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Petit à petit, s’acheminer vers la nécessité de la preuve

En cinquième en ce moment, étudier la symétrie centrale est l’occasion de travailler l’idée de preuve. Aujourd’hui, nous avons corrigé un exo qui a permis d’illustrer mon propos de façon spontanée, ce qui m’a bien plu. Voici l’exo :

Myriade5e, page 175

Les élèves ont réalisé la figure à la maison, avec succès pour la grande majorité. Ceux qui se sont trompés identifient rapidement leur erreur.

Cet exercice, je l’ai posé pour inciter les élèves à réfléchir aux attendus de cycle 4. Et le débat décolle aussitôt. Lorsque je demande comment faire, j’obtiens :

  1. Je n’ai rien écrit comme phrase, je vais pas dire qu’elles sont parallèles, c’est évident et l’énoncé il le dit ;
  2. J’ai écrit : « les deux droites sont parallèles car elles ne se toucheront jamais » ;
  3. J’ai mis ma règle comme ça et mon équerre comme ça et j’ai fait coulisser et c’est parallèle ;
  4. Moi j’ai mis : « J’ai tracé la perpendiculaire à (DN) passant par D. J’ai vérifié, elle est perpendiculaire à (BM). Or deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles, donc (DN) est parallèle à (BM) ;
  5. J’ai dit : « M et N sont symétriques par rapport à O, et D et B aussi parce que c’est une diagonale de rectangle. Du coup (DN) c’est le symétrique de (BM) et on a vu dans la leçon que deux droites symétriques, elles sont parallèles. Donc voilà. »

Hé bien, parfait !!! C’est encore mieux que ce que j’avais imaginé !!!

Dans la version 1, on est au niveau d’un bel exemple de ouhla-attends-on-est-lundi-matin-mollo-mollo, mais pas seulement : le parallélisme est si évident pour cet élève que l’écrire lui semble dépourvu de sens, d’utilité, voire ridicule.

Dans la version 2, l’élève est sur de l’observation et n’a pas encore accès à la conceptualisation des parallèles : il envisage le parallélisme comme une « propriété qui se voit », quitte à mettre au futur pour bien rendre ça concret. Mais cette façon d’envisager le parallélisme est défaillante au collège (et peu souhaitable avant aussi à mon sens), et finalement lui bloque l’accès à la preuve, qui n’a pas de raison d’être. On est sur une approche sensible. Mais c’est légitime dans l’histoire scolaire mathématique de cet élèves et au moins il explique sa façon de penser. Il me rend service car nous pouvons en discuter.

La version 3 est instrumentée. Il y a une recherche de vérification pour aboutir à une validation. Cet élève n’a pas franchi une étape très importante et est rassuré par la géométrie instrumentée. Il croit ce qu’il voit, et je voudrais qu’il croie ce qu’il comprend. Mais pour comprendre, encore faut-il percevoir qu’il y a quelque chose de plus à comprendre, et ça c’est chaud-chaud-chaud et pas rassurant du tout ! Il faut accepter l’incertitude, la possibilité de l’échec, la nécessité d’imaginer, de faire vivre dans sa tête, là où on est tout seul.

Dans la version 4, on a une variante très intéressante : cet élève se dit que je vais « vouloir une propriété ». D’ailleurs il me dit deux choses : « vous voulez toujours qu’on justifie », et « il faut des propriétés parce que regarder ça suffit pas » (sans ajouter « pour vous », ce qui m’encourage). En fait on est encore sur de la géométrie instrumentée : l’élève vérifie le parallélisme en effectuant une construction supplémentaire (une sur-figure, super qu’il s’en donne le droit : c’est une compétence à part entière) et en validant avec son équerre. L’appel à une propriété lui donne l’impression de s’être conformé à l’exercice scolaire demandé. Mais il comprend très vite, lors du débat, qu’il a procédé comme son camarade précédent, avec un bel emballage (qui montre aussi qu’il sait des choses et une volonté de formaliser).

La version 5 m’a scotchée, d’autant que j’avais au moins 5 élèves dans chaque classe qui l’avaient menée. Ouahou. C’était chouette car ils ont pu expliquer. C’était efficace et dense !

En question bonus, nous avons parlé de ce qu’apporte GeoGebra : les élèves s’accordaient sur le fait que sur le cahier, on ne dispose que d’un exemple, ce qui est insuffisant pour déduire une généralité. Mais avec GeoGebra, en faisant « bouger dans tous les sens », a-t-on une preuve ?

Hé bien les élèves ne sont pas du tout d’accord entre eux, et c’est tout aussi intéressant !

Une réflexion au sujet de « Petit à petit, s’acheminer vers la nécessité de la preuve »

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