Chez moi·Culture mathématique·Mots de maths

madame, c’est quoi la différence entre prouver, démontrer, montrer et justifier ?

Et boum, merci A., élève de 5e, assistée par F. dans ses excellentes questions poil à gratter.

Je pense que dans le langage courant, « prouver » est plutôt exhiber une preuve, un élément souvent matériel. Mais en maths, « prouver » renvoie à construire une preuve, au sens de démonstration. Il me semblait qu’au niveau du collège le mot « prouver » est assez peu utilisé, mais ouvrir le manuel Myriade que nous utilisons au collège à deux pages de géométrie m’a donné tort. Je pense que c’est moi qui n’utilise pas « prouver », en fait. Dans ma tête, « prouver » est peut-être plus direct que « démontrer ».

« Démontrer » est ainsi pour moi plus évocateurs d’étapes : une démonstration nécessite de structurer des arguments à plusieurs niveaux, de les lier logiquement. Le mot « démonstration » me paraît renvoyer directement à quelque chose d’abstrait, ce qui n’est pas forcément le cas pour « prouver ». On peut prouver avec un contre-exemple, mais je n’appellerais pas « démonstration » l’exhibition d’un contre-exemple.

« Montrer » renvoie dans mon esprit à la monstration. Je peux montrer avec des manipulations, avec GeoGebra, faire naître des images mentales qui vont faire accéder à la compréhension. « Montrer », c’est faire voir, plutôt avec les yeux. Mais je sais que ce que j’écris est absolument subjectif. D’ailleurs on peut tout à fait lire « montrer que 199 est un nombre premier » sans du tout que soit attendu de manipuler.

« Justifier » est assez scolaire, voire punitif : « peux-tu te justifier, s’il te plaît ? » indique qu’on a fait une bêtise et qu’une personne porteuse de l’autorité va nous souffler dans les bronches. Mais qu’attend lorsqu’on demande de justifier ? Pour ma part, j’attends une explication qui peut être éventuellement « molle », un développement de l’intuition, et le plus souvent une référence à la leçon. « Justifier » apparaît souvent en fin de question, pour souligner que ouiiii, il faut donner à voir au correcteur la façon dont on a réfléchi, sa démarche.

En tout cas, c’est une bonne question, qui va me trotter lorsque je vais construire mes prochaines fiches d’exercices : pourquoi utilisé-je un mot plutôt qu’un autre ? Est-ce pour exprimer une nuance jamais explicitée en classe, qui m’est propre et sans doute hors de portée des élèves ? Si c’est le cas, faut que je fasse quelque chose…

3 réflexions au sujet de « madame, c’est quoi la différence entre prouver, démontrer, montrer et justifier ? »

  1. Alors moi j’arrive à opposer montrer et démontrer par l’organisation de la réponse et qui permet de justifier (rhô) le préfixe « dé ».
    Je montre en partant de la conclusion « La réponse est … car …. »
    Je démontre en partant de ce que l’on sait et je finis par la conclusion ‘ On sait que …. Donc la réponse est… »
    La justification est un rapport à la leçon (ce qui est juste, ou comme la justice un rapport à la loi)

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  2. Bonjour. Il me semble qu’une première différence est grammaticale. On démontre une propriété, ou on montre qu’elle est vraie (avec proposition subordonnée complétive). Mais si je demande à un élève de me montrer le théorème de Pythagore, il peut légitimement pointer du droit son énoncé sur le mur.
    De façon plus subjective, je dirais aussi que les quantificateurs implicites seront plus facilement existentiels avec le verbe « montrer » alors qu’ils seront universels avec le verbe « démontrer ». Montre-moi qu’une bille tombe plus vite au sol qu’une feuille de papier. Tu vas prendre les deux objets et les lâcher à la même hauteur. Démontre-moi qu’une bille tombe plus vite au sol qu’une feuille de papier… ça va être de la mécanique du solide déformable en milieu gazeux pas piquée des hannetons.
    Le verbe « prouver » est souvent perçu comme un anglicisme (nous sommes censés écrire « Démonstration » là où les publications en anglais écrivent « Proof »). La preuve est peut-être aussi un peu plus ouverte structurellement, je pense notamment aux « preuves sans mots » où une figure rassemble tous les éléments pour démontrer un résultat, sans que les assertions successives ni les mots de liaison (« or », « et », « donc ») ne soient explicités.
    J’ai l’impression que la nuance avec le verbe « justifier » est encore différente, portant moins sur la démarche que sur le résultat. Une démonstration est une victoire sur l’ignorance. Elle nous apporte une assertion supplémentaire. La justification est un peu une preuve a posteriori. On sait déjà que le résultat est vrai, ou bien on s’en doute d’après une figure ou les premiers exemples de calculs, et il s’agit d’en apporte une preuve suivant un chemin balisé, effectivement assez scolaire dans l’idée.

    Aimé par 2 personnes

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