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Petite fraction deviendra grande

Une fort jolie question est arrivée sur Twitter aujourd’hui. Les copains ont déjà répondu, et fort bien, mais elle m’a gratouillé le cerveau et j’avais envie de participer à l’effort collectif. Mais le peu de caractères disponibles sur Twitter ne m’est pas suffisant : je suis pipelette. Voilà question de Michel :

J’ignore le niveau de la classe concernée. Je vais partir sur 6e, parce que c’est le genre de question que pourraient avoir à résoudre mes élèves de 6e.

J’imagine un contexte, qui peut-être n’est pas adapté : je suppose que l’objectif de l’enseignant est de faire écrire des fractions à l’égyptienne, ou à la britannique, ou à à peu près partout dans le monde sauf nous, façon Harry Potter :

Je me ramène à un exercice de ce type :

Ce genre de tâche me paraît très importante. D’une part cela permet de travailler le calcul, d’autre part l’estimation. Comme toutes les questions de comparaison, c’est une tâche difficile pour les élèves, et qui atteste, si elle est réussie, d’une bonne compréhension du type de nombre engagé, ici de la fraction.

Alors maintenant, il y a plusieurs niveaux de réponse, et d’ailleurs les copains l’ont très bien fait sur Twitter :

Si le but est de décomposer des fractions du type 12/7 (qui n’est pas une fraction très très agréable) sous la forme entier + fraction inférieure à 1, exemplifier sur des fractions décimales est une erreur de stratégie : c’est tout de même une tâche complexe, ici. Il faut interpréter la fraction 12/7 comme le quotient de 12 par 7, se demander combien de fois il y a 7 dans 12, décomposer en (7+5)/7, puis en 7/7+5/7, avoir compris que 7/7 c’est l’unité, et conclure que 12/7=1+5/7. C’est salement complexe. On manipule la fraction dans des calculs, ce qui implique que l’élève doit avoir vraiment intégré que c’est un nombre, déjà.

Mais de ce fait, commencer sur des fractions décimales va mener à un obstacle : du fait de notre système de numération en base 10, les fractions décimales « réagissent » visuellement différemment. De façon beaucoup plus sympathique, en fait. Comme le montre l’exemple choisi, 36/10=(30+6)/10=30/10+6/10=3+6/10. D’un côté c’est plus simple (car les fractions décimales, donc les décimaux, sont populaires et étudiés depuis le CM1), et d’un autre c’est du coup plus délicat car devant ce type de tâches, l’introduction d’un cas « plus simple » mais traité différemment antérieurement va passer pour une espèce de cas particulier qui va bloquer certains élèves.

C’est souvent, ça : des cas plus simples mathématiquement coincent les élèves qui savent comment faire des cas plus difficiles. Mais c’est un indicateur qui montre qu’ils n’ont pas compris : ils ne font pas les liens entre leurs acquis précédents et les notions et/ou compétences travaillées alors.

Je pense donc qu’en effet, stratégiquement, mieux vaut commencer par travailler sur des fractions non décimales, et puis pouf, au fil de l’eau, en proposer une, voir ce qui se passe, et si cela ne pose de problème à personne, s’arrêter un moment pour verbaliser tout cela et expliciter les liens, justement, avec les acquis antérieurs.

Ensuite, c’est une belle occasion de réfléchir au sens de la fraction. Si tout a été construit dans un sens favorable, on a étudié en CM1 les fractions dites simples, puis les fractions décimales, donc les décimaux, puis l’écriture décimale, et on revient plus tard aux fractions en général, jusqu’en sixième à ce fameux (par Julien Durand) :

Ce n’est pas pour des prunes, qu’on construit en ce sens. C’est ainsi que l’humanité a progressé dans son histoire, avec des fractions millénaires pour une écriture décimale juste séculaire. Et cela construit la compréhension du nombre. Mais c’est délicat, pas évident du tout, résistant. Il faut l’accepter ; ainsi on accepte aussi de différer la compréhension de certains élèves, qui vont revenir, revenir et revenir encore sur ces questions, jusqu’au moment où ce sera le bon.

Bon ok, on peut rêver le monde et tout et tout, mais une fois qu’on y est ? On a donné un exemple maladroit (pas besoin d’être stagiaire, je peux le faire aussi ! 😉 ) et des élèves se construisent un joli théorème en actes façon reconnaissance de formes :

Un théorème en actes, c’est une règle qu’on se construit parce que ça a l’air de marcher comme ça.

Pour remédier, que faire ? Parler de multiples langages et multi-représenter, je suppose : du partage, du quotient, du calcul… tous les arguments (valides sont bons, et sans doute tous nécessaires pour les uns et/ou les autres) :

https://micetf.fr/

Comme l’a suggéré Julien, il faudrait aussi revenir sur 1+2/7. Parce que ce qui est rigolo sur cet exemple, c’est que 1+2/7 est aussi compris entre 1 et 2. Mais avec 19/7, ça ne marche pas, par exemple.

Et ensuite, je reviendrais aux fractions décimales : le théorème en actes est-il vrai pour les fractions décimales ? Et pourquoi ? Ca soulève des questions fondamentales, en fait. C’est vraiment chouette, ce cas d’étude.

Et en cadeau bonus, cela donne l’occasion de travailler sur exemples, contre-exemples et généralités, sur la vérité en mathématiques. Et puis on peut faire s’interroger les élèves sur leur rapport aux savoirs, à la construction des savoirs : fais-tu ça parce que je te dis de la faire ? Parce que tu as envie de savoir le faire ? Parce que tu le comprends ? Et d’ailleurs, à quoi te sert de savoir ça, à ton avis ?

Dans mon cas, quand quelque chose de ce type se produit, l’inconvénient c’est que ça nous tient un bout de temps qui n’était pas prévu dans la programmation. L’avantage c’est que ça sert la progression des élèves. On regagnera du temps plus tard. Ou pas, mais de toute façon on ne va pas construire sur du sable…

Merci Michel, merci les copains, et merci le stagiaire qui nous a permis de cogiter !

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