème de Pythagore, celui de Thalès, pourquoi le cosinus a un sens, et nous démontrerons aussi dans le domaine nombres et calculs. Je propose sans doute plus d’exercices de démonstration en quatrième, en proposant souvent des choix : les élèves peuvent résoudre un exercice ou un autre, que j’ai choisis selon le type de démonstrations possibles, le nombre d’étapes, la variété des outils.

J’ignore si j’ai répondu un peu précisément aux questions que des collègues m’ont adressées ou si c’est trop vague, tout ça. Vous me le direz ! 🙂

Une réflexion au sujet de « Démontrer au collège ? »

  1. Bonjour Claire Très intéressant ton article. Du coup je suis allée voir pyromath que j’avais oublié ! Comme toi, en 6ème j’introduis doucement les preuves. En 4ème, en classe entière, les élèves démontrent avec mon aide certains théorèmes ou certaines propriétés. Pour la différenciation, ils font des travaux de groupes avec des groupes de différents niveaux 1,2 et 3. Tous les groupes ont la même tâche à faire mais les groupes 1 , les meilleurs, ont peu d’indications d’étapes, les groupes 2 un peu plus et les groupes 3 ont souvent toutes les étapes plus parfois une boîte à outils avec des théorèmes ou des propriétés. Les groupes 1 sont au fond de la classe, les groupes 2 au milieu et les groupes 3 vers le tableau. Je peux ainsi m’occuper surtout des groupes 3 qui ont des difficultés pour analyser l’énoncé, faire une figure et qui confondent souvent données et conclusions. Les autres groupes apprécient d’être plus autonomes et les groupes 1 font très souvent le travail sans faire appel à moi. Les élèves de 4ème apprécient beaucoup ces travaux de groupe. Ils répondent dans un tableau de démonstration. Je ramasse les feuilles que je corrige et j’évalue. C’est une ancienne collègue qui m’a fait découvrir cette façon de fonctionner qui vient du livre d’une enseignante de mathématiques dont j’ai oublié le nom (le livre est chez moi).

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